Десятичная запись и цифры → .05 Работа с суммой цифр
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите сумму цифр числа 
.
Источники:
Подсказка 1
Обычно, когда сок в магазине стоит 99 рублей, а покупаем мы 4 таких, то мы умножаем 4 не на 99, а на 100, но потом вычитаем сдачу. Применим этот лайфхак здесь
Подсказка 2
Да, получится выражение вида 4…4 * (10…0 - 1), а как там в столбик вычитать?
Подсказка 3
Получим число, в котором на месте остались 2011 первых четверок, одна четверка стала тройкой, а тут остается лишь посчитать)
Конечно, “честно” умножать эти числа друг на друга мы не будем. Давайте попробуем как-то схитрить. А именно, воспользуемся тем, что
число 
очень близко к “хорошему” числу 
. Умножим сначала число 
на 
. Получим
Теперь отнимем 
, чтобы получить исходное произведение. Получим
У этого числа уже легко посчитать сумму цифр:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известно, что сумма цифр натурального числа 
равна 
а сумма цифр числа 
равна 
Докажите, что 
чётно.
Источники:
Подсказка 1
Для начала подумаем над тем, какое число имеет такую же сумму цифр, что и число N и при этом, чтобы это число несложно получалось из числа 5N
Подсказка 2
Да, это число 10N. Тогда мы знаем, что 5N + 5N = 10N. А что можно заметить про сумму цифр?
Подсказка 3
Верно, для суммы цифр справедливо такое же равенство(из условия). Тогда мы понимаем, что при сложении 5N с самим собой нет перехода через разряд! Остаётся проверить, может ли N быть нечётным!
Подсказка 4
Если N нечётно, то его последняя цифра тоже нечётна. А не случиться ли перехода через разряд, если мы сложим последнюю цифру числа 5N с собой же?
Обозначим за 
сумму цифр числа 
При сложении чисел сумма цифр не увеличивается, а при умножении на 10 сумма цифр не
меняется, поэтому
Значит, в неравенстве должно достигаться равенство. Это произойдёт, если при сложении 
с 
не будет переносов через
разряд.
Предположим, что 
нечётно. Значит, 
оканчивается нечётной цифрой. Заметим, что произведение 
и любой нечётной цифры
оканчивается на 
, но тогда и 
оканчивается на 
. В таком случае при суммировании 
и 
перенос произойдёт при сложении
цифр в разряде единиц. Пришли к противоречию. Значит, 
не может быть нечётным.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В бесконечной последовательности натуральных чисел каждое следующее число получается прибавлением к предыдущему одной из его ненулевых цифр. Докажите, что в этой последовательности найдётся чётное число.
Источники:
Подсказка 1
Давайте подумаем, что означает, что все числа в последовательности нечетные? Это значит, что для любого числа из последовательности выполнено, что мы можем взять в нем четную цифру(чтобы не менять четность соседних чисел в последовательности). Значит, если мы хотим прийти к противоречию, то надо доказать, что найдется число, в котором нет четных цифр.
Подсказка 2
А это значит, что надо доказать, что найдется число, что все его цифры будут нечетные! Хмм… А что означает, что на некотором месте, стоят всегда четные цифры(если идти от противного)?
Подсказка 3
Это значит, что существует момент, когда при добавление числа, не больше 9(так как это цифра), мы перепрыгиваем сразу на 2, в каком-то разряде, который не является разрядом единиц(так как если бы там стояло что-то четное, то мы уже победили). А возможно ли это?
Подсказка 4
Нет, это невозможно, так как если мы перепрыгиваем сразу на 2 разряда, то это хотя бы разряд десятков, значит разница между начальным и конечным числом(после прибавления цифры) больше 10. Однако, мы прибавляем что-то меньшее 1. Пришли к противоречию.
Поймём, что числа в нашей последовательности точно больше 
то есть, имеют длину хотя бы 
так как если бы в нашей
последовательности было бы число длины 
то следующее за ним определялось бы как сумма этого числа, как цифры себя и его самого.
То есть, мы бы просто удвоили наше число и получили бы четное число. Значит, длина всех наших чисел из последовательности хотя бы
Тогда возьмём первое число из нашей последовательности. Пусть в нем 
разрядов. Рассмотрим первую цифру слева. Если эта
цифра нечетная, то дальше рассмотрим 
-ую слева цифру. Иначе, понятно, что рано или поздно, прибавляя по числу
меньшему 
-ая цифра станет нечетной, так как чтобы она перепрыгнула через нечетное число за одно прибавление, мы
должны прибавить как минимум 
но мы прибавляем не больше 
Значит, рано или поздно первая слева цифра станет
нечетной.
Посмотрим теперь на вторую слева цифру и повторим наши рассуждения. Тогда, при условии того, что первая цифра все еще нечетна,
рано или поздно вторая станет также нечетной. Аналогично, найдется момент, когда и первая, и вторая, и третья цифры нечетны и тд.
Значит, найдется момент, когда 
цифры нечетны. При этом последняя цифра всегда нечетна, так как если она в какой-то
момент стала четной, то мы победили, найдя четное число. Значит, найдется такое число в последовательности, что все его цифры
нечетные.
Значит, какую бы цифру мы не прибавили, мы прибавим что-то нечетное, а сумма двух нечетных(нашего числа и выбранной цифры) четна. Итак, мы получим четное число в последовательности.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Квадрат суммы цифр числа 
равен сумме цифр числа 
Найдите все такие двузначные числа 
Подсказка 1
Мы работаем с суммами цифр. Попробуйте определить их отношения для некоторых чисел.
Подсказка 2
Заметим, что если S(n) — сумма цифр числа n, то выполняется S(x + y) ≤ S(x) + S(y).
Подсказка 3
Пусть A = (ab) = 10a + b, оценим сумму цифр его квадрата.
Подсказка 4
Как можно оценить S(10ⁿa) и S(n)?
Подсказка 5
S(10ⁿa) = S(a), S(n) = S(1 + ... + 1) < n.
Несложно понять через сложение в столбик, что для суммы цифр 
выполняется следующее неравенство 
Пусть
тогда
Нетрудно понять, что 
и 
Следовательно,
Значит, во всех выписанных неравенствах должно достигаться равенство. Заметим, что равенство 
реализуется лишь при
однозначном 
(в этом можно убедиться, если записать 
в развёрнутой форме и сравнить её с суммой цифр). Таким образом, числа
должны быть однозначными. То есть 
Отсюда получаем все перечисленные в ответе
варианты.
