Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия → .04 Формулы в тригонометрических уравнениях

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103845Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $2cos4x− sin3x= 1$ .

Источники: БИБН - 2025, 11.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неприятно, когда в уравнении есть и синус, и косинус. Давайте попробуем оставить что-то одно.

Подсказка 2

С помощью ОТТ выразим косинус через синус. При раскрытии скобок получатся большие степени, поэтому наша задача — разложить выражение на множители. Вспомните формулы разности квадратов и суммы кубов для этого.

Подсказка 3

Теперь нам остаётся только аккаратно раскрыть произведение в бОльшей скобке, и заново всё сгруппировать, чтобы найти корни:)

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству уравнение равносильно

2 2 3 2(1− sinx) − sin x= 1

2 2 2 2(1− sinx) (1+ sinx) = (1 +sinx)(1− sinx+ sin x)

$sinx= −1$ либо

2(1+ sinx)(1− 2sinx+ sin2x)= 1− sinx+ sin2x

2− 4sinx +2sin2x +2sin x− 4sin2x+ 2sin3x= 1− sinx+ sin2x

1− sinx− 3sin2x+ 2sin3x= 0

1− 2sinx+ sinx− 2sin2x− sin2x+ 2sin3x =0

2 (1− 2sinx)(1+ sinx − sin x)= 0

$sinx= 1 2$ либо $sinx = −1±-√1+4. −2$

В итоге после объединения решений с учётом области значений синуса подходят $1 1−√5 − 1;2; 2 .$ Соответственно

⌊ x= − π + 2πn,n∈ ℤ | π 2 ||| x= 65π+2πn,n∈ ℤ || x= 6 + 2π1−n√,n5-∈ℤ ⌈ x= arcsin 2 1−+√25πn,n∈ ℤ x= π− arcsin 2 +2πn,n∈ ℤ

Ответ:

$π π 5π 1-− √5 1−√5- − 2 + 2πn;6 + 2πn; 6 +2πn;arcsin 2 + 2πn;π− arcsin 2 + 2πn; n∈ ℤ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#104696Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

9 (sinx +1)(cosx+ 1) =8

Источники: ОММО - 2025, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнении содержатся функции sin(x) и cos(x). Хотелось бы сделать какую-нибудь замену и выразить эти функции через замену. Какая замена может подойти?

Подсказка 2

Верно! Универсальная тригонометрическая замена t = tg(x/2) вполне подойдет. Тогда sinx = 2t/(1+t²) и cosx = (1-t²)/(1+t²). Но эта замена не совсем "бесплатная". Что еще нужно проверить?

Подсказка 3

Верно! Нужно проверить, что tg(x/2) определен! Могут ли быть решениями такие x, что для x/2 не определен тангенс?

Подсказка 4

Подставляя x = π + 2πn при целых n в уравнение, получаем, что ни один такой x решением не является, а значит, можно сделать нашу замену! Однако при простом раскрытии скобок в уравнении возникнет четвертая степень t! Можно ли этого избежать?

Подсказка 5

Конечно! Приведя к общему знаменателю и раскрыв скобки, не будем сразу умножать на знаменатель, а заметим, что в числителе выделяется полный квадрат! Как тогда упростить уравнение?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если $x= π+ 2πn,n ∈ℤ,$ то $9 (sinx+ 1)(cosx+ 1)= 1⋅0⁄= 8,$ поэтому можно сделать универсальную тригонометрическую подстановку и получить при $x t= tg 2$ уравнение

( 2t ) (1− t2 ) 9 1+-t2 + 1 1+-t2 + 1 = 8

2 2(t+-1)22-= 9 (1+ t) 8

t+-1-= ±3 1+ t2 4

2 4t+ 4= ±(3+ 3t )

[ 3t2− 4t− 1= 0 3t2+4t+ 7= 0

∘----- 3t= 2± 22+ 3

2± √7 x= 2arctg--3-- +2πn,n∈ ℤ

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Раскроем скобки

sinx +cosx+ sinxcosx = 1 8

Так как

2 sinxcosx= (sinx+-cosx)-−-1, 2

то

sinx +cosx+ (sinx+-cosx)2− 1-− 1= 0 2 8

Сделаем замену $t= sinx+ cosx :$

t2−-1- 1 t+ 2 − 8 =0

Откуда

⌊ 1 || t= 2 ⌈ 5 t= −2

Так как $sin x+ cosx≥ −2,$ то при $5 t =− 2$ равенство не выполняется, следовательно,

sinx+ cosx= 1 2

Представим левую часть в виде синуса суммы:

sin(x+ π)= -1√- 4 2 2

Откуда

⌊ π √2 || x+ 4 = arcsin 4-+2πk |⌈ π √2 ,k ∈ℤ x+ 4 = π− arcsin 4-+ 2πk

⌊ √ - | x= arcsin--2− π +2πk || 4 4√- ,k ∈ℤ ⌈ x= 3π− arcsin -2+ 2πk 4 4

Ответ:

$2arctg 2±√7 +2πn,n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#118415Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

3 2 2sin x− 1− sinx+ 2sin x= 0.

Показать ответ и решение

Преобразуем наше выражение:

3 2 2sin x− 1− sinx+ 2sin x= 0

(2sin3x − sin x) +(2sin2x− 1)= 0

sinx(2sin2x − 1)+ (2 sin2x− 1)= 0

(2sin2x − 1)(sinx+ 1)= 0

Тогда:

cos2x (sinx +1)= 0

Получается,

[ cos2x= 0 sin x+ 1=0

⌊ π |⌈ 2x= 2 + πk , k ∈ℤ sinx= −1

⌊ x= π + πk ||⌈ 4 2 , k∈ ℤ x =− π+ 2πk 2

Ответ:

$π + πk, − π+ 2πk, k∈ ℤ 4 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#120650Максимум баллов за задание: 7

Дан прямоугольный треугольник с натуральными длинами сторон. Пусть $α$ — его острый угол, а угол $β$ таков, что $tg2β = tg3α.$ Докажите, что величина $tgβ$ рациональна.

Источники: Курчатов - 2025, 11.1 ( см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим катеты через p и q. Соответсвенно, тангенс будет равен p/q. Теперь попробуйте расписать тангенсы двойного и тройного углов.

Подсказка 2

Получилось что-то совсем неприятное, слева — выражение от tgβ, справа — выражение от p и q. Как насчёт того, чтобы обозначить это выражение через n и попытаться понять, при каких n уравнение относительно tgβ будет иметь рациональные корни?

Подсказка 3

Нетрудно заметить, что это уравнение относительно tgβ является квадратным. Значит, для его рациональности достаточно лишь проверить, что дискриминант является квадратом рационального числа. При проверке не забывайте, что гипотенуза тоже имеет рациональную длину!

Показать доказательство

Пусть катеты треугольника будут $p$ и $q,$ тогда $tgα= p. q$ По формулам двойного и тройного аргументов получаем следующие формулы:

2tgβ tgα(3− tg2α) p(3q2 − p2) 1−-tg2β-= tg2β =tg3α= --1−-3tg2α--= q(q2− 3p2) :=n

Значит, $tg2β +2ntgβ − 1= 0.$ Это уравнение имеет рациональные корни тогда и только тогда, когда дискриминант этого квадратного уравнения будет точным квадратом. Вычисляя дискриминант, находим

( ) D ∕4 =n2+ 1= p(3q2− p2) 2+ 1=-(p2+q2)3- q(q2− 3p2) p2(3q2− p2)2

Видно, что это число является квадратом рационального числа, поскольку гипотенуза тоже натуральное число, а значит, $2 2 p + q$ тоже точный квадрат.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#124628Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4− 3cos4x= 10sinxcosx.

Показать ответ и решение

Заметим формулу синуса двойного угла в левой части уравнения:

4− 3cos4x= 5sin2x

Теперь раскроем косинус двойного угла:

4− 3(1 − 2sin22x)= 5sin2x

6sin22x− 5sin2x+ 1= 0

Сделаем замену: пусть $t= sin2x,$ при этом $t∈ [−1;1].$ Тогда наше уравнение имеет вид:

6t2− 5t+1 =0

Это квадратное уравнение, его дискриминант равен $D =52− 4⋅6= 1.$ Тогда его корни равны $5− 1 1 t1 =-12-= 3$ и $1 t2 = 2.$ Нам подходят оба корня, так как и $t1,$ и $t2$ лежат на отрезке $[− 1;1].$ Сделаем обратную замену:

⌊ | sin2x = 1 |⌈ 31 sin2x = 2

⌊ 2x= arcsin 1+ 2πk ||| 3 1 || 2x= π− arcsin 3 + 2πk, k∈ ℤ ||| 2x= π + 2πk |⌈ 6 2x= 5π6 +2πk

⌊ x= 1 arcsin1 +πk ||| 2π 1 3 1 || x= 2 − 2arcsin 3 + πk ||| x= -π +πk , k∈ ℤ |⌈ 12 x= 5π +πk 12

Ответ:

$1 arcsin1 +πk, π− 1arcsin1+ πk, π-+ πk, 5π-+ πk, k∈ℤ 2 3 2 2 3 12 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#124631Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 sin4x +2cosx = 1.

Показать ответ и решение

Вспомним формулу косинуса двойного угла:

2 2 2 cos2x = cos x− sin x= 2cos x− 1

Из неё следует, что $2 cos2x= cos2x+ 1.$ Подставим это в наше уравнение:

sin4x+cos2x+ 1= 1

Сократим единички и раскрем синус двойного угла:

2sin 2x cos2x+ cos2x= 0

cos2x (2sin 2x +1)= 0

Если произведение двух множителей равно нулю, то как минимум один из них равен нулю. Получается,

[ cos2x= 0 2 sin2x+1 =0

⌊ ⌈ cos2x= 01 sin2x= −2

⌊ π | 2x= 2 +πk || 5π ||⌈ 2x= − 6 +2πk k∈ ℤ 2x= − π + 2πk 6

⌊ x= π + πk || 4 2 ||| x= − 5π12 +πk k∈ ℤ ⌈ -π x= −12 +πk

Ответ:

$π + πk, − 5π +πk, − π-+ πk, k∈ ℤ 4 2 12 12$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#124632Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2cos2x +sin 3x = 2.

Показать ответ и решение

Преобразуем наше уравнение пользуясь формулами:

2 3 cos2x= 1− 2sin x и sin3x= 3sin x− 4sin x

Получим:

2(1− 2sin2x)+3sin x− 4sin3x= 2

sinx(4sin2x+ 4sinx− 3)= 0

Значит,

[ sin x= 0 4sin2x +4sinx− 3= 0

В первом случаи получаем $x= kπ, k∈ ℤ.$ Во втором решим квадратное уравнение относительно $sin x∈[−1;1].$

D= 42− 4⋅4⋅(−3)= 64= 82

Тогда:

sinx = 12 или sinx =− 32

Так как $− 32 <− 1,$ остается только случай

sinx = 1 2

⌊x = π+ 2πk, k∈ ℤ || 6 ⌈x= 5π+ 2πk, k∈ ℤ 6

Ответ:

$π + 2πk, 5π-+ 2πk, πk k∈ ℤ 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#125514Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

2 2 3sin x+ sin2x+ 2cos x= 4.

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой синуса двойного угла и основным тригонометрическим тождеством, получим

2 2 2 2 3sin x +2sin xcosx +2cosx = 4(sin x+ cos x)

2 2 sin x− 2 sinxcosx +2cos x= 0

Поделим всё выражение на $cos2x,$ тогда

tg2 x− 2 tgx +2= 0

tg2x− 2tgx+ 1=− 1

(tgx− 1)2 =− 1

Значит, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ:

Нет решений

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#125516Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

3 2 4sin x+ 4cos x= 1+ 3sinx.

Показать ответ и решение

Полагая $sinx = t,$ преобразуем уравнение

3 2 4t +4(1− t )= 1+3t

3 2 4t− 4t− 3t+3 =0

Разложив левую часть полученного уравнения на множители, приходим к уравнению

(t− 1)(4t2− 3)= 0

Если $t=1,$ то $sinx= 1,$ откуда

x= π +2πn , n∈ ℤ 2

Если $4t2 = 3,$ то

4 sin2x= 3

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла

2(1− cos2x)= 3

1 cos2x =− 2

Отсюда

π x= ±3 +πn , n ∈ℤ

Ответ:

$π + 2πn , ± π+ πn , n∈ ℤ 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#126174Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 3 3 ) 2 sin x− cos x + cosx − sinx =0.

Показать ответ и решение

По формулам сокращенного умножения

3 3 2 2 sin (x)− cos (x)= (sin(x)− cos(x))⋅(sin(x)+ sin(x)cos(x)+cos(x))

Так как $sin2(x)+cos2(x)= 1,$ получаем

3 3 sin(x)− cos(x)= (sin(x)− cos(x))⋅(1+ sin(x)cos(x))

Исходное уравнение примет вид

(sin(x)− cos(x))(2+2 sin(x)cos(x))− (sin(x)− cos(x))= 0

(sin(x)− cos(x))(1+2sin(x)cos(x))= 0

(sin(x)− cos(x))(1+ sin(2x))= 0

1) $sin(x)= cos(x):$

x= π4 +πn,n ∈ℤ

2) $sin(2x)= −1:$

2x = 3π+ 2πn,n ∈ℤ 2

x = 3π+ πn,n ∈ℤ 4

Ответ:

$x = π+ πn, 4$ $3π+ πn, 4$ $n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#127829Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 ctg2x+ 3tg3x= 2tgx + sin4x.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| sin2x⁄= 0 ||||| |{ cos3x⁄= 0 ||| cosx⁄= 0 ||||( sin4x⁄= 0

( π π |{ x ⁄= 6 + 3k,k∈ ℤ |( π x ⁄= 4t,t∈ ℤ

Заметим, что

2 1 cos2x sin4x − ctg2x = sin2xcos2x-−sin2x = tg2x

Поэтому можно переписать уравнение в виде:

3(tg 3x − tgx)= tg2x − tgx

Сначала преобразуем скобку в левой части уравнения с помощью формулы синуса разности:

sin3x- sinx- sin3xcosx−-sinxcos3x- --sin2x-- tg3x− tgx = cos3x − cosx = cos3xcosx = cos3xcosx

Теперь преобразуем отдельно правую часть тоже с помощью формулы синуса разности:

sin2x sinx sin2xcosx− sinxcos2x sinx tg2x− tgx = cos2x − cosx =---cos2xcosx-----= cos2xcosx

Таким образом, уравнение принимает вид:

--3sin2x- = --sinx--- cos3xcosx cosxcos2x

Учитывая ОДЗ и используя формулу синуса двойного угла, получаем:

3sin2xcos2x = sinxcos3x

6cosx cos2x= cos3x

6cosxcos2x = cosx(2cos2x− 1)

cosx(4cos2x+ 1)= 0

Учтем ОДЗ и получим, что

1 cos2x =− 4

1 ( 1) x = ±2arccos − 4 + πn,n∈ℤ

Ответ:

$± 1 arccos( − 1) +πn,n∈ ℤ 2 4$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#130312Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

-1--- --12- ---12--- --3- cos2x + sin22x +sin xsin2x = sin2x

Источники: ДВИ - 2025, вариант 253, задача 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу избавляется от двойных углов и от знаменателя (однако помним, что у нас есть ограничение – знаменатель не должен быть равен нулю). Как стоит преобразовать данное уравнение для удобства?

Подсказка 2

Сделайте так, чтобы в уравнении остался только один вид тригонометрической функции.

Подсказка 3

Воспользуйтесь ОТТ, чтобы получить квадратное уравнение относительно косинуса! Теперь просто решаем его и делаем обратную замену.

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

-1--- ----3---- ---6---- --3- cos2x + sin2x cos2x + sin2xcosx = sin2x

Перенесем все в одну сторону и умножим уравнение на $2 2 sin xcosx:$

sin2x+ 3+ 6cosx− 3cos2x =0

2 4+ 6cosx− 4cosx =0

2cos2x− 3cosx− 2 =0

Сделаем замену $t= cosx:$

2t2− 3t− 2 =0

3± 5 1 t1,2 =-4--= −2;2

Так как $t$ не может быть больше 1, то

t= − 1 2

cosx= − 1 2

2π x =± 3 + 2πk, k∈ ℤ

Заметим, что данная серия не зануляет знаменателей в исходном уравнении, так что эта серия и является ответом.

Ответ:

$± 2π +2πk, k ∈ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#130321Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- 2 2 √- 3⋅(sin x⋅tgx+ cos x⋅ctgx)= 4− 3⋅sin2x

Источники: ДВИ - 2025, вариант 252, задача 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С тангенсами и котангенсами не очень приятно работать, так что давайте перейдем к более простым функциям! И, конечно, не забудем записать ОДЗ.

Подсказка 2

Обычно мы переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и пытаемся увидеть там что-то хорошее – давайте и тут поступим так же, правда, в этот раз искать нужно вовсе не разложение на множители...

Подсказка 3

Если внимательно посмотреть на полученный числитель, то какая-то его часть свернется в квадрат суммы, а для суммы можно будет использовать ОТТ! После такого преобразования уравнение становится совсем простым, из него можно найти sin(2x), а отсюда уже и искомую переменную.

Показать ответ и решение

Наличие в выражении тангенса и котангенса обязывает нас иметь в виду ограничения:

{ sin(x)⁄= 0 cos(x)⁄= 0

Перепишем тангенс и котангенс по определению и приведём выражение к общему знаменателю:

√ - sin4(x)+-cos4(x)- √- 3⋅ sin(x)⋅cos(x) = 4− 2 3⋅sin(x)⋅cos(x)

√- sin4(x)+2sin2(x)⋅cos2(x)+ cos4(x) 3⋅---------sin(x)⋅cos(x)-------- =4

√3 ⋅ (sin2(x)+cos2(x))2= 4 sin(x)⋅cos(x)

2sin(2x)=√3-

Таким образом:

⌊ π | 2x= 3 + 2πk |⌈ 2π ,k∈ ℤ 2x= -3 +2πk

⌊ π | x = 6 + πk ⌈ π ,k∈ℤ x = 3 + πk

Ответ:

$π + πk, 6$ $π+ πk, 3$ $k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#130836Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin3x(cosx− cos2x)− cos3x(sinx− sin2x)= 6cosx− 3

Источники: ДВИ - 2025, вариант 254, задача 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала просто раскроем скобки.

Подсказка 2

Можно ли здесь заметить какие-то тригонометрические формулы?

Подсказка 3

Попробуйте увидеть синус разности.

Подсказка 4

Осталось просто дорешать уравнение, воспользовавшись формулой двойного угла и представив наше уравнение в виде произведения двух скобок.

Показать ответ и решение

Раскроем скобки в левой части уравнения:

sin3xcosx− sin 3x cos2x− cos3xsinx +cos3xsin2x= 6cosx − 3

Перегруппируем слагаемые и воспользуемся формулой синуса разности:

(sin3xcosx− sinxcos3x)+ (sin2xcos3x− sin3xcos2x)= 6cosx− 3

sin (3x− x)+sin (2x− 3x)=6 cosx− 3

sin2x− sinx− 6cosx +3 =0

Распишем синус двойного угла и разложим выражение на множители:

2sinxcosx− sinx− 6cosx +3 =0

(sinx− 3)(2cosx− 1)= 0

Так как $− 1≤ sinx ≤1$ и $sin x− 3⁄=0,$ поделим уравнение на эту ненулевую скобку.

2cosx− 1= 0

1 cosx= 2

π x= ±3 +2πn; n ∈ℤ

Ответ:

$± π + 2πn; n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#131019Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

(1−-tg2x)(1+-sin2x) 2 (1+ tg2x)(1− sin2x) = 3+ 2sin2x− 2sin x

Источники: ДВИ - 2025, вариант 255, задача 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начинаем с ОДЗ перед преобразованием и пробуем упростить выражение (1 - tg²(x))/(1+tg²(x)).

Подсказка 2

Для упрощения используем выражения тангенса через синус и косинус. Что теперь получилось в левой части?

Подсказка 3

В левой части будет cos(2x)⋅(1+sin(2x))/(1-sin(2x)). Перейдем к правой части. Попробуйте применить формулу понижения степени.

Подсказка 4

Справа будет следующее выражение: 2+2sin(2x)+cos(2x). С дробями работать неудобно, домножим обе части уравнения на (1-sin(2x)).

Подсказка 5

Осталось раскрыть скобки, получим произведение двух множителей, равное нулю. Расписываем два случая и помним про ОДЗ.

Показать ответ и решение

Сначала определим ОДЗ. Тангенс определен, если $cosx ⁄=0,$ то есть $x⁄= π +πk,k∈ ℤ. 2$ Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Так как

2 1 1+tg x= cos2x-⁄= 0

при $cosx ⁄= 0,$ то второе условие: $1− sin2x⁄= 0.$ Отсюда $sin2x⁄= 1,$ то есть

π 2x ⁄= 2 + 2πk

Теперь преобразуем обе части уравнения.

Начнем с левой части. Воспользуемся известными тригонометрическими тождествами:

2 1− sin2x- cos2-x− sin2x 11−+-ttgg2-xx =---csoins22xx-= cos2coxs2+sxin2x-= cos12x-= cos2x 1+ cos2x- ---cos2-x---

Тогда левая часть уравнения принимает вид:

cos2x ⋅ 1+-sin2x 1− sin2x

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу понижения степени $2sin2x =1 − cos2x$ :

3+ 2sin2x− 2sin2x= 3+ 2sin2x− (1 − cos2x)= 2+ 2sin2x+ cos2x

Приравняем преобразованные части с учетом ОДЗ:

cos2x ⋅ 11+−s siinn22xx = 2+ 2sin2x+ cos2x

Домножим обе части на $(1− sin2x) ⁄=0$ :

cos2x(1 +sin 2x)= (2+2 sin2x+cos2x)(1− sin2x)

Раскроем скобки:

cos2x+ cos2xsin2x =2(1+ sin2x)(1− sin2x)+cos2x(1− sin2x)

2 cos2x +cos2x sin2x= 2(1− sin 2x)+cos2x− cos2xsin2x

cos2x+ cos2xsin2x = 2cos22x+ cos2x− cos2xsin2x

Перенесем все члены в одну сторону:

2cos2xsin2x− 2cos22x= 0

Вынесем общий множитель $2cos2x$ за скобки:

2cos2x(sin2x− cos2x)=0

Это уравнение распадается на два:

cos2x =0

2x = π+ πk,k ∈ℤ 2

Отсюда

sin 2x = ±1

Учитывая ОДЗ ( $sin2x⁄= 1$ ), мы должны исключить случаи, когда $sin2x =1.$ Следовательно, нам подходит только

sin 2x = −1

Это соответствует такому равенству:

π 2x= −2 + 2πm, m∈ ℤ

Отсюда

π x= −4 + πm,m ∈ℤ

Эта серия корней удовлетворяет ОДЗ.

sin 2x =cos2x

Так как если бы $cos2x= 0,$ то и $sin2x$ был бы равен нулю, что невозможно, мы можем разделить обе части на $cos2x$ :

tg2x= 1

2x = π+ πk,k ∈ℤ 4

π πk x= 8 + 2 ,k ∈ℤ

Эта серия корней также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$− π + πm, m ∈ ℤ;π+ πk, k ∈ℤ. 4 8 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#131804Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения $x∈(0;π],$ удовлетворяющие уравнению

|tgxtg2xtg 3x|+ |tgx+ tg2x|= tg3x

Показать ответ и решение

Заметим, что

tgx+ tg 2x tg 3x = 1− tgxtg2x

tg3x− tgxtg2x tg3x =tgx+ tg2x

tg3x =tgxtg2xtg 3x +tgx+ tg2x

Вернемся к исходному уравнению:

|tg xtg2xtg3x|+|tgx+ tg2x|= tgx tg2xtg3x+ tg x+tg2x

Это верно, если

{ tgxtg2xtg3x≥ 0 tgx+ tg2x≥ 0

Ранее мы доказали, что

tg3x =tgxtg2xtg 3x +tgx+ tg2x

Из исходного уравнения получаем, так как сумма модулей неотрицательна

tg3x≥ 0

Пусть $tg 3x =0 :$

-tgx-+tg2x- tg3x= 1− tgxtg2x = 0

Тогда

tgx =− tg2x

tgx+ tg2x≥ 0

Следовательно, решения $tg3x =0$ нам подойдут.

x = kπ,k∈ℤ 3

Так как нам нужны $x∈ (0,π],$ значит, в этом случае нам подходят $x= π,x= π,x= 2π. 3 3$

Теперь пусть $tg3x> 0,$ то есть

3x∈ (0+ πn;π+ πn) 2

( πn π πn) x ∈ 0+ 3 ;6 + 3

Исходная система равносильна следующей:

{ tgxtg2x≥ 0 tgx+ tg2x≥ 0

По формуле двойного угла,

2 tgx tg2x= 1−-tg2x-

Получим систему относительно $tg x:$

( ||| tgx⋅-2tgx--≥ 0 |{ 1− tg2x ||| 2tgx |( tgx+ 1−-tg2x-≥0

Пусть $tg x= t.$

( ||| -2t2-≥ 0 |{ 1− t2 ||| 3t− t3 |( -1− t2 ≥0

{ t∈ (−√1;1) √ - t∈ [− 3;− 1)∪ [0;1)∪[ 3;+ ∞)

t ∈[0;1)

Обратная замена:

tgx ∈[0;1)

Поскольку тангенс монотонно возрастает на полуинтервалах $[0 +πn;π +πn), 2$ $n ∈ℤ,$ а также $arctg(0)= 0+ πn,$ $arctg(1)= π+ πn, 4$ то

[ π ) x∈ 0 +πn;4 +πn

Теперь пересечем с условиями этого случая и получим

( πn π πn) x ∈ 0+ 3 ;6 + 3

Так как нам нужно значения $x∈ (0,π],$ поэтому в этом случае получаем

( π) x∈ 0;6

В итоге получаем

( ) { } x ∈ 0;π6 ∪ π3,2π3-,π

Ответ:

$(0;π) ∪{ π,2π,π} 6 3 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#132615Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin2x− cos2x =tgx

Источники: ДВИ - 2025, вариант 256, задача 4

Показать ответ и решение

На ОДЗ $cosx⁄= 0,$ поскольку $tgx$ определён корректно, поэтому

2 sinx- 2sinxcosx− 2cos x+ 1= cosx

1 2cosx(sinx − cosx)− cosx(sinx− cosx)= 0

( ) 2cosx − -1-- (sinx − cosx)=0 cosx

⌊ 2cosx− -1--= 0 |⌈ cosx sin x− cosx= 0

Так как на ОДЗ $cosx⁄= 0,$ домножим на него первое равенство системы и поделим второе:

[ 2cos2x− 1= 0 tgx= 1

[ cos2x= 0 tgx= 1

⌊ π πk || x =-4 + 2-,k∈ ℤ ⌈ x = π + πn,n ∈ℤ 4

π πk x= 4 +-2 ,k ∈ℤ

Ответ:

$π + πk, 4 2$ $k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#132899Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- sin2x+3cosx= 3(1+ cos2x+ sinx)

Источники: ДВИ - 2025, вариант 251, задача 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам даны тригонометрические функции от разных аргументов. Как это можно изменить?

Подсказка 2

Используем формулы синуса и косинуса двойного угла. Слева и справа что-то получилось, перенесем в одну сторону и раскроем скобки.

Подсказка 3

Дошли до уравнения: 2sin(x)cos(x) + 3cos(x) - 2√3cos²(x) - √3sin(x) = 0. Можно ли его разложить на множители?

Подсказка 4

Вынесем общий множитель у первого и четвертого слагаемых и у второго и третьего слагаемых.

Подсказка 5

Осталось решить совокупность уравнений, не забывая про осторожность с делением на 0!

Показать ответ и решение

Применив формулы синуса и косинуса двойного угла, получим:

√- 2 2sinxcosx +3cosx= 3(2cos x+ sinx)

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем:

√ - 2 √- 2sinxcosx +3cosx− 2 3cos x− 3sinx= 0

(2sinxcosx− √3sinx)+ (3 cosx− 2√3cos2x)= 0

sinx(2cosx− √3)− √3cosx(2cosx− √3-)=0

Вынесем общий множитель $√- (2cosx− 3)$ :

(2cosx− √3)(sinx− √3cosx)= 0

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

⌊ √- | cosx= -3- ⌈ √2 sin x= 3cosx

Решим первое уравнение:

√- cosx= -32-

x =± π+ 2πk, k∈ ℤ 6

Теперь решим второе уравнение:

√ - sinx = 3cosx

Заметим, что если $cosx =0,$ то из уравнения следует, что и $sinx =0,$ что невозможно. Следовательно, $cosx⁄= 0,$ и мы можем разделить обе части уравнения на $cosx$ :