Десятичная запись и цифры

Пусть последние цифр числа равны Тогда Обозначим произведение первых ненулевых цифр через

Пусть Тогла произведение ненулевых цифр равно а произведение у — Предположим, что Сокращаем на и понимаем, что то есть Заметим, что если взять и то получится равенство. Значит, такие числа существуют, а именно, подойдёт любое число, оканчивающееся и следующее за ним.

Обозначим Тогда При этом (иначе ) и (сумма цифр не превышает ). Из соотношения следует, что , т. е. делится на 3. Осталось подставить значения и 24 в и подсчитать сумму цифр получившегося числа.

Подставив, получаем что сумма цифр совпадает с только при

Пусть число было Тогда Заметим, что потому что иначе сумма была бы пятизначной, поэтому из последнего разряда Теперь посмотрим на — такая сумма была во втором и третьем разрядах, но цифры там разные, поэтому откуда сразу же

Мы получили необходимые условия, но они же будут и достаточными, осталось сказать, что тогда возможны случаи и (при получим тогда не получится число с теми же цифрами в обратном порядке, потому что развёрнутое число должно будет записываться с незначащим нулём), откуда и получаем ответ.

Попробуем найти такое число среди тех, что больше . Поскольку сумма цифр не меняется, то не меняется и остаток числа по модулю , но при этом он умножается на , то есть для первоначального остатка имеем

То есть такое число обязано быть кратно . Среди больших такое ровно одно — оно подходит: . Оценка же следует из того, что следующее кратно число уже .

a) Пусть в конце осталось число , оканчивающееся на цифру . Тогда после очередной операции станет равным

Равенство равносильно и, так как – цифра, то . Поэтому .

b) Заметим, что если число , тогда оно обязательно уменьшается: равносильно . (что для всегда верно). Из соотношения

следует, что число делится на тогда и только тогда, когда делится на . Поскольку стабилизация операции происходит на числе , то исходное число также должно делиться на

Найдём наименьшее -значное число, которое делится на . По малой теореме Ферма поэтому

Тогда число - наименьшее число, которое делится на нацело, значит, это и будет наименьшее число, которое могла выписать Маша. Его последние две цифры .

Так как не делится на 10, то последняя цифра — не Пусть где — цифры.

Из условия следует уравнение

Первое решение.

Так как оканчивается на 0, а сами эти цифры нулю равняться не могут, то Тогда оканчивается на 10, поэтому Получаем

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Запишем слагаемые левой части по определению десятичной записи

Приводим подобные слагаемые

Так как делится на то на тоже делится. Тогда и

Заметим, что тогда и, так как и — взаимно простые, то делится на 10. Но и — цифры, и их сумма не больше , и при этом больше так как по условию Единственное кратное число в этом промежутке — поэтому

Пусть Вернемся к нашему равенству, и подставим в него и

Сокращаем на 10

Справа число, делящееся на Так как то Так как то

Так как, и — цифры, то их сумма хотя бы и не больше а единственное число с остатком при делении на в этом промежутке — это Тогда

Теперь найдем

Пусть в числе двоек, троек, четвёрок. Тогда всего цифр . При делении на число даёт такой же остаток, какой даёт его сумма цифр, то есть

Первое решение.

После разложения на взаимнопростые множители нужно использовать критерии делимости для старого и нового (после вставки двух нулей) чисел.

) Сумма цифр при вставке двух нулей не меняется, поэтому не меняется и делимость на

) Знакопеременная сумма цифр также не меняется, поэтому не меняется и делимость на (или можно сказать, что суммы цифр на чётных и нечётных местах остались равны).

) Последняя цифра не изменилась, так как нули вставляют между цифрами, поэтому не изменилась и делимость на

Второе решение.

Обозначим число до вставленных цифр, у которого следующие цифры сделаем нулями, через (сразу заметим, что делится на , потому что у этого числа на конце нули), после — через

Тогда исходное число это а новое число равно

Из замеченной делимости на следует делимость числа на а это исходное число, которое тоже делится на по условию.

В итоге и полученная сумма делится на

Положим и построим по индукции такие числа , что десятичная запись оканчивается на единицу, а десятичная запись числа оканчивается на комбинацию из n единиц и двоек.

Пусть число уже построено, то есть выполнено предположение для . Рассмотрим числа вида , где . Десятичная запись каждого из них оканчивается на 1. Кроме того,

Посмотрим на последние цифр десятичной записи каждого из слагаемых этой суммы.

Запись числа оканчивается на комбинацию из единиц и двоек по предположению индукции. Обозначим через -ю с конца цифру этого числа. Нетрудно видеть, что десятичная запись оканчивается на нулей, перед которыми идет последняя цифра числа (так как оканчивается на единицу). Десятичная же запись слагаемого оканчивается на нулей.

Имеем, что последние цифр десятичной записи чисел совпадают с последними цифрами десятичной записи числа . При этом -я с конца цифра числа совпадает с последней цифрой суммы . Если нечётно, то для некоторого сумма оканчивается на единицу (помним, что . Если чётно, то для некоторого k сумма оканчивается на двойку. Следовательно, одно из чисел можно взять в качестве числа .

Итак, мы получили числа, которые заканчиваются на какую-то комбинацию из единиц и двоек. Более того, мы даже знаем, что последняя цифра всегда будет единицей.

Пусть и . Тогда в силу получаем

Следовательно, найдётся такое натуральное число , которое не меньше , но меньше . Тогда десятичная запись квадрата этого числа начинается на единиц.

Рассмотрим число , где больше количества цифр в десятичных записях чисел и . Тогда первые цифр десятичной записи числа

совпадают с первыми цифрами десятичной записи числа , а последние цифр — с последними цифрами десятичной записи числа . Следовательно, число удовлетворяет условию задачи.

Представим в виде , где — целые числа и . Тогда

Выражение оканчивается на 6 только, если Но в этом случае , а значит, предпоследняя цифра равна

Пусть двухзначное число состоит из цифр и . Тогда если оно подходит под условие, то

Без ограничения общности можно считать . Тогда так как , то и значит, .

Если , то и . Значит, нам подходят числа 18, 81, 78, 87.

Если , то и у этого уравнения нет целых корней.

Искомая сумма равна

Пусть Тогда изменённое число равно Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти Приведём два способа.

Способ 1. Запишем дробь через период, а затем умножим на 100:

Вычтем из второго равенства первое:

Способ 2. равен сумме

Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получаем

Чтобы узнать во сколько новое число больше исходного, разделим одно на второе:

Конечно, “честно” умножать эти числа друг на друга мы не будем. Давайте попробуем как-то схитрить. А именно, воспользуемся тем, что число очень близко к “хорошему” числу . Умножим сначала число на . Получим

Теперь отнимем , чтобы получить исходное произведение. Получим

У этого числа уже легко посчитать сумму цифр:

Нетрудно видеть, что а откуда сразу же

Посчитаем через десятичную запись:

Получаем . Так как правая часть является натуральным числом, то должен быть квадратом какого-то натурального числа. На заданном промежутке из квадратов есть только и .

При получаем

При получаем

При любом натуральном положим Покажем, что к можно прибавить несколько различных степеней семёрки, не превосходящих чтобы получилось число без нулей в десятичной записи. Тогда семеричная запись будет состоять из единиц и двоек. Ясно, что таким образом мы построим бесконечно много различных чисел удовлетворяющих условию.

Итак, рассмотрим десятичную запись числа рассмотрим первый слева ноль в ней (если он есть). Пусть он стоит в -м разряде справа (разряд единиц считаем нулевым). Найдётся степень семёрки лежащая между и заметим, что она меньше и поэтому меньше После прибавления её к перехода из -го разряда не произойдёт (так как первая цифра меньше ), при этом в -м разряде окажется не ноль. Значит, в полученном числе первый слева ноль в десятичной записи (если он есть) расположен правее, чем в применим к этому нулю то же действие (при этом мы прибавим меньшую степень семёрки, чем в предыдущий раз). Продолжая так дальше, в результате мы построим требуемое число

Пусть — данное шестизначное число. Обозначим пятизначное число через Тогда Таким образом, полученная разность делится на Из промежутка на делятся числа

Докажем, что эти числа могут быть получены в результате вычитания. Для этого надо доказать, что каждое из уравнений

имеет целочисленное решение, где — пятизначное число, а — однозначное число, не равное нулю. Для этого достаточно в каждом из уравнений подставить и убедиться, что получающееся значение является пятизначным целым числом.

Действительно, первому уравнению удовлетворяет пара второму — пара третьему — пара Значит, если в качестве исходных чисел взять то в результате перестановки и вычитания мы получим числа

Данное число должно делиться на то есть иметь сумму цифр, кратную и делиться на то есть иметь знакочередующуюся сумму цифр, кратную

Сумма цифр числа равна

Значит, то есть или так как и — цифры.

Знакочередующаяся сумма равна

то есть Так как и — цифры, то или Из первого ограничения на и ( или ) мы знаем, что и или разной четности, или одной четности соответственно, а значит, и или и

Тогда

или

Но — цифра, значит, вторая система не имеет решений. Получили единственное решение:

Пусть

– бесконечная десятичная дробь. При помощи деления столбиком найдём первую цифру после запятой: После стирания этой цифры получим число

Обозначим выписанное число через Пусть  — это остаток от деления на (цифры могут быть нулями). Тогда будем рассматривать фрагментов десятичной записи числа соответствующие пятизначным числам вида Эти фрагменты расположены в записи числа подряд, причем для каждого из фрагментов количество знаков после кратно пяти, так как после в записи числа идут две цифры и  рассматриваемого фрагмента, потом идет много групп по цифр, соответствующих пятизначным числам, а потом — еще три шестизначных числа ( и ).

Если мы заменим один из фрагментов двумя нулями, число в результате этой замены уменьшится на Осталось выбрать тот фрагмент для которого множитель дает остаток при делении на  — тогда разность

будет делиться на что нам и требуется. Этот выбор возможен, так как мы выбираем из подряд идущих значений показателя степени  а остатки по модулю образуют чисто периодическую последовательность с периодом не больше

Обозначим за сумму цифр числа При сложении чисел сумма цифр не увеличивается, а при умножении на 10 сумма цифр не меняется, поэтому

Значит, в неравенстве должно достигаться равенство. Это произойдёт, если при сложении с не будет переносов через разряд.

Предположим, что нечётно. Значит, оканчивается нечётной цифрой. Заметим, что произведение и любой нечётной цифры оканчивается на , но тогда и оканчивается на . В таком случае при суммировании и перенос произойдёт при сложении цифр в разряде единиц. Пришли к противоречию. Значит, не может быть нечётным.