Тема №24. Геометрические задачи на доказательство

03 Треугольники

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №24. геометрические задачи на доказательство

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#48626

Высоты $BB1$ и $CC1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $E.$ Докажите, что углы $CC1B1$ и $CBB1$ равны.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2023 г. Вариант 31

Показать доказательство

Так как $BB1$ и $CC1$ — высоты, то $∠BC1C = ∠BB1C = 90∘.$ При этом $∠BC1C$ и $∠BB1C$ опираются на один отрезок $BC.$ Значит, по признаку вписанного четырёхугольника около четырёхугольника $C1BCB1$ можно описать окружность.

$PIC$

Так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, а $∠B1C1C$ и $∠B1BC$ опираются на дугу $B1C,$ то

∠B1C1C = ∠B1BC

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#55505

Высоты $BB1$ и $CC1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $E.$ Докажите, что углы $BB1C1$ и $BCC1$ равны.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2023 г. Вариант 32

Показать доказательство

Так как $BB1$ и $CC1$ — высоты, то:

∠CC1A = ∠CC1B = 90∘ ∘ ∠BB1C = ∠BB1A = 90

$PIC$

Рассмотрим треугольники $C1EB$ и $B1EC.$ Так как $∘ ∠BC1E =∠CB1E = 90 ,$ $∠C EB = ∠B EC 1 1$ как вертикальные, то треугольники $C EB 1$ и $B EC 1$ подобны по двум углам.

Запишем отношение подобия:

C1E C1B BE B1E- = B1C-= CE-

Рассмотрим треугольники $CEB$ и $B1EC1 :$

1.: $∠CEB =∠B1EC1$ как вертикальные;
2.: $C1E BE B1E-= CE-.$

Тогда треугольники $CEB$ и $B1EC1$ подобны по двум сторонам и углу между ними. $∠C B E = ∠BCE 1 1$ как соответственные углы подобных треугольников. Значит, $∠BB1C1 = ∠BCC1.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#58568

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ACB$ проведены высоты $AA1$ и $BB1.$ Докажите, что треугольники $A1CB1$ и $ACB$ подобны.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

По условию $AA1$ и $BB1$ — высоты тупоугольного треугольника $ABC.$ Тогда

∠BA A = 90∘ = ∠BB A. 1 1

Рассмотрим четырёхугольник $ABB1A1.$ В нём углы $BA1A$ и $BB1A$ равны и опираются на один и тот же отрезок $AB,$ следовательно, около четырёхугольника $ABB1A1$ можно описать окружность.

$ABCAB11$

Тогда $∠BAB1 = ∠BA1B1$ как вписанные, опирающиеся на одну дугу $BB . 1$

Углы $A1CB1$ и $ACB$ равны как вертикальные. Тогда треугольники $A1CB1$ и $ACB$ подобны по двум углам.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32027

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $AD = CE.$ Докажите, что если $BD = BE,$ то $AB = BC.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольник $BDE.$ Если в нем $BD =BE,$ то он равнобедренный. Тогда углы при его основании $DE$ равны, то есть $∠BDE = ∠BED.$

Углы, смежные равным, равны, значит, $∠ADB = ∠CEB.$

$PIC$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBE.$ В них $AD = CE$ и $BD = BE$ по условию, и $∠ADB = ∠CEB,$ значит, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. В равных треугольниках соответственные элементы равны, следовательно, $AB = BC.$

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#32028

В равностороннем треугольнике $ABC$ точки $M,$ $N,$ $K$ — середины сторон $AB,$ $BC,$ $CA$ соответственно. Докажите, что треугольник $MNK$ — равносторонний.

Показать доказательство

Способ 1

По условию $M,$ $N$ и $K$ — середины сторон $AB,$ $BC,$ $CA$ соответственно. Тогда $MN,$ $MK$ и $NK$ — средние линии треугольника $ABC.$ Значит,

MN = 1AC, MK = 1 BC, NK = 1AB. 2 2 2

$PIC$

Так как $ABC$ — равносторонний треугольник, в нем $AC = BC = AB,$ следовательно, $MN = MK = NK.$ Значит, треугольник $MNK$ является равносторонним.

Способ 2

Треугольник $ABC$ — равносторонний, значит,

∘ ∠A = ∠B = ∠B = 180-= 60∘ 3

Также

AM = BM = BN = CN = CK = AK = AB-= AC- = BC- 2 2 2

Рассмотрим треугольники $AMK$ и $BMN.$ Они равны по первому признаку равенства треугольников, так как $AM =BM,$ $AK = BN$ и $∠MAK = ∠MBN.$ Аналогично равны треугольники $AMK$ и $CNK$ $(AM = CN,$ $AK =CK$ и $∠MAK = ∠NCK ).$

$PIC$

В равных треугольниках соответственные элементы равны, следовательно, $MK = MN = NK.$ Значит, треугольник $MNK$ является равносторонним.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2