04 Относительность движения - Каталог заданий по Олимпиадной физике в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#25124Максимум баллов за задание: 10

Пловец переплывает через реку шириной $d = 100 м$ за наименьшее время $τ = 100 с$ . За это время течение сносит его на $S = 200 м$ . Снос – это расстояние, на которое сместится пловец вдоль реки к моменту достижения противоположного берега. В подвижной системе отсчета, связанной с водой, пловец движется с постоянной скоростью.
1. Найдите скорость $V$ течения реки.
2. Найдите скорость $u$ пловца в подвижной системе отсчета, связанной с водой.
3. Найдите продолжительность $T$ заплыва, в котором снос будет минимальным.
(«Физтех», 2019, 9)

Источники: «Физтех», 2019, 9

Показать ответ и решение

1) Если собственная скорость пловца направлена не перпендикулярно берегу в подвижной системе отсчета, связанной с, допустим, бревном, плывущим без собственной скорости по реке, то время, необходимое на преодоление реки не будет минимальным.
Действительно, если вектор собственной скорости пловца направлен под тупым углом к вектору скорости течения реки, то по теореме косинусов для векторного треугольника скоростей следует, что квадрат вектора абсолютной скорости пловца состоит из квадратов собственной скорости пловца и скорости течения реки "плюс"удвоенное произведение их скоростей на модуль косинуса угла между векторами. Если же скорости пловца и течения перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю, а время, необходимое на преодоление реки, тогда скорость течения реки

V = S- = 2 м/c τ

2) Исходя из рассуждений, полученных в пункте 1), понимаем, что на направлении собственной скорости пловец проходит в точности расстояние $d$ . Тогда

u = d-= 1 м/c τ

3) Чтобы обеспечить минимальный снос, необходимо, чтобы вектор абсолютной скорости пловца относительно Земли составлял с вектором скорости течения реки наибольший угол. Действительно, чем больше угол, тем меньше расстояние от точки начала заплыва до точки окончания заплыва на противоположном берегу. Вектор собственной скорости пловца может вращаться таким образом, что его конец описывает полуокружность, центр которой совпадает с концом вектора скорости течения реки. Абсолютная скорость $V1$ будет пересекать вектор скорости течения реки $V$ в том случае, если будет являться касательной к полуокружности, описываемой концом вектора $u$ , тогда угол между векторами $V 1$ и $u$ составляет $β = 90 ∘$ , тогда

sin α = u- = 0,5 ⇒ α = 30 ∘ V

Тогда искомое время

---d--- T = u cosα = 115 с

$PIC$

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Формула скорости при равномерном движении	2

Описан случай минимального сноса	3

Сказано как направлены скорости друг относительно друга	3

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#25125Максимум баллов за задание: 10

Пловец переплывает через реку шириной $d = 100 м$ за время $τ = 220 c$ . За это время течение сносит его на $S = 200 м$ . Скорость течения реки $V = 0,5 м/ с$ . Снос – это расстояние, на которое перемещается пловец вдоль реки к моменту достижения противоположного берега. В подвижной системе отсчета, связанной с водой, пловец движется с постоянной скоростью.
1. Найдите скорость $u$ пловца в подвижной системе отсчета, связанной с водой.
2. За какое наименьшее время $T$ пловец может пересечь реку?
(«Физтех», 2019, 9)

Источники: Физтех, 2019, 9

Показать ответ и решение

1) Перейдем в систему отсчета, связанную с водой, и разложим скорость пловца в этой системе отсчет на проекции. Перпендикулярно берегу пловец проплывает расстояние $d$ за время $τ$ , тогда:

d = u τ ⇒ u = d- ⊥ ⊥ τ

В системе отсчета, связанной с берегом, пловец проплывает вдоль реки расстояние $S$ за время $τ$ , скорость его вдоль берега при этом, исходя из правила сложения скоростей, равна

v∥ = u∥ + V

Тогда

S = v∥τ ⇒ u∥ = S-− V τ

Воспользовавшись теоремой Пифагора, можем найти полную скорость пловца в системе отсчета, связанной с водой:

∘ (-------)2----(--)2- ∘ -2----2- S- d- u = u∥ + u⊥ = τ − V + τ ≈ 0,61 м/с

2) В системе отсчёта, связанной с водой, пловец движется препендикулярно реке со скоростью $u ⊥$ :

d d = u⊥t ⇒ t = --- u⊥

Чтобы время было минимально, необходимо, чтобы скорость пловца перпендикулярно берегу была максимальна. Скорость пловца в этой системе отсчета постоянна и при этом равна:

∘ -------- u = u2+ u2 ∥ ⊥

Значит проекция скорости пловца перпендикулярно берегу максимальна тогда, когда проекция скорости вдоль берега равна нулю:

u⊥max = u

Значит минимальное время переправы равно:

d T = --= 164 с u

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Скорость пловца разложена по проекциям и верно представлена в различных системах отсчета	1

Полуено выражение для скорости пловца в системе отсчета, связанной с водой	3

Вычислено значение скорости пловца в системе отсчета, связанной с водой	1

Описано условие для достижения минимального времени переправы	2

Получено верное выражение для минимального времени переправы	2

Вычислено значение минимального времени переправы	1

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#25126Максимум баллов за задание: 10

Ширина реки равна $l$ . Если лодка плывёт против течения реки, её скорость относительно земли равна $v$ , если по течению — $3v$ . За какое минимальное время лодка может пересечь реку?
(«Росатом», 2013, 11)

Источники: Росатом, 2013, 11

Показать ответ и решение

Положим скорость течения реки равной $u$ , а скорость лодки относительно воды равной $v′$ . По условию имеем:

3v = v′ + u

v = v′ − u

Решая данную систему, получаем, что $′ v = 2v$ . Чтобы переправиться за минимальное время лодка должна плыть так, чтобы вектор ее скорости относительно воды был перпендикулярен берегам реки. Поэтому минимальное время переправы равно

l l t = -′ = --- v 2v

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#25127Максимум баллов за задание: 10

С какой минимальной по величине скоростью относительно воды должен двигаться пловец, пересекая реку шириной $100 м$ , чтобы его «снос» составил величину $25 м$ ? Скорость течения реки постоянна и равна $2 м/c$ . Под «сносом» понимается расстояние между точкой, где пловец достиг противоположного берега, и точкой, расположенной строго напротив точки отплытия. Ответ выразите в м/с и округлите до сотых.
(МОШ, 2019, 9)

Источники: МОШ, 2019, 9

Показать ответ и решение

Нарисуем возможные положения вектора скорости пловца (серым) и сложим их с вектором скорости реки (синим).

Очевидно, что концы векторов $υ1,υ2,υ3,υ4$ лежат на одной прямой, параллельной прямой $M N$ . Тогда становится ясным, что самый короткий вектор скорости пловца (соответствующий минимальной скорости) – перпендикуляр к этой прямой. Треугольник $M OP$ подобен треугольнику $M KN$ . Угол $KM N$ равен углу $M OP$ . Косинус этого угла равен

KM OM cosKM N = M-N- = OP--

Тогда через известные длины и скорость реки косинус этого угла:

cosKM N = √--a----= υ- a2 + s2 u

Откуда

--au---- ----100 м-⋅2 м/-с- υ = √a2 +-s2 = √100002-м2 +-625-м2-≈ 1,94 м/с

Ответ: 1,94

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#25128Максимум баллов за задание: 10

Два корабля двигаются в море со скоростями $v1 = 15 м/ с$ и $v2 = 30 м/ с$ , при этом скорости направлены таким образом, что траектории кораблей пересекаются под углом $∘ α = 60$ (см. рисунок). Корабли расположены таким образом, что расстояние между кораблями равно $S0 = 20 км$ , расстояния между кораблями и точкой пересечения траекторий равны. Через какое время расстояние между кораблями станет минимальным? Найдите это расстояние.

Показать ответ и решение

I способ
Перейдем в систему отсчета, связанную с первым кораблем.

Тогда относительная скорость равна

⃗vотн = ⃗v2 − ⃗v1

Чтобы найти угол $β$ рассмотрим треугольник со сторонами $v1,v2,vотн$ . Угол между сторонами $v1$ и $v2$ равен $60∘$ По теореме косинусов

∘ ---------------------- 2 2 ∘ vотн = v1 + v2 − 2v1v2cos60 = 26 м/с

По теореме синусов найдем $γ$

v1 vотн v1 sin 60∘ 1 sin-γ-= sin-60∘ ⇒ sin γ = ---v----- = 2- отн

А угол $β$ равен $60∘ − 30 ∘ = 30∘$ , значит, траектория относительного движения является биссектрисой, а в равностороннем треугольнике она является еще и медианой, следовательно, $√3S- √ -- Lmin = ----0-= 3 ⋅ 10 к м 2$ . Следовательно:

√ -- Lmin- --3 ⋅-10000 t = v = 26 = 666.2 c отн

II способ
До момента пересечения траекторий корабли будут сближаться, после пересечения траекторий корабли будут удаляться. Значит минимальное расстояние в точке пересечения траекторий. Так как скорость второго в 2 раза больше, чем скорость первого, то он придет в точку пересечения в 2 раза быстрее, а расстояние между кораблями будет равно половине траектории. Заметим, что треугольник равносторонний (равнобедренный, с углом при пересечении одинаковых ребер 60 градусов), значит длина траектории равна $S0 = 20 к м$ . Так как расстояние между кораблями равно $S0- 2 = 10 км$ .

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#25129Максимум баллов за задание: 10

Два корабля движутся с постоянными и одинаковыми по модулю скоростями $v1 = v2 = v$ . В некоторый момент расстояние между ними оказалось равным $L$ , а их взаимное расположение таким, как показано на рисунке.
1) Определите минимальное расстояние между кораблями при их последующем движении.
2) Найдите время $τ$ , через которое корабли окажутся на минимальном расстоянии друг от друга.
3) В момент, когда корабль $B$ пересекает линию движения корабля $A$ , от борта корабля $A$ отправляется катер, который должен доставить на корабль $B$ пакет с важным сообщением. Определите, через какое минимальное время $Δt$ после отправки катера пакет будет доставлен на борт корабля $B$ , если скорость $u$ катера также равна $v$
(Всеросс., 2010, финал, 9)

Источники: Всеросс., 2010, финал, 9

Показать ответ и решение

1) Выберем систему отсчета, связанную с кораблем А. На рисунке изображен вектор $V$ относительной скорости корабля. По условию $v1 = v2 = v$ , тогда из геометрии рисунка следует, что $V$ направлен пол углом $α = 30 ∘$ к линии, соединяющей корабли, а по модулю $|V| = |v|$ . Опустим перпендикуляр из $A$ на прямую, содержащую вектор $V$ . Минимальное расстояние между корбалями при их последующем движении есть $∘ 1 l = AC = L sin30 = 2L$

2) Так как $|V | = |v|$ , то, двигаясь с относительной скоростью $V$ кораблю $B$ пройдет на минимальном расстоянии от корабля $A$ через время $√- τ = Lcos30∘-= L--3 v 2v$
3) Отобразим на рисунке тот момент, когда корабль $B$ пересекает линию движения корабля $A$ . Через точки $′ A$ , $′ B$ обозначим начальное положение корабля $A$ , $B$ соответственно. Модули скоростей одинаковы, а угол $β$ между векторами $v1$ и $v2$ равен $60 ∘$ , значит точка встречи катера с кораблем $D$ обязана лежать в вершине равностороннего треугольника. В таком случае

1- vΔt = 2a,

где $a$ - гипотенуза в треугольнике $′ ′ A B B$

2L a = √--- 3

Тогда

Δt = a--= -L√--- 2v v 3

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Сказано как направлены скорости друг относительно друга	2

Сказано чему равно минимальное расстояние	2

Записана формула времени при равномерном движении тела	2

Сказано в каком случае будет минимальное время	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#25154Максимум баллов за задание: 10

Снежки $A$ и $B$ , отстоящие друг от друга по горизонтали на $s$ и по вертикали на $3s$ , бросают одновременно со скоростями $v1 = 5 м/ с$ под углом $α$ ( $cos α = 4∕5$ ) к горизонту вверх и $v2$ вертикально вниз (см. рисунок). Через некоторое время снежки столкнулись. Найти $v 2$ .
(«Физтех», 2009)

Показать ответ и решение

I способ
Перейдем в систему отсчета, связанную со вторым телом. Если перейдем в систему отсчета, связанную со вторым снежком, то первому телу надо будет пройти $3S$ по вертикали и $S$ по горизонтали. Тогда скорость первого тела, относительно второго равна

⃗vотн = ⃗v1 − ⃗v2

А относительное ускорение $⃗a отн = ⃗g − ⃗g = 0$ .
При этом угол наклона относительной скорости таков, что его тангенс равен: $tgβ = 3$ (потому что по вертикали $3S$ , а по горизонтали $S$ ). Тангенс можно расписать как

v1sinα + v2 ( 4 3 ) tgβ = 3 = ------------⇒ v2 = v1(3 cosα − sinα ) = 5 3 ⋅--− -- = 9 м/ с v1 cosα 5 5

II способ
Найдем $sinα$ через основное тригонометрическое тождество

∘ ------- √ -------2-- 16- 3- sinα = 1 − cos α = 1 − 25 = 5

Перейдем в систему отсчета, которая движется с ускорение $g$ вниз.
Рассмотрим движение снежка $A$ и снежка $B$ относительно горизонтальной оси $x$ этой системы и вертикальной $y$ .
Снежок $A$ :
По горизонтально оси он пролетит расстояние $S$ с постоянной скоростью

vx1 = v1 cosα

Это расстояние равно

S = vx1t = v1cos αt (1)

По вертикальной оси он также будет двигаться без ускорения (с учетом нашей системы отсчета). И его скорость при этом равна

v = v sin α y1 1

Пусть он будет на расстоянии $L$ по вертикали от начала своего движения, с учетом формул кинематики имеем

L = vy1t = v1 sin αt (2)

Теперь рассмотрим снежок $B$ .
По горизонтальной оси он не будет двигаться, а по вертикальной будет двигаться с постоянной скоростью $v2$ и пройдет расстояние $3S − L$ . С учетом формул кинематики

3S − L = v2t (3)

Выразим из (1) время движения снежков $t$ и объединим (2) и (3)

t = ---S---- v1 cosα

v1sinα-- --v2S--- 3S − v cos α = v cosα 1 1

Поделим на $S$ и выразим $v2$

( ) v2 = v1(3 cosα − sinα ) = 5 3 ⋅ 4-− 3 = 9 м/ с 5 5

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#25159Максимум баллов за задание: 10

Из точки, находящейся над землёй, одновременно бросили два тела: одно вертикально вверх с начальной скоростью $v0 = 10 м/с$ , второе — горизонтально с начальной скоростью $2v0$ . Найти расстояние между телами в тот момент, когда первое тело поднялось на максимальную высоту над поверхностью земли. Второе тело в этот момент времени ещё не успело упасть на землю.
(«Росатом», 2012, 11)

Источники: Росатом, 2012, 11

Показать ответ и решение

Найдем время движения первого тела до полной остановки. Конечная скорость равна 0

v0 0 = v0 − gt ⇒ t = g

Введем декартовую систему координат, которая двигается вниз с ускорением $g$ . Оси направлены: горизонтально вдоль вектора скорости $2v 0$ и вертикально вдоль вектора скорости $v0$ .
В этой системе координат первое тело движется по вертикальной оси с постоянной скоростью $v0$ . Тогда за время до снижения скорости первое тело пройдет

2 v0- S1 = v0t = g

Рассмотрим второе тело. В данной системе координат оно будет двигаться только горизонтально с постоянной скоростью $2v0$ и за время $t$ пройдет расстояние

2 S2 = 2v0t = 2v0- g

По теореме Пифагора

∘ -2----2- √ --v20 √ -(10 м/ с)2 L = S1 + S2 = 5 g-= 5-10-м/-с2-≈ 22 м

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#25160Максимум баллов за задание: 10

Мяч абсолютно упруго ударяется об вертикальную стенку. Скорость мяча до удара равна $v0 = 20 м/ с$ и направлена под углом $∘ α = 30$ к вертикали. Стенка движется на встречу мячу с горизонтальной скоростью $u = 10 м/ с$ . Какая будет скорость мяча после удара?

Показать ответ и решение

Так как стенка движется горизонтально, то и скорость мяча будет изменяться только горизонтально. Рассмотрим движение мяча в системе отсчета, связанной с движением стенки и с неподвижной системой отсчета.
В системе отсчета, связанной с движением стенки, мяч по горизонтали движется со скоростью $v + u$ , где $v = v0 sin α$ , а после удара мяч движется со скоростью $− v − u$ .
Перейдем в неподвижную систему отсчета. Теперь скорость мяча будет $v$ до удара, а после удара она будет на $− u$ меньше, так как прошлая система отсчета двигалась со скоростью $u$ . Тогда скорость после удара будет $v2 = − 2u − v = − 2u − v0sinα$ .
Движение по вертикали остается с постоянной по модулю и направлению скоростью $v = v cosα x 0$ По теореме Пифагора найдем скорость после удара

∘ ------- ∘ ---------------------------- ∘ -------------------------- 2 2 2 2 2 3-⋅ 400-м2/с2 2 2 V = vx + v2 = v0 cos α + (− 2u − v0sinα ) = 4 + 900 м /с ≈ 35 м/с

Ответ: 35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#25161Максимум баллов за задание: 10

В безветренную погоду самолет затрачивает на перелет между городами $6 часов$ . Если во время полета дует постоянный боковой ветер перпендикулярно линии полета, то самолет затрачивает на перелет на $9 м инут$ больше. Найдите скорость ветра, если скорость самолета относительно воздуха постоянна и равна $328 км/ ч$ .
Сборник А. И. Черноуцан

Показать ответ и решение

В первой случае самолет пролетел расстояние

S = v1t1

где $v1$ – скорость самолета, $t1$ – 6 часов.
Во втором случае скорость самолета относительно земли будет складываться из скорости самолета и скорости ветра, при этом сложение будет векторное. То есть

∘ ------- 2 2 v = v1 − v2

$v2$ – скорость ветра. А расстояние, пройденное самолетом равно

∘ ------- S = vt = v2 − v2t 2 1 2 2

Отсюда

∘ ------- ∘ ------- 2 2 v1---t21-−-t22 v1t1 = v1 − v2t2 ⇒ v2 = t2 = 72 км/ ч

Ответ: 72

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#25162Максимум баллов за задание: 10

Велосипедисты едут колонной со скоростью $5 м/ с$ . Длина колонны равна $210 м$ . Навстречу им бежит тренер со скоростью $2 м/с$ . Поравнявшись с тренером велосипедист резко разворачивается и едет в обратном направлении с той же скоростью. Чему будет равна длина колонны после того, как все велосипедисты развернутся?
Фольклор

Показать ответ и решение

Перейдем в систему отсчета, связанную с движением тренера.
Тогда скорость сближения колонны с тренером равна

v0 = v1 + v2, (1)

где $v1$ – скорость колонны, $v2$ – скорость тренера.
Полный разворот колонна сделает за время $t$

-L t = v (2) 0

$L$ – первоначальная длина колонны.
После разворота каждый участник колонны будет удаляться от тренера с постоянной скоростью

′ v0 = v1 − v2, (3)

При этом длина колонны после разворота будет равна

L′ = v′0t (4 )

Тогда с учетом (1), (2), (3) формулу (4) можно переписать в виде

v1 − v2 5 м/ с − 2 м/с L ′ = L------- = 210 м ⋅-------------- = 90 м v1 + v2 5 м/ с + 2 м/с

Ответ: 90

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записана формула нахождения скорости сближения	2

Найдено время разворота колонны	2

Записана формула нахождения скорости удаления	2

Записана формула нахождения длины колонны после разворота	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#25190Максимум баллов за задание: 10

На гладкой горизонтальной поверхности льда лежит лист фанеры, на котором находится стальной брусок. Одновременно листу фанеры и бруску сообщают скорости $v$ и $√- 3v$ относительно льда, причём их направления взаимно перпендикулярны. В процессе дальнейшего движения, из-за наличия трения, скорости бруска и доски изменяются. Определите минимальные скорости фанеры и бруска (относительно льда) в процессе их движения. Масса бруска равна массе фанеры.

(Всеросс., 2018, РЭ, 10 )

Источники: Всеросс., 2018, РЭ, 10

Показать ответ и решение

Рассмотрим векторы начальных скоростей бруска и фанеры и их изменения за некоторый малый промежуток времени $Δt$ . На рисунке вектор $−O→A$ соответствует скорости бруска, вектор $−O−→B$ скорости фанеры в начальный момент времени. Векторы изменений их скоростей равны по модулю (так как массы равны) и направлены вдоль вектора их относительной скорости $AB$ (скорость бруска относительно фанеры – вектор $−−→ AB$ , а сила трения, действующая на брусок направлена от $A$ к $B$ и наоборот для листа фанеры).

Через время $Δt$ концы векторов новых скоростей $−−O→A1$ и $−O−B→1$ , попрежнему лежат на AB и силы трения, действующие на тела, попрежнему направлены вдоль $AB$ . Скорости бруска и фанеры будут изменяться до тех пор, пока не выровняются по величине и направлению, а точки $A1$ и $B1$ не окажутся на середине $AB$ . Дальнейшее очевидно из геометрии. Скорость бруска уменьшается, пока не достигнет постоянного значения $OM$ , $OM = AB ∕2 = v$ . Минимальная скорость листа фанеры достигается прежде, чем скорости установятся – длина вектора $−O−B→ 2$ равна $∘ OB2 = OA sin 30 .$
Таким образом, минимальная скорость бруска относительно льда при движении равна $v$ , а фанеры, соответственно $√3v-∕2$

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Сказано, куда направлены векторы скоростей в начальный момент времени	2

Сказано, куда направлены векторы новых скоростей через промежуток времени	2

Сказано, до какого момента скорости будут меняться	2

Сказано, чему равны минимальные скорости фанеры и бруска	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#25191Максимум баллов за задание: 10

Два тела бросают одновременно с одинаковой начальной скоростью $v0$ из одной точки в противоположных направлениях под углами $α$ и $2α$ к горизонту. Определить расстояние между камнями через $τ$ секунд после броска?

Показать ответ и решение

Перейдем систему отсчета, связанную с камнем, брошенным под углом $2α$ , и движущюся вниз с ускорением $g$ . Тогда камень, брошенный под углом $2α$ , покоится,

v2αx = − v0cos 2αt, v2αy = v0 sin 2αt − gt

а скорость второго камня в этой системе отсчета равна

vx = v0cos αt − v2αx = v0(cosα + cos 2α)

vy = v0 sin αt − v2αy = v0(sin α − sin2α )

Камень будет двигаться равномерно, значит за время $τ$ он переместится на

∘ ------- ∘ ----------------------------------- S = vt = v2x + v2yt = v0τ (cos α + cos2α )2 + (sinα − sin 2α)2 =

∘ --------------------------------------------------------------- = v0τ cos2α + 2 cosα cos2α + cos2α + sin2α − 2 sin α sin 2α + sin22α =

$∘ ----------------- ∘ ------------- = v0τ 2 + 2cos(α + 2α) = v0τ 2 + 2 cos(3α)$

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Расписаны проекции скорости одного из камней	3

Расписаны проекции скорости второго камня в СО, связанной с первым камнем	3

Найдено искомое расстояние	4

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#25192Максимум баллов за задание: 10

Поезд движется со скоростью $v$ . Под некоторым углом к направлению его движения дует ветер; при этом скорость ветра, измеренная пассажиром поезда, равна $v1$ . Когда поезд увеличил скорость в два раза, сохранив направление движения, скорость ветра, измеренная пассажиром, стала равна $1,5v1$ . Определить величину скорости ветра относительно земли.
(«Росатом», 2011, 11)

Источники: «Росатом», 2011, 11

Показать ответ и решение

Используем теорему Косинусов

( { 2 2 2 v1 = v + vабс − 2vv cosα ( 2 2 2 2,25v1 = 4v + vабс − 4vv cos α

Первое уравнение умножим на 2 и вычтем из первого второе

∘ --------- 2 2 2 2 v21- − 0,25v 1 = − 2v + vабс ⇒ vабс = 2v − 4

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Использованы треугольники скоростей для обоих случаев	4

Записаны теоремы косинусов	4

Выражена искомая величина	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#35614Максимум баллов за задание: 10

Круизные лайнеры «Первый» и «Второй» плывут равномерно и прямолинейно. Угол между их курсами равен $α = 60∘$ , скорость «Первого» $v1 = 35 км/ ч$ , скорость «Второго» $v2 = 31,6 км/ч$ . С лайнера «Первый» с временным интервалом в несколько часов отплывают два катера, которые, двигаясь с постоянной одинаковой скоростью, перпендикулярной курсу «Первого», точно приплывают ко «Второму». Определите скорость $u$ катера.

(МОШ, 2013, 11 )

Источники: МОШ, 2013, 11

Показать ответ и решение

Перейдем в со первого лайнера, так как катер дважды догнал лайнер, их скорости направлены вдоль одной прямой.

−v→21 = −→v2 − −→v1

Треугольник MNK

u = tg φ⋅v1

Треугольник ABC (теорема синусов и теорема косинусов)

v21 v2 sinα-= sinφ

∘ ------------------ v = v2+ v2− 2v v cosα 21 1 2 1 2

v2sin-α -------v2sinα-------- sinφ = v21 = ∘v2-+-v2−-2v1v2cosα- 1 2

tg φ = sinφ-= ∘--sinφ----= ∘---1------ cosφ 1− sin2φ --1--− 1 sin2φ

Тогда

1 v2sin α tg φ = ∘--2---2---------------= v-−-v-cosα- v1 +-v2 −-2v1v2cosα-− 1 1 2 v22sin2 α

-v1v2sin-α-- u = v1 − v2cosα ≈ 50 к м/ч

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записана формула нахождения относительной скорости	2

Сказано, в какой система отсчета происходит работа	2

Использована теорема синусов и косинусов	2

Использованы тригонометрические функции для нахождения скоростей	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#35616Максимум баллов за задание: 10

Две частицы начали движение из одной точки во взаимно перпендикулярных направлениях (рис.). Первая — с начальной скоростью $3v$ и постоянным ускорением $3a$ , сонаправленным с начальной скоростью, другая — со скоростью $4v$ и постоянным ускорением $4a$ , направленным противоположно начальной скорости. Численно $a = 0,538 м/с2$ , $v = 10 м/с$ . Каким будет расстояние $L$ между частицами в момент, когда их относительная скорость по модулю опять станет равна начальной относительной скорости? Чему будет равна минимальная относительная скорость $vотн$ частиц?

(Всеросс., 2013, финал, 9 )

Источники: Всеросс., 2013, финал, 9

Показать ответ и решение

Перейдём в систему отсчета, связанную с первой частицей, используя правила сложения скоростей и ускорений:

⃗vотн = ⃗3v+ ⃗4v

⃗aотн = ⃗3a+ ⃗4a

vотн = 5v, aотн = 5a

Рассмотрим движение второй частицы как полет вдоль некоторой оси $x$ , с начальной скоростью $5v$ , направленной под углом $2α$ к перпендикулярной оси $y$ , вдоль которой действует ускорение $5a$ . Угол $α$ найдем из прямоугольного треугольника скоростей или ускорений:

tgα = 3, α = 36,87∘ 4

По формуле для дальности полета тела, брошенного под углом к горизонту:

(5v)2sin(2(90∘ −-2α)) 5v2sin(180∘ −-4α) 5v2sin-4α L = 5a = a = a = 500 м

По аналогии с обычным броском относительная скорость будет минимальна в верхней точке траектории. Отсюда:

vотн(min) = 5vcos(90∘ − 2α) = 5v sin2α = 48 м/ с

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#35618Максимум баллов за задание: 10

Ракета удаляется от горизонтальной поверхности Земли со скоростью $V$ , направленной строго вертикально. Параллельно поверхности точно на запад летит самолёт со скоростью $√- V∕ 3$ .
1) С какой наименьшей по модулю скоростью $u$ и в каком направлении должен лететь (относительно Земли) квадрокоптер для того, чтобы относительно него ракета и самолёт имели противоположные по направлению скорости?
2) Под каким углом к горизонту (относительно Земли) должна быть направлена скорость квадрокоптера для того, чтобы ракета и самолёт имели в системе отсчёта квадрокоптера противоположные по направлению и равные по модулю скорости? Чему равен модуль скорости квадрокоптера в этом случае?
(МОШ, 2017, 9)

Источники: МОШ, 2017, 9

Показать ответ и решение

Найдём относительные скорости:

vрк = vр − vк

vcк = vc − vк

Вычтем из верхнего нижнее

v − v = v − v = v рк cк р c рс

Как можно заметить, относительная скорость ракеты относительно самолёта, лежит на той же прямой, что и относительные скорости относительно квадрокоптера.

Тогда минимальной скоростью будет перпендикуляр в прямоугольном треугольнике:

2v vрс = √- 3

v = v∕2 min

Скорость, когда относительные скорости равны, будет медианой прямоугольного треугольника:

v2 = √v- 3

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Правильно записана формула для закона сложения скоростей	1

Правильно построены треугольники скоростей	1

Найдены модули скоростей квадрокоптера	4

Найдены направления движения квадрокоптера	4

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#48123Максимум баллов за задание: 10

Корабль A и торпеда B в некоторый момент времени находятся на расстоянии $l = 1 км$ друг от друга (см. рис.). Скорость корабля $v1 = 10 м/с$ , угол $∘ α = 60$ . Скорость торпеды $v2 = 20 м/ с$ . Угол $β$ таков, что торпеда попадёт в цель.
1. Найдите $sin β$ .
2. Через какое время $T$ расстояние между кораблём и торпедой составит $S = 770 м$ ?

(«Физтех», 2020, 9)

Показать ответ и решение

Так как торпеда попадет в корабль, то в момент «встречи» их координаты по горизонтальной оси должны совпасть. При этом начальные координаты корабля и торпеды одинаковые, поэтому их скорости по горизонтальной оси равны. Условие встречи:

v1sin α = v2sin β

1) Тогда

√ -- v1 --3- sinβ = v sin α 4 ≈ 0,43,cosβ ≈ 0,9 2

2) Найдем скорость сближения объектов:

V = v1cos α + v2cos β

Тогда

l − S = V T = (v1 cosα + v2 cosβ )T ⇒

l − S 1000 − 770 ⇒ T = -----------------= ------------------= 10 с v1cosα + v2 cosβ 10 ⋅ 0,5 + 20 ⋅ 0,9

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано условие встречи	3

Найдена скорость сближения объектов	3

Формула пути при равномерном движении	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#48124Максимум баллов за задание: 10

Массивная плита поднимается вверх с постоянной скоростью. Мяч, брошенный вертикально вверх, нагоняет плиту, ударяется абсолютно упруго о боковую поверхность плиты, наклонённую под углом $γ = 30∘$ к горизонту, и отскакивает в горизонтальном направлении со скоростью $v = 1, 7 м/ с 2$ (см. рисунок).
1) Найти скорость плиты $v0.$
2) Найти скорость $v1$ мяча непосредственно перед ударом.
Масса плиты намного больше массы мяча.

(МФТИ, 2001)

Источники: МФТИ, 2001

Показать ответ и решение

Перейдем в систему отсчета, связанную с плитой. Найдем относительную скорость мяча, используя правило сложения скоростей:

v = v1 − v0

Скорость мяча направлена вертикально вверх и составляет угол $γ$ с нормалью к поверхности плиты. Относительно плиты мяч отскочит с такой же скоростью, причем угол относительно нормали к поверхности будет также составлять $γ$ (угол падения равен углу отражения). Чтобы получить скорость мяча относительно земли, сложим векторно относительную скорость и скорость плиты:

v2 v2 v0 = -----= √---≈ 1 м/с tg2γ 3

v = --v2-- sin2 γ

v2 √-- v1 = v + v0 = tgγ-= v2 3 ≈ 3 м/ с

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Использовано правило сложения скоростей	2

Описано движение мяча (описаны углы и направления)	3

Найдена скорость плиты	2

Найдена искомая скорость	3

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#48134Максимум баллов за задание: 10

Два камня бросили одновременно из одной точки под углами $20∘$ и $80∘$ к горизонту с одинаковыми скоростями $v0 = 15 м/с$ . Найдите расстояние между камнями через $τ = 1 секунду$ . Ответ выразить в метрах. Если ответ не целый, то округлить до сотых. Ускорение свободного падения равно $10 м/с2$ . Сопротивление воздуха не учитывать.

(«Физтех», 2014, 9–11)

Показать ответ и решение

Найдём скорости камни брошенного под углом $20∘$

∘ ∘ vx20∘ = v0cos20 ;vy20∘ = v0sin20 − gt

Перейдем в систему отсчета, связанную с камнем, брошенным под углом $∘ 20$ , тогда скорость второго камня по горизонтальной оси $x$ и вертикальной $y$

vx = v0cos80∘ − vx20∘ = v0(cos80∘ − cos20∘)

∘ ∘ ∘ vy = v0sin80 − gt − vy20∘ = v0(sin80 − sin20 )

Откуда полная скорость по теореме Пифагора:

------- v = ∘ v2+ v2 x y

∘ ---2--∘--------∘-----∘-----2--∘----2---∘--------∘----∘-----2--∘ v = v0 cos 80 − 2cos20 cos80 + cos 20 + sin 80 − 2sin 20 sin80 + sin 20

Воспользуемся формулами: $2 2 sin α+ cos α = 1$ и $cosαcosβ + sinα sinβ = cos(α − β)$ и получим

v = v ∘2-−-2-cos(20∘ −-80∘) = v √2-−-1 = v 0 0 0

Тогда расстояние между камнями составит:

S = v0τ = 15 м

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записаны проекции скорости камня, брошенного под углом $20∘$ к горизонту	2

Записаны проекции скоростей второго камня в системе отсчета камня, брошенного под углом $20∘$ к горизонту	2

Применена теорема Пифагора, получено выражение для полной скорости второго камня $v$	2

Использованы необходимые тригонометрические соотношения, $v$ выражена через $v0$	2

Найдено верное значение $S$	2

Максимальный балл	10