Десятичная запись и цифры → .03 Перенос, замена, приписывание, стирание цифр
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Ученик не заметил знак умножения между двумя трёхзначными натуральными числами и написал одно шестизначное число, которое оказалось в семь раз больше их произведения. Найдите эти числа.
Подсказка 1
Пусть x и y — исходные трёхзначные числа. Как тогда можно переформулировать условие задачи?
Подсказка 2
y — трёхзначное, как слева к нему "приписать" x через сложение?
Подсказка 3
Представьте полученное число как 1000x + y. Тогда оно равно 7xy.
Подсказка 4
Что можно сказать про делимость y?
Подсказка 5
1000x + y = 7xy, 1000x кратно x, тогда и y кратно x. Какую замену можно сделать?
Подсказка 6
Пусть y = kx.
Подсказка 7
Заметим, что если k ≥ 10 y не является трёхзначным числом.
Подсказка 8
Подумайте о делимости на 7.
Пусть 
и 
— исходные трехзначные числа. Число, составленное из них, равно 
Тогда из условия имеем уравнение
Так как 
и 
трехзначные числа, то 
С учетом этого наше уравнение принимает вид
Это уравнение в целых числах. Так как 
и 
то и 
Пусть тогда 
После подстановки уравнение примет
вид
Разделим уравнение на 
Ясно, что 
так как при 
получаем 
но это противоречит условию о том, что число 
—
трехзначное.
Так как 
то 
Так как 
— первое число, большее или равное 
делящееся на 
Тогда 
имеет остаток
при делении на 
Таким образом, 
или 
- При
уравнение имеет вид 
откуда 
Так как 
то 
- При
уравнение имеет вид 
откуда 
Но 
— трехзначное число. Противоречие
и 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Шестизначное число начинается с цифры 2. Откинув эту цифру слева и написав её справа, получим число, которое в 3 раза больше первоначального. Найдите первоначальное число.
Обозначим исходное число как 
, где 
— пятизначное число (возможно, с ведущим нулём). Тогда условие задачи можно переписать
как 
, или 
. Решая это уравнение, получаем, что 
, а изначальное число —
285714.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Верно ли, что к любому числу, равному произведению двух последовательных натуральных чисел, можно приписать в конце какие-то две цифры так, что получится квадрат натурального числа?
Подсказка 1
Нужно ввести переменную, обозначающую натуральное число, выразить произведение из условия и подумать, что с ним происходит, когда мы приписываем какие-то две цифры
Подсказка 2
Да, получаем что-то в духе 100n² + 100n + k, где k - то двузначное число. Можно ли тут выделить полный квадрат при каком-то k?
Обозначим последовательные натуральные числа как 
и 
Тогда их произведение равно 
Если мы приписали в конец этого числа сначала цифру 
а потом цифру 
то мы получили число
Выделим полный квадрат из выражения 
Значит, если мы припишем 
то получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существует ли натуральное число, делящееся на 1998, сумма цифр которого меньше 27?
Если число делится на 1998, то оно делится и на 999. Мы покажем, что не существует числа, делящегося на 999, сумма цифр которого меньше чем 27.
Разобьем десятичную запись числа 
на группы по три цифры справа налево (последняя группа может состоять из одной или двух
цифр). Сложим эти группы и получим число 
. Исходное число делится на 999 тогда и только тогда, когда полученная сумма делится на
999. Докажем это.
Числа 
и 
дают одинаковый остаток при делении на 999. Докажем аналогично доказательству признака делимости на
9:
.
Каждое слагаемое в этой сумме делится на 999, а значит, вся сумма делится на 999. Следовательно, числа 
и 
дают одинаковый
остаток при делении на 999.
Рассмотрим число, делящееся на 999, разобьём его на тройки цифр и вычислим сумму этих троек. Если новое число больше 1000, то
снова разобьём его на тройки цифр и вычислим сумму, и так далее, пока не получим число, меньшее 1000. Это случится, поскольку число
уменьшается при каждой операции. Действительно, если 
— неотрицательные целые числа, 
и 
, то
.
Итак, после нескольких операций мы получим положительное число, меньшее 1000, делящееся на 999, следовательно, оно будет равно 999.
Сумма цифр числа 999 равна 27. Достаточно доказать, что при наших операциях сумма цифр не увеличивается. Когда мы разрезаем число на тройки цифр, сумма цифр не меняется. Покажем, что при сложении сумма цифр не увеличивается.
Действительно, обозначим через 
сумму цифр числа 
. Из алгоритма сложения в столбик видно, что
, где 
— число переносов при сложении X и Y в столбик. Значит, 
.
