Связанные тела —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#30879

Систему из бруска массой $m1 = 3m$ и доски массой $m2 = m,$ находящихся на горизонтальном столе, приводят в движение, прикладывая к бруску горизонтальную силу $F$ (см. рис.). Коэффициент трения между столом и доской и между горизонтальной поверхностью доски и бруском равен $μ$ . Массой горизонтально натянутой нити, массой блока и трением в его оси пренебречь.
1) Найти ускорение $a1$ бруска, если бы не было трения.
2) Найти ускорение $a2$ бруска, если есть трение и параметры $F$ , $m$ , $μ$ подобраны так, что есть движение.
(«Физтех», 2018, 10)

Показать ответ и решение

Из нерастяжимости нити ускорения бруска и доски равны по модулю и противоположны по направлению. 1) Укажем силы, действующие на брусок (красным) и на доску (синим) для двух случаев.

Так как нет силы трения (см. левый рисунок), то по второму закону Ньютона для бруска и доски

⃗F + T⃗+ ⃗N1 + m1 ⃗g = m1 ⃗a1

⃗ ⃗ ⃗ T + N2 − N1 + m2 ⃗g = − m2a⃗1

Ускорения тел равны из-за нерастяжимости нити. Спроецируем второй закон Ньютона на горизонтальную ось

( { F − T = 3ma 1 ( T = ma1

откуда ускорение в первом случае

a1 = -F-- 4m

2) Запишем второй закон Ньютона для бруска и доски во втором случае

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ F + T + N1 + m1 ⃗g + Fтр1 = m1a⃗2

⃗T + N⃗ − ⃗N + m ⃗g + ⃗F − ⃗F = − m a⃗ 2 1 2 тр2 тр1 2 2

Сила трения равна:

F тр = μN. (1)

Спроецируем второй закон Ньютона на вертикальную ось:

N1 = m1g

N2 = N1 + m2g = m1g + m2g

Спроецируем второй закон Ньютона на горизонтальную ось, с учётом (1):

( { T − μ(m1 + m2 )g − μm1g = m2a2 ( F − μm1g − T = m1a2

Откуда

a2 = F-−--μ(3m1-+--m2)g-= F-−-10-μmg-- m1 + m2 4m

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#30880

Человеку, упирающемуся в ящик ногами, надо передвинуть ящик из состояния покоя по горизонтальному полу на расстояние $S$ к стене (см. рис.). Массы человека и ящика равны соответственно $m$ и $M = 5m$ . Натянутые части каната, не соприкасающиеся с блоком, горизонтальны. Массами каната, блока и трением в оси блока можно пренебречь. Коэффициент трения между ящиком и полом $μ$ .
1. С какой силой ящик с человеком давят на пол при движении ящика?
2. С какой минимальной постоянной силой $F0$ надо тянуть человеку канат, чтобы осуществить задуманное?
3. Какой скорости достигнет ящик, если человек осуществит задуманное, приложив постоянную силу $F$ ( $F > F 0$ ) к канату?
(«Физтех», 2018, 10)

Источники: Физтех, 2018, 10

Показать ответ и решение

1.Сила давления на пол по третьему закону Ньютона равна:

N1 = M g + N

Аналогично по третьему закону Ньютона

N = mg,

тогда

N1 = M g + mg = 6mg.

2. На ящик в горизонтальном направлении действует 3 силы: сила тяги – $F$ , сила натяжения нити – $T$ и сила трения – $F тр$ .
Для того, чтобы ящик пришёл в движение должно выполняться неравенство:

F + T ≥ Fтр

При этом сила трения скольжения равна

Fтр = μN1 = 6μmg

Тогда

F + F ≥ 6μmg

Минимальная сила:

F = 3μmg. 0

3. При $F > F0$ ящик с человеком будет двигаться с некоторым ускорением, тогда по второму закону Ньютона:

F + F F F + T − 6μmg = 6ma ⇒ a = -------− μg = ----− μg. 6m 3m

Так как движение с нулевой начальной скоростью, то

2 2 ∘ ---(----------)- v-−-0-- √ ---- -F-- S = 2a ⇒ v = 2aS = 2S 3m − μg .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#30881

Муфту $M$ двигают со скоростью $V = 68 см/ с$ по горизонтальной направляющей $AB$ (см. рис.). Кольцо $K$ массой $m = 0,1 кг$ , может двигаться без трения по проволоке $CD$ в виде дуги окружности радиусом $R = 1, 9 м$ . Кольцо и муфта связаны лёгкой нитью длиной $l = 5R- 3$ . Система находится в одной горизонтальной плоскости. В некоторый момент нить составляет угол $α$ , $(cosα = 15∕17 )$ с направлением движения муфты и угол $β$ , $(cos β = 4∕5 )$ с направлением движения кольца.
1. Найти скорость кольца в этот момент.
2. Найти скорость кольца относительно муфты в этот момент.
3. Найти силу натяжения нити в этот момент.
(«Физтех», 2020, 11)

Источники: Физтех, 2020, 11

Показать ответ и решение

1) Поскольку нить нерастяжима проекции скорости кольца и муфты на направление нити равны, отсюда:

V cosα 75 V1 cosβ = V cosα ⇒ V1 = -------= --V = 75 см/ с cosβ 68

2) Относительно муфты кольцо движется вокруг неё по окружности с радиусом $l$ . Построим параллелограмм со сторонами $V0$ ( $V0$ - скорость кольца относительно муфты в интересующий нас момент) и $V$ , тогда по теореме косинусов:

∘ --------------------------- 2 2 2 2 2 V0 = V + V1 − 2V V1 cos(α + β) ⇒ V0 = V + V1 − 2V V1 cos(α + β) = 77 см/с

3) Запишем второй закон Ньютона для кольца в проекциях на оси $X$ и $Y$ , в лабораторной системе отсчёта и системе отсчета, связанной с муфтой, соответственно:

2 F cos(90∘ − β ) − N = mV--1 − на Ox в ЛС О. R

∘ mV-20- F − N cos(90 − β) = l − на Oy в ИС О «муф та».

15 m ( 2 2) −3 F = ----- V0 − V1 = 1,5 ⋅ 10 Н 16 R

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#39641

На горизонтальном столе находится доска, на которой укреплён неподвижный блок, а также бруски, соединённые нитью. Массы брусков $m1 = m$ , $m2 = 2m$ . Коэффициент трения скольжения верхнего бруска по нижнему равен $μ$ , трение между доской и нижним бруском отсутствует. Доску приводят в движение с постоянным ускорением, направленным вправо. Массой нити и блока, а также трением в оси блока можно пренебречь.
1) Найдите максимальное ускорение $a0$ доски, при котором бруски не будут проскальзывать относительно друг друга.
2) Найдите силу $T$ натяжения нити, если доска движется с ускорением $a > a0$ .

(Физтех, 2022, 9)

Показать ответ и решение

1) Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленной вправо:

m1a0 = T − Fтр

m2a0 = T + Fтр

N = m1g

Тогда:

2μm g (m1 − m2)a0 = − 2μm1g ⇒ a0 = -----1---= 2μg m2 − m1

2) Пусть $aб$ - это ускорение брусков относительно доски, тогда второй закон Ньютона для тел:

m1 (a + aб) = T − F тр

m2 (a − aб) = T + F тр

Следовательно:

a-−-2μg- ma + ma б − 2ma + 2ma б = − 2μmg ⇒ aб = 3

( (a − 2 μg) ) 1 1 T = m a + -------- + μmg = -m (3a + a − 2μg + 3μg) = --m (4a + μg) 3 3 3

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записан второй закон Ньютона для брусков	2

Записан второй закон Ньютона для доски	2

Выражена Сила натяжения нити	2

Представлен правильный ответ	4

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#48141

На горизонтальном столе лежат два одинаковых кубика, связанных пружинкой (см. рисунок). Масса каждого кубика $M = 200 г$ . Правый кубик соединен с легкой чашей нерастяжимой нить, перекинутой через блок. Коэффициент трения между кубиками и столом $μ = 0,1$ . В исходном состоянии пружина не деформирована. Грузик какой минимальной массы $m$ нужно осторожно (без толчка) положить на чашу, чтобы левый кубик сдвинулся с места? Нить, пружину и блок считайте невесомыми.

Источники: Ломоносов, 2022, 7-9

Показать ответ и решение

Левый кубик сдвинется с места, когда сила упругости растянутой пружины станет равной по модулю максимальному значению силы трения покоя, удерживающей его на месте, т.е. при условии, что $kx = μM g$ , где $k$ – коэффициент жесткости пружины, $x$ – растяжение. До тех пор, пока левый кубик остается неподвижным, растяжение пружины совпадает с модулем перемещения правого кубика и чаши. Масса $m$ грузика, лежащего на чаше, минимальна, если левый кубик начнет сдвигаться в момент, когда правый кубик остановится. В этом случае изменение потенциальной энергии грузика $mgx$ расходуется только на работу против сил трения при движение правого кубика и потенциальную энергию деформации пружины. Имеем

2 mgx = μM gx + kx--. 2

Учитывая, что жесткость пружины может быть выражена через $x$ как

μM--g k = x ,

в итоге получаем величину минимальной массы

m = 3μM = 30 г 2

(Официальное решение Ломоносов)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#48321

На горизонтальной опоре находится куб, на котором укреплены два блока. Через блоки перекинута нить с грузами массами $m$ , $4m$ и $2m$ . Какой горизонтальной силой надо действовать на куб, чтобы он покоился? Трение между кубом и опорой отсутствует; коэффициент трения между верхним телом и кубом — $k$ .
(«Росатом», 2017, 9–10)

Источники: Росатом, 2017, 9–10

Показать ответ и решение

Чтобы куб покоился, сумма сил, действующих на него, должна равняться нулю. На куб действуют: сила тяжести $M g$ ( $M$ – масса куба), верхнее тело с силой $N1$ , сила реакции опоры $N$ , сила трения со стороны верхнего тела (направленная вправо, т.к. верхнее тело движется вправо), внешняя горизонтальная сила $F$ , удерживающая куб в покое (направленная, очевидно, влево), и нити, переброшенные через блоки. Нити действуют на куб через блоки, причем каждая нить оказывает воздействие в горизонтальном ( $T⃗1′$ и $⃗T′2$ ) и вертикальном ( $⃗T1$ и $T⃗2$ ) направлениях (см. рисунок).

Поэтому условие равновесия куба дает

F = T2 − T1 − Fтр, (1)

где $T1$ и $T2$ – силы натяжения левой (связанной с меньшим грузом) и правой нитей соответственно, $Fтр$ – сила трения. Таким образом, чтобы найти силу $F$ , надо найти силы натяжения нитей и силу трения.
Поэтому рассмотрим задачу динамики для трех тел, скрепленных нитями, при нулевом ускорении куба. На меньшее тело действуют: сила тяжести и сила натяжения левой нити. На верхнее тело: сила тяжести, сила реакции куба, сила трения, силы натяжения левой и правой нитей. На большее тело: сила тяжести и сила натяжения правой нити. Поэтому второй закон Ньютона для всех тел в проекциях на направления движения каждого тела имеет вид

ma = T1 − mg

4ma = T2 − T1 − 4kmg (2)

2ma = 2mg − T2

(здесь использована одинаковость ускорений тел и одинаковость сил натяжения, действующих со стороны разных концов нитей). Решая систему уравнений (2), находим

g(1-−-4k-) a = 7 .

Теперь из формулы (1) и второго уравнения системы (2) находим силу $F⃗$

4mg(1− 4k) F = 4ma = ----------, 7

при $k > 1∕4$ , тела не будут двигаться по кубу, поэтому и куб будут стоять. $F = 0$ . Таким образом

( 4mg (1 − 4k) { F = -----7-----, при k < 0,25 F = ( F = 0, при k > 0,25

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано условие равновесия куба	2

Записан второй закон Ньютона для всех тел в проекциях на направления движения каждого тела	2

Использована одинаковость ускорений тел и одинаковость сил натяжения, действующих со стороны разных концов нитей	2

Из системы уравнений получено выражение для силы $F$	2

Проанализировано, при каких значениях $F$ куб будет покоится	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#85078

К левому концу идеальной нити, переброшенной через невесомый блок, подвешен груз массы $m$ , а по правой части нити скользит с постоянной относительно нити скоростью кольцо массы $m ∕2$ (см. рис.). Найти ускорение груза и силу трения, действующую на кольцо. Ускорение свободного падения $g$ считать известным.
(«Будущие исследователи — будущее науки», 2018, 11)

Источники: Будущие исследователи — будущее науки, 2018, 11

Показать ответ и решение

Ускорение кольца направлено вверх и равно по величине ускорению груза. Записывая второй закон Ньютона для груза и кольца в виде:

ma = mg − T, ma--= Fтр − mg-- 2 2

Учитывая, что действующая на кольцо сила трения $Fтр$ равна силе натяжения нити $T$ , находим ускорение и силу трения:

2F F 2 a = ---тр− g = g − --тр-⇒ F тр = -mg m m 3

⇒ a = g − Fтр-= g − 2-g = g- m 3 3

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#85079

На гладком горизонтальном столе лежит доска массой $M = 3 кг$ и длиной $L = 0,8 м$ . На краю доски стоит маленький брусок массой $m1 = 0,15 кг$ . К бруску привязана длинная невесомая нерастяжимая нить, переброшенная через гладкую трубу, закрепленную на краю стола. К вертикальному концу нити подвешивают груз массой $m2 = 0,05 кг$ и отпускают его без толчка. Найдите время $τ$ , за которое брусок соскользнет с доски. Коэффициент трения скольжения бруска по доске $μ = 0,25$ ; ускорение свободного падения $g = 10 м/с2$ .
(«Курчатов», 2022, 11)

Источники: Курчатов, 2022, 11

Показать ответ и решение

Запишем второй закон Ньютона для бруска, груза и доски в неподвижной системе отсчёта, связанной со столом:

m1a = T − F, m a = m g− T, 2 2 M a0 = F.

Здесь $a$ - ускорение бруска и груза, $a0$ - ускорение доски, $T$ - сила натяжение нити, $F = μm1g$ - сила трения скольжения, действующая между бруском и доской. Из этих уравнений находим ускорения:

a = m2 −-μm1-g, a = μm1g-. m1 + m2 0 M

Ускорение бруска относительно доски равно:

′ M m2 − μm1 (m1 + m2 + M ) a = a− a0 =-------M-(m1-+-m2)-------.

Относительно доски брусок проходит расстояние $L$ . Из этого условия находим время $τ$ :

∘ ----------------------------- a′τ2 ∘ 2L- 2L M (m1 + m2 ) L = --2- −→ τ = a′-= -g-⋅M-m--−-μm--(m--+m--+-M-)-= 1,8c 2 1 1 2

(Официальное решение Курчатов)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Правильно записан второй закон Ньютона для бруска, груза и доски	3

Правильно найдены ускорения бруска и доски	2

Правильно рассмотрено относительное движение бруска и доски	2

Получено верное выражение для $τ$	2

Получен правильный численный ответ	1

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#107012

Два шарика с массами $m = 0,1 кг$ и $3m$ подвешены на невесомых нерастяжимых нитях длины $l$ , прикрепленных к одной точке потолка. Шарики скреплены с легким стержнем длины $L = 1,6l$ . Систему удерживают так, что шарики находятся на одной высоте. Далее систему освобождают.
1. Какой угол $α$ с горизонтом образует вектор $⃗a1$ ускорения шарика массой $m$ сразу после освобождения системы? В ответе укажите $sinα$ .
2. Найдите модуль $a1$ ускорения шарика массой $m$ сразу после освобождения системы. Начальная скорость нулевая. Ускорение свободного падения $2 g = 10 м/с$ .
3. Найдите модуль $T$ упругой силы, с которой стержень действует на этот шарик сразу после освобождения системы.

$PIC$

(«Физтех», 2025, 10)

Источники: Физтех, 2025, 10

Показать ответ и решение

$PIC$

1. Поскольку длина нити постоянна проекция ускорения на направление нити равна нулю, значит ускорение перпендикулярно нити, отсюда:

L sin α = 2l = 0,8

2. Поскольку стержень твердый проекции ускорений на направления стержня равны, значит:

a1 cosα = a2cosα

a1 = a2 = a

Масса стержня пренебрежимо мала, поэтому силы, с которыми стержень действует на шарики, направлены вдоль стержня и:

T1 = T2 = T

По второму закону Ньютона:

m ⃗a1 = m ⃗g+ N⃗1 + ⃗T1

3m ⃗a2 = 3m ⃗g+ ⃗N2 + ⃗T2

Перейдем к проекциям сил и ускорения на касательные направления:

ma = T cosα− mg sin α

3ma = 3mg sin α− T cosα

Отсюда

4ma = 2mg sin α

a = gsinα-= 4 м/с2 2

3. Подставим ускорение во второй закон Ньютона и выразим силу натяжения:

mg-sinα-= T cosα − mg sinα 2

3mg-tgα-- T = 2 = 2 H

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#119865

Два точечных тела с массами $m$ и $2m$ укреплены на концах невесомого стержня, изогнутого под прямым углом, стороны которого отличаются в два раза по длине (см. рисунок). Через вершину угла, образованного стержнем, перпендикулярно плоскости чертежа проходит горизонтальная ось, вокруг которой вся конструкция может вращаться как целое. В начальный момент стержень удерживают так, что его длинная сторона горизонтальна, короткая вертикальна (см. рисунок), а затем отпускают. Найти силу, с которой стержень действует на ось вращения сразу после отпускания.

$PIC$

(Росатом 2025, 11)

Показать ответ и решение

Поскольку на стержень действуют тела и ось вращения, и сумма этих сил равна нулю, то для нахождения силы, действующей со стороны стержня на ось вращения, найдём силу, с которой на стержень действуют тела. А для этого, рассматривая движение тел, найдём силу, с которой стержень действует на тела.

После отпускания стержня оба тела будут двигаться по окружностям. Поэтому их ускорения имеют и нормальную, и тангенциальную компоненты. Но т.к. сразу после отпускания у тел практически нулевая скорость, их ускорения в этот момент направлены по касательным к траекториям. Т.е. вектор ускорения тела $m$ направлен вертикально (вниз), тела $2m$ — горизонтально (направо). Поэтому силы $T1$ и $T2$ , действующие на тела со стороны стержня, направлены так, как показано на рисунке — сила $T1$ направлена вертикально, сила $T2$ имеет и вертикальную, и горизонтальную составляющие.

$PIC$

Второй закон Ньютона для тел в проекциях на вертикальную ось $y$ (для первого тела) и вертикальную ( $y$ ) и горизонтальную ( $x$ ) оси для второго тела:

( ||| ma1 = mg − T1 { || T2y = 2mg |( 2ma2 = T2x

Стержень невесомый, поэтому сумма сил и сумма моментов всех сил, действующих на него, должны равняться нулю. Нулевая сумма сил получится всегда из-за силы, действующей на оси, а вот нулевая сумма моментов должна получаться для наших сил. Поэтому:

T1 = 2T2x(двойка из- за вдвое большего плеча для силы T1)

Так как наша конструкция является жёсткой, она вращается вокруг оси как целое. Поэтому в любой момент времени линейная скорость тела массой $m$ вдвое больше линейной скорости тела с массой $2m$ . Поэтому:

a = 2a 1 2

Решая систему уравнений с этими условиями, получим:

g 2g 1 2 a1 = 3, a2 = 3 , T1 = 3 mg, T2x = 3mg, T2y = 2mg

Отсюда следует, что со стороны тел на стержень действует сила с горизонтальной составляющей $Tx = T2x = 23mg$ и вертикальной составляющей $Ty = T1 + T2y = 1mg + 2mg = 7mg 3 3$

Суммарная сила:

∘ ------------------ ∘ ------- (2 )2 (7 )2 mg √ ------ mg √-- T = T2x + T2y = 3 mg + 3 mg = -3- 4+ 49 = -3- 53

А поскольку сумма сил, действующих на стержень, должна равняться нулю, то именно с такой силой ось вращения действует на стержень, а стержень — на ось вращения.

Ответ:

13 Связанные тела