Тема ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Десятичная запись и цифры

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Разделы подтемы Десятичная запись и цифры

Ребусы

Последняя цифра

Перенос, замена, приписывание, стирание цифр

Работа с длинными числами

Работа с суммой цифр

Уравнения с десятичной записью

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 101#125885Максимум баллов за задание: 7

Найдите все трехзначные числа $abc,$ такие, что остаток от деления, как числа $abc,$ так и числа $cba,$ на сумму своих цифр, увеличенную на 1, равен 1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

По условию числа 100a+10b+c-1 и 100c+10b+a-1 кратны a+b+c+1. Самый естественный ход в данном случае — рассмотреть их разность.

Подсказка 2:

Она равна 99(a-c). Сразу бросается в глаза, что a-c по модулю меньше a+b+c+1. Значит, было бы здорово сначала рассмотреть случаи, когда a+b+c+1 имеют с 99 НОД больше 1.

Подсказка 3:

Давайте заметим, что a+b+c сравнимо с -1 по модулю a+b+c+1. Значит, 100a+10b+c-1 сравнимо с 99a+9b-2 по модулю a+b+c+1. Так что там по итогу можно сказать про делимость a+b+c+1 на 9?

Подсказка 4:

Кажется, выражение 99a+9b-2 и делимость на 11 поможет опровергнуть.

Подсказка 5:

Итак, вы пришли к тому, что a-c кратно a+b+c+1. Это возможно только при a = c. Кстати, почему? Осталось сделать небольшой перебор, чтобы получить ответ.

Показать ответ и решение

Пусть $p =a+ b+ c+1.$ Итак, $100a +10b+ c− 1$ кратно $p.$ Также $100c+ 10b +a− 1$ кратно $p.$ Значит,

(100a+ 10b+ c− 1)− (100c+ 10b+a− 1)= 99(a− c)

также кратно $p.$ Учитывая, что

a +b+ c≡ −1 (mod p),

получаем, что

100a+ 10b +c− 1≡ 99a +9b− 2 (mod p).

Из этого следует, что $9$ и $p$ взаимно просты, иначе $99a +9b− 2$ не будет делиться на $p.$ Значит, делимость $99(a− c)$ на $p$ равносильна делимости $11(a− c)$ на $p.$

Рассмотрим случаи, когда $p$ кратно $11$ и когда не кратно. Если кратно, то тогда и $99a+ 9b− 2$ делится на $11.$ Значит, $9b− 2≡ 0 (mod 11).$ Осталось заметить, что тогда и

−(9b− 2− 11b)= 2b+2

также делится на $11.$ Значит, $b+ 1$ кратно $11,$ а этого не может быть, потому что $b$ — цифра.

Значит, $a− c$ кратно $p.$ Ясно, что $|a− c|< p.$ Таким образом, $a− c= 0.$ Следовательно, $101a+ 10b− 1$ делится на $2a+ b+1.$ Отсюда получаем делимость

101a+10b− 1− 10(2a+b+ 1)= 81a − 11

на $2a+b+ 1.$ Разберем несколько случаев.

Если $a= 1,$ то $70$ кратно $b+3,$ откуда $b= 2,4,7.$

Если $a= 2,$ то $151$ кратно $b +5,$ это невозможно.

Если $a= 3,$ то $232$ кратно $b +7,$ откуда $b=1.$

Если $a= 4,$ то $313$ кратно $b +9$ , это невозможно.

Если $a= 5,$ то $394$ кратно $b +11,$ это невозможно.

Если $a= 6,$ то $475$ кратно $b +13,$ откуда $b =6.$

Если $a= 7,$ то $556$ кратно $b +15,$ это невозможно.

Если $a= 8,$ то $637$ кратно $b +17,$ это невозможно.

Если $a= 9,$ то $718$ кратно $b +19,$ это невозможно.

Ответ:

$121,141,171,313,666$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 102#31221Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму цифр числа

63 25 106 22 44 105 2 ⋅4 ⋅5 − 2 ⋅4 ⋅5 − 1

Источники: Ломоносов-2020, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать сумму первых двух слагаемых, вынеся максимальную степень числа 10.

Подсказка 2

Теперь выражение выгдядит как (некое число) - 1. Распишите это некое число в десятичном виде и подумайте, что будет, если вычесть из этого единицу. Теперь можно посмотреть на это с точки зрения суммы цифр!

Показать ответ и решение

113 106 110 105 105 105 8 5 2 5 − 2 5 − 1= 2 ⋅5 (2 ⋅5 − 2 )− 1 =

105 7 5 105 = 10 ⋅(2 ⋅10− 2)− 1= 10 (1280− 32)− 1=

= 1248 ⋅10105 − 1= 12479...9 ◟ ◝10◜5 ◞

Сумма цифр равна $1+ 2+ 4+ 7+9 ⋅105= 959$ .

Ответ:

$959$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 103#42216Максимум баллов за задание: 7

Имеет ли решение ребус $АПЕ ЛЬСИН − СПАНИ ЕЛЬ =2018⋅2019$ ?

Источники: Муницип - 2020, Калининград, 7.3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на то из каких букв состоят наши числа.

Подсказка 2

Можно заметить, что оба числа состоят из одинаковых букв, значит их сумма цифр равная. Каким свойством будет обладать разность таких чисел (подумает над каким-то из признаков деления)

Подсказка 3

Сумма цифр чисел всегда в первую очередь намекает нам на признак делимости на 9. В данном случае, числа с равными суммами будут иметь равные остатки при делении на 9, а значит их разность должна делиться на 9. Посмотрите, правая часть делится на 9 без остатка?

Показать ответ и решение

Так как числа состоят из одинаковых цифр, они дают одинаковые остатки при делении на $9$ . Значит, их разность должна делиться на $9$ . Однако $2018⋅2019$ на $9$ не делится, противоречие.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 104#82705Максимум баллов за задание: 7

Вася загадал двузначное число, а затем приписал к нему слева цифру 1, а справа — цифру 8, отчего число увеличилось в 28 раз. Какое число мог загадать Вася? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Источники: Школьный этап - 2020, Москва, 8.1

Показать ответ и решение

Пусть загаданное число равно $ab= 10a+ b,$ где $a$ и $b$ — цифры. После преобразований над числом, оно приняло вид

---- 3 2 1ab8= 10 +10 a+10b+ 8

Из условия получаем уравнение $1ab8-=28ab.$ Преобразуем его, подставив выражения для десятичных записей чисел

103+102a+ 10b+ 8= 28(10a+ b)

После переноса слагаемых с $a$ и $b$ влево и приведения подобных получаем

180a +18b= 1008

Делим обе части на 18

10a+b =56

Так как $-- 10a+ b=ab,$ получаем, что $-- ab= 56,$ то есть Вася загадал число $56.$

Ответ: 56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 105#97678Максимум баллов за задание: 7

У Пети есть мешочек с карточками: на $14$ карточках нарисована цифра « $5$ » и ещё на нескольких нарисован знак « $+$ ». С помощью пяти карточек с цифрой « $5$ » и трёх карточек со знаком « $+$ » Петя мог бы составить арифметическое выражение, равное $70:$ $55+ 5+ 5+5 =70.$ Но он решил использовать все карточки, находящиеся в мешочке, и смог составить арифметическое выражение, равное $295.$ Сколько карточек со знаком «+» могло быть в мешочке?

Если возможных ответов несколько, в качестве ответа введите их через пробел.

Показать ответ и решение

Возьмём все 14 карточек и запишем их по числу «5» и найдём сумму:

51 +52+ 53+...+514 = 5⋅14=70 < 295

Сумма маленькая, возьмём 4 числа по «55», остальные 6 чисел по «5» и найдём сумму:

55+ 55 +55+ 55+5 +5+ 5+ 5+5 +5 =250< 295

Сумма маленькая, возьмём 5 чисел по «55», остальные 4 числа по «5» и найдём сумму:

55+ 55+ 55 +55+ 55+5 +5+ 5+ 5= 295

Как раз нужная нам сумма, видим, что знаков «+» 8 штук.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 106#103215Максимум баллов за задание: 7

В восьмеричной системе $x= 344344...344,$ где блок $344$ повторяется $n$ раз. Восьмеричное число $y$ получается из $x$ некоторой перестановкой цифр. Оказалось, что восьмеричная запись $x ⋅y$ равна $2020...20.$ При каких $n$ это возможно?

Источники: СПБГУ - 2020, 11.4 (см. olympiada.spbu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии даны x и xy, значит, верный путь найти y — поделить xy на x. А проще всего это сделать в десятичной системе счисления!

Подсказка 2

Зная количество знаков в записи x и записи y, мы можем сказать, сколько знаков в записи xy. Теперь у нас есть всё необходимое, чтобы перевести все вычисления в десятичную систему. Чему же равен y?

Подсказка 3

y = 292 * (8^(3n) + 1) / 513. Давайте заметим, что 513 = 8^3 + 1. Попробуйте разложить верхнюю скобку в телескопическую сумму так, чтобы можно было сократить на 513. А на 292 пока можно не обращать внимания — ведь умножить мы всегда успеем.

Подсказка 4

Можно разложить на сумму разностей вида 8^(3n) - 8^(3(n-1)). Получилась странное выражение, но попробуйте записать это число в восьмеричной системе счисления! Сразу понятно, что всё проделанное не зря.

Подсказка 5

Получилось число с повторяющимся блоком 777000. Теперь можно и на 292 домножить — и получится искомый вид числа y!

Подсказка 6

Чтобы найти n, осталось лишь посчитать количество троек в x и в y, ведь количество повторяющихся блоков мы считать умеем. И не забудьте привести пример!

Показать ответ и решение

Договоримся восьмеричные числа писать в скобках, чтобы отличать их от десятичных. Запись $xy$ содержит $3n$ блоков вида $20,$ поэтому

( ) 643n − 1 (83n− 1)(83n+ 1) xy = 16⋅1 +64+ 642 +...+ 643n−1 = 16⋅-63---= 16 ⋅-----7⋅9------.

Кроме того, $(344)= 228,$ откуда

( ) 3n x =228⋅ 1+ 83+86+ ...+ 83(n−1) =228⋅ 8-−-1= 3⋅4⋅19⋅(83n − 1). 511 7⋅73

Поделив первое равенство на второе, мы получим

( ) y = xy=-4⋅73-⋅(83n +1)= 292⋅-83n+-1-. x 27⋅19 513

Так как $292$ и $513$ взаимно просты, на $513$ должно делиться число $83n +1$ , поэтому $n$ нечётно. Заметим, что

83n+ 1 ( 3(n−1) 3(n−2)) (6 3) --513--= 8 − 8 + ...+ 8 − 8 +1= (777000...777000777001),

где блок $777$ повторяется $n−21$ раз. Поскольку $292 =(444)$ и

(777)⋅(444)= (1000)⋅(444)− (444)= (444000)− (444)= (443334),

мы получаем:

y = (443334...443334444),

где блок из троек повторяется $n−1 2$ раз. Таким образом, в восьмеричную запись $y$ входит $3(n − 1) 2$ троек. С другой стороны, запись числа $x$ содержит $n$ троек. Поэтому $3(n − 1)= n, 2$ откуда $n= 3.$ При $n = 3$ нам подходит число $y =(443334444).$

Ответ:

$n =3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 107#108626Максимум баллов за задание: 7

Зная, что $0,698< lg5 <0,699$ , определите, у скольких из чисел $1,5,25,...,5n,...,5100$ десятичная запись начинается с единицы.

Источники: Миссия выполнима - 2020, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем о числах, которые нам надо найти. Хорошей идеей здесь будет рассмотреть не степени пятёрки, начинающиеся с единицы, а все остальные степени пяти. Как часто встречаются степени пятёрки, начинающиеся не с единицы?

Подсказка 2

Сколько таких чисел от 0 до 9? А от 10 до 99? А от 100 до 999? Какой можно сделать вывод о том, сколько среди k-значных чисел найдётся начинающихся не с единицы степеней пятёрки?

Подсказка 3

Верно, для любого натурального k среди k-значных чисел имеется ровно одна начинающаяся не с единицы степень пятёрки. Осталось понять, а сколько существует таких k, что в нашем наборе есть k-число. Для этого подумаем, а сколько знаков имеет число 5¹⁰⁰?

Подсказка 4

Да уж, число действительно большое, и не понятно, как к нему подступиться. Давайте внимательно посмотрим на условие и найдём то, что мы еще не использовали. Зачем нам могли дать логарифм пяти по основанию 10?

Подсказка 5

Если мы возведём 10 в степень, равную данному логарифму, то получим 5. А если возведём в эту же степень 10¹⁰⁰, то получим 5¹⁰⁰. Гораздо легче понять, сколько знаков имеет степень десятки и с какой цифры она начинается:)

Показать ответ и решение

Десятичная запись числа $5100 = 10100lg5$ , лежащего на отрезке $[1069.8;1069.9]$ , состоит из 70 цифр и, вследствие неравенства

0.8 69 69 10 ⋅10 > 2⋅10

начинается не с единицы.

Заметим, что при любом натуральном $k$ среди $k$ -значных чисел имеется ровно одна начинающаяся не с единицы степень пятёрки. Поэтому записи ровно 70 чисел из набора ${1,5,25,...,5n,...5100}$ начинаются с цифр, отличных от единицы.

С единиц же начинаются записи остальных $101 − 70= 31$ чисел.

Ответ: у 31 числа

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 108#38621Максимум баллов за задание: 7

Над девятизначным числом разрешается производить следующее действие: любую цифру числа можно заменить на последнюю цифру суммы цифр этого числа. Можно ли с помощью таких действий из числа $133355555$ получить число $123456789$ ? В ответ укажите “да” или “нет”.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таких задачах бывает очень полезно заметить что-то, что не меняется при наших операциях, так называемый инвариант. Потому как, если бы у начального числа это что-то было бы одним, а у конечного числа - другим, то мы бы сказали, что это невозможно. Попробуйте поделать операции, которые описаны в задаче и посмотреть на число, которое получается после замены. Может быть в нем что-то постоянно?

Подсказка 2

Ну вот , допустим , мы первый раз проделаем эту операцию. Цифра на которую надо будет заменять - это последняя цифра числа 35. То есть 5 - нечетная. Значит, все цифры нашего числа останутся нечетными. Но ведь проделав эту же операцию еще раз, мы опять получим нечетную цифру и, значит, опять число будет состоять только из нечетных цифр. Значит, мы нашли наш инвариант! А что теперь это нам дает? Правда, что мы решили задачу?

Показать ответ и решение

Заметим, что сумма цифр исходного числа нечётна. Тогда после замены оно всё ещё будет состоять только из нечётных цифр и снова сумма цифр будет нечётна. Это означает, что число $123456789$ мы не получим, так как в нём есть чётные цифры.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 109#40086Максимум баллов за задание: 7

Аня выписала одно за другим $2018$ чисел

1⋅2 2⋅3 3⋅4 2018-⋅2019 2 , 2 , 2 ,..., 2

и вычислила их. Сколько из получившихся чисел имеют в десятичной записи последнюю цифру 5?

Источники: ПВГ-2019, 11.2 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Итак, в задаче надо выяснить, как часто последняя цифра будет 5. Давайте просто возьмем и попробуем написать последние цифры у некоторого количества чисел из последовательности.

Подсказка 2!

Так как нам нужно посчитать, как часто встречается 5, было бы здорово заметить какую-то периодичность... Можно, конечно, просто повыписывать числа, но давайте попробуем проанализировать. Нам даны числа вида N(N+1)/2 и мы хотим чтобы у этого совпала последняя цифра с каким-то (N+X)(N+1+X)/2, это будет значить, что у нас период длины Х!. Что же это может быть за Х...

Подсказка 3!

Ага, нехитрыми алгебраическими вычислениями заметим, что 20 подойдет! Ну все, самое важное мы уже сделали, осталось как-то хитро (или не очень) подсчитать 5ки!

Показать ответ и решение

Поскольку для любого натурального $n$ от $1$ до $(2018− 20)$ разность $(n+20)⋅(n+21)-− n⋅(n+1)= 20n +210 2 2$ делится на $10,$ то числа $(n+20)⋅(n+21) 2$ и $n⋅(n+1) 2$ заканчиваются на одну и ту же цифру, то есть последовательность последних цифр данных в условии чисел периодическая с периодом $T = 20.$

Также заметим, что $n⋅(n+1) 2 = 1+ ...+n.$ Можно легко выписать последние цифры первых $20$ чисел, прибавляя к предыдущему номер текущего числа и беря остаток по модулю $10:1,3,6,0,5,1,8,6,5,5,6,8,1,5,0,6,3,1,0,0.$

В группе из $20$ чисел цифра $5$ встречается $4$ раза. Среди $2018$ чисел есть $100$ групп по $20$ чисел и последняя группа на $18$ чисел, а которой также четыре пятёрки. В итоге всего пятёрок $100⋅4 +4 =404$ штуки.

Ответ:

$404$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 110#42218Максимум баллов за задание: 7

Найдите все решения ребуса КОРОВА $+$ КОРОВА $=$ МОЛОКО. Разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым — одинаковые.

Источники: Муницип - 2019, Московская область, 7.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно за что-то зацепиться...обратим внимание на то, что в разряде сотен О+О=О (возможно, +1). В каких случаях это возможно? На что еще можно обратить внимание?

Подсказка 2

Равенство в разряде сотен могло быть только в двух случаях: когда О=0 и когда О=9. Заметим, что О=А+А, каким тогда может О и А?

Подсказка 3

А = 5, О = 0. Также стоит обратить внимание на то, что два шестизначных числа в сумме дают шестизначное (а это не самый распространенный случай!). Теперь мы можем ограничить К, а у других букв перебрать немного случаев)

Показать ответ и решение

Равенство в разряде сотен могло быть только в двух случаях: $0+ 0= 0$ , то есть $O = 0$ , такое могло быть только если не было переносов из десятков в сотни; а также если $O =9$ (в случае переноса единицы из десятков в сотни). Но сумма $A + A$ заканчивается на $O$ , поэтому $O −$ четная цифра, значит $O = 0$ и тогда $A = 5.$

Далее, ни в К + К, ни в Р + Р, ни в В + В нет перехода через десяток (слагаемые и сумма - шестизначные и нет соответствующих переносов), значит, все эти цифры не больше 4 (и ненулевые: $O = 0$ ). При этом $K = 3$ , так как $B+ B+ 1= K$ . Отсюда $B = 1$ . Осталось два варианта для цифры Р, и оба подходят.

Ответ:

$302015+ 302015= 604030$ и $304015+ 304015= 608030$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 111#42781Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее натуральное число, у которого каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме всех предыдущих цифр числа.

Источники: Муницип - 2019, Республика Бурятия, 7.2

Показать ответ и решение

Пусть $a i$ — цифра числа на позиции $i$ . Тогда $a ≥1 3$ , поскольку число не может начинаться с нулей. Далее $a4 = 2a3 ≥ 2,a5 = 2a4 ≥4,a6 = 2a5 ≥8$ (если $a3 = a1+ a2$ , то $a4 =a3+ a2+ a1 =2a3$ и аналогично для следующих). Если в числе есть $a7 = 2a6$ , то $a7 ≥16$ , что невозможно, поэтому цифр в числе не более шести.

Пример строится напрямую из оценки: $101248$ . Заметим, что мы доказали, что в примере не больше $6$ цифр, но почему это число наибольшее подходящее шестизначное? Если нашлось число больше, то в нём $a3 ≥ 2 =⇒ a6 = 2⋅2⋅2⋅a3 ≥ 16$ , что невозможно (если в нём $a3 =1$ , то все остальные цифры определены однозначно).

Ответ: 101248

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 112#42932Максимум баллов за задание: 7

У трехзначного числа поменяли местами две последние цифры, полученное число сложили с исходным, в результате получили число 1143. Чему равно исходное число?

В ответ укажите все возможные варианты через пробел в порядке возрастания.

Источники: Муницип - 2019, 7 класс

Показать ответ и решение

Пусть это число равно $abc-$ , тогда имеем

--- --- abc+ acb =200a+ 11(b+ c)= 1143

Откуда $a< 6$ . Если $a≤ 4$ , то $11(b+ c)≥ 343$ , что невозможно, поскольку $b+c <20$ , тогда остаётся только $a= 5$ , то есть $11(b+ c)=143$ и $b+ c= 13$ . Поскольку $13= 9+4 =8 +5= 6+ 7$ , то в силу симметрии имеем $6$ вариантов: $549,594,585,558,567,576$ .

Ответ: 549 558 567 576 585 594

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 113#80505Максимум баллов за задание: 7

Дано натуральное число $x$ , десятичная запись которого состоит из $n$ цифр и не содержит нулей. Числа $x$ и $x2$ в десятичной системе одинаково читаются слева направо и справа налево. Найдите все $n,$ при которых такое $x$ существует.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте придумать пример таких чисел.

Подсказка 2

Например, 11² = 121.

Подсказка 3

Все хорошо, пока количество единиц не превосходит 9. Докажите, что при n ≥ 10 такое x не найдется.

Подсказка 4

Запишите x² в общем виде и воспользуйтесь методом математической индукции.

Показать доказательство

Заметим, что

2 1 = 1

112 = 121

1112 = 12321

...

2 111111111 = 12345678987654321

Значит, $n$ от 1 до 9 подходит. Осталось доказать, что $n≥ 10$ не походит. Пусть $x= an=1...a0$ . Тогда $x2 = b0+ 10b1 +...102n−2b2n$ , где $bk = a0ak +a1ak−1+...+aka0$ для $k < n$ и $bk =b2n−2−k$ . Докажем, что $bk ≤ 9$ по индукции.

База: $b0 = a20$ . Значит, нам нужно доказать, что $a0 ≤ 3$ .

Если $a0 =an =4$ , то $5 ⋅5n−1 >x >4⋅10n−1$ и $25 ⋅52n−2 > x2 > 16⋅102n−2$ . Тогда последняя цифра у $x2$ будет 6, так как у $x$ последняя цифра 4, а первая цифра у $x2$ будет 1 или 2?! Аналогично для $an = 5,6,...,9$ .

Переход: Мы доказали, что $b0,...bk− 1 ≤9$ . Теперь докажем, что $bk ≤9$ . Мы знаем, последние $k$ цифр в $x2$ . Значит мы знаем и первые $k$ цифр. Заметим, что $x2 < 42⋅102n−2$ . Если $x2 ≥ 102n−2$ , то первая цифра у $x2$ может быть только 1, с другой стороны для этого $x≥ 3⋅10n−1$ , то есть у $x$ должна быть последняя цифра 3 и тогда у $x2$ последняя цифра 9?! Значит $102n− 1 > x2 >102n−2$ .

2n−2−k 2n−2−k bk10 =b2n−2−k10 ≤

≤x2− b 102n−2− b 102n− 3− ...b 102n−1−k <102n−1− k 2n−2 2n−3 2n−2−k+1

Отсюда $bk < 10.$

С другой стороны, $bk ≥ k+1$ для $k≤ n− 1$ . Значит, при $n ≥10$ число $b9≥ 10$ ?!

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 114#92323Максимум баллов за задание: 7

Найдите десятичную запись числа

5 ( 2) - (∘ 3√----) 10-⋅-2x− x-+ 2(3√2+ 1)(3 --2− 1) 666 3

если $x =0,999.$

Источники: ПВГ 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое слагаемое придется честно вычислить. Для этого удобно сначала вычислить 2x - x² = x(2-x), заметив, что 0,999 = 1 - 0,001. А как можно вычислить второе слагаемое?

Подсказка 2

Ясно, что простыми тождественными преобразованиями тут не обойтись. В выражении второго слагаемого фигурирует много кубических корней. Как можно уменьшить их количество?

Подсказка 3

Верно! Вместо самого второго слагаемого сначала попробуем вычислить его куб! Что тогда получится?

Показать ответ и решение

Так как $x= 1− 10−3,$ то

2 ( −3)( −3) −6 2x− x = x(2 − x)= 1− 10 1+10 = 1− 10 =0,999999

Поэтому

(2x − x2)⋅105 99999,9 ----666-----= -666--= 150,15

Обозначим второе слагаемое $3√- (∘3√32−1) 2( 2 +1) --3- = y.$ Так как

( 3√- ) √3- √3- 3√- y3 = 8(3√2+ 1)3 -2-− 1 = 8⋅ (2+3-4+3--2+-1)(-2−-1) √- 3√- √- √- √-3 =8 ⋅ 232+-3⋅2+-334+-32−-2−-334−-332−-1-=8 3

то $y = 2$ (понятно, что $y >0,$ так как все множители положительные).

Ответ:

$152,15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 115#31225Максимум баллов за задание: 7

На бесконечной ленте выписаны в порядке возрастания все натуральные числа с суммой цифр $2018$ . Какое число написано на $225$ -м месте?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала неплохо было бы узнать, какое число стоит на первом месте, т.е. минимальное число с суммой цифр 2018. Чтобы его найти, подумайте, как можно быстрее всего набрать сумму 2018, учитывая, что каждая цифра не превосходит 9.

Показать ответ и решение

Минимальным таким числом будет $29...9 ◟2◝◜24◞$ , поскольку $2018= 9⋅224+2$ . Следующее число уже не может иметь двойку в старшем разряде — делаем вывод, что это $389◟. ◝..◜9 ◞ 223$ . Утверждается, что чисел с тройкой на первом месте и такой суммой цифр (количество цифр мы тоже фиксируем) будет достаточно много. Действительно, если не менять тройку, то $8$ будет перемещаться вперёд по девяткам, тем самым число будет расти, но мы ничего не пропустим, поскольку сам набор цифр поменять нельзя — $8$ нельзя уменьшить, потому что нельзя увеличить $9$ , а если уменьшить $9$ , то придётся увеличить $8$ и набор останется прежним, поэтому следующие $223$ числа будут получаться передвижением 8 на 1 позицию вперёд, но последнее из них $39◟..◝◜.9◞8 223$ будет как раз $225$ по возрастанию, откуда получаем ответ.

Ответ:

$39...98 ◟2◝◜23◞$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 116#38887Максимум баллов за задание: 7

В трёхзначном числе первую цифру (разряд сотен) увеличили на $3$ , вторую — на $2$ , третью — на $1$ . В итоге число увеличилось в $4$ раза. Приведите пример такого исходного числа.

Источники: Школьный этап - 2018, Москва, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пускай a, b, c- цифры числа x. Как х выражается через них?

Подсказка 2

x=100a+10b+c. Как изменится число x, если a увеличить на 3, b на 2 и с на 1?

Подсказка 3

100(a+3)+10(b+2)+(c+1)=100a+10b+c+321=x+321. По условию это число равняется 4x. Осталось только решить уравнение x+321=4x и убедиться, что x- натуральное трехзначное число.

Показать ответ и решение

Покажем, как можно найти ответ. Обозначим искомое число за $x$ . Тогда условие задачи можно записать как $x +321= 4x$ и единственным решением этого уравения будет $x =107$ .

Ответ: 107

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 117#39067Максимум баллов за задание: 7

Лёша не поленился вычислить сумму

9+ 99+ 999+ ...+ 9◟. ◝..◜9 ◞ 2022

и выписать ее на доску. Сколько раз в итоговом результате записана цифра $1$ ?

Источники: Школьный этап - 2018, Москва, 10.5

Показать ответ и решение

Каждое слагаемое имеет вид $9...9= 10k − 1 ◟ ◝k◜ ◞$ . Тогда вся сумма имеет вид: $10+ 100+...+102022− 2022= 1...10 − 2022 ◟ ◝20◜2 ◞2$ . Последними цифрами этого числа будут $11110− 2022= 9088$ , а оставшиеся будут единицами. Так как мы испортили первые пять знаков, то остальные $2023− 5 =2018$ будут единицами.

Ответ: 2018

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 118#61647Максимум баллов за задание: 7

Число в семеричной системе счисления является трёхзначным. В системе счисления с основанием 11 оно записывается теми же тремя цифрами, но в обратном порядке. Какова его запись в десятичной системе счисления? Найдите все возможные значения.

Источники: ПВГ-2018, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как записать числа в семеричной системе счисления?

Подсказка 2

Например, 121 = 2 ⋅ 7² + 3 ⋅ 7¹ + 2 ⋅ 7⁰.

Подсказка 3

Представим аналогичным образом число в обеих системах счисления. Можем приравнять 2 полученных выражения.

Показать ответ и решение

Первое условие говорит нам, что число представимо в виде $49a+ 7b+c,a⁄= 0$ , а второе — что в виде $121c+ 11b+a$ . Приравняв, получим

120c+ 4b =48a ⇐⇒ 30c +b= 12a

Отсюда сразу же следует, что $b$ кратно шести, поскольку $12$ и $30$ делятся на это число. Значит, $b=0,6$ , разберём эти случаи

$b= 0 ⇐⇒ 30c= 12a ⇐⇒ 5c= 2a$ . Здесь $a= 0,5$ (кратно пяти), но первое значение невозможно по условию, потому подходит только $a =5,c= 2$ . В итоге получаем число $49⋅5+ 2= 247$ .
$b= 6 ⇐⇒ 30c+6 =12a ⇐⇒ 5c+1 =2a$ . Отсюда $a =3,c= 1$ , получаем $49⋅3+ 7⋅6+1 =190$ .

Ответ:

$190,247$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 119#80507Максимум баллов за задание: 7

На доске написано произведение чисел $ИКС-$ и $КСИ,$ где буквы соответствуют различным ненулевым десятичным цифрам. Это произведение шестизначное и оканчивается на C. Вася стёр с доски все нули, после чего там осталось $---- ИК С.$ Что было написано на доске?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посмотрим на произведение ИКС и КСИ по модулю 10. Да, очевидно, что ИКС * КСИ ≡ С * И. Из этого несложно вывести, что C = 5; а также либо И = 1, либо И = 6.

Подсказка 2

Давайте посмотрим на сумму цифр числа по модулю 9. Да-да, для неё не так много вариантов. Несложно получить, что сумма цифр числа может принимать только 4 разных значения.

Подсказка 3

Задача конечно красивая, но без перебора здесь не обойдётся. Да, глаза боятся, а руки делают, начинаем перебирать все возможные значения букв И, К, С, стараясь сделать перебор оптимальным и быстро отбрасывать все неподходящие варианты.

Показать ответ и решение

Заметим, что $ИКС-⋅К-СИ ≡C ⋅И (mod 10).$ Значит И $⋅$ С - С = С(И - 1) $..10. .$ Тогда либо $C$ делится на 5 и С = 5, либо И - 1 делится на 5 и тогда И = 1 или 6.

Так же заметим, что $---- ---- 2 ИКС ⋅КСИ ≡(И + К + С) (mod 9),$ а с другой стороны сумма цифр произведения это И + К + С. Значит $2 (И + К + С)$ - И - К - С делится на 9. Значит, И + К + С дает остаток 1 или 0 при делении на 9. Так же

6 =1 +2+ 3≤ И + К + С ≤9 +8+ 7= 24

и значит И + К + С = 9, 10, 18 или 19.

Пусть И = 1. Тогда последние 2 цифры произведения такие же как у

2 2 10К ⋅И+ 10С +С ⋅И= 10(К + С )+С

Заметим, что последние 2 цифры или КС или 0C. Если

10(К +С2)+ С ≡ КС 10

то $С2...10,$ но C не 0?! Значит,

10(К+ С2)+ С≡10 C

К + С2...10

Если С = 2, то К = 6 и тогда $---- ---- ИК С⋅КСИ = 100602$ нам подходит.

Если С = 3, то К = 1?!

Если С = 4, то К = 4?!

Если С = 5, то К = 5?!

Если С = 6, то К = 4 и С + К + И = 11?!

Если С = 7, то К = 1?!

Если С = 8, то К = 6 и С + К + И = 15?!

Если С = 9, то К = 9 и С + К + И = 11?!

Пусть И = 6. Тогда С нечетное. Так как

ИК-С⋅КСИ-≥ 612⋅126> 70000

и у произведения первая цифра должна быть И = 6, то $-------- ИКС ⋅К СИ≥ 600000.$ Понятно, что $---- И КС ≤698$ и поэтому $---- КСИ ≥ 859$ и $К ≥ 8.$ Если К = 8, то И + К + С = С + 14 = 9, 10, 18 или 19 и из-за того, что С четное, то оно равно 4, но такие И, К и С нам не подходят (проверяется подстановкой). Если К = 9, то И + К + С = С + 15 = 9, 10, 18 или 19 и из-за того, что С четное, то оно равно 4, но такие И, К и С нам не подходят (проверяется подстановкой).

Если С = 5, то И нечетное, не 1 и не 5. Если И = 3, то И + К + С = K + 8 = 9, 10, 18 или 19 и К = 1 или 2, но ни один из этих вариантов не подходит (проверяется подстановкой). Если И = 7, то И + К + С = K + 12 = 9, 10, 18 или 19 и К = 6 или 7, но ни один из этих вариантов не подходит (проверяется подстановкой). Если И = 9, то И + К + С = K + 14 = 9, 10, 18 или 19 и К = 4 или 5, но ни один из этих вариантов не подходит (проверяется подстановкой).

Ответ:

$И-КС⋅КСИ-= 162 ⋅621$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 120#95678Максимум баллов за задание: 7

Билет с шестизначным номером назовем почти счастливым, если сумма каких-либо трех его цифр равна сумме трех оставшихся. Рома и Миша взяли в троллейбусе два билета с подряд идущими номерами, и оба билета оказались почти счастливыми. Докажите, что среди $12$ цифр этих билетов обязательно встретится цифра $0.$

Источники: Лига открытий - 2018

Показать доказательство

Пусть билет является почти счастливым. Тогда его цифры можно распределить в две группы, сумма в которых будет одной и той же, скажем, $S.$ Тогда сумма всех цифр билета равна $2S,$ то есть четна. Это значит, что среди цифр билета нечетных цифр четное количество. Если при этом последняя цифра номера не равна $0,$ то предыдущий билет имеет первые $5$ цифр те же самые, а последнюю на $1$ меньше. Значит, количество четных цифр изменилось на $1$ (неважно, уменьшилось или увеличилось). В результате в предыдущем билете нечетное количество нечетных цифр, т. е. он не будет счастливым, противоречие.

Следующая подтема