Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия → .01 Преобразования тригонометрических выражений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119612

Найти среднее арифметическое решений уравнения

√---------------- √ ---- √---- √---- sinx− sin2x+ sin3x= sinx− sin2x+ sin 3x

на отрезке $[0;2π].$

Источники: Росатом - 2025, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не кажется ли вам, что тригонометрические функции в этом уравнении не несут особой смысловой нагрузки? Может сделать какую-нибудь замену?

Подсказка 2

Как насчёт того, чтобы корни из правой части обозначить через a, b, c. Попробуйте возвести в квадрат полученное уравнение (с учётом одз, разумеется). Кажется, там всё должно красиво разложиться на скобки.

Показать ответ и решение

Так как подкоренные выражения неотрицательные, то можно ввести такие обозначения: $a2 = sinx$ , $b2 = sin2x$ , $c2 = sin3x$ . Преобразуем уравнение:

∘--------- a2− b2+ c2 = |a|− |b|+ |c|

({ a2− b2 +c2 = (|a|− |b|+ |c|)2 ( |a|− |b|+|c|≥ 0

( { (|a|− |b|)(|b|− |c|)= 0 ( |a|− |b|+|c|≥ 0

[ |a|= |b| |b|= |c|

Случай 1. $|a|=|b|$ .

(| sin x= sin2x ||||| |{ sin x≥ 0 ||| sin 3x ≥0 ||||( x ∈[0;2π]

sin(2x)− sin(x)= 0

2sin(x)cos(x)− sin(x)= 0

sin(x)(2cos(x)− 1)= 0

⌊ ⌈ sin(x)= 0 2cos(x)= 1

⌊ x = 2πn,n∈ ℤ || π ||| x = 3 + 2πk,k ∈ℤ ⌈ 5π x = 3 + 2πk,k ∈ℤ

С учётом ограничений решением данной системы являются: $π 0,3,π,2π.$

Случай 2. $|c|=|b|$ .

( ||||| sin3x= sin2x ||{ sin3x≥ 0 || ||||| sinx ≥0 ( x∈ [0;2π]

sin(3x)− sin(2x)= 0

(5x) (x) 2cos 2 sin 2 = 0

⌊ ( ) | cos 5x- = 0 |⌈ (x2) sin 2 = 0

⌊ | x= π + 2kπ,k∈ ℤ ⌈ 5 5 x= 2πn,n ∈ℤ

С учётом ограничений решением данной системы являются: $π 0,5,π,2π.$

Объединяя решения, получаем: $π π 0,5,3,π,2π.$

Таким образом, среднее арифметическое решений:

0+ π+ π+ 2π+ π 53π ---3--5------5-= 75-

Ответ:

$53π 75$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#120846

Найдите значение выражения:

sin(127∘)cos(192∘)cos(308∘) -cos(12∘)sin-(38∘)cos(37∘)-.

Показать ответ и решение

Используя для преобразований разные формулы приведения, упростим выражение. Заметим, что

∘ ∘ ∘ ∘ cos(308 )=cos(360 − 52 )= cos(52 )

Кроме того,

∘ ∘ ∘ ∘ cos(52 )=cos(90 − 38 )= sin(38 )

Далее,

sin(127∘)=sin(180∘ − 53∘)=sin(53∘)=cos(37∘)

Аналогичным образом получаем $cos(192∘)=− cos(12∘).$

Тогда имеем

sin(127∘)cos(192∘)cos(308∘)= − cos(37∘)cos(12∘)sin(38∘)= −1 cos(12∘)sin(38∘)cos(37∘) cos(12∘)sin(38∘)cos(37∘)

Ответ:

$− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#123019

Найдите значение выражения

3cosα + -2-+sin α −-cosα-+4ctgtαgα+-4sinα,

если $tgα = 3,5.$

Показать ответ и решение

По определению тангенса $tgα= sinα. cosα$ Отсюда

sinα = tgα ⋅cosα= 3,5cosα

Тогда числитель искомой дроби равен

-2- 2-- 4 3cosα + tgα + sinα= 3cosα+ 3,5 + 3,5cosα= 6,5cosα+ 7

По определению котангенса

cosα 1 1 2 ctgα = sinα-= tgα = 3,5 = 7

Тогда распишем знаменатель искомой дроби:

− cosα+ 4ctg α+ 4sinα= − cosα+ 4-⋅2 +4 ⋅3,5cosα =13cosα+ 8 7 7

Заметим, что числитель дроби меньше знаменателя, поэтому искомая дробь равна

6,5 cosα+ 4 1 --------78-= 2 13cosα+ 7

Ответ:

$1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#124433

Решите уравнение

(√- π ) √- 2sin x +2 = 3.

Показать ответ и решение

Пользуясь формулой приведения преобразуем уравнение:

(√- π) √- 2sin x + 2 = 3

- √- cos√ x= -3- 2

Значит:

⌊ √x = π+ 2πn, n∈ ℤ, n≥ 0 |⌈ √- 6π x =− 6 + 2πk, k∈ ℕ

⌊ ( π )2 | x = 6 + 2πn , n∈ ℤ,n≥ 0 |⌈ ( π )2 x = − 6 + 2πk , k∈ ℕ

Ответ:

$(π+ 2πn)2, (− π +2πk)2 ,n ∈ℤ,n ≥0,k∈ ℕ 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#124634

Решите уравнение

2 2sinx- --3-- --1-- tg x− 3tgx+ cos3x = cos2x −cos4x.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

cosx⁄= 0

π x ⁄= 2 + kπ, k∈ ℤ

Заметим, что

2sinx 1 cos3x = 2tgx⋅cos2-x

1 cos2x-= 1+ tg2x

Тогда:

( )2 --1--= --1-- = (1+ tg2x)2 cos4x cos2x

Пусть $t=tgx$ . Уравнение принимает вид:

2 2 2 2 2 t − 3t+2t(1+ t)= 3(1+t )− (1+ t)

Раскроем скобки и упростим:

t2− 3t+ 2t+ 2t3 =3 +3t2− (1+ 2t2+ t4)

t4+ 2t3− t− 2= 0

3 t (t+ 2)− 1(t+2)= 0

(t3− 1)(t+ 2)= 0

Отсюда получаем:

⌊ ⌊ t3− 1 =0 t= 1; ⌈t+ 2= 0 ⇔ ⌈t=− 2

Делая обратную замену получаем:

⌊ tgx= 1 ⌊ x= π +nπ, n ∈ℤ ⌈ ⇔ ⌈ 4 tgx =−2 x= arctg(−2)+ nπ, n ∈ℤ

Все найденные решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

$π + nπ, arctg(−2)+ nπ, n∈ ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#125177

Найдите все решения уравнения

3 3 3 3 cos(πx)+ cos(2πx)− cos(4πx)=(cos(πx)+cos(2πx)− cos(4πx)),

принадлежащие отрезку $[0.3;1.6].$

Источники: Ломоносов - 2025, 11.4 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, кажется будет полезно в этой задаче сделать замену. Давайте так и поступим! Заменим cos(πx) на a, cos(2πx) на b, -cos(4πx) на c. Теперь подумаем, когда такое равенство может выполняться.

Подсказка 2

Да, как бы ни было страшно, надо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Затем полученное выражение легко разложится на множители! Действительно, уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда какая-то из сумм(a + b, b + c, a + c) равна 0.

Подсказка 3

Не забудем формулу разности косинусов и решим каждое из получившихся уравнений, затем отберём корни, принадлежащие промежутку из условия.

Показать ответ и решение

Так как

3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 (a +b+ c)− (a +b + c)= 3ab +3a c+3b a+3b c+3c a+ 3c b+ 6abc= 3(a+ b)(b+ c)(a+c),

то либо $cos(πx)+cos(2πx)= 0,$ либо $cos(2πx)− cos(4πx)= 0,$ либо $cos(πx)− cos(4πx)= 0.$

В первом случае

cos(2πx)=cos(π − πx)

⌊ 2πx =π − πx +2πk, k ∈ℤ ⌈ 2πx =πx − π +2πk, k ∈ℤ

⌊ 1 2k |⌈ x = 3 + 3-, k ∈ℤ x =− 1+ 2k, k∈ℤ

Во втором случае

cos(2πx)= cos(4πx)

⌊ ⌈ 4πx= 2πx+ 2πk, k∈ℤ 4πx= −2πx+ 2πk, k∈ ℤ

⌊ x= k, k∈ ℤ |⌈ k x= 3, k ∈ℤ

В третьем случае

cos(πx)= cos(4πx)

⌊ 4πx =πx +2πk, k ∈ℤ ⌈ 4πx =− πx+2πk, k ∈ℤ

⌊ 2k | x =-3 , k∈ ℤ |⌈ 2k x =-5 , k∈ ℤ

В указанный промежуток попадают корни

1 2 4 2 4 6 8 1,3,3, 3,5,5,5 ,5

Ответ:

$1, 1, 2, 4, 2, 4, 6, 8 3 3 3 5 5 5 5$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#83297

Пары чисел $(x;y)$ связаны соотношениями

----sin2x----- -----cosy----- ------1------ 1+cosy− sin2x = 1+ sin2x− cosy = sin2x+ cosy− 1.

Найти наибольшее возможное значение величины $cos22x+ sin2y$ .

Источники: Росатом-2024, московский вариант, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда видишь выражение с тригонометрией и дробями, то становится страшно. Но от одного из этого точно можно избавиться и записать систему из трёх уравнений.

Подсказка 2

Уравнения всё ещё не выглядят красиво, но может, тогда их получится разложить на множители?

Подсказка 3

В знаменателях первой и второй дроби есть одинаковое выражение в виде разности некоторого синуса и некоторого косинуса. После домножения на знаменатель это разность может стать одним из множителей. А ещё совсем нетрудно раскладывается на множители выражение получаемое из равенства первой и третей дробей (вспомните про разность квадратов).

Подсказка 4

Тогда получается 4 случая. 3 из них нетрудные. Но случай, когда в обоих выражениях sin2x + cosy + 1 = 0, не так прост. Искомое выражение удобно было бы свести к виду "число = квадрат какого-то выражения", так как это даёт нам хорошую оценку из-за неотрицательности квадрата.

Показать ответ и решение

Преобразуем равенство первого и второго выражений (домножим на знаменатели, приведём подобные и разложим на множители):

(sin2x− cosy)(sin2x +cosy+1)= 0

Аналогично сделаем с равенством первого и третьего выражений:

(sin2x− 1)(sin2x+ cosy +1)= 0

Рассмотрим $4$ случая:

$1)sin 2x =cosy$ и $sin2x= 1$ . В этом случае $cos22x +sin2y =0$ .

$2)sin 2x =cosy$ и $sin2x+ cosy +1= 0$ , тогда $sin2x= cosy = − 1 2$ и $cos22x +sin2y = 3 2$ .

$3)sin 2x +cosy+1 =0$ и $sin2x= 1$ . Тогда $cosy =− 2$ , что невозможно.

$4)sin 2x +cosy+1 =0$ . Запишем $cos22x+ sin2y$ как $2− sin22x− cos2y$ . Теперь вместо $sin2x$ подставим $− 1− cosy$ и преобразуем: $1− 2cosy− 2cos2y = 3− 1(1+2 cosy)2 2 2$ . Видно, что максимум равен $3 2$ и он достигается при $cosy =− 1 2$ . Осталось заметить, что $cosy = sin2x= − 1 2$ не зануляют знаменатели в изначальных равенствах.

Ответ:

$3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#83743

Дана последовательность:

∘ ∘ n ∘ a1 = cos10 ,a2 =cos100,...,an = cos(10) ,...

Найдите наименьшее значение выражения

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx, где x∈ ℝ

Источники: Звезда - 2024, 11.4 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Даны косинусы углов в градусах. Мы же знаем, что косинус — периодичная функция с периодом 360 градусов. Попробуем заметить что-нибудь, связанное с периодичностью косинуса, про аргументы двух соседних членов последовательности, то есть 10^n и 10^(n+1).

Подсказка 2

После того, как мы поняли, что из себя представляют а_2023 и а_2024, осталось преобразовать выражение с x по известным тригонометрическим формулам. В этот момент уже будет понятно, как искать наименьшее значение, ведь тригонометрические функции принимают ограниченные значения.

Показать ответ и решение

Посмотрим на разность градусных мер углов у соседних членов последовательности:

n n−1 n−1 n−3 n−3 10 − 10 = 10 (10− 1)=9⋅1000⋅10 =360⋅25⋅10

Если $n≥ 3,$ то эта разность делится на 360. Тогда косинусы равны, то есть $a3 =a4 = ...= a2024.$

Преобразуем по известным тригонометрическим формулам:

∘ ∘ ∘ ∘ a2+a2023+ a2024 = cos100 + 2cos1000 =cos100 + 2cos(360 ⋅3− 80)=

= cos(90∘+ 10∘)+ 2cos80∘ =− sin10∘+2 sin10∘ =sin 10∘

Теперь подставим в искомое выражение:

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx =

= cos10∘⋅cosx+ sin10∘⋅sinx= cos(x− 10∘)

Наименьшее значение косинуса, как известно, равно $− 1.$

Ответ:

$− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#85175

Найдите значение выражения $∘ 3-sin141-. cos129∘$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Углы не табличные, значит, нужно как-то избавляться от sin(141°) и cos(129°)

Подсказка 2

Нам помогут формулы приведения! Заметим, что 141 = 270 - 129, теперь мы можем применить соответствующую формулу!

Показать ответ и решение

По формулам приведения имеем:

3sin141∘ 3sin(180∘ − 39∘) cos129∘-= -cos(90∘-+39∘)-= ∘ = 3-sin39∘ =− 3. − sin39

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#87410

Найдите угол $α,$ если известно, что $0< α <90∘$ и

(1+-tg2∘)(1+-tg5∘)−-2 tgα= (1− tg2∘)(1− tg5∘)− 2

Источники: СПБГУ - 2024, 11.2 (см. olympiada.spbu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что издалека напоминает уравнение из условия?

Подсказка 2

На формулу тангенса суммы! Попробуем tg(2+5) преобразить так, чтобы он еще больше стал похож на уравнение из условия ;)

Подсказка 3

А что если расписать tg(2+5) + 1? В числителе как раз появятся нужные слагаемые

Подсказка 4

Обратите внимание, что 1 - tg(5)² + tg(5) + tg(2) можно разложить на множители! Смотрите, получилось что-то очень похожее на знаменатель из условия ;)

Подсказка 5

Теперь мы знаем, что (1 - tg(5))(1-tg(2)) - 2 = -(tg(7) + 1)(1 - tg(5)tg(2)). Осталось лишь понять, как выразить знаменатель условия и дело остается за малым ;)

Показать ответ и решение

Вспомним формулу тангенса суммы:

∘ -tg5∘-+tg2∘ tg7 = 1 − tg5∘tg2∘

Проведём с ней некоторые махинации:

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ tg7∘+ 1= 1−-tg5-tg2-+∘tg5∘+tg2-= 2-− (1−-tg2-)∘(1−∘tg5) 1− tg5 tg2 1− tg5 tg2

Домножим на знаменатель:

(1 − tg2∘)(1− tg5∘)− 2= −(tg7∘+ 1)(1− tg5∘tg2∘)

Если аналогично рассмотреть выражение $tg7∘− 1$ , то мы получим, что

(1+ tg 2∘)(1 +tg5∘)− 2= (tg7∘− 1)(1− tg5∘tg2∘)

Таким образом,

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ tgα = -(tg7∘−-1)(1− tg5-t∘g2)∘-= 1−-tg7∘ =-tg45-−∘tg7-∘ = tg38∘ −(tg 7 +1)(1− tg5 tg2 ) 1+ tg7 1+ tg 45 tg7

Следовательно, $α= 38∘$ .

Ответ:

$38∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#88066

Сравните числа $(tg1∘+ tg 2∘ +...+ tg44∘)$ и 22.

Источники: Межвед - 2024, 11.5 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем преобразовать сумму тангенсов. На что намекают их аргументы?

Подсказка 2

Если разделить тангенсы на пары: первый с последним, второй с предпоследним и так далее, то сумма аргументов будет 45. Какую формулу тогда нужно применить?

Подсказка 3

Формулу суммы тангенсов! Количество дробей намекает на то, что можно доказать, что каждая из них меньше 1 (дробей 22).

Подсказка 4

В знаменателе можно применить формулу произведения косинусов. Тогда один из них будет всегда равен половине числителя.

Показать ответ и решение

Сгруппируем крайние члены

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ (tg1 +tg2 + ...+tg44 )=(tg1 +tg44 )+...+ (tg22 + tg 23 )

По формуле суммы тангенсов

∘ ∘ ∘ ∘ --sin45∘--- ---sin45∘--- (tg1 +tg44)+ ...+ (tg22 + tg23 )= cos1∘cos44∘ +...+cos22∘ cos23∘

Заменим синус от 45 градусов на равный ему косинус и воспользуемся формулой произведения косинусов

cos45∘ cos45∘ 2cos45∘ 2cos45∘ cos1∘cos44∘-+...+cos22∘-cos23∘ = cos43∘+-cos45∘ + ...+ cos1∘-+cos45∘

Осталось заметить, что функция $f(x)= cosx$ убывает на отрезке $π [0;2]$ , а значит, верны неравенства $cosn∘ > cos45∘$ для всех $n ∈{43,41,...,1}$ , следовательно, верны неравенства $cosn∘+ cos45∘ > 2cos45∘$ для всех $n ∈{43,41,...,1}$ , т.е. каждое слагаемое в сумме меньше 1. Таким образом, вся сумма меньше 22.

Ответ:

$(tg1∘+tg2∘+ ...+ tg44∘)< 22$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#88704

Найдите точки плоскости, обе координаты которых являются натуральными числами, меньшими двадцати, и через которые проходит график функции

2 (πx) y =4sin 12 .

Укажите все возможные варианты и объясните, почему нет других вариантов.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно преобразовать функцию? Какие значения она принимает?

Подсказка 2

Применим формулу косинуса двойного угла. Попробуем разобрать, какие значения принимает косинус и при каких аргументах

Подсказка 3

Что если х=12? А если он взаимнопрост с 6?

Подсказка 4

При х, взаимнопростых с 6, значение y иррационально. Осталось лишь проверить остальные значения x!

Показать ответ и решение

Применим формулу косинуса двойного угла

2 πx πx y =4sin(12)= 2− 2cos(6 )

Заметим, что $y > 0$ при $πx cos(6-)⁄= 0$ , то есть $x ⁄=12k$ . Так как $x$ — натуральное число меньше $20$ , то это условие означает, что $x ⁄=12$ .

Далее заметим, что при взаимнопростых с шестью $x$ (то есть $x≡ 1,5 (mod 6)$ ) число $πx cos(-6 )$ - иррациональное число (для $x =1,5,7,11,13,17,19$ ) , так как в таком случае

√- cos(πx)=cos(± π+ πk)= ±-3- 6 6 2

При остальных значениях $x$ число $y$ будет натуральным, что можно проверить подстановкой.

Итого получаем пары:

(2;1),(3;2),(4;3),(6;4),(8;3),(9;2),(10;1),(14;1),(15;2),(16;3),(18;4).

Ответ:

$(2;1),(3;2),(4;3),(6;4),(8;3),(9;2),(10;1),(14;1),(15;2),(16;3),(18;4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#91952

Найдите наибольшее целое число, не превосходящее числа

2+ cos π 3+ sin(π − π ) ---3--5+ -----25---2-.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

п/5 в аргументе немного настораживает, хотелось бы для начала поработать с ним. Как можно преобразовать синус?

Подсказка 2

В аргументе синуса присутствует также п/2, на какое преобразование это намекает?

Подсказка 3

Преобразуем синус по формуле приведения!

Подсказка 4

После подсчёта осталась незамысловатая дробь…но как быть с cos(п/5) при оценке выражения?

Подсказка 5

Оцените косинус и, вследствие этого, числитель

Показать ответ и решение

Преобразуем по формуле приведения:

(π π) (π π ) (π) sin 5 − 2 = − sin 2 −-5 = − cos 5

Теперь приведем исходное выражение к общему знаменателю и приведем подобные слагаемые в числителе:

π (π) π π π 2+-cos-5+ 3−-cos-5--= 4+9-+2cos5 −-3cos5-= 13-− cos5 3 2 6 6

Выделим целую часть:

13-− cosπ5-=2 + 1 − cosπ5 6 6 6

Заметим, что $cosπ∈ (0;1), 5$ поэтому $1 − cosπ5-∈(0;1). 6 6$ Тогда наибольшее число, не превосходящее заданного числа, равно $2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#92112

Найдите целое число, задаваемое выражением

( π) ( π) log1∕2 tg 6 + log1∕2 cos6 .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 243, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тут у нас присутствует сумма логарифмов с одинаковым основанием, что можно с ними сделать?

Подсказка 2

При сложении логарифмов с одинаковым основанием результатом будет логарифм с тем же основанием, а в аргументе будет стоять произведение аргументов первоначальных слагаемых.

Подсказка 3

Осталось вспомнить табличные тригонометрические функции, произвести несложные вычисления и записать ответ!

Показать ответ и решение

Воспользуемся свойством суммы логарифмов:

( π) ( π ) log1∕2 tg6 +log1∕2 cos 6 =

( π π) ( π) =log1∕2 tg 6 ⋅cos6 = log1∕2 sin6 = 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#92341

Найдите наименьшее целое число, превосходящее число

(16)cos(π∕3) ( 9 )− sin(π∕6) 25 + 25 .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 245, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на то, что синус и косинус из условия — это табличные значения! Давайте посчитаем их ;)

Показать ответ и решение

Так как $cos(π∕3) = 1, 2$ а $− sin(π∕6)= − 1, 2$ то получаем

( )12 ( )− 12 1265 + 295 = 45 + 53 = 3175 = 2+ 715

Наименьшее целое число, большее $2+ 715,$ это 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#68021

Тройка действительных чисел $A,B,C$ такова, что

sinA +sinB + sinC =0

cosA+ cosB+ cosC = 0

Найти значение выражения

cos(A − B)+ cos(B − C)+cos(C − A )

Источники: Всесиб-2023, 11.2 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, что в формуле разности косинусов есть произведение синусов и произведение косинусов...А у нас есть условие на суммы синусов и суммы косинусов..Что можно сделать с ними?

Подсказка 2

Возвести в квадрат! В одном выражении будут все попарные произведения синусов, а в другом - косинусов. И тогда остается свернуть эти два выражения в нужное нам)

Показать ответ и решение

Возведём в квадрат каждое из двух уравнений:

({ sin2A+ sin2B +sin2C +2 sinAsin B+ 2sinB sinC +2sin AsinC = 0 ( cos2A+ cos2B + cos2C+ 2cosAcosB + 2cosB cosC +2 cosAcosC =0.

Сложим эти уравнения, используя $sin2α +cos2 α= 1,cos(α− β)= cosα cosβ+ sinα sinβ.$ Получим:

3+2(cos(A− B)+ cos(B− C)+ cos(C− A))=0

3 cos(A− B)+ cos(B− C)+ cos(C− A)= −2.

Ответ:

$− 3 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#31030

Вычислите

∘ ∘ ∘ tg 20 ⋅tg40 ⋅tg80 .

Подсказки к задаче

Подсказка

Домножить на синус аргумента первого тангенса

Показать ответ и решение

∘ ∘ ∘ -sin20∘sin40∘sin80∘ tg20tg40 tg80 =cos20∘cos40∘cos80∘

Домножим обе части на $∘ 8sin20$ , получим:

8sin220∘sin 40∘sin 80∘ -----sin160∘------=4 sin20∘ ⋅2sin40∘sin80∘ =4sin 20∘(cos40∘− cos120∘)=

√- = 2(sin 60∘− sin20∘)+2sin20∘ =2 ⋅-3= √3. 2

Ответ:

$√3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#31041

Найдите значение выражения:

2cos40∘−-cos20∘ sin20∘

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Разложим 2cos(40°) как cos(40°)+cos(40°) и используем формулу разности косинусов в числителе.

Подсказка 2

В числителе должно получиться cos(40°) - sin(10°). У нас нет явной формулы cos(x) - sin(y), но зато есть формула разности косинусов. Что же делать? Преобразуем синус в косинус!

Показать ответ и решение

По формулам

2cos40∘−-cos20∘ cos40∘− 2sin-30∘sin-10∘ cos40∘−-sin10∘- sin20∘ = sin20∘ = sin20∘ =

cos40∘− cos80∘ − 2sin60∘ sin(−20∘) √- = ---sin20∘----= -----sin20∘-----= 2sin60∘ = 3

Ответ:

$√3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#32985

Найдите значения выражения

∘ ∘ ∘ ∘ tg1 ⋅tg2 ⋅...⋅tg 88 ⋅tg89

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Правда ли, что tg(α)*ctg(α) = 1? Естественно, правда. Только, правда, пока что здесь не видно подобных связок. Но что, если начать группировать первый с последним, второй с предпоследним и тд?

Подсказка 2

Конечно, tg(89°)=ctg(1°), а tg(1°)*ctg(1°) = 1, ура, классно зателескопили! Правда, один момент мы не учли. Он в серединке всего этого выражения. Когда его учтем, тогда задача и будет решена.

Показать ответ и решение

Распишем как частное синуса и косинуса и применим формулу приведения
$∘ sin(90 − α)=cosα$ :

sin1∘⋅sin2∘⋅...⋅sin89∘ cos89∘⋅cos88∘⋅...⋅cos1∘ cos1∘⋅cos2∘⋅...⋅cos89∘-= cos1∘-⋅cos2∘⋅...⋅cos89∘-=1.

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#36671

Докажите равенство:

∘ ∘ ctg30 + ctg75 = 2.

Показать доказательство

Первое решение.

∘ ∘ cos30∘ cos(45∘+30∘) ctg30 +ctg75 = sin30∘ + sin(45∘-+30∘) =

√ - √ - √- √- = √3+ √-6−√-2= 3+--3√-+-3-− 1 =2. 6+ 2 3+ 1

Второе решение.

$PIC$

Рассмотрим треугольник $ABC$ , в котором $∘ ∠A= ∠C = 75$ и $∘ ∠B = 30$ . Проведём высоту $CH$ , получим прямоугольный $△BAH$ с углом $∘ 30$ , откуда $1 1 AH = 2AB = 2BC$ . С другой стороны, из прямоугольных $△ACH$ и $△BAH$ имеем $∘ ∘ ∘ ∘ BC = BH + HC = AHctg75 +AH ctg30 =AH (ctg75 + ctg30)= 2AH$ , откуда и следует требуемое.

Следующая подтема