Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия → .09 Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#46603Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2x− 1 π arctg x +arcsinx= 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно ли избавиться от π/2?

Подсказка 2

Воспользуйтесь формулами приведения для одной из аркфункций.

Подсказка 3

Можно применить к обеим частям уравнения косинус или тангенс, но кажется, что работать с такой вещью будет неудобно... А может ли нам помочь какая-то тригонометрическая формула?

Подсказка 4

Вспомните формулу квадрата тангенса.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

2x−-1 arctg x =arccosx

С учётом формулы

1− cos2(arccosx) 1 − x2 tg2(arccosx)= --cos2(arccosx)-= --x2-

получаем уравнение-следствие:

√----- 2x−-1= -1-− x2 x x

На ОДЗ $0< |x|≤ 1$ можно домножить на знаменатель и возвести в квадрат:

2 2 4x − 4x+ 1= 1− x

x = 4 5

Теперь обязательно надо проверить, что найденное значение подходит в исходное уравнение:

245 −-1 4 arctg 45 = arccos 5?

arctg 34 =arccos45 =arcsin35 ∈ (− π2;π2)

Ответ:

$4 5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#91348Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 ) arcsin 6x − 12x +6 + 2arcsin(x− 1)< 0

Показать ответ и решение

Раз мы можем взять $arcsin$ от $6(x− 1)2$ , то $6(x− 1)2 ≤ 1$ . Значит, $x− 1∈ (− 1√-, 1√-) 6 6$ . Изначальное условие можно переписать как

( 2 ) arcsin 6x − 12x+ 6 < −2arcsin(x− 1)= 2arcsin(1− x)

Так как $x− 1∈ (− 1√-, 1√-) 6 6$ , то $arcsin(6x2− 12x +6)$ и $2arcsin(1− x)$ лежат в $(− π,π) 2 2$ . Синус на этом интервале возрастает. Значит, достаточно проверить