Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия → .01 Преобразования тригонометрических выражений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119612

Найти среднее арифметическое решений уравнения

√---------------- √ ---- √---- √---- sinx− sin2x+ sin3x= sinx− sin2x+ sin 3x

на отрезке $[0;2π].$

Источники: Росатом - 2025, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Так как подкоренные выражения неотрицательные, то можно ввести такие обозначения: $a2 = sinx$ , $b2 = sin2x$ , $c2 = sin3x$ . Преобразуем уравнение:

∘--------- a2− b2+ c2 = |a|− |b|+ |c|

({ a2− b2 +c2 = (|a|− |b|+ |c|)2 ( |a|− |b|+|c|≥ 0

( { (|a|− |b|)(|b|− |c|)= 0 ( |a|− |b|+|c|≥ 0

[ |a|= |b| |b|= |c|

Случай 1. $|a|=|b|$ .

(| sin x= sin2x ||||| |{ sin x≥ 0 ||| sin 3x ≥0 ||||( x ∈[0;2π]

sin(2x)− sin(x)= 0

2sin(x)cos(x)− sin(x)= 0

sin(x)(2cos(x)− 1)= 0

⌊ ⌈ sin(x)= 0 2cos(x)= 1

⌊ x = 2πn,n∈ ℤ || π ||| x = 3 + 2πk,k ∈ℤ ⌈ 5π x = 3 + 2πk,k ∈ℤ

С учётом ограничений решением данной системы являются: $π 0,3,π,2π.$

Случай 2. $|c|=|b|$ .

( ||||| sin3x= sin2x ||{ sin3x≥ 0 || ||||| sinx ≥0 ( x∈ [0;2π]

sin(3x)− sin(2x)= 0

(5x) (x) 2cos 2 sin 2 = 0

⌊ ( ) | cos 5x- = 0 |⌈ (x2) sin 2 = 0

⌊ | x= π + 2kπ,k∈ ℤ ⌈ 5 5 x= 2πn,n ∈ℤ

С учётом ограничений решением данной системы являются: $π 0,5,π,2π.$

Объединяя решения, получаем: $π π 0,5,3,π,2π.$

Таким образом, среднее арифметическое решений:

0+ π+ π+ 2π+ π 53π ---3--5------5-= 75-

Ответ:

$53π 75$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#83297

Пары чисел $(x;y)$ связаны соотношениями

----sin2x----- -----cosy----- ------1------ 1+cosy− sin2x = 1+ sin2x− cosy = sin2x+ cosy− 1.

Найти наибольшее возможное значение величины $cos22x+ sin2y$ .

Источники: Росатом-2024, московский вариант, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуем равенство первого и второго выражений (домножим на знаменатели, приведём подобные и разложим на множители):

(sin2x− cosy)(sin2x +cosy+1)= 0

Аналогично сделаем с равенством первого и третьего выражений:

(sin2x− 1)(sin2x+ cosy +1)= 0

Рассмотрим $4$ случая:

$1)sin 2x =cosy$ и $sin2x= 1$ . В этом случае $cos22x +sin2y =0$ .

$2)sin 2x =cosy$ и $sin2x+ cosy +1= 0$ , тогда $sin2x= cosy = − 1 2$ и $cos22x +sin2y = 3 2$ .

$3)sin 2x +cosy+1 =0$ и $sin2x= 1$ . Тогда $cosy =− 2$ , что невозможно.

$4)sin 2x +cosy+1 =0$ . Запишем $cos22x+ sin2y$ как $2− sin22x− cos2y$ . Теперь вместо $sin2x$ подставим $− 1− cosy$ и преобразуем: $1− 2cosy− 2cos2y = 3− 1(1+2 cosy)2 2 2$ . Видно, что максимум равен $3 2$ и он достигается при $cosy =− 1 2$ . Осталось заметить, что $cosy = sin2x= − 1 2$ не зануляют знаменатели в изначальных равенствах.

Ответ:

$3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#83743

Дана последовательность:

∘ ∘ n ∘ a1 = cos10 ,a2 =cos100,...,an = cos(10) ,...

Найдите наименьшее значение выражения

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx, где x∈ ℝ

Источники: Звезда - 2024, 11.4 (см. zv.susu.ru)

Показать ответ и решение

Посмотрим на разность градусных мер углов у соседних членов последовательности:

n n−1 n−1 n−3 n−3 10 − 10 = 10 (10− 1)=9⋅1000⋅10 =360⋅25⋅10

Если $n≥ 3,$ то эта разность делится на 360. Тогда косинусы равны, то есть $a3 =a4 = ...= a2024.$

Преобразуем по известным тригонометрическим формулам:

∘ ∘ ∘ ∘ a2+a2023+ a2024 = cos100 + 2cos1000 =cos100 + 2cos(360 ⋅3− 80)=

= cos(90∘+ 10∘)+ 2cos80∘ =− sin10∘+2 sin10∘ =sin 10∘

Теперь подставим в искомое выражение:

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx =

= cos10∘⋅cosx+ sin10∘⋅sinx= cos(x− 10∘)

Наименьшее значение косинуса, как известно, равно $− 1.$

Ответ:

$− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#85175

Найдите значение выражения $∘ 3-sin141-. cos129∘$

Показать ответ и решение

По формулам приведения имеем:

3sin141∘ 3sin(180∘ − 39∘) cos129∘-= -cos(90∘-+39∘)-= ∘ = 3-sin39∘ =− 3. − sin39

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#87410

Найдите угол $α,$ если известно, что $0< α <90∘$ и

(1+-tg2∘)(1+-tg5∘)−-2 tgα= (1− tg2∘)(1− tg5∘)− 2

Источники: СПБГУ - 2024, 11.2 (см. olympiada.spbu.ru)

Показать ответ и решение

Вспомним формулу тангенса суммы:

∘ -tg5∘-+tg2∘ tg7 = 1 − tg5∘tg2∘

Проведём с ней некоторые махинации:

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ tg7∘+ 1= 1−-tg5-tg2-+∘tg5∘+tg2-= 2-− (1−-tg2-)∘(1−∘tg5) 1− tg5 tg2 1− tg5 tg2

Домножим на знаменатель:

(1 − tg2∘)(1− tg5∘)− 2= −(tg7∘+ 1)(1− tg5∘tg2∘)

Если аналогично рассмотреть выражение $tg7∘− 1$ , то мы получим, что

(1+ tg 2∘)(1 +tg5∘)− 2= (tg7∘− 1)(1− tg5∘tg2∘)

Таким образом,

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ tgα = -(tg7∘−-1)(1− tg5-t∘g2)∘-= 1−-tg7∘ =-tg45-−∘tg7-∘ = tg38∘ −(tg 7 +1)(1− tg5 tg2 ) 1+ tg7 1+ tg 45 tg7

Следовательно, $α= 38∘$ .

Ответ:

$38∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#88066

Сравните числа $(tg1∘+ tg 2∘ +...+ tg44∘)$ и 22.

Источники: Межвед - 2024, 11.5 (см. v-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Сгруппируем крайние члены

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ (tg1 +tg2 + ...+tg44 )=(tg1 +tg44 )+...+ (tg22 + tg 23 )

По формуле суммы тангенсов

∘ ∘ ∘ ∘ --sin45∘--- ---sin45∘--- (tg1 +tg44)+ ...+ (tg22 + tg23 )= cos1∘cos44∘ +...+cos22∘ cos23∘

Заменим синус от 45 градусов на равный ему косинус и воспользуемся формулой произведения косинусов

cos45∘ cos45∘ 2cos45∘ 2cos45∘ cos1∘cos44∘-+...+cos22∘-cos23∘ = cos43∘+-cos45∘ + ...+ cos1∘-+cos45∘

Осталось заметить, что функция $f(x)= cosx$ убывает на отрезке $π [0;2]$ , а значит, верны неравенства $cosn∘ > cos45∘$ для всех $n ∈{43,41,...,1}$ , следовательно, верны неравенства $cosn∘+ cos45∘ > 2cos45∘$ для всех $n ∈{43,41,...,1}$ , т.е. каждое слагаемое в сумме меньше 1. Таким образом, вся сумма меньше 22.

Ответ:

$(tg1∘+tg2∘+ ...+ tg44∘)< 22$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#88704

Найдите точки плоскости, обе координаты которых являются натуральными числами, меньшими двадцати, и через которые проходит график функции

2 (πx) y =4sin 12 .

Укажите все возможные варианты и объясните, почему нет других вариантов.

Показать ответ и решение

Применим формулу косинуса двойного угла

2 πx πx y =4sin(12)= 2− 2cos(6 )

Заметим, что $y > 0$ при $πx cos(6-)⁄= 0$ , то есть $x ⁄=12k$ . Так как $x$ — натуральное число меньше $20$ , то это условие означает, что $x ⁄=12$ .

Далее заметим, что при взаимнопростых с шестью $x$ (то есть $x≡ 1,5 (mod 6)$ ) число $πx cos(-6 )$ - иррациональное число (для $x =1,5,7,11,13,17,19$ ) , так как в таком случае

√- cos(πx)=cos(± π+ πk)= ±-3- 6 6 2

При остальных значениях $x$ число $y$ будет натуральным, что можно проверить подстановкой.

Итого получаем пары:

(2;1),(3;2),(4;3),(6;4),(8;3),(9;2),(10;1),(14;1),(15;2),(16;3),(18;4).

Ответ:

$(2;1),(3;2),(4;3),(6;4),(8;3),(9;2),(10;1),(14;1),(15;2),(16;3),(18;4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#91952

Найдите наибольшее целое число, не превосходящее числа

2+ cos π 3+ sin(π − π ) ---3--5+ -----25---2-.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуем по формуле приведения:

(π π) (π π ) (π) sin 5 − 2 = − sin 2 −-5 = − cos 5

Теперь приведем исходное выражение к общему знаменателю и приведем подобные слагаемые в числителе:

π (π) π π π 2+-cos-5+ 3−-cos-5--= 4+9-+2cos5 −-3cos5-= 13-− cos5 3 2 6 6

Выделим целую часть:

13-− cosπ5-=2 + 1 − cosπ5 6 6 6

Заметим, что $cosπ∈ (0;1), 5$ поэтому $1 − cosπ5-∈(0;1). 6 6$ Тогда наибольшее число, не превосходящее заданного числа, равно $2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92112

Найдите целое число, задаваемое выражением

( π) ( π) log1∕2 tg 6 + log1∕2 cos6 .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 243, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся свойством суммы логарифмов:

( π) ( π ) log1∕2 tg6 +log1∕2 cos 6 =

( π π) ( π) =log1∕2 tg 6 ⋅cos6 = log1∕2 sin6 = 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92341

Найдите наименьшее целое число, превосходящее число

(16)cos(π∕3) ( 9 )− sin(π∕6) 25 + 25 .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 245, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Так как $cos(π∕3) = 1, 2$ а $− sin(π∕6)= − 1, 2$ то получаем

( )12 ( )− 12 1265 + 295 = 45 + 53 = 3175 = 2+ 715

Наименьшее целое число, большее $2+ 715,$ это 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#68021

Тройка действительных чисел $A,B,C$ такова, что

sinA +sinB + sinC =0

cosA+ cosB+ cosC = 0

Найти значение выражения

cos(A − B)+ cos(B − C)+cos(C − A )

Источники: Всесиб-2023, 11.2 (см. sesc.nsu.ru)

Показать ответ и решение

Возведём в квадрат каждое из двух уравнений:

({ sin2A+ sin2B +sin2C +2 sinAsin B+ 2sinB sinC +2sin AsinC = 0 ( cos2A+ cos2B + cos2C+ 2cosAcosB + 2cosB cosC +2 cosAcosC =0.

Сложим эти уравнения, используя $sin2α +cos2 α= 1,cos(α− β)= cosα cosβ+ sinα sinβ.$ Получим:

3+2(cos(A− B)+ cos(B− C)+ cos(C− A))=0

3 cos(A− B)+ cos(B− C)+ cos(C− A)= −2.

Ответ:

$− 3 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#31030

Вычислите

∘ ∘ ∘ tg 20 ⋅tg40 ⋅tg80 .

Показать ответ и решение

∘ ∘ ∘ -sin20∘sin40∘sin80∘ tg20tg40 tg80 =cos20∘cos40∘cos80∘

Домножим обе части на $∘ 8sin20$ , получим:

8sin220∘sin 40∘sin 80∘ -----sin160∘------=4 sin20∘ ⋅2sin40∘sin80∘ =4sin 20∘(cos40∘− cos120∘)=

√- = 2(sin 60∘− sin20∘)+2sin20∘ =2 ⋅-3= √3. 2

Ответ:

$√3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#31041

Найдите значение выражения:

2cos40∘−-cos20∘ sin20∘

Показать ответ и решение

По формулам

2cos40∘−-cos20∘ cos40∘− 2sin-30∘sin-10∘ cos40∘−-sin10∘- sin20∘ = sin20∘ = sin20∘ =

cos40∘− cos80∘ − 2sin60∘ sin(−20∘) √- = ---sin20∘----= -----sin20∘-----= 2sin60∘ = 3

Ответ:

$√3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#32985

Найдите значения выражения

∘ ∘ ∘ ∘ tg1 ⋅tg2 ⋅...⋅tg 88 ⋅tg89

Показать ответ и решение

Распишем как частное синуса и косинуса и применим формулу приведения
$∘ sin(90 − α)=cosα$ :

sin1∘⋅sin2∘⋅...⋅sin89∘ cos89∘⋅cos88∘⋅...⋅cos1∘ cos1∘⋅cos2∘⋅...⋅cos89∘-= cos1∘-⋅cos2∘⋅...⋅cos89∘-=1.

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#36671

Докажите равенство:

∘ ∘ ctg30 + ctg75 = 2.

Показать доказательство

Первое решение.

∘ ∘ cos30∘ cos(45∘+30∘) ctg30 +ctg75 = sin30∘ + sin(45∘-+30∘) =

√ - √ - √- √- = √3+ √-6−√-2= 3+--3√-+-3-− 1 =2. 6+ 2 3+ 1

Второе решение.

$PIC$

Рассмотрим треугольник $ABC$ , в котором $∘ ∠A= ∠C = 75$ и $∘ ∠B = 30$ . Проведём высоту $CH$ , получим прямоугольный $△BAH$ с углом $∘ 30$ , откуда $1 1 AH = 2AB = 2BC$ . С другой стороны, из прямоугольных $△ACH$ и $△BAH$ имеем $∘ ∘ ∘ ∘ BC = BH + HC = AHctg75 +AH ctg30 =AH (ctg75 + ctg30)= 2AH$ , откуда и следует требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#39884

Найдите наименьшее значение выражения

2 2 4 4 3sinα + 7cos α+ 8sin α+ 12cos α.

Показать ответ и решение

Поскольку

4 4 2 2 2 2 sinα + cos α= 1− 2sin αcosα = 1− 2cos α(1 − cosα),

то выражение примет вид

2 2 2 4 3+ 4cosα +8 − 16cosα(1− cos α)+ 4cos α=

= 20cos4α− 12cos2α +11= 20t2− 12t+ 11, t∈ [0,1]

$tверш = 1420 = 310 ∈ [0;1],$ минимальное значение равно $20⋅1900 − 12⋅130 + 11= 456$ .

Ответ:

$46 5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#91391

Представьте в виде обыкновенной дроби значение выражения

( 3 49π 49π- 3 49π 49π) 49π- sin 48 cos16 + cos 48 sin 16 cos 12

Показать ответ и решение

Обозначим $α= 49π= π+ -π. 48 48$ Тогда данное выражение равно

(sin3α cos3α+ cos3αsin 3α)cos4α= ( 3 ( 3 ) 3 ( 3 )) = (sin α⋅ 4cos α− 3cosα +co)s α⋅3 sinα− 4sin α cos4α = = −3sin3αcosα+ 3cos3αsinα cos4α = = 3sinα cosα⋅(cos2α − sin2α)cos4α= 3 3 = 2sin2αcos2αcos4α= 4sin4α cos4α = 3 3 ( 8π) 3 π 3- = 8sin8α= 8sin 8π+ 48 = 8 ⋅sin6 = 16

Ответ:

$-3 16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#90865

Вычислите

π- 2π- 2π- 3π kπ- (k-+1)π 2019π- 2020π tg 43 ⋅tg 43 + tg 43 ⋅tg 43 + ...+ tg 43 ⋅tg 43 + ...+ tg 43 ⋅tg 43 .

Источники: ОММО - 2021, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Вспомним формулу

tgα− tgβ tg(α− β)= tgα-tgβ-+1-

tgαtgβ = tgα−-tgβ− 1 tg(α− β)

Значит

kπ (k+ 1)π tg (k+413)π-− tg k4π3 tg 43 ⋅tg-43-- = ----tg π43----− 1

tg π-⋅tg 2π-+ tg 2π-⋅tg 3π+ ...+ tg 2019π⋅tg 2020π-= 43 43 43 43 43 43

( 2π π ) ( 3π 2π ) ( 2020π 2019π ) =-tg43 −-tg43-+-tg43 −-tg-43-+...+-tg--43-−-tg--43-- − 2019= tg π43

tg 2020π− tg π tg(47π− π)− tg π = ---43tg π--43− 2019= ------tg43 π-----43− 2019 =−2021 43 43

Ответ: -2021

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#61176

Сравните числа

sin2016∘- sin2018∘- sin2017∘ и sin2019∘

Источники: ОММО-2017, номер 6, (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

По формулам приведения $sin2016∘ = sin(360∘⋅5+ 180∘+ 36∘) =− sin36∘ < 0$ . Аналогично остальные синусы из условия тоже отрицательны.

Поэтому неравенство

sin2016∘ sin 2018∘ sin2017∘ < sin-2019∘

равносильно (умножили на произведение двух отрицательных чисел, которое положительно, поэтому знак неравенства сохраняется)

sin2016∘⋅sin2019∘ < sin2017∘⋅sin2018∘

По формулам произведения синусов получаем

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ cos3 − cos4035 < cos1 − cos4035 ⇐ ⇒ cos3 < cos1

Для острых углов чем больше угол, тем меньше косинус (более формально, функция $f(x)= cosx$ на промежутке $(0;π) 2$ убывает), поэтому последнее неравенство справедливо , а значит, и доказываемое неравенство верно.

Ответ:

sin2016∘ sin-2018∘ sin2017∘ < sin 2019∘

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#31042

Найдите значение выражения:

4-π 4 5π- 4 19π 4 23π sin 24 + cos 24 + sin 24 + cos 24

Показать ответ и решение

По формулам приведения

4 π 4 5π 4 19π 4 23π sin 24 +cos 24 + sin 24-+ cos-24 =

π 5π 5π π = sin424 + cos424 + sin424 +cos424.

Здесь есть что-то похожее на $sin2x +cos2x =1$ , но только с четвертыми степенями, поэтому возведем это тождество в квадрат: $sin4x+cos4x+ 2cos2xsin2x= 1$ .