Десятичная запись и цифры

Заметим, что каждую цифру, кроме надо выписать хотя бы три раза, чтобы получить числа а надо выписать хотя бы два раза, чтобы получить число Поэтому число должно быть хотя бы -значным. При этом в любом -значном примере должно быть ровно по три цифры от до и ровно два нуля. Покажем, что наш ответ минимальное из подходящих -значных чисел. Первая цифра числа не может быть меньше Далее, мы не можем написать или пока не будут выписаны по разу все остальные цифры, ведь если мы не написали, скажем, цифру то числа или мы не сможем получить. Значит, наименьшее число начинается на Второй ноль сразу после первого нуля поставить нельзя, иначе число нельзя будет прочитать. Значит, следующая цифра не меньше и те же рассуждения повторяются еще два раза.

Обозначим это число через Тогда и и — квадраты, где Но разных двузначных квадратов, начинающихся на одну и ту же цифру, нет, значит, это два одинаковых квадрата, то есть При этом — также квадрат. Это число точно делится на а значит, делится и на Это возможно только если Но число не может быть квадратом ни при каком Значит, такого трехзначного числа не существует.

Обозначим число на карточках как где — число, а и — цифры. Тогда условие можно переписать как Вычтем из второго равенства первое. Получим Значит, Поэтому — тоже цифра, на меньшая, чем Подставим в первое равенство: или Так как — цифра, то она не больше поэтому она равна остатку числа при делении на Значит, а исходное число равно

Число справа семизначное, а слева числа шестизначное и пятизначное. Поэтому при сложении произошел переход в разряде сотен тысяч, значит, Тогда по последней цифре Значит, при сложении цифр в разряде сотен произошел переход через разряд. С другой стороны, сумма Д + Д четна, и при переносе единицы из предыдущего разряда цифра в разряде тысяч суммы должна быть нечетна, но это четное

Заметим, что в сумме в каждом разряде до переноса слагаемых получается одна и та же сумма Поэтому ее можно представить как Число из правой части дает остаток при делении на Третье слагаемое из левой части можно представить как где — число, составленное из цифр возможно, начинающееся с нуля. Рассмотрим несколько первых чисел, дающих остаток при делении на Это Из этих чисел только состоит из цифр и а все следующие либо содержат цифру, больше или хотя бы -значные, чего быть не может. Значит, подходит только Вычев это число из обеих частей, имеем равенство или, так как откуда

Обозначим это число как По условию, Отсюда Значит, Из второго условия про произведение получаем, что Но это же равенство можно переписать как чего не может быть при неотрицательном

По условию (где число, составленное из всех цифр, кроме первой, — первая цифра). Пусть – количество цифр в числе Отсюда

Если то у числа а значит, и у искомого числа, есть две совпадающие цифры (два нуля на конце). Если же то

Ясно, что чем больше тем больше исходное число. При число состоит из цифр, а не из трех. При мы получаем а исходное число равно Значит, наибольшее искомое число равно

Посмотрим сначала на сумму этих чисел. Заметим, что она не превосходит . Действительно, каждая цифра отвечает за то, сколько раз нам взять число . Каждая цифра не больше , потому сумму больше мы получить просто не можем — выгоднее всего брать максимальные степени , что мы и сделали.

Итак, мы знаем, что (по неравенству о средних максимум произведения при фиксированной сумме достигается при равенстве чисел). То есть наша оценка достигается при , что удовлетворяет условию.

Представим исходное число в виде где — десятичная цифра, — неотрицательные целые числа, причём Стерев цифру мы получим число По условию

Заметим, что иначе и Тогда равенство примет вид В силу условия число оканчивается не на и потому не делится на Значит, и причём Поэтому возможны два случая:

Тогда а исходное число равно где

Тогда а исходное число равно

Предположим противное: что можно представить как сумму натуральных чисел и причём сумма цифр вдвое больше суммы цифр

При сложении двух цифр одного разряда в нём остаётся их сумма (если она меньше ), либо их сумма минус (если она больше а единица уходит в следующий разряд). Таким образом, сумма цифр равна сумме цифр плюс сумма цифр минус число переходов единицы в следующий разряд при сложении, умноженное на

По условию сумма цифр вдвое больше суммы цифр поэтому их общая сумма делится на значит, и сумма цифр должна делиться на — противоречие с тем, что сумма цифр числа равна

Преобразуем исходное неравенство к виду

где

Посчитаем дискриминант, чтобы потом найти корни

Вспомним, что

Тогда пребразуем дискриминант

Выделим полный квадрат у последнего выражения

Посчитаем корни по формуле

Следовательно,

Число целых решений неравенства равно

По условию нужно, чтобы решений было не меньше поэтому

Число в правой части неравенства семизначное, так что и наименьшее равно 7.

Сделаем плюсами первые четыре знака. Если слева от двойки стоит знак “”, то поменяем знаки по обе стороны от неё (а если “”, то переходим к следующему шагу). Далее, если слева от тройки стоит знак “”, то поменяем знаки по обе стороны от неё. Продвигаясь так слева направо, мы можем сделать плюсами первые четыре знака. Если последний знак окажется после этого плюсом, то получится выражение кратное Если последний знак оказался минусом, то поменяем знаки по обе стороны от тройки, а затем по обе стороны от четвёрки. Получим выражение тоже кратное

Если справа к четырёхзначному числу приписать одно из чисел или то получится восьмизначное число которое не делится на

Сначала докажем, что число не может быть двузначным. Раз оно простое, то оно нечетное. С одной стороны, первая цифра должна быть нечетной, чтобы произведение цифр было простым числом (единственный вариант, когда произведение простое и четное —  — не подходит). А с другой — четной, чтобы сумма была простым числом (опять же единственный вариант, когда сумма простая и четная —  — не подходит). Значит, число не может быть двузначным.

Далее, в числе не может быть цифры а первое простое -значное число без в записи — и оно подходит.

Пусть — количество десятков, а — количество единиц в числе Тогда У Руслана получилось откуда получаем Цифра поскольку число двузначное. Поделив на нее, получим

Представим исходное число в виде

где — десятичная цифра, — неотрицательные целые числа, причем . Заменив цифру нулем, мы получим число . По условию

Заметим, что (иначе будет отрицательным), откуда . Таким образом, нулём заменяется старшая цифра исходного числа. Кроме того, , иначе . Тогда число кратно 10 и потому оканчивается на 0. В силу условия число оканчивается не на 0. Значит, последняя цифра равна 5 и число нечётно. Поэтому не делится на 16, откуда . Рассмотрим три случая.

1) Пусть . Тогда . Так как число нечетно и меньше 1000, цифра может принимать значения , что дает нам 4 варианта.

2) Пусть . Тогда . Так как число нечетно и меньше 100, цифра равна 2 или 6. Эти значения дают нам еще 2 варианта.

3) Пусть . Тогда . Так как число нечетно и меньше 10, мы получаем .

Заметим, что в 1) получатся четырехзначные числа, во втором случае — трехзначные, в 3 случае — двузначные. Поэтому каждое число, удовлетворяющее условию задачи, входит ровно в один из наборов 1) - 3). Значит, общее количество вариантов равно .

Пусть это число . Тогда . Отсюда и . Тогда так как разница множителей равна 8, то ровно одно из них делится на 5 и поэтому оно делится сразу на и оба множителя кратны 4 (так как если один не кратен, то и второй не кратен и тогда их произведение не может быть равно ). Отсюда один из множителей делится на 500 = . Значит, . Давайте проверим эти числа

Итак, минимальное число равно 996.

Проделаем следующие операции:

Пусть мы хотим получить число , которое содержит знаков. Рассмотрим числа . Среди этих чисел хотя бы одно делится на по принципу Дирихле, пусть оно равно , при этом .

Пусть также — -значно. Рассмотрим число , тогда . В итоге — отношение двух модных.

Пусть это число , отсюда

Сокращая результат на , получаем

Поскольку , то , отсюда

Добавляя условие, что (то есть даёт остаток по модулю ), получаем единственный случай

Поскольку , то остаётся , отсюда

Получаем единственное подходящее число