Десятичная запись и цифры → .04 Работа с длинными числами

Сумма цифр , так как каждая ненулевая цифра встречается по 10 раз в разряде единиц и в разряде десятков, а единица еще участвует в числе 100.

Умножение на два — это сложение . Заметим, что при сложении в каждом переходе через разряд мы теряем 9 из удвоенной суммы цифр числа . Посчитаем количество переходов через разряд. Переход случается только при складывании хотя бы 5 в этом числе. Тогда количество переходов = количеству 5, 6, 7, 8 и 9 в этом числе. Как мы раньше узнали, количество таких цифр в числе = . Тогда сумма цифр .

Пусть это число . Если (то есть в ровно знаков), то , то есть в числе или знаков. Так как у нас 2016-значное число (то есть четное), то .

.

Рассмотрим . Возьмем . Тогда . В этом числе видно, что на среднее число 2016 ничто не наложится.

Предположим, что можно. Заметим, что цифр в палиндромах может быть или 50 и 50, или 50 и 51 (в других случаях или слишком мало, или слишком много). Тогда палиндром, в котором 50 знаков, всегда делится на 11 (по признаку делимости на 11 знакопеременная сумма цифр будет равняться 0). Но 20162016…2016 не делится на 11, так как его знакопеременная сумма равна и не делится на 11.

Рассуждение. Хочется взять все числа одинаковыми, но 111 на 51 не делится. Заметим, что — это чуть больше 2. Попробуем взять много двоек и один или несколько раз по 11 (у нас должно быть хоть одно нечётное число).

Решение

Из 50 двоек делаем сумму

Например, подойдёт число . Оно делится на , а его сумма цифр равна .

Двузначные числа, делящиеся на 19, — это 19, 38, 57, 76, 95. Двузначные числа, делящиеся на 23, — это Так как первая цифра 4, то вторая цифра 6, третья 9, а четвертая 2 или 5. Если четвертая цифра 2, то продолжение: дальше продолжения нет. Значит, четвертая цифра 5, и продолжение: и так далее. Тогда мы получаем почти периодическую последовательность: в которой период равен 4. Тогда на 2022 месте будет цифра 6, так как Выше было показано, что цифра 2 встретиться в начальных позициях загаданного числа не может. Но при этом она может первой, второй или третьей с конца. Поэтому возможна ситуация, когда в предыдущей последовательности после последней цифры 9 стоят Тогда последняя цифра числа 8.

Чтобы понять сколько цифр содержится в записи натурального числа , надо найти такое неотрицательное целое число что будет справедливым неравенство Такое число очевидно, единственно. (Например, поэтому в записи числа 992 три цифры.)

Итак, надо найти такое целое неотрицательное что По условию Возведя обе части в степень получим Значит, в десятичной записи числа содержится 31 цифра.

Раз нам нужно место, а каждое число до этого места точно содержит в себе цифры, поделим нацело на Получим число — это примерное количество полных четырёхзначных чисел до -ого места. Тогда у нас замыкает место() число Значит, далее будет число а на месте цифра

Пусть где числа записываются только нулями и тройками. Сумма цифр числа равна и делится на Тогда

где числа записываются только нулями и единицами. Поскольку содержит девятку, наименьшее количество слагаемых в этой сумме равно Эти слагаемые легко находятся для числа Умножая на три, получим: Умножая на степени 1000 и складывая, получим

Посмотрим на задачу с другой стороны. Будем выкидывать из точных квадратов различными способами цифр и получать какие-то натуральные числа.

Заметим, что мы можем получить числа от до только лишь из квадратов чисел Действительно, число состоит из цифр, то есть после выкидывания из него не более цифр получится число с хотя бы цифрами, а у всего цифра.

У каждого числа из набора не более цифр, а значит у квадратов этих чисел — не более цифр. Следовательно, из каждого квадрата можно получить не более чисел выкидыванием десяти цифр. Значит, всего можно получить не более чисел. Покажем, что После сокращения на и расписывания цешки неравенство примет вид: Очевидно, что: Таким образом, мы не сможем получить все числа от до отсюда следует отрицательный ответ.

Договоримся восьмеричные числа писать в скобках, чтобы отличать их от десятичных. Запись содержит блоков вида поэтому

Кроме того, откуда

Поделив первое равенство на второе, мы получим

Так как и взаимно просты, на должно делиться число , поэтому нечётно. Заметим, что

где блок повторяется раз. Поскольку и

мы получаем:

где блок из троек повторяется раз. Таким образом, в восьмеричную запись входит троек. С другой стороны, запись числа содержит троек. Поэтому откуда При нам подходит число

Десятичная запись числа , лежащего на отрезке , состоит из 70 цифр и, вследствие неравенства

начинается не с единицы.

Заметим, что при любом натуральном среди -значных чисел имеется ровно одна начинающаяся не с единицы степень пятёрки. Поэтому записи ровно 70 чисел из набора начинаются с цифр, отличных от единицы.

С единиц же начинаются записи остальных чисел.

Заметим, что

Значит, от 1 до 9 подходит. Осталось доказать, что не походит. Пусть . Тогда , где для и . Докажем, что по индукции.

База: . Значит, нам нужно доказать, что .

Если , то и . Тогда последняя цифра у будет 6, так как у последняя цифра 4, а первая цифра у будет 1 или 2?! Аналогично для .

Переход: Мы доказали, что . Теперь докажем, что . Мы знаем, последние цифр в . Значит мы знаем и первые цифр. Заметим, что . Если , то первая цифра у может быть только 1, с другой стороны для этого , то есть у должна быть последняя цифра 3 и тогда у последняя цифра 9?! Значит .

Отсюда

С другой стороны, для . Значит, при число ?!

Так как то

Поэтому

Обозначим второе слагаемое Так как

то (понятно, что так как все множители положительные).

Каждое слагаемое имеет вид . Тогда вся сумма имеет вид: . Последними цифрами этого числа будут , а оставшиеся будут единицами. Так как мы испортили первые пять знаков, то остальные будут единицами.

Заметим, что каждую цифру, кроме надо выписать хотя бы три раза, чтобы получить числа а надо выписать хотя бы два раза, чтобы получить число Поэтому число должно быть хотя бы -значным. При этом в любом -значном примере должно быть ровно по три цифры от до и ровно два нуля. Покажем, что наш ответ минимальное из подходящих -значных чисел. Первая цифра числа не может быть меньше Далее, мы не можем написать или пока не будут выписаны по разу все остальные цифры, ведь если мы не написали, скажем, цифру то числа или мы не сможем получить. Значит, наименьшее число начинается на Второй ноль сразу после первого нуля поставить нельзя, иначе число нельзя будет прочитать. Значит, следующая цифра не меньше и те же рассуждения повторяются еще два раза.

Преобразуем исходное неравенство к виду

где

Посчитаем дискриминант, чтобы потом найти корни

Вспомним, что

Тогда пребразуем дискриминант

Выделим полный квадрат у последнего выражения

Посчитаем корни по формуле

Следовательно,

Число целых решений неравенства равно

По условию нужно, чтобы решений было не меньше поэтому

Число в правой части неравенства семизначное, так что и наименьшее равно 7.

Пусть мы хотим получить число , которое содержит знаков. Рассмотрим числа . Среди этих чисел хотя бы одно делится на по принципу Дирихле, пусть оно равно , при этом .

Пусть также — -значно. Рассмотрим число , тогда . В итоге — отношение двух модных.

Положим и построим по индукции такие числа , что десятичная запись оканчивается на единицу, а десятичная запись числа оканчивается на комбинацию из n единиц и двоек.

Пусть число уже построено, то есть выполнено предположение для . Рассмотрим числа вида , где . Десятичная запись каждого из них оканчивается на 1. Кроме того,

Посмотрим на последние цифр десятичной записи каждого из слагаемых этой суммы.

Запись числа оканчивается на комбинацию из единиц и двоек по предположению индукции. Обозначим через -ю с конца цифру этого числа. Нетрудно видеть, что десятичная запись оканчивается на нулей, перед которыми идет последняя цифра числа (так как оканчивается на единицу). Десятичная же запись слагаемого оканчивается на нулей.

Имеем, что последние цифр десятичной записи чисел совпадают с последними цифрами десятичной записи числа . При этом -я с конца цифра числа совпадает с последней цифрой суммы . Если нечётно, то для некоторого сумма оканчивается на единицу (помним, что . Если чётно, то для некоторого k сумма оканчивается на двойку. Следовательно, одно из чисел можно взять в качестве числа .

Итак, мы получили числа, которые заканчиваются на какую-то комбинацию из единиц и двоек. Более того, мы даже знаем, что последняя цифра всегда будет единицей.

Пусть и . Тогда в силу получаем

Следовательно, найдётся такое натуральное число , которое не меньше , но меньше . Тогда десятичная запись квадрата этого числа начинается на единиц.

Рассмотрим число , где больше количества цифр в десятичных записях чисел и . Тогда первые цифр десятичной записи числа

совпадают с первыми цифрами десятичной записи числа , а последние цифр — с последними цифрами десятичной записи числа . Следовательно, число удовлетворяет условию задачи.

При любом натуральном положим Покажем, что к можно прибавить несколько различных степеней семёрки, не превосходящих чтобы получилось число без нулей в десятичной записи. Тогда семеричная запись будет состоять из единиц и двоек. Ясно, что таким образом мы построим бесконечно много различных чисел удовлетворяющих условию.

Итак, рассмотрим десятичную запись числа рассмотрим первый слева ноль в ней (если он есть). Пусть он стоит в -м разряде справа (разряд единиц считаем нулевым). Найдётся степень семёрки лежащая между и заметим, что она меньше и поэтому меньше После прибавления её к перехода из -го разряда не произойдёт (так как первая цифра меньше ), при этом в -м разряде окажется не ноль. Значит, в полученном числе первый слева ноль в десятичной записи (если он есть) расположен правее, чем в применим к этому нулю то же действие (при этом мы прибавим меньшую степень семёрки, чем в предыдущий раз). Продолжая так дальше, в результате мы построим требуемое число