Тема АЛГЕБРА

Логарифмы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Логарифмы

Базовые логарифмические уравнения и свойства логарифмов

Сложные логарифмические уравнения

Базовые логарифмические неравенства и сравнения

Метод рационализации

Сложные логарифмические неравенства

Системы с логарифмами

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104126

Найдите область определения функции

3-− 2x−-x2 y = lg 1− x2 .

Источники: Миссия выполнима - 2025, 11.2 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, а когда у нас вообще определено это выражения? Какие есть ограничения на логарифм?

Подсказка 2

Верно, выражение под логарифмом положительно! Осталось только решить неравенство, но не забудьте, что знаменатель исходной дроби не может быть равен нулю!

Показать ответ и решение

3−-2x-− x2 1− x2 >0

(x− 1)(x+ 3) (x−-1)(x+-1) >0

По методу интервалов

x∈(−∞; −3)∪(−1;1)∪ (1;+∞ )

Ответ:

$(−∞;− 3)∪(−1;1)∪ (1;+∞ )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#119858

Решите неравенство

2 2 2log4(x +3)⋅log9(x +8)≤ log3(x+ 3)⋅log2(x+ 8)− 2

Источники: ПВГ - 2025, 11.3(см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обычно логарифмические неравенства начинают с ОДЗ, но тут с этим можно повременить. Давайте заметим, что если бы в левой части основания были поменяны местами, можно было бы с лёгкостью сделать их 2 и 3 и получить квадратное неравенство относительно произведения логарифмов.

Подсказка 2

Но можно же легко добиться идеи из первой подсказки, используя переход к новому основанию!

Подсказка 3

Итак, скорее всего вы уже решили квадратное неравенство и теперь думаете, как получить итоговый ответ относительно x. Для этого достаточно заметить, что произведение логарифмов в этой задаче — возрастающая функция.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ x+ 3> 0 { x> −3 x+ 8> 0 ⇐⇒ x> −8 ⇐ ⇒ x >− 3

На ОДЗ преобразуем логарифмы в левой части неравенства, используя формулу перехода к новому основанию:

log2(x+-3) log3(x+ 3)= log23

log(x+ 8) log2(x+ 8)= -l3og-2-- 3

Тогда исходное неравенство равносильно неравенству:

log22(x-+3)⋅ log23(x+-8)⋅2≤ log(x+ 3)⋅log(x+ 8)− 2 4 4 2 3

log22(x+ 3)⋅log23(x+ 8)≤ 8log2(x+ 3)⋅log3(x +8)− 16 ⇔ (log2(x+ 3)⋅log3(x+ 8)− 4)2 ≤0

Отсюда

log2(x+ 3)⋅log3(x+ 8)= 4

При $x≥ −2$ функция $f(x) =log2(x+ 3)⋅log3(x+ 8)$ монотонно возрастает, и так как $f(1)= 4,$ то уравнение $f(x)= 4$ имеет единственный корень $x= 1.$

На оставшемся множестве определения функции $f(x),$ т.е. на множестве $x ∈(−3;−2)$ функция $f(x)$ отрицательна, а потому уравнение $f(x)= 4$ не имеет решений.

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#119898

Пусть $x =log5, y =lg12. 3$ Представьте $log 5 2$ в виде рационального выражения, составленного из натуральных чисел, $x$ и $y$ (с использованием скобок и знаков арифметических действий $+,−,⋅,:$ ).

Источники: ШВБ - 2025, 11.1 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем представить логарифмы из условия через формулы перехода от одного основания к другому для перехода к одному (общему для всех логарифмов) основания, например, 2. Как тогда будут выглядеть логарифмы из условия?

Подсказка 2

Получаем log₂5 / log₂3 и log₂12 / log₂10. В первом уже есть требуемый логарифм, так что, возможно, пока что его представлять в каком-то другом виде не стоит. Что можно сделать со вторым?

Подсказка 3

Воспользуемся формулой логарифма от произведения. Тогда лишние логарифмы уйдут и останутся линейные комбинации log₂5 и log₂3. Отсюда получаем систему из двух уравнений, из которой можно выразить требуемый логарифм!

Показать ответ и решение

Перейдём к двоичным логарифмам. Обозначим:

log2 3= a, log25= b

Тогда:

log2-5 b x= log35= log2 3 = a

log 12 log (4⋅3) 2+ a y = lg12= lo2g-10 = log2(2⋅5) = 1-+b 2 2

Получаем систему уравнений:

( |{ x= b | a2+-a ( y = 1+ b

Выразим $b$ из первого уравнения и подставим во второе уравнение:

( { b= ax ( y =-2+a- 1+ax

Умножим обе части второго уравнения на $1+ax$ и раскроем скобки

y(1+ ax)= 2+ a

y+ axy =2 +a

Перенесем все слагаемые с $a$ влево и вынесем его за скобку:

axy− a =2 − y

a(xy− 1)= 2− y

Отсюда:

a = 2−-y- xy− 1

Теперь найдём $b:$

x(2− y) b= ax= -xy− 1

Ответ:

$x(2−-y) xy− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#121642

Попарно различные натуральные числа $x ,...,x 1 n$ таковы, что для каждых двух из них одно является степенью другого с натуральным показателем. Найдите наименьшее возможное значения выражения

logx1x2+ logx2x3+ logx3 x4 +...+ logxn−1xn+ logxnx1

Источники: ИТМО-2025, 11.5(см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала попробуйте придумать какой-нибудь простой пример, это должно натолкнуть на идею для оценки.

Подсказка 2

Идея оценки будет следующей. Давайте упорядочим иксы: a₁ < a₂ < ... и введём обозначения a₂ = a₁^k₁, a₃ = a₂^k₂ для удобства оценки.

Подсказка 3

Попробуйте выбрать из ашек самую длинную возрастающую последовательность. Рассмотрите логарифмы от её членов. Попробуйте их оценить за счёт увеличения основания.

Показать ответ и решение

Приведём сначала пример, для которого достигается это число: $x 1$ — любое натуральное число, большее $1,$ $x =x2, 2 1$ $2 2 2n−1 x3 = x2,...,xn =xn−1 =x1 .$

Переупорядочим наши числа по возрастанию: $a1 < a2 < a3 < ...< an.$ Тогда: $k1 a2 = a1 ,$ $k2 kn−1 a3 =a2 ,...,an =an−1 .$ Соответственно, $k1k2 k1...kn−1 a3 = a1 ,...,an = a1 .$

К сожалению, мы не можем сказать, что $x1 <x2 <x3 < ...<xn,$ потому что при этом нарушается общность: соседние по возрастанию элементы не обязательно идут подряд.

Однако, поскольку от циклического сдвига переменных ничего не поменяется, мы можем считать, что $x1 = a1.$ Выделим среди чисел $x1,...xn$ самую длинную возрастающую последовательность. Если точнее $b1 = x1,b2 = x2,b3$ — первый из элементов $x3,...xn,$ больший $x2,b4$ — первый из элементов, следующих за $b3,$ больший $b3$ и так далее. Последним элементом этой подпоследовательности будет $bm =an$ — наибольшее среди всех чисел.

Рассмотрим в нашей сумме логарифмов только те логарифмы, аргументами которых являются числа $b2,...bm.$ На самом деле, это все логарфимы из искомой суммы, большие единицы. Основания этих логарифмов назовём $c2,...,cm$ и запишем их сумму:

logc2 b2+ logc3b3+...+logcm bm ≥ logb1 b2+ logb2b3+...+logbm−1bm

Это неравенство верно, поскольку $ci ≤ bi−1$ из определения $bi :bi$ — первый после $bi−1$ элемент последовательности $xk,$ больший, чем $bi−1,$ значит, все элементы, находящиеся в последовательности $xk,$ между $bi−1$ и $bi$ (если они есть) меньше, чем $bi.$

Далее,

logb b2 = k1⋅...⋅kj1 1

logb2b3 = kj1+1⋅...⋅kj2

...

logbm−1bm =kjm−2 ⋅...⋅kn

Все $ki$ — натуральные числа, не меньшие $2,$ поэтому для любого их набора произведение не меньше суммы. Значит,

logc2b2+ logc3b3+ ...+ logcmbm ≥k1+ ...+ kn

а вся сумма из условия тем более не меньше $k1+ ...+ kn.$

При этом если какое-то из $ki$ больше $2,$ сумма логарифмов получается больше, чем в приведённом примере. Значит, если существует какой-то меньший пример, все $ki$ для него также должны быть равны $2$ и

logc2b2+ logc3b3+ ...+ logcmbm ≥k1+ ...+ kn = 2(n − 1)

Однако из этого не следует автоматически, что все логарифмы из этой суммы равны $2,$ поскольку $2⋅2= 2+ 2$ и в этом месте некоторые из наших неравенство обращаются в равенства. Значит, в нашей сумме логарифмов, больших единицы, есть только двойки и четвёрки.

Кроме того, в искомой сумме есть как минимум один логарифм, меньший единицы — это логарифм по самому большому основанию. Он точно не меньше, чем $logana1 = 2n1−1,$ что доказывает оценку.

Ответ:

$2n− 2+-1-- 2n−1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#125073

Решите неравенство

∘ ------- ||∘ ------- || 9 2− log2 x− 2 |4log2x− 7|≤9 log2x− 2|4 2− log2 x− 7|

Источники: Звезда - 2025, 11.1 ( см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала посмотрим на выражения в обеих частях, а также на коэффициенты при них. Вообще, можно заметить, что они имеют похожий вид, в частности, можно поменять местами выражения с модулями (левое перенести в правую часть, правое - в левую, не забыв поменять знаки). Что тогда можно сказать о выражениях в обеих частях? Чем они похожи, как можно обобщить?

Подсказка 2

Видно, что обе части можно выразить через функцию от переменных sqrt(2 - log₂x) и log₂x. Тогда у нас получится неравенство для значений функции при разных аргументах. Что можно сказать о самой функции?

Подсказка 3

Нетрудно доказать, что функция монотонна и возрастающая, поэтому неравенство на значениях равносильно неравенству на аргументах. Оно уже решается гораздо легче, главное — не забыть про ограничения!

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство в виде

∘ ------- ∘------- 9 2− log2x+ 2|4 2 − log2x − 7|≤ 9log2x+ 2|4log2x − 7|

Пусть $f(t)=9t+ 2|4t− 7|.$ Тогда неравенство принимает вид:

∘------- f( 2− log2x)≤ f(log2x)

Заметим, что функция $f$ возрастающая, так как при любом раскрывании модуля угловой коэффициент получаемой линейной функции положителен. Следовательно, исходное неравенство равносильно

∘2-−-log-x≤ log x 2 2

Для решения полученного неравенства выпишем систему

(|{ 2− log2 x≥ 0 log2x≥ 0 |( 2− log2 x≤ log22x

В последнем неравенстве сделаем замену $z = log2x,$ получим

z2+ z− 2≥ 0

(z− 1)(z+2)≥ 0

z ∈ (− ∞,−2]∪[1,+ ∞)

Учитывая первые два неравенства из системы, получаем, что $log x∈[1;2]. 2$ Отсюда $x∈ [2;4].$

Ответ:

$[2;4]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#125522

Решить уравнение

1+ logx(4− x)= log53⋅logx5.

Показать ответ и решение

Так как

log 3 log53⋅logx5= logx5 5 = logx3,

то уравнение можно записать в виде

logx x+logx(4− x)= logx3

Отсюда получаем уравнение

x(4− x)= 3

x2− 4x +3 =0

Откуда находим

[ x1 =1 x2 =3

При $x= 1$ исходное уравнение теряет смысл, а число $x= 3$ — корень уравнения.

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#126627

Решите неравенство

( √-( 2)) √ -( ( 2)) logx log x 10x − 4− 4x ≥log x logx 10x− 4− 4x .

Показать ответ и решение

Поскольку $x> 0$ , по свойствам логарифмов неравенство равносильно:

( 2 ) √-( 2) logx 2logx (10x− 4− 4x ) ≥log x logx(10x− 4− 4x)

Теперь запишем ОДЗ:

(| x > 0 |||{ x ⁄= 1 | 2 |||( logx(10x− 42− 4x )> 0 10x− 4− 4x >0

Эта система равносильна:

(|| x >0 ||{ x ⁄=1 || (x− 1)(10x − 4− 4x2− 1)> 0 ||( 10x− 4− 4x2 > 0

( 1 5−-√5) ( 5+-√5) x ∈ 2; 4 ∪ 1; 4

По свойствам логарифмов преобразуем:

( 2 ) (( 2)2) logx2 logx(10x− 4− 4x) ≥ logx logx(10x− 4− 4x)

По методу рационализации на ОДЗ:

( ) (x − 1) 2logx(10x − 4− 4x2)− log2x(10x− 4− 4x2) ≥0

2 ( 2) (x − 1)logx(10x− 4 − 4x )2 − logx(10x− 4− 4x ) ≥0

Поскольку $log (10x− 4− 4x2)> 0, x$ равносильно:

( 2) (x− 1) 2− logx(10x − 4− 4x )≥ 0

(x− 1)(logxx2− logx(10x − 4 − 4x2))≥ 0

Снова применим метод рационализации:

(x− 1)(x− 1)(x2− (10x− 4 − 4x2))≥ 0

( √ - )( √- ) (x− 1)2 x −--5√−-1 x − -5√+-1 ≤ 0 5 5

( 5 − √5-)( 5+√5-) (x− 1)2 x −---5- x − --5-- ≤ 0

Решая данное неравенство по методу интервалов и пересекая с ОДЗ, получим ответ:

( 1 5− √5] [5+ √5 5+ √5) x ∈ 2;--5-- ∪ --5--;--4--

Ответ:

$(1 5− √5] [5+ √5 5+ √5) 2;--5-- ∪ --5--;--4--$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#127262

Решите неравенство

log3(x2− 6x+5) log 5 --log3(x2−-3)-- ≤log2(x22−-3).

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| x2− 6x+ 5> 0 |||{ x2− 3> 0 | 2 |||( log3(x2− 3)⁄= 0 log2(x − 3)⁄= 0

√ - x ∈(−∞;− 2)∪ (− 2;− 3)∪(5;+ ∞)

Приведём логарифмы к одному основанию:

log32⋅log2(x2− 6x-+5)≤---log25-- log32⋅log2(x2− 3) log2(x2− 3)

log (x2− 6x+ 5)− log 5 --2--log2(x2−-3)--2--≤ 0

Воспользуемся методом рационализации:

2 (2−-1)(x-−26x-+5−-5)≤ 0 (2− 1)(x − 3 − 1)

--x(x− 6)- ≤0 (x− 2)(x+ 2)

$PIC$

x∈ (−2;−√3)∪ (5;6]

Ответ:

$(−2;−√3)∪ (5;6]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#127263

Какое число больше: $3111$ или $1714?$

Показать ответ и решение

Оценим $log (3111) 2$ сверху:

11 log2(31 )= 11log231< 11log2(32)= 11⋅5= 55

Оценим $log (1714) 2$ снизу:

14 log2(17 )= 14 log2(17)>14log2(16)=14⋅4= 56

Из этого делаем вывод

log(3111)< 55< 56 <log(1714) 2 2

То есть получаем, что

3111 < 1714

Ответ:

$1714$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#127264

Для каких $a$ неравенство

(2 ) loga1+1 x +2|a| > 0

выполнено при всех $x?$

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| x2 +2|a|>0 ||||| ( { -1--> 0 ⇐⇒ { a> −1 |||| a+ 1 ( a⁄= 0 ||( -1--⁄= 1 a+ 1

На ОДЗ по методу рационализации неравенство равносильно:

( ) --1- − 1 (x2+ 2|a|− 1) >0 a +1

-a-- 2 a+ 1(x + 2|a|− 1)<0

При $a a-+1 >0$ графиком

a f(x)= a+-1(x2 +2|a|− 1)

является парабола с ветвями вверх, неравенство $f(x)< 0$ будет верным лишь при тех значениях $x,$ что лежат между корнями параболы, в случае если они есть; если же корней нет, неравенство не будет верным ни при каких $x.$ Так или иначе, такая ситуация нам не подходит.

При $--a- a +1 <0$ графиком

a 2 f(x)= a+-1(x +2|a|− 1)

является парабола с ветвями вниз, неравенство $f(x)< 0$ будет верным при всех $x,$ если дискриминант многочлена отрицателен.

−(2|a|− 1) <0

2|a|− 1> 0

1 |a|> 2

⌊ | a> 1 |⌈ 2 1 a< − 2

Пересечём результат с условием $a a-+1 < 0$ и ОДЗ, получим

( ) a ∈ −1;− 1 2

Ответ:

$(−1;− 1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#127830

Решите уравнение

log3 log (45x) 15 5 x 5 = 1

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ

45x >0

x> 0

Теперь преобруем исходное уравнение

15log53xlog5(45x) =1

15log53x1+2log53+log5x = 1

1+2log53+log5x − log53 x =15

Заметим, что

( ) 15− log53 = 15log5 13 = 1 log515 = 3− log515 =3−1−log53 3

Тогда уравнение принимает вид:

1+2log3+log x −1− log3 x 5 5 = 3 5

Пусть $t=log5x,$ тогда $x= 5t.$

(5t)1+2log53+t =3−1−log53

5t2+t+2tlog53 = 3−1− log53

Прологарифмируем по основанию 5:

log55t2+t+2tlog53 = log53−1−log53

t2 +t+ 2tlog53= (−1 − log53)log53

t2+ t(1+ 2log53)+ log53+ log253= 0

2 ( 2 ) D = (1+ 2log53) − 4 log53 +log53 = 1

−1−-2log53±-1 t1,2 = 2 = −1− log53;− log53

Возвращаясь к исходной переменной, получаем ответ:

1 1 x= 15;3

Ответ:

$-1; 15$ $1 3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#80762

Целые числа $x,y,z$ удовлетворяют равенству $xln16+ yln8+ zln24= ln 6.$ Найдите наименьшее возможное значение выражения $2 2 2 x + y + z.$

Источники: Физтех - 2024, 11.2 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем. У нас есть сумма произведений каких-то констант на х, y, z. При этом, нам надо максимизировать x^2 + y^2 + z^2. Какое неравенство нам это напоминает? Что первым приходит в голову здесь?

Подсказка 2

Конечно же, неравенство КБШ! Тогда, по этому неравенству у нас выходит, что ((ln16)^2 + (ln8)^2 + (ln24)^2)(x^2 + y^2 + z^2) >= (ln6)^2. Тогда, выходит, что мы получили оценку на минимум нашей суммы. Достигается ли в КБШ равенство, если да, то когда?

Показать ответ и решение

xln16+y ln8+ zln24=ln6

4x ln2+ 3yln 2+z(3ln2 +ln3)= ln2+ ln 3

(4x+ 3y+3z− 1)ln2+ (z− 1)ln3= 0

ln(24x+3y+3z−1⋅3z−1)= 0

24x+3y+3z− 1⋅3z−1 = 1

Так $x, y, z ∈ℤ,$ то из последнего уравнения вида $a b 2 ⋅3 = 1; a, b∈ Z$ получаем $a =0,b= 0$ , то есть следующую систему:

{ 4x+ 3y +3z = 1 ⇔ 4x+3y =−2 ⇔ y = −x − x-+2 z = 1 3

Поскольку $x, y ∈ ℤ,$ то $x+2 =k ∈ℤ, =⇒ y =2− 3k− k= −4k+ 2. 3$ С учётом равенств $z = 1, x= 3k− 2, y = 2− 4k$ запишем $2 2 2 x + y + z :$

2 2 2 2 2 2 x + y +z = 1+ 9k +4 − 12k+ 4+16k − 16k =25k − 28k+ 9

2 2 2 2 x + y +z = 25k − 28k+ 9→ min

Чтобы найти минимум, найдем координаты вершины параболы $25k2− 28k+9,$ ветви которой направлены вверх, значит минимум достигается в вершине.

-28- 14 kверш. = 2⋅25 = 25

Так как парабола симметрична относительно вершины, то минимальное целое значение будет достигаться при $k= 1.$ Тогда искомое значение равняется

x2+ y2+ z2 =1 +4+ 1= 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#83741

Решите систему

(| log3x⋅log4y 1 ||||| log2(xy) = 3 ||{ log3y⋅log25z 3 || --log5(yz)- = 5 ||||| log z⋅logx |( --l27og16(zx2)- = 1

Источники: Звезда - 2024, 11.2 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, от дробей здесь нет пользы, они только пугают. Может, избавится от них? Только не забудьте про ОДЗ!

Подсказка 2

Получается как-то очень много одинаковых логарифмов. Когда много одинакового, то на помощь приходит замена.

Подсказка 3

Система из трёх не очень страшных уравнений, можно и подстановкой попробовать решить. Но не забывайте проверять решения на ОДЗ!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| x> 0 ||||| y > 0 |||{ | z > 0 ||||| xy ⁄= 1 |||( yz ⁄= 1 zx⁄= 1

Преобразуем систему к виду

(|| 3log x⋅log y = 2log (xy) |{ 3 2 2 ||| 5log3y⋅log5z = 6log5(yz) ( 4log3z⋅log2x= 3log2(zx)

Используем формулу перехода к новому основанию и формулу логарифма произведения

( |||| 3log3x ⋅ lologg3y2 = 2loglo3g(xy2) ||||{ 3 3 5log3y⋅ log3z= 6log3(yz) ||||| log35 log35 |||( 4log3z⋅ log3x= 3log3(zx) log32 log32

(|| 3log x⋅log y = 2log (xy) |{ 3 3 3 ||| 5log3y⋅log3z = 6log3(yz) ( 4log3z⋅log3x= 3log3(zx)

( |||{ 3log3 x⋅log3y = 2log3x+ log3y | 5log3 y⋅log3z = 6log3y+ log3z ||( 4log3 z⋅log3x= 3log3z+ log3x

Сделаем замену: $log3x= u,log3y = v,log3z =t,$ получаем систему

( |{ 3u⋅v = 2(u+v) | 5v⋅t= 6(v+ t) ( 4t⋅u= 3(u +t)

Из первого уравнения системы выразим

v = -2u-- 3u− 2

Из третьего уравнения выразим

-3u-- t= 4u − 3

Подставим во второе уравнение системы, получим после преобразований уравнение

u2− u =0

При $u =0$ получаем $v = t= 0,$ но соответствующие значения $x,y,z$ не удовлетворяют ОДЗ. При $u =1$ получаем $v = 2,t=3,$ следовательно, $x= 3,y =9,z = 27.$

Ответ:

$(3,9,27)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#88064

Докажите неравенство

( -1-) ( -1-) -1-- -1-- log2 1+ 2023 +log2 2− 2024 >1 + 2023 − 2024

Источники: Межвед - 2024, 11.3 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое неравенство хочется доказать для аргумента логарифма, благодаря которому задача будет решена?

Подсказка 2

Попробуем доказать такое неравенство: log₂(x+1) > x, для любого x от 0 до 1. Как его можно доказать? Как вообще доказываются многие неравенства?

Подсказка 3

Мы знаем, что можно понять о возрастании/убывании функции через производную. А именно можно посмотреть на вторую производную какой-то хорошей функции, какой же?

Подсказка 4

Например, на вторую производную функции n+1-2ⁿ. Чему она равна и какой вывод мы из этого можем сделать?

Подсказка 5

Вторая производная равна -ln²2*2ⁿ, которая очевидно меньше 0 на всём промежутке (0;1)

Показать доказательство

Докажем, что для всех $x∈ (0,1)$ верно неравенство

log2(x+1)> x

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Для этого достаточно показать, что $x+ 1> 2x.$ Действительно, пусть $f(x)=x +1− 2x$ , тогда $f′′(x)=− ln22 ⋅2x <0$ , следовательно, $f(x)$ выпукла вверх на отрезке $[0,1].$ Кроме этого $f(0)= 0$ и $f(1)= 1$ , а значит, $f(x)> x$ для всех $x ∈(0;1)$ , а значит, $f(x)>0$ для всех $x∈ (0;1)$ , откуда получаем требуемое.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Так как $-1- 0< 2023 <1$ и $-1- 0 <1− 2024 < 1,$ то применяем доказанное неравенство: