Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Аркфункции

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#77217

Решите уравнение

cos(sinx)− cos(cosx)= cos2x

Показать ответ и решение

Первое решение. Распишем косинус двойного угла

2 2 cos(sinx)− cos(cosx)= cosx − sin x

2 2 cos(sinx)+sin x =cos(cosx)+cosx

Получаем уравнения вида $f(sinx)= f(cosx)$ , где $f(t)= cost+ t2$

Исследуем функцию $f$

′ ′′ f (t)= 2t− sint; f (t)= 2− cost

Вторая производная положительна при любом $t$ , следовательно первая производная — монотонно возрастающая функция. Тогда $f′(t)= 0$ имеет не больше одного решения. Точка $t=0$ подходит. Также заметим, что $f′(t)≥ 0$ при $t≥ 0$ и $f′(t)≤ 0$ при $t≤0$ . А значит $f(t)$ возрастает при $t≥ 0$ и убывает при $t≤ 0$ . Кроме того, функция $f$ четна.

Тогда уравнение $f(sinx)= f(cosx)$ может иметь решение только в случаях $sinx= cosx$ или $sin x= − cosx$ . Решив эту совокупность, получим $x= π + πk, k∈ℤ 4 2$

Второе решение.

Левую часть уравнения преобразуем по формуле разности косинусов, правую — по формуле косинуса двойного аргумента:

( sinx+-cosx) ( sinx−-cosx) 2 2 −2sin 2 ⋅sin 2 = −(sin x− cos x)

В правой части применим формулу разности квадратов и введём обозначения:

sinx +cosx sin x− cosx a= ----2----; b=----2----

Тогда наше уравнение запишется в виде

2sina ⋅sinb= 2a ⋅2b

sina⋅sinb= 2ab

Перенесём всё в правую часть и вынесем множитель $ab, (ab ⁄=0)$

sin-a sinb ab(2− a ⋅ b )= 0

Ясно, что выражение в скобках строго больше 1 в виду неравенства $|sintt|< 1 при t ⁄= 0.$

Значит, при $ab⁄= 0$ уравнение решений не имеет, то есть оно может иметь решения только при $a= 0$ или $b=0.$

Проверяем эти значения подстановкой в уравнение $sina⋅sinb =2ab$ и убеждаемся, что при этих значениях уравнение верно.

Делаем обратную замену и получаем ответ $π πk x = 4 + 2 , k∈ ℤ.$

Ответ:

$π + πk, k∈ ℤ 4 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#79603

Решите уравнение

88π2- -1--- sin x = cos3x

Источники: ОММО - 2024, задача 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии дано тригонометрическое уравнение с какими-то страшными аргументами тригонометрических функций, формулы тут не поприменяешь, к сожалению. В таких случаях обычно принято использовать метод оценки. Попробуйте воспользоваться им.

Подсказка 2

Давайте умножим наше уравнение на cos(3x). Что можно сказать про решения нашего уравнения, если вспомнить про ограничения на синус и на косинус?

Подсказка 3

Синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Значит, произведение синуса на косинус будет равно 1 только в случаях, когда синус и косинус равны 1, а также когда синус и косинус равны -1 одновременно.

Подсказка 4

Рассмотрим решения cos(3x) = ±1, x = πk/3. Подставив данную серию решений в уравнение с синусом равном ±1, найдите все подходящие k.

Подсказка 5

После подстановки получается выражение 88π²*3/πk = π/2 + πn, преобразовав, получим: 3*8*11 / k = 1/2 + n. Обратите внимание, что в правой части уравнения стоит целое число с одной второй, значит, слева тоже должно быть целое число + одна вторая. Какие k подходят под данное условие?

Подсказка 6

Так как нам необходимо, чтобы получилась именно 1/2 + какое-то целое в левой части уравнение, то на место k подойдут все такие целые числа, которые при сокращении с числителем будут оставлять в знаменателе 2.

Подсказка 7

То есть, каждое k делится на какой-то набор нечетных делителей числителя и еще на 16. Получается, что все k будут четными, значит, cos(3x) может равняться только 1. Остается отобрать такие пары k и n, что sin(88π²*3/x) = 1, x = π/2 + πn.

Показать ответ и решение

Домножим на $cos3x⁄= 0$

88π2 sin -x--⋅cos3x= 1

Так как $|sint|≤1, |cost|≤1$ , равенство возможно только в случаях

⌊ { 88π2 | sin-x--=1 ||| { cos3x=2 1 ⌈ sin88πx--=− 1 cos3x= −1

Уравнение $cos3x = ±1$ имеет решения $πk x= -3 , k ∈ℤ, k⁄= 0$ . Подставив эту серию в $88π2 sin--x-= ±1$ , получаем

88π2⋅3 π -πk---= 2 + πn, n∈ ℤ

3-⋅8-⋅11 = 1+ n k 2

Тогда $k$ может принимать только следующие значения

k= ±16, ± 16⋅3, ±16⋅11, ± 16 ⋅33

Так как все получившиеся $k$ четны, $cos3x = 1$ . Выберем из получившихся пар $(n,k)$ такие, что $sin88π2-=1. x$ То есть те, где $n$ четно.

$n= 16$ или $n =− 17$ при $k= ±16$

$n= 5$ или $n =− 6$ при $k =±3 ⋅16$

$n= 1$ или $n =− 2$ при $k =±16 ⋅11$

$n= 0$ или $n =− 1$ при $k =±16 ⋅33$

Подставляя в

88π2 π sin-x--= 2 +πn

176π x = 1+-2n-

получаем ответ.

Ответ:

$16π, − 16π, − 176π, 176π 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#80768

Что больше:

( 3π) (π) ( π) 5− 4sin 14 или 4cos 7 − 5sin 14 ?

Источники: Физтех - 2024, 11.5 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим схожие по структуре аргументы в синусах. Давайте поймём, что если мы сделаем замену на t = pi/14, то у нас получится функция от t, для которой надо доказать, что она всегда больше нуля (или меньше нуля, ведь мы узнаем это только после исследования функции).

Подсказка 2

Тогда, нам нужно исследовать функцию 16sin^3(t) + 8sin^2(t) - 7sin(t) + 1. Видно, что здесь просится замена sint = z. Что тогда можно сказать про этот кубический многочлен после замены и анализа?

Подсказка 3

Верно, можно заметить, что он равен (z + 1)(4z - 1)^2. Значит, при z >= -1(а именно такой синус) наш многочлен больше или равен 0, и в точке sin(pi/14) у нас не достигается равенство(нетрудно проверить). Какой тогда ответ мы получили?

Показать ответ и решение

Пусть $t= π-, 14$ тогда требуется сравнить $5 − 4sin 3t$ и $4cos2t− 5sint.$ Будем сравнивать с $0$ их разницу:

3 2 5− 4sin3t− 4 cos2t+5sin t=5 − 4(3sint− 4sin t)− 4(1− 2sin t)+5sint=

3 2 = 16sin t+8sin t− 7sint+ 1

Пусть $sint= z.$ Тогда исследуем следующую функцию на отрезке $[−1; 1]$

f(z)= 16z3 +8z2− 7z +1

Заметим, что $f(−1)=0,$ значит разделим $16z3+ 8z2− 7z+ 1$ на $z+ 1.$ Тогда получим, что

f(z)=(z+ 1)(16z2 − 8z+ 1)=(z+ 1)(4z− 1)2

Несложно заметить, что $f(z)≥0$ на $[− 1; 1],$ причем $f(z)= 0$ лишь при $z = −1$ и $z = 14.$ Тогда $f(t)= f(π14)>0.$ Значит разность имеет такой же знак, значит первое число больше.

Замечание. Желательно проверить, что $sin π14 ⁄= 14.$ Это легко делается, так как

sin π-< π-< 3,5-= 1 14 14 14 4

Ответ:

$5− 4sin(3π)> 4cos(π)− 5sin(π) 14 7 14$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#81378

Решите уравнение

2x−-1 x-+3- arctg x+ 2 + arctg3x− 1 = x

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.5 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Арктангенс — обратная функция от тангенса, поэтому, ровно как мы нередко логарифмируем в уравнениях, мы можем взять тангенс от обеих частей и получить следствие (заметьте, что это будет неравносильный переход).

Подсказка 2

Если взять тангенс от обеих частей, то можно раскрыть тангенс от суммы арктангенсов. При этом это будет равно tg(x). Тогда слева у нас получится 7, а справа tg(x). Тогда понятно какие значения может принимать х. Остается понять, подходят ли эти значения или нет. Как можно понять, подходят ли? Мы можем посмотреть на то, почему переход взятия тангенса неравносилен и на какие случаи он разбивается.

Подсказка 3

Он неравносилен, так как если tgx = tgy, то либо x = y, либо x = y + pi, то есть, так как у нас все происходит на интервале от -pi до pi, то по сути, нам надо проверить, что при подстановке наших корней, знак левой и правой части будет одинаковый. Это уже чисто техническая задача, при решении которой нужно просто грубо оценивать arctg7.

Показать ответ и решение

Посчитаем

2x-− 1 -x+-3 tg(arctg x+ 2 +arctg3x − 1)=

2x−-1 x+3- = -x+22x−+1-3x−x1+3-= 1− x+2-⋅3x−1-

7x2+ 7 = -x2+1-= 7

Тогда для корня уравнения $tg(x)= 7$ . При этом так как $π π − 2 < arctg(t)< 2$ , получаем $− π < x< π$ .

Откуда получаем, что кандидатами в корни могут быть только $arctg 7$ и $arctg 7− π$ . Покажем, что они подходят: для этого достаточно проверить, что при подстановке этих значений левая часть примет тот же знак, что и правая. (Так как левая часть всегда равна $arctg 7$ или $arctg7− π$ )

Для $x= arctg7$ имеем

arctg 2x-− 1 =arctg(2−-5-)>0, x+ 2 x+ 2

так как $2> 5> --5- 3 x +2$ для $x= arctg7$ в силу того, что $arctg7> arctg√3 = π> 1 3$ .

А также

x-+3- 1 -10-- arctg3x− 1 = arctg(3 + 9x − 3)> 0

Для $x= arctg7− π$ имеем

2x − 1 5 arctg-x+-2 =arctg(2− x+-2)<0,

так как

2< --5- ⇐⇒ 1> x+ 2> 2π − π+ 2= 2− 3π >0 x+ 2 5 5

А также

arctg x-+3-= arctg(1 +-10-)< 0, 3x− 1 3 9x − 3

потому что

1-< --1-- ⇐⇒ x< 0,3 − 9x< 30 (x> π − π > −3) 30 3− 9x 3

Значит, оба этих значения — корни.

Ответ:

$arctg7$ и $arctg7 − π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#83297

Пары чисел $(x;y)$ связаны соотношениями

----sin2x----- -----cosy----- ------1------ 1+cosy− sin2x = 1+ sin2x− cosy = sin2x+ cosy− 1.

Найти наибольшее возможное значение величины $cos22x+ sin2y$ .

Источники: Росатом-2024, московский вариант, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда видишь выражение с тригонометрией и дробями, то становится страшно. Но от одного из этого точно можно избавиться и записать систему из трёх уравнений.

Подсказка 2

Уравнения всё ещё не выглядят красиво, но может, тогда их получится разложить на множители?

Подсказка 3

В знаменателях первой и второй дроби есть одинаковое выражение в виде разности некоторого синуса и некоторого косинуса. После домножения на знаменатель это разность может стать одним из множителей. А ещё совсем нетрудно раскладывается на множители выражение получаемое из равенства первой и третей дробей (вспомните про разность квадратов).

Подсказка 4

Тогда получается 4 случая. 3 из них нетрудные. Но случай, когда в обоих выражениях sin2x + cosy + 1 = 0, не так прост. Искомое выражение удобно было бы свести к виду "число = квадрат какого-то выражения", так как это даёт нам хорошую оценку из-за неотрицательности квадрата.

Показать ответ и решение

Преобразуем равенство первого и второго выражений (домножим на знаменатели, приведём подобные и разложим на множители):

(sin2x− cosy)(sin2x +cosy+1)= 0

Аналогично сделаем с равенством первого и третьего выражений:

(sin2x− 1)(sin2x+ cosy +1)= 0

Рассмотрим $4$ случая:

$1)sin 2x =cosy$ и $sin2x= 1$ . В этом случае $cos22x +sin2y =0$ .

$2)sin 2x =cosy$ и $sin2x+ cosy +1= 0$ , тогда $sin2x= cosy = − 1 2$ и $cos22x +sin2y = 3 2$ .

$3)sin 2x +cosy+1 =0$ и $sin2x= 1$ . Тогда $cosy =− 2$ , что невозможно.

$4)sin 2x +cosy+1 =0$ . Запишем $cos22x+ sin2y$ как $2− sin22x− cos2y$ . Теперь вместо $sin2x$ подставим $− 1− cosy$ и преобразуем: $1− 2cosy− 2cos2y = 3− 1(1+2 cosy)2 2 2$ . Видно, что максимум равен $3 2$ и он достигается при $cosy =− 1 2$ . Осталось заметить, что $cosy = sin2x= − 1 2$ не зануляют знаменатели в изначальных равенствах.

Ответ:

$3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#83743

Дана последовательность:

∘ ∘ n ∘ a1 = cos10 ,a2 =cos100,...,an = cos(10) ,...

Найдите наименьшее значение выражения

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx, где x∈ ℝ

Источники: Звезда - 2024, 11.4 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Даны косинусы углов в градусах. Мы же знаем, что косинус — периодичная функция с периодом 360 градусов. Попробуем заметить что-нибудь, связанное с периодичностью косинуса, про аргументы двух соседних членов последовательности, то есть 10^n и 10^(n+1).

Подсказка 2

После того, как мы поняли, что из себя представляют а_2023 и а_2024, осталось преобразовать выражение с x по известным тригонометрическим формулам. В этот момент уже будет понятно, как искать наименьшее значение, ведь тригонометрические функции принимают ограниченные значения.

Показать ответ и решение

Посмотрим на разность градусных мер углов у соседних членов последовательности:

n n−1 n−1 n−3 n−3 10 − 10 = 10 (10− 1)=9⋅1000⋅10 =360⋅25⋅10

Если $n≥ 3,$ то эта разность делится на 360. Тогда косинусы равны, то есть $a3 =a4 = ...= a2024.$

Преобразуем по известным тригонометрическим формулам:

∘ ∘ ∘ ∘ a2+a2023+ a2024 = cos100 + 2cos1000 =cos100 + 2cos(360 ⋅3− 80)=

= cos(90∘+ 10∘)+ 2cos80∘ =− sin10∘+2 sin10∘ =sin 10∘

Теперь подставим в искомое выражение:

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx =

= cos10∘⋅cosx+ sin10∘⋅sinx= cos(x− 10∘)

Наименьшее значение косинуса, как известно, равно $− 1.$

Ответ:

$− 1$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#83948

Решите систему:

{ sin x+cosy = 1; sin2x − cos2y =1.

Показать ответ и решение

2 2 sin x− cos y = (sinx+ cosy)(sinx− cosy)= sinx− cosy =1

Тогда $sinx= 1$ и $cosy = 0$ . Отсюда $x= 2πk+ π,k∈ℤ 2$ и $y = πn+ π,n∈ℤ 2$

Ответ:

$(2πk+ π;πn+ π), k,n ∈ℤ 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#83949

Решите уравнение

√ ------- 1− cos2x= sin2x

Показать ответ и решение

√------- { 1− cos2x= sin22x 1 − cos2x = sin2x ⇐⇒ sin2x≥ 0

Решим первое уравнение

1− cos2x= sin22x

1− cos2x= 1− cos22x

cos2x= cos22x

[ ⌊ cos2x= 0 ⌈ 2x= π2 + πk cos2x= 1 ⇐ ⇒ 2x= πk , k∈ ℤ

Учтём, что $sin2x≥ 0,$ получим

⌊ 2x= π + 2πk ⌈ 2x= 22πk , k∈ ℤ

⌊ x= π + πk ⌈ 4 , k∈ ℤ x= πk

Ответ:

$π + πk,πk,k∈ ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#83950

Решите уравнение

∘ --(---π)- (1+ 2sinx) cos x+ 4 =0

Показать ответ и решение

∘ --(---π)- (1+ 2sinx) cos x+ 4 =0

⌊ ( | { 1+2( sinx=) 0 || ( cos x+ π ≥0 |⌈ ( π)4 cos x+ 4 = 0

Решим сначала первый случай

1 +2sin x= 0

⌊ π 1 | x= −6 + 2πk sin x= −2 ⇔ |⌈ 5π , k∈ ℤ x= − 6 +2πk

Проверим условие из системы

( ) ( ) cos − π +2πk+ π =cos π- > 0 6 4 12

( ) ( ) cos − 5π-+ 2πk + π = cos − 7π < 0 6 4 12

Следовательно, в этом случае подходит только $x =− π+ 2πk, k∈ ℤ. 6$

Теперь решим второй случай

( π) cos x+ 4 = 0

π π x+ 4 = 2 + πk, k∈ ℤ

π x= 4 +πk, k ∈ℤ

Ответ:

$− π + 2πk,π +πk, k∈ℤ 6 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#83951

Решите уравнение

sin2x cos2x 81 + 81 = 30

Показать ответ и решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством

sin2x cos2x 81 + 81 = 30

81sin2x+ 811−sin2x = 30

81sin2x+ 81⋅81− sin2x = 30

Сделаем замену $2 a= 81sinx,$ тогда получим

a+ 81a = 30

a2− 30a +81= 0

По теореме Виета корнями будут $a= 3$ и $a= 27,$ делаем обратную замену

[ sin2x 81sin2x= 3 81 = 27

⌊ 2 1 || sin x = 4 ⌈ 2 3 sin x = 4

⌊ 1 | sin x= ±2 |⌈ √3 sin x= ±-2-

⌊ π x= ±6 +2πk ||| 5π || x= ±-6 +2πk ||| π , k∈ℤ || x= ±3 +2πk |⌈ x= ±2π +2πk 3

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#83952

Решите систему:

{ tgx= √2sin y; ctgx= √2cosy.

Показать ответ и решение

Пусть $t= tg2 x$ . Тогда $ctg2x= 1 t$ . Возведем в квадрат оба уравнения и сложим их:

1 t+ t = 2

t=1

Отсюда

tgx= ±1

x =± π+ πn,n∈ ℤ 4

Тогда из системы

siny =cosy = ±√1 2

y = π +πk,k∈ ℤ 4

Ответ:

$(π + πn;π +πk),k,n ∈ℤ 4 2 4$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#84368

Решите уравнение

2 2 3sin x+ 5sinxcosx− 2cos x= 2

Показать ответ и решение

Представим 2 в правой части как $2cos2x+ 2sin2x$ . Получим:

2 2 2 2 3sin x +5sin xcosx− 2cosx =2 cos x+ 2sin x

sin2 x+5 sinxcosx − 4cos2x= 0

1 случай.) $cosx =0$

Тогда $sin2x= 1− cos2x= 1$ . Подставим это в получившееся уравнение:

0= sin2x+ 5sinxcosx− 4cos2x= 1+ 5⋅0− 4 ⋅0 =1

Получаем противоречие, решений нет.

2 случай.) $cosx ⁄=0$

Разделим обе части уравнения на $cos2x⁄= 0$ .

2 sin2x+ 5⋅ sin-x− 4= 0 cos x cosx

Сделаем замену $scinoxsx = t$ .

t2+ 5t− 4= 0

Решив квадратное уравнение, получим следующие корни:

√-- √-- t1 = −5+-41- t2 = −-5−-41 2 2

√-- √-- sinx-= −5+--41- sinx-= −5−--41- cosx 2 cosx 2

−5+ √41 −5− √41 tg x= ---2---- tg x= ---2----

−5+ √41 −5− √41 x= arctg ---2---+ πn x = arctg ---2---+ πn n ∈ℤ

Ответ:

${arctg −5+√41+ πn,arctg −5−-√41-+πn |n∈ ℤ} 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#84837

Решите уравнение

cosx+cos2x+ cos3x+ cos4x= 0

Показать ответ и решение

По формуле суммы косинусов получаем уравнение

3x x 7x x 2cos2-cos2 + 2cos2-cos 2 = 0

x( 3x 7x ) cos2 cos-2 + cos2 = 0

( ) cosx 2cos5xcosx = 0 2 2

⌊ cosx= 0 |⌈ cos25x= 0 cos2x= 0

⌊ x= π+ 2πk, k∈ ℤ |⌈ x= π5 + 2π5k, k ∈ℤ x= π2 + πk, k ∈ℤ

Ответ:

$π +2πk;π+ 2πk;π +πk; k ∈ℤ 5 5 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#84839

Решите уравнение

cos4xcos5x = cos6xcos7x

Показать ответ и решение

По формуле произведения косинусов получаем

1 1 2(cos9x+ cosx)= 2(cos13x+ cosx)

cos13x − cos9x= 0

По формуле разности косинусов получаем

− 2sin11xsin2x= 0

[ sin11x= 0 sin2x= 0

[ x= π1k1, k∈ ℤ x= π2k, k∈ ℤ

Ответ:

$πk ;πk; k∈ ℤ 11 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#85175

Найдите значение выражения $3-sin141∘ cos129∘ .$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Углы не табличные, значит, нужно как-то избавляться от sin(141°) и cos(129°)

Подсказка 2

Нам помогут формулы приведения! Заметим, что 141 = 270 - 129, теперь мы можем применить соответствующую формулу!

Показать ответ и решение

По формулам приведения имеем:

∘ ∘ ∘ 3sin141∘-= 3-sin(180∘-−-39∘-)= cos129 cos(90 + 39 ) = 3sin39∘= − 3. − sin39∘

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#85306

Решите уравнение

√ ------- 3x √ - 2π 1+ cos6x⋅sin 2 = 2 2cos 3

Показать ответ и решение

Сразу посчитаем правую часть:

√ - 2π √ -( 1) √ - 2 2cos 3 = 2 2 − 2 = − 2

Оценим левую часть:

√------- √ - 1+ cos6x ≤ 2, |sin 3x|≤1 2

Подытожим оценку:

|√1+-cos6xsin3x|≤√2- 2

Тогда наше равенство равносильно системе, так как, чтобы уравнение было верным, все неравенства должны стать равенствами:

√------- 3x √- ({ √1+-cos6x= √2 1+ cos6xsin 2-= − 2 ⇐ ⇒ ( sin3x =−1 2

( √ ------- √- { 1+cos6x= 2 ( 3x = − π +2πk, k∈ ℤ 2 2

Заметим, что из второго уравнения системы следует первое:

( ) cos6x= cos 3x-⋅4 = cos(−2π+ 8πk)=1, k∈ℤ 2

Значит, все условия в системе соблюдаются при

3x π 2 = − 2 + 2πk, k ∈ℤ

π 4πk x= − 3 +-3-, k∈ ℤ

Ответ:

$− π + 4πk k∈ ℤ 3 3 ,$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#85336

Решите уравнение

π 1 cos(2x+ 5)= 2

Показать ответ и решение

π π 2x + 5 = ±3 + 2πk, k ∈ℤ

[ π- x= 154 +π πk x= −15 + πk

Ответ:

$-π +πk; − 4π+ πk, k∈ ℤ 15 15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#85337

Решите уравнение

sin3x sin x =0

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно следующей системе

{ sin3x= 0 sinx⁄= 0

({ x= πk, k ∈ℤ ( 3 x⁄= πn, n ∈ℤ

Отсюда получаем

πk 3-⁄= πn ⇐⇒ k⁄= 3n

То есть $k= 3n+1$ или $k= 3n+ 2$ и тогда подставляя в $πk x= 3-$ , получаем

[ π x= 32π+πn,n∈ ℤ x= -3 + πn,n∈ ℤ

Ответ:

$π + πn; 2π +πn, n ∈ℤ 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#85338

Решите уравнение

2 4− cos x= 4sinx

Показать ответ и решение

Выразим по основному тригонометрическому тождеству $cos2x= 1− sin2x$

2 sin x− 4 sinx+ 3= 0

(sin x− 1)(sinx− 3)=0

[ sinx= 1 sinx= 3

Но $|sinx|≤ 1$ , поэтому уравнение $sin x= 3$ не имеет решений. Итого получаем

x = π+ 2πk, k∈ℤ 2

Ответ:

$π + 2πk, k ∈ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#85339

Решите уравнение

√- x 5 − 2cosx= 5 2sin 2

Показать ответ и решение

Применим формулу двойного угла $cosx = 1− 2sin2 x 2$

2 x √- x 4 sin 2 − 5 2sin 2 + 3= 0

⌊ x 1 ⌈ sin2 =√2- sinx2 =23√2

Заметим, что $23√2 > 1$ , поэтому второе уравнение не имеет решений. Решением первого уравнения являются точки

[ x2 = π4 + 2πk x2 = 34π+ 2πk, k ∈ℤ

Ответ:

$π + 4πk; 3π+ 4πk, k∈ℤ 2 2$

Предыдущий раздел

Следующий раздел