Тема АЛГЕБРА

Логарифмы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Логарифмы

Базовые логарифмические уравнения и свойства логарифмов

Сложные логарифмические уравнения

Базовые логарифмические неравенства и сравнения

Метод рационализации

Сложные логарифмические неравенства

Системы с логарифмами

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104126

Найдите область определения функции

3-− 2x−-x2 y = lg 1− x2 .

Показать ответ и решение

3−-2x-− x2 1− x2 >0

(x− 1)(x+ 3) (x−-1)(x+-1) >0

По методу интервалов

x∈(−∞; −3)∪(−1;1)∪ (1;+∞ )

Ответ:

$(−∞;− 3)∪(−1;1)∪ (1;+∞ )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#119858

Решите неравенство

2 2 2log4(x +3)⋅log9(x +8)≤ log3(x+ 3)⋅log2(x+ 8)− 2

Источники: ПВГ - 2025, 11.3(см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ x+ 3> 0 { x> −3 x+ 8> 0 ⇐⇒ x> −8 ⇐ ⇒ x >− 3

На ОДЗ преобразуем логарифмы в левой части неравенства, используя формулу перехода к новому основанию:

log2(x+-3) log3(x+ 3)= log23

log(x+ 8) log2(x+ 8)= -l3og-2-- 3

Тогда исходное неравенство равносильно неравенству:

log22(x-+3)⋅ log23(x+-8)⋅2≤ log(x+ 3)⋅log(x+ 8)− 2 4 4 2 3

log22(x+ 3)⋅log23(x+ 8)≤ 8log2(x+ 3)⋅log3(x +8)− 16 ⇔ (log2(x+ 3)⋅log3(x+ 8)− 4)2 ≤0

Отсюда

log2(x+ 3)⋅log3(x+ 8)= 4

При $x≥ −2$ функция $f(x) =log2(x+ 3)⋅log3(x+ 8)$ монотонно возрастает, и так как $f(1)= 4,$ то уравнение $f(x)= 4$ имеет единственный корень $x= 1.$

На оставшемся множестве определения функции $f(x),$ т.е. на множестве $x ∈(−3;−2)$ функция $f(x)$ отрицательна, а потому уравнение $f(x)= 4$ не имеет решений.

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#80762

Целые числа $x,y,z$ удовлетворяют равенству $xln16+ yln8+ zln24= ln 6.$ Найдите наименьшее возможное значение выражения $2 2 2 x + y + z.$

Источники: Физтех - 2024, 11.2 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

xln16+y ln8+ zln24=ln6

4x ln2+ 3yln 2+z(3ln2 +ln3)= ln2+ ln 3

(4x+ 3y+3z− 1)ln2+ (z− 1)ln3= 0

ln(24x+3y+3z−1⋅3z−1)= 0

24x+3y+3z− 1⋅3z−1 = 1

Так $x, y, z ∈ℤ,$ то из последнего уравнения вида $a b 2 ⋅3 = 1; a, b∈ Z$ получаем $a =0,b= 0$ , то есть следующую систему:

{ 4x+ 3y +3z = 1 ⇔ 4x+3y =−2 ⇔ y = −x − x-+2 z = 1 3

Поскольку $x, y ∈ ℤ,$ то $x+2 =k ∈ℤ, =⇒ y =2− 3k− k= −4k+ 2. 3$ С учётом равенств $z = 1, x= 3k− 2, y = 2− 4k$ запишем $2 2 2 x + y + z :$

2 2 2 2 2 2 x + y +z = 1+ 9k +4 − 12k+ 4+16k − 16k =25k − 28k+ 9

2 2 2 2 x + y +z = 25k − 28k+ 9→ min

Чтобы найти минимум, найдем координаты вершины параболы $25k2− 28k+9,$ ветви которой направлены вверх, значит минимум достигается в вершине.

-28- 14 kверш. = 2⋅25 = 25

Так как парабола симметрична относительно вершины, то минимальное целое значение будет достигаться при $k= 1.$ Тогда искомое значение равняется

x2+ y2+ z2 =1 +4+ 1= 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#83741

Решите систему

(| log3x⋅log4y 1 ||||| log2(xy) = 3 ||{ log3y⋅log25z 3 || --log5(yz)- = 5 ||||| log z⋅logx |( --l27og16(zx2)- = 1

Источники: Звезда - 2024, 11.2 (см. zv.susu.ru)

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| x> 0 ||||| y > 0 |||{ | z > 0 ||||| xy ⁄= 1 |||( yz ⁄= 1 zx⁄= 1

Преобразуем систему к виду

(|| 3log x⋅log y = 2log (xy) |{ 3 2 2 ||| 5log3y⋅log5z = 6log5(yz) ( 4log3z⋅log2x= 3log2(zx)

Используем формулу перехода к новому основанию и формулу логарифма произведения

( |||| 3log3x ⋅ lologg3y2 = 2loglo3g(xy2) ||||{ 3 3 5log3y⋅ log3z= 6log3(yz) ||||| log35 log35 |||( 4log3z⋅ log3x= 3log3(zx) log32 log32

(|| 3log x⋅log y = 2log (xy) |{ 3 3 3 ||| 5log3y⋅log3z = 6log3(yz) ( 4log3z⋅log3x= 3log3(zx)

( |||{ 3log3 x⋅log3y = 2log3x+ log3y | 5log3 y⋅log3z = 6log3y+ log3z ||( 4log3 z⋅log3x= 3log3z+ log3x

Сделаем замену: $log3x= u,log3y = v,log3z =t,$ получаем систему

( |{ 3u⋅v = 2(u+v) | 5v⋅t= 6(v+ t) ( 4t⋅u= 3(u +t)

Из первого уравнения системы выразим

v = -2u-- 3u− 2

Из третьего уравнения выразим

-3u-- t= 4u − 3

Подставим во второе уравнение системы, получим после преобразований уравнение

u2− u =0

При $u =0$ получаем $v = t= 0,$ но соответствующие значения $x,y,z$ не удовлетворяют ОДЗ. При $u =1$ получаем $v = 2,t=3,$ следовательно, $x= 3,y =9,z = 27.$

Ответ:

$(3,9,27)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#88064

Докажите неравенство

( -1-) ( -1-) -1-- -1-- log2 1+ 2023 +log2 2− 2024 >1 + 2023 − 2024

Источники: Межвед - 2024, 11.3 (см. v-olymp.ru)

Показать доказательство

Докажем, что для всех $x∈ (0,1)$ верно неравенство

log2(x+1)> x

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Для этого достаточно показать, что $x+ 1> 2x.$ Действительно, пусть $f(x)=x +1− 2x$ , тогда $f′′(x)=− ln22 ⋅2x <0$ , следовательно, $f(x)$ выпукла вверх на отрезке $[0,1].$ Кроме этого $f(0)= 0$ и $f(1)= 1$ , а значит, $f(x)> x$ для всех $x ∈(0;1)$ , а значит, $f(x)>0$ для всех $x∈ (0;1)$ , откуда получаем требуемое.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Так как $-1- 0< 2023 <1$ и $-1- 0 <1− 2024 < 1,$ то применяем доказанное неравенство:

( 1 ) ( 1 ) 1 1 log2 1+ 2023- +log2 1+(1− 2024-) > 2023-+1− 2024

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#88250

Решите неравенство

x+3 3 x 3 2 − x ⋅2 ≤16− 2x

Показать ответ и решение

Сделаем замену $x3 = a, 2x =b$

b(8− a)≤2(8− a)

(a− 8)(b− 2)≥ 0

(x3− 8)(2x − 2)≥ 0

Функции в скобках монотонные, поэтому знак неравенства совпадает со знаком $(x− 2)(x− 1)≥0$ , что равносильно $(−∞,1]∪ [2,+∞).$

Ответ:

$(−∞;1]∪ [2;+∞)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#88781

Решите уравнение $log 182 − log (5− x) =log (11− x)+ 1 2 2 2$ .

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ 5− x> 0 { x <5 11− x> 0 ⇐⇒ x <11 ⇐⇒ x <5

Преобразуем исходное уравнение

log 182− log(5− x)= log(11− x)+1 2 2 2

log (11− x)+ log(5− x)= log 182 − 1 2 2 2

log2((11− x)(5 − x))= log291

(11− x)(5− x)= 91

x2− 16x − 36= 0

[ x =− 2 x =18

Видно, что $18$ не подходит под ОДЗ, а $− 2$ подходит. Значит, ответ — $− 2.$

Ответ:

$− 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#88782

Найдите значение выражения $log560− log512.$

Показать ответ и решение

60 log560 − log512 = log512 = 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#88785

Известно, что $log2 =a 7$ . Найти $log 28 1∕2$ .

Показать ответ и решение

--1- 1 log1∕228 =− log2(4⋅7)= −2− log27= −2− log72 = −2− a

Ответ:

$− 2− 1 a$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#88786

Решите уравнение $log x2 = 1+log x 2 2$ .

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

x> 0

Теперь преобразуем исходное уравнение

2log x= 1+log x 2 2

log2x= 1

x= 2

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#88790

Решите уравнение $log (x2)+ log (x +5)= 2 4 2$ .

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ x2 > 0 { x⁄= 0 x+ 5> 0 ⇐⇒ x> −5 ⇐ ⇒ x ∈(−5;0)∪ (0,+∞ )

Теперь преобразуем данное уравнение

log (x2)+log (x+ 5) =2 4 2

log (x2(x+ 5)2)= 2 4

x2(x+ 5)2 =42

[ [ x(x+ 5)= 4 ⇐ ⇒ x2+ 5x− 4= 0 x(x+ 5)= −4 x2+ 5x+ 4= 0

Решив эти квадратные уравнения, получим 4 корня

⌊ | x= −4 ||| x= −1 |⌈ √-- x= −5±--41- 2

По ОДЗ $√ -- −-5−--41 2$ не подходит, а $√-- − 4,−1,−5+-41- 2$ подходят.

Ответ:

$−5+-√41- − 4,−1, 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#89106

Решите неравенство

(2 ) log0,5x +2x− 8 ≥− 4

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

2 x + 2x − 8 >0

(x+ 4)(x− 2)> 0

x∈ (− ∞;−4)∪(2;+∞)

Теперь преобразуем наше исходное неравенство

− log2(x2+2x− 8)≥ −4

log2(x2 +2x− 8)≤ 4

x2 +2x− 8≤ 16

(x+ 6)(x− 4)≤ 0

x∈ [−6;4]

Пересечём с ОДЗ и получим итоговый ответ — $[− 6;−4)∪ (2;4].$

Ответ:

$[−6;− 4)∪(2;4]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#89107

Решите неравенство

log4x2(5x+ 6) >1

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| 4x2 > 0 { 4x2 ⁄= 1 |( 5x+ 6> 0

(| x∈ (−∞;0)∪(0;+∞) ||||{ x⁄= ± 12 ||||| 6 ( x> − 5

( ) ( ) ( ) ( ) x∈ − 6;− 1 ∪ − 1;0 ∪ 0;1 ∪ 1;+∞ 5 2 2 2 2

Применим метод рационализации

(4x2− 1)(5x+6 − 4x2)> 0

−(2x− 1)(2x+ 1)(x− 2)(4x +3)> 0

(2x − 1)(2x+ 1)(x− 2)(4x+ 3) <0

( 3 1) ( 1 ) x ∈ −4;−2 ∪ 2;2

Пересечём с ОДЗ и получим итоговый ответ — $( ) ( ) − 3;− 1 ∪ 1;2 . 4 2 2$

Ответ:

$(− 3;− 1) ∪( 1;2) 4 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#89108

Решите неравенство

log2x(5x− 1)log3x(7x-− 1) 215x2+2 − 211x ≥ 0

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

( x> 0 (|| x> 0 ||||| ||||| ||||| x> 1 ||||| 5x − 1> 0 ||||| 5 |||{ 7x − 1> 0 |||{ x> 17 | ⇐ ⇒ | 1 ||||| 2x ⁄=1 ||||| x⁄= 2 ||||| 3x ⁄=1 ||||| 1 ||||( 15x2+2 11x ||||| x⁄= 3 2 − 2 ⁄=0 ||( 15x2 +2⁄= 11x

(|{ x∈( 1;1)∪ (1;1) ∪( 1;+∞) 5 3 3 2 2 |( (3x− 1)(5x− 2)⁄= 0

( ( ) ( ) ( ) ||| x∈ 1;1 ∪ 1;1 ∪ 1;+∞ ||||{ 5 3 3 2 2 x⁄= 1 ||||| 3 ||( x⁄= 2 5

( ) ( ) ( ) ( ) x ∈ 1;1 ∪ 1;2 ∪ 2;1 ∪ 1;+∞ 5 3 3 5 5 2 2

Применим метод рационализации к данному неравенству, получив равносильное на ОДЗ неравенство

(2x−-1)(5x−-2)(3x-− 1)(7x-− 2)≥ 0 15x2+ 2− 11x

(2x− 1)(5x− 2)(3x − 1)(7x − 2) ------(3x−-1)(5x-− 2)-----≥ 0

Применим метод интервалов

( ] [ ) x ∈ − ∞;2 ∪ 1;+∞ 7 2

Учтя ограничения ОДЗ, получим итоговый ответ

(1 2] (1 ) x∈ 5;7 ∪ 2;+∞

Ответ:

$(1;2]∪ (1;+∞ ) 5 7 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#89109

Решите неравенство

( 2 )2 -x−-1 log4 x − 4 + log2x2− 4 > 0

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов неравенство равносильно

1 2 ( x-− 1-) 2⋅2 log2(|x − 4|)+log2 x2− 4 > 0

( 2 ) log2 |x-−24|(x-− 1) >0 x − 4

|x2−-4|(x−-1)> 1 x2− 4

При $− 2< x< 2$ получаем

−(x− 1) >1

x< 0

Так что $x∈ (−2;0).$

При $x∈ (−∞;− 2)∪ (2;+∞ )$ получаем

x− 1> 1

x> 2

Так что $x∈ (2;+∞ ).$

Объединяя промежутки из двух случаев, получаем ответ.

Ответ:

$(−2;0)∪ (2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#89110

Решите неравенство

( √ ----) logx∕6 logx( 6− x) > 0

Показать ответ и решение

Выпишем ограничения:

(| x ⁄=1 ||||| 6 ||||{ xx⁄= 1 6 >0 ||||| x> 0 ||||| 6− x>-0-- ( logx(√6− x)>0

Решая эту систему получаем, что $x ∈(1;5).$

Используя метод рационализации на введенных ограничениях, получаем:

log x6(logx(√6−-x))>logx6 1

( ) x − 1 (logx(√6−-x− 1))> 0 6

Рассмотрим отдельно второй множитель:

log (√6-−-x)− 1> 0⇒ log(√6-− x)> log x x x x

√---- (x− 1)( 6− x− x) >0

Тогда получаем:

(x ) √---- 6 − 1 (x− 1)( 6− x− x)>0

Методом интервалов получаем, что $x∈(0;1)∪ (2;6).$ С учетом ограничений получаем, что $x∈ (2;5)$

Ответ: (2;5)

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#89481

Решите неравенство

( 2 ) ( 2 ) 2log(x2−6x+10)2 5x + 3 ≤logx2−6x+10 4x + 7x +3

Источники: ЕГЭ 2024, резерв досрочной волны

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства:

(||x2 − 6x +10 > 0 |{x2 − 6x +10 ⁄= 1 ( 3 ) ||5x2 +3 > 0 ⇔ x∈ (−∞;− 1)∪ −4;3 ∪(3;+∞ ) |(4x2 +7x +3 > 0

Решим неравенство на ОДЗ с помощью метода рационализации. Левая часть имеет вид $2log 2b a$ и равна на ОДЗ $log b. a$ Следовательно, неравенство на ОДЗ равносильно