Изопроцессы —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#27761

В двух сообщающихся одинаковых вертикальных цилиндрических сосудах находится жидкость плотности $ρ$ . Первоначальный уровень жидкости в сосудах $l = 10 см$ от дна (рис.). Сосуды соединены через отверстия в середине дна маленькой трубочкой пренебрежимо малого объёма. В левом сосуде на высоте $2l$ от дна находится невесомый поршень, который может свободно перемещаться без трения о стенки. Под поршнем находится воздух при атмосферном давлении $p0 = 2ρgl$ . С момента времени $t0$ в левый сосуд в пространство над поршнем начинает поступать та же жидкость, причём скорость прироста уровня воды над поршнем составляет $v = 0, 2 м м/ с$ .
1) С какой скоростью движется поверхность жидкости в правом сосуде в начале процесса?
2) С какой скоростью и куда движется поверхность жидкости над поршнем в начале процесса?
3) На какой высоте $z$ от дна сосуда будет находиться поверхность жидкости над поршнем: а) через $600 с$ ? б) через $1100 с$ ?
Температуру в сосудах можно считать постоянной. Жидкость из сосудов не выливается.

Источники: Всеросс., 2017, РЭ, 11

Показать ответ и решение

1) Пусть через малое время $Δt$ после начала поступления жидкости на поршень высота столба жидкости в правом цилиндре возросла на $Δh$ . Из условия гидростатического равновесия в сосудах

p0 + ρg(l + Δh ) = p0 + ρgvΔt + ρg (l − Δh ).

Из этого уравнения находим скорость поднятия жидкости в правой части сосуда в начале процесса:

vΠ = Δh-- = v-. Δt 2

2) Пусть $S$ - площадь поршня. Из закона Бойля-Мариотта

p0lS = (p0 + ρgvΔt )HS

найдем высоту $H$ столба воздуха в левом сосуде:

l l H = ----ρgvt-= ----vt. 1 + -p0- 1 + 2l

Здесь $t$ - время поступления жидкости в левый сосуд. Тогда поверхность жидкости над поршнем находится на высоте $z$ от дна сосуда.

vt l vt l z(t) = (l − h ) + H + vt = l −--+ ----ρgvt+ vt = l + -- + ----vt. 2 1 + -p0- 2 1 + 2l

При малых $t$ высота

( ) ( ) vt vt z(t) ≈ l +-- + l −-- = 2l, 2 2

то есть в начале процесса скорость изменения высоты поверхности жидкости близка к нулю.
За) Из формулы (1) следует. Что при $t = 600$ с искомая высота $z = 22, 25$ см.
3б) Формальная подстановка даёт, что через $t = 1100$ с в левом цилиндре под поршнем уровень жидкости опустится на $h = vt-= 11 см 2$ . Но, это больше $l$ . Следовательно, к этому времени вся вода из под поршня перетечет в правую часть, а воздух под поршнем "пробулькнет"и поршень опустится на дно. Тогда высота поверхности жидкости над поршнем окажется $z = vt = 22$ см.
(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Формула гидростатического давления	2

Записано условие гидростатического равновесия	2

Формула скорости поднятия жидкости	2

Закон Бойля-Мариотта	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#27762

В высоком закрытом вертикально расположенном цилиндрическом сосуде сечением $S$ и высотой $h$ находится вода, занимающая весь объём сосуда, кроме маленького пузырька воздуха объёмом $V$ , образовавшегося у дна (рис.). Давление воды в верхней части сосуда равно атмосферному давлению $p 0$ . Определите, каким будет давление воды в верхней части сосуда после того, как пузырёк поднимется вверх. Процесс считать изотермическим. Модуль всестороннего сжатия жидкости равен $K$ . Рассмотрите предельные переходы:
1) $V → 0$ ,
2) $K → 0$ (сильно сжимаемая жидкость),
3) $K → ∞$ (несжимаемая жидкость).
Найдите численное решение задачи для случая $h = 3 м$ , $S = 10 см2$ , $V = 0,2 см3$ , $K = 2 ⋅ 109 Па$ , плотность воды $ρ = 103 кг/м3$ , $g = 10 м/с2$ . Примечание. Модуль всестороннего сжатия жидкости $K$ определяется соотношением

ΔV ж Δp = − K ----- Vж

где $Δp$ — изменение давления, $|ΔV ж ∕Vж| = 𝜖$ — относительное изменение объёма жидкости.

Источники: Всеросс., 2007, финал, 10

Показать ответ и решение

Давление воздуха в пузырьке у дна сосуда $p1 = p0 + ρgh$ . Пусть после подъёма пузырька вверх давление воздуха стало равным $p2 = p0 + Δp$ , а объём $V2 = V + ΔV$ .
Поскольку $ΔV = − ΔV ж$ , то $Δp = − K ΔV ∕V = K ΔV ∕V ж ж ж$ .
Так как процесс изотермический, $(p0 + ρgh) V = (V + ΔV ) (p0 + K ΔV ∕Vж )$ . Обозначая отношение $ΔV ∕V$ через $𝜀$ , получим:

V V ρgh = p0𝜀 + K 𝜀 ----+ K ----𝜀2. Vж Vж

Решая квадратное уравнение, получаем:

∘ (----------)----------- V-- -V- 2 4KV-ρgh- − p0 − K Vж ± p0 + K Vж + Vж 𝜀 = ---------------------V------------------. 2K Vж

Давление в верхней части сосуда

∘ (----------)----------- p − K -V-+ p + K -V- 2 + 4KV-ρgh- V- -0-----Vm--------0-----Vm--------Vk--- p2 = p0 + K V 𝜀 = 2 .

(Мы учли, что объём пузырька не может стать меньше нуля, и поэтому одно из решений не подходит.) Числовой расчёт даёт для $p2$ значение $p2 = 1,17 ⋅ 105$ Па.
Таким образом, при подъёме пузырька давление во всём сосуде возрастёт на величину $5 p2 − p0 = 0,17 ⋅ 10$ Па. При этом давление в пузырьке изменится на $Δp = p − p = − 0,13 ⋅ 105 2 1$ Па. Следовательно, $|Δp |∕p1 = 0,1$ . В предельных случаях расчёт даёт следующие результаты:
1. Из $V → 0$ следует $p2 → p0$ .
2. Из $K → 0$ следует $p2 → p0$ .
3. Из $K → ∞$ следует $p2 → p1 = p0 + ρgh$ .
Примечание. Так как относительное изменение давления в пузырьке при его подъёме достаточно мало, можно было воспользоваться приближённой формулой, связывающей изменения давления и объёма воздуха в пузырьке при его подъёме: $pΔV + V Δp = 0$ . Из этой формулы следует $Δp = − p ΔV ∕V 1$ . Формула для $p2$ приобретает следующий приближённый вид:

p = p ----VK--+-Vp0-----≈ 1,15 ⋅ 105 Па 2 1V K + Vp0 + Vρgh

Предельные переходы дают те же результаты, что и при точном решении. Приближённое решение будет рассматриваться как полное решение задачи при условии обоснованности его примени мости $( ) |Δp| p1 ≪ 1$ .
(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#27763

Два вертикальных цилиндрических сосуда соединены в нижней части трубкой с манометром пренебрежимо малого объёма (рис.). Внутри цилиндров установлены поршни, в верхней части цилиндров — упоры, ограничивающие подъём поршней. Расстояния от нижней части поршней до дна цилиндров при верхнем расположении поршней одинаковы и равны $h = 1 м$ . Под поршнями находится один моль идеального газа, атмосферное давление $5 p0 = 10 П а$ . Поршни могут перемещаться в цилиндрах без трения. В таблице представлены результаты измерений давления в цилиндрах при пяти различных значениях температуры газа. Определите массы обоих поршней $m1$ , $m2$ и площади сечения цилиндров $S1$ , $S2$ .

Источники: Всеросс., 2013, финал, 10

Показать ответ и решение

Теоретический вид зависимости давления от температуры для данной системы представлен на рисунке.

Давление на участке КА:

( ) mi pКА = p0 + --- g Si min

где $( ) mSii- − min$ меньшая из двух величин $mS11-$ и $mS22-⋅ ($ В дальнейшем для определённости будем считать меньшей $) m1S1$ . На этом участке в цилиндре площади $S1$ протекает изобарический процесс до момента поднятия поршня до упора (точка А на графике).

При дальнейшем увеличении температуры объём газа не меняется, а давление растёт вплоть до момента начала движения второго поршня (точка В). На участке AB:

νRT pAB = -----. S1h

В точке В давление

p = p + m2g-. B 0 S2

При дальнейшем росте температуры давление не меняется до момента, когда второй поршень до стигает верхнего положения (точка С).

Далее снова протекает изохорный процесс при объёме $(S1 + S2)h$ , так что:

νRT pCD = -----------. (S1 + S2)h

Заметим, что данные таблицы таковы, что

p2- T2- p4- T4- p3 = T3 , p5 = T5, p1 = p2, p3 = p4,

где $pi,Ti$ - давление и температура в Кельвинах в соответствующих ячейках таблицы. Значит, параметры во второй, третьей и четвёртой ячейках таблицы соответствуют точкам $A,B$ , C. Тогда для участка AB:

p − p = νR--(T − T ), отк уда S = 0,01 м2. B A S1h B A 1

Массу $m 1$ найдём из уравнения:

m1g pA = p0 + ----, сл едовател ьно, m1 = 100 кг. S1

Аналогично:

S1 + S2 = νR-(TD-−--TC), от куда S2 = 0, 005 м2, m2 = 75 кг. (pD − pC) h

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#49343

Гелий из состояния с температурой $T1 = 200 К$ расширяется в процессе $pV 2 = const$ ( $p$ — давление, $V$ — объём газа) с постоянной теплоёмкостью $C$ . От газа отвели количество теплоты $Q = 415 Д ж$ , и конечный объём газа стал вдвое больше начального.
1) Определить конечную температуру гелия.
2) Определить теплоёмкость $C$ .

Источники: МФТИ, 1996

Показать ответ и решение

1) Найдем конечное давление газа

2 2 p1V1 = p2V2

Так как $V2 = 2V1$ , то

p1- p1V1 = 4p2V1 ⇒ p2 = 4

Воспользуемся уравнением Клапейрона–Менделеева

pV pV = νRT ⇒ T = --- νR

Для $T1$

p V T1 = --1-1 νR

Для $T2$

T = p2V2-= p1V1-= T1-= 100 К 2 νR 2νR 2

2) Теплоемкость можно найти по формуле:

Q--- ---Q---- 2Q- C = ΔT = T1 = T = 4,15 Д ж/ К T1 − --- 1 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#49344

Моль гелия, расширяясь в процессе 1–2 (см. рисунок), где его давление $p$ меняется прямо пропорционально объёму $V$ , совершает работу $A$ . Из состояния 2 гелий расширяется в процессе 2–3, в котором его теплоёмкость $C$ остаётся постоянной и равной $C = R ∕2$ ( $R$ – газовая постоянная). Какую работу $A23$ совершит гелий в процессе 2–3, если его температура в состоянии 3 равна температуре в состоянии 1?

Источники: МФТИ, 2002

Показать ответ и решение

Так как в процессе 1–2 давление зависит линейно от объема, то

p1V2 = p2V1 (1)

Тогда работа газа в этом процессе равна

1- 1- 1- A1 −2 = 2(p1 + p2)(V2 − V1) = 2(p2V2 − p1V1 + p1V2 − p2V1 ) = 2(p2V2 − p1V1)

Или с учетом уравнения Клапейрона–Менделеева

pV = νRT

R A1 −2 = --(T2 − T1) = A 2

Запишем первое начало термодинамики

Q = ΔU + A = CΔT ⇒ C (T − T ) = 3-νR (T − T ) + A 2−3 3 2 2 3 2 2−3

Откуда $A2− 3$ , с учетом, что $T3 = T1$ и $ν = 1$

R- 3- A2 −3 = 2 (T3 − T2) − 2R (T3 − T2) = R (T2 − T1) = 2A

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#49345

В двух теплоизолированных сосудах с объёмами $V1$ и $V2$ находятся одинаковые газы при давлениях $p1$ и $p2$ и температурах $T1$ и $T2$ . Найдите температуру, которая установится в сосудах после смешивания газов.

Источники: МФТИ, 2002

Показать ответ и решение

Пусть $ν1$ и $ν2$ – количество вещества в первом и во втором отсеках.
Запишем закон сохранения энергии

U1 + U2 = U

i i i -ν1RT1 + --ν2RT2 = -(ν1 + ν2)RT 2 2 2

По уравнению Клайперона–Менделеева:

pV = νRT ν = pV-- RT

Откуда

( p V p V ) p V + p V p1V1 + p2V2 = RT -1-1-+ -2--2 ⇒ T = T1T2----1-1----2-2-- RT1 RT2 p1V1T2 + p2V2T1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#49346

Теплоизолированный цилиндр объемом $V$ разделен на две части перегородкой. В одной части находится водород в количестве $ν$ при температуре $T1$ , а в другой — азот в количестве $1,5ν$ при температуре $5T 4 1$ и другом давлении. Перегородка прорывается.
1. Какая температура $T2$ , установится в смеси?
2. Найти давление $P$ в смеси.

(«Физтех», 2019, 10)

Источники: Физтех, 2019, 10

Показать ответ и решение

1) После прорыва перегородки азот и водород занимают весь объем сосуда, образуя смесь двух газов. Внутренняя энергия смеси по закону сохранения энергии будет складываться из начальных внутренних энергий азота и водорода:

U1 + U2 = U

Количество вещества смеси также будет складываться из количества вещества азота и водорода:

νсмеси = ν + 1,5ν = 2,5ν

Распишем внутренние энергии и выразим температуру смеси газов:

5 5 5 5 1 + 1,875 --νRT1 + --⋅ 1,5νR ⋅-T1 = --⋅ 2,5νRT2 ⇒ T2 = ----------T1 = 1,15T1 2 2 4 2 2, 5

2) Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для смеси газов и выразим из него давление смеси:

2,5-νRT2- νRT1-- P V = 2, 5νRT2 ⇒ P = V = 2,875 V

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#49347

В вертикальном цилиндрическом сосуде под массивным поршнем находится одноатомный идеальный газ при температуре $T0$ , при этом поршень находится в равновесии. Температуру газа в сосуде мгновенно увеличивают в два раза. Какая температура установится в сосуде после того, как поршень перестанет двигаться? Теплоёмкостью поршня и сосуда пренебречь, теплопотери отсутствуют.

(«Росатом», 2012, 10)

Источники: Росатом, 2012, 10

Показать ответ и решение

Газ совершает работу по подъему поршня за счет своей внутренней энергии. Будем считать, что нагрев произошел настолько быстро, что поршень не успел за это время сместиться и набрать заметную скорость. Внутренняя энергия газа после нагрева составляет

U1 = 3 νR⋅2T0 2

Пусть поршень, в конце концов, поднялся на высоту $h$ над начальным положением $H$ . Обозначив конечную температуру $T1$ , запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для газа до нагрева и после установления равновесия, с учётом условия равновесия поршня $(p = M-g) S$ :

M-gSH = νRT0, M-gS(H + h) = νRT1, S S

где $M$ – масса и $S$ – площадь поршня. Теперь запишем закон сохранения энергии:

M gh = 3νR ⋅2T0 − 3νRT1 2 2

Решая эту систему уравнений, получим

H-+-h- h = 0,6H, T1 = T0 H = 1,6T0

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано верное выражение для внутренней энергии $U$ газа после нагрева	2

Сформулировано условие равновесия поршня	2

Записано ур-ние Клапейрона-Менделеева для газа до и после нагрева	2

Записан закон сохранения энергии	2

Решена система уравнений, получен верный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#49348

В процессе расширения к одноатомному идеальному газу было подведено количество теплоты, в 4 раза превышающее величину его внутренней энергии в начальном состоянии. Во сколько раз увеличился объём газа, если в процессе расширения он изменялся прямо пропорционально давлению? Под внутренней энергией газа понимается сумма кинетических энергий всех молекул.

Источники: МФТИ, 1994

Показать ответ и решение

Пусть $U1$ и $U2$ – начальная и конечная внутренняя энергии газа. Запишем первое начало термодинамики

4U1 = U2 − U1 + A

Пусть объем в процессе возрастает в $α$ раз, тогда давление тоже возрастает в $α$ раз. Запишем также уравнение Менделеева-Клапейрона

pV = νRT

Откуда следует, что

2 T = p2V2-= α--p1V1 = α2T 2 νR νR 1

Распишем первое уравнение

15 3 p + p --νRT1 = -νRT2 + -1----2(V2 − V1) ⇒ 15 = 3α2 + α2 − 1 ⇒ α = 2 2 2 2

Тогда объем увеличится в 2 раза.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#49349

Газообразный гелий из начального состояния 1 сжимают в изобарическом процессе 1–2, а затем газ продолжают сжимать в адиабатическом процессе 2–3. Температуры в состояниях 1 и 3 равны. Найдите работу, совершённую над газом в адиабатическом процессе, если в изобарическом процессе от газа пришлось отвести $Q = 1500 Д ж$ тепла.

(«Физтех», 2010)

Источники: Физтех, 2010

Показать ответ и решение

Так как температуры в состояниях 1 и 3 равны, то $νRT3 = νRT1 = p1V1 = p3V3$
Запишем первый закон термодинамики для процесса 1–2

Q = ΔU1 −2 + A1 −2 ⇒ Q = 3-νR (T2 − T1 ) + p(V2 − V1 ) ⇒ Q = 5νR (T2 − T1), 2 2

где $ΔU1 −2$ – изменение внутренней энергии, $A1− 2$ – работа газа.
Пусть работа над газом в процессе 2–3 равна $A2−3$ . Для процесса 2–3 первый закон термодинамики запишется в виде

3- 3- 3- 3- 2νR (T3 − T2) − A2−3 = 0 ⇒ A2− 3 = 2νR (T3 − T2) = 2 νR (T2 − T1) = 5Q = 900 Д ж

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#49350

Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из изохоры 1–2, участка 2–3 линейной зависимости давления от объёма и изобары 3–1 (см. рисунок; координаты точек 1, 2 и 3 указаны). Рабочим веществом служит одноатомный идеальный газ. Вычислите КПД этого двигателя.

Показать ответ и решение

Работа газа за цикл равна площади треугольника

A = 2p0V0

Найдем количество теплоты, полученное газом, в каждом процессе

3- Q1 −2 = ΔU1 − 2 = 2(3p0V0 − p0V0) = 3p0V0

Найдем критическую точку, до которой еще подводится тепло, для этого введем уравнение прямой

p(V-) −-3p0 = V--−-V-−-0-⇒ p(V ) = − p0V + 4p p0 − 3p0 3V0 − V0 V0 0

Тогда $pV = − p0-V 2 + 4p V V0 0$ или в приращениях $Δ (pV ) = − 2p0V ΔV + 4p ΔV V0 0$
Тогда количество теплоты

3 3p p ΔQ = -Δ (pV ) + p(V)ΔV = − --0V ΔV + 6p0ΔV − --0V ΔV + 4p0ΔV 2 V0 V0

Чтобы $ΔQ$ было положительным, должно быть выполнено условие $10 Vk < --V0 = 2,5V0 4$ . Тогда давление равно $pk = 1,5p0$ . Тогда количество теплоты получено на участке $2 − k$

3 3p + 1,5p 9 Q2− k = ΔU2 −k + A2− k = -(3,75p0V0 − 3p0V0 ) + --0-------0(2,5V0 − V0) = -p0V0 2 2 2

Q = ΔU + A = 3(p V − 3p V ) − 2p V < 0 3− 1 3−1 3−1 2 0 0 0 0 0 0

Откуда КПД

η = -----A-------= 4-- Q1 −2 + Q2−k 15

Ответ:

05 Изопроцессы