Тема АЛГЕБРА

Уравнения без логарифмов и тригонометрии → .03 Уравнения с модулями и корнями (радикалами)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с модулем

Иррациональные уравнения (с радикалами)

Уравнения с модулями и корнями (радикалами)

Показательные уравнения

Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с целой и дробной частями

Использование монотонности функций в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Правильная замена или группировка на скобки

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#128579Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√ ----- √ ----- 9 8− 7x − 2|4x − 7|≤ 9x − 2|4 8− 7x − 7|

Источники: Звезда - 2025, 10.1 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на неравенство, его правая и левая части очень похожи. Не удастся ли записать неравенство в несколько ином виде – через одну и ту же функцию разных аргументов?

Подсказка 2

Пусть f(t) = 9t + 2|4t - 7|, тогда неравенство имеет вид f(a) ≤ f(b), а что мы можем сказать про нашу функцию? Нельзя ли как-то перейти к сравнению аргументов?

Подсказка 3

Данная функция монотонна! А значит, неравенство равносильно а ≤ b) Ну теперь остается решить полученное неравенство с корнем, не забудьте при этом рассмотреть случаи с х < 0 и х ≥ 0, а также учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство так:

√ ----- √ ----- 9 8− 7x +2|4 8− 7x− 7|≤ 9x +2|4x − 7|

Пусть $f(t)=9t+ 2|4t− 7|.$ Тогда неравенство принимает вид:

√ ----- f( 8− 7x)≤ f(x)

Заметим, что функция $f$ возрастающая, так как при любом раскрывании модуля старший коэффициент получаемой линейной функции положителен. Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству

√8-− 7x≤ x

Для решения полученного неравенства выпишем систему

( |||8− 7x≥ 0 {x≥ 0 |||( 2 8− 7x≤ x

Получаем

[ ] x∈ 1;8 7

Ответ:

$[1;8] 7$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69996Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

|| ∘ ----2|| √- ∘ ----2- |2x − 1− 4x |= 4 2⋅x⋅ 1− 4x

Источники: Росатом-2023, 10.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнем с базовых вещей. Напишите ОДЗ и подумайте, как на этих ограничениях грамотно избавиться от модуля

Подсказка 2

Конечно, необходимо возвести обе части в квадрат и сделать преобразования. Заметим, что выражение 1-4x² встречается в обеих частях уравнения. Хочется сделать замену, однако если заменить t = sqrt(1-4x²), получим уравнение с двумя неизвестными, зависящими друг от друга, что плохо. Какая замена будет более удобной?

Подсказка 3

Замена: t = 4x * sqrt(1-4x²). Осталось дорешать квадратное уравнение на t, затем биквадратное на x и не забыть проверить все ограничения!

Показать ответ и решение

Уравнение эквивалентно системе

(| x≥ 0 |{ 2 ||( 1(− 4x√≥-0--)2 ( √- √-----)2 ⇐ ⇒ 2x − 1− 4x2 = 4 2x 1− 4x2

( |{ x≥ 0[ 1 1] |( x∈2 − 2;√2----2 2 2( 2) 4x − 4x 1− 4x + 1− 4x = 32x 1 − 4x

В итоге получаем

{ x∈[0;1] −4x√12−-4x2-+1= 32x2(1 − 4x2)

Введем переменную $t= 4x√1-− 4x2, t≥ 0$ . Тогда уравнение принимает вид

2 −t+ 1= 2t

2 2t +t− 1= 0

Решая квадратное уравнение, находим $t= −1, t= 1 2$ . С учетом неотрицательности $t$ , выбираем $t= 1 2$ . В итоге получаем уравнение для нахождения $x$

4x∘1-− 4x2 = 1, x ∈[0;1] 2 2

Решим это уравнение

( ) 64x2 1− 4x2 = 1 ⇐⇒ 256x4− 64x2+1 =0 =⇒

32± √322−-256 32 ±16√3 2±√3- =⇒ x2 =-----256----- = --256---= -16--> 0.

Тогда, с учетом неотрицательности $x$ , находим $√--√- x = -2±4-3$ . Осталось проверить условие $x≤ 12 :$

∘---√- -2±--3-≤ 1 4 2

√ - 2± 3≤ 4

± √3≤ 2

Неравенство верно, значит, оба корня подходят.

Ответ:

$√2-±√3 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#91509Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

∘--------4 -−-x+-4−-x= -√1--. |2x2 − 6− x| 7 − x

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ, но перед этим представим в более красивом виде первое подкоренное выражение:

4 (x-− 2)2 −x +4− x = −x

Тогда ОДЗ для обоих подкоренных выражений это $− x> 0$ , то есть $x <0$ . А также в ОДЗ:

2x2− 6 − x ⁄=0

Теперь мы можем переписать исходное уравнение как

∘-----2- 7√−-x⋅ (x−-2)-= |2x2− 6− x| − x

2 7|x − 2|= |2x − 6− x|

Рассмотрим два случая:

1.

7x − 14= 2x2− 6− x

2x2− 8x+ 8= 0

(x− 2)2 = 0

x =2, но с учётом О ДЗ этот корень не подходит.

2.

−7x+ 14= 2x2 − 6− x

2x2+ 6x − 20= 0

[ x =2, не подходит с учётом ОДЗ x =− 5

Ответ: -5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#92086Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

∘----2 2 − x = |x|− 1.

Показать ответ и решение

Заметим, что если $a$ — решение уравнения, то и $− a$ — решение. Поэтому можно считать, что мы решаем уравнение, где $x ≥0$ . Тогда модуль раскрывается со знаком + . Из оценки подкоренного выражения и правой части получаем, что $√- 1≤ x≤ 2$ . Теперь возведем уравнение в квадрат. Перенеся все слагаемые направо, получим

2 2x − 2x− 1= 0.

Это уравнение имеет два корня $2+2√3- 4$ и $2−2√3- 4$ . Но из того, что $1≤ x≤ √2$ , нам подходит только первый корень, соответственно, и при отрицательных $x$ нам подходит только $− 2+2√3 4$ .

Ответ:

$2+2√3,− 2+2√3 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#69994Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2 ∘ ----- x + y + 1+ xy− 6= 2|x− y|+2xy

Источники: ШВБ-2018 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнение пока вовсе не красивое… попробуем преобразовать так, чтобы |х-у| использовался еще где-то… на что нам намекают квадраты?

Подсказка 2

Переносим все в одну часть, выделяем (х-у)^2 и раскладываем на нулевую сумму двух слагаемых, каждое из которых неотрицательно. Значит, каждое из них равно нулю!

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение

2 2 ∘ ----- x + y + 1+ xy− 6= 2|x− y|+2xy

2 2 ∘ ----- x − 2xy+ y − 2|x− y|+1+ xy − 6 =0

(x− y)2− 2|x− y|+ 1+ ∘xy-− 6-=0

(|x − y|− 1)2+ ∘xy−-6= 0

Оба слагаемые неотрицательны, значит, $(|x− y|− 1)2 = 0$ и $√xy−-6= 0$

( [ ( [ { |x − y|= 1 |{ x− y = 1 |{ y = x− 1 xy− 6=0 ⇐⇒ | x− y = −1 ⇐ ⇒ | y = x+ 1 ⇐⇒ ( xy− 6= 0 ( xy− 6= 0

⌊ { | x= −2 ⌊ { ⌊ { || { y = −3 | y = x− 1 | y = x− 1 ||| x= 3 ⇐ ⇒ || { xy − 6 =0 ⇐ ⇒ || { x2− x − 6 =0 ⇐⇒ || { y = 2 |⌈ y = x+1 |⌈ y = x+ 1 ||| x= 2 xy − 6 =0 x2+x − 6 =0 || { y = 3 |⌈ x= −3 x= −2

Ответ:

$(−2;−3), (3;2), (2;3), (−3;−2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#77219Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

|| ∘ ---2|| ∘----2 |x+ x 1− x |= 1 +x .

Источники: ПВГ 2015

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на уравнение: есть в нем какие-то элементы, на которые стоит обратить внимание?

Подсказка 2

Что особенного в модуле и x²? Может быть, они смогут как-то сократить количество х, которые нужно рассмотреть?

Подсказка 3

Какие значения х достаточно рассмотреть, если у нас есть четные функции слева и справа?

Подсказка 4

Раз решаем уравнение, то что стоит записать?

Подсказка 5

Так как взяли для рассмотрения только x≥0, то что можно сделать на ОДЗ?

Подсказка 6

После раскрытия модуля останутся два выражения с корнем. Что обычно делаем в таком случае?

Подсказка 7

Да, стоит возвести в квадрат. Но что можно сделать, чтобы эта операция прошла проще, чем если возводить части уравнения в текущем виде?

Подсказка 8

Перенесли +х вправо, чтобы упростить конструкцию, и возвели в квадрат. Но корень все еще остался. Что можно сделать, чтобы избавиться от него окончательно?

Подсказка 9

Да, снова оставить корень с одной стороны, а все остальное перенести в другую. Можно бы было, конечно, после этого честно раскрывать квадраты, но решать уравнения четвертой степени явно не хочется. Может быть, заметите что-то общее между левой и правой частью?

Подсказка 10

Может быть, в выражении справа можно сделать какое-то преобразование, чтобы вышло похоже на выражение слева? И стоит вспомнить, что сумму трех элементов можно представить, как сумму двух.

Подсказка 11

x⁴ + x² = x²(x² + 1). Можно ли с помощью этого как-то объединить левую и правую часть в одно выражение?

Подсказка 12

(a+1)² - 4a = 0. Ничего не напоминает?

Подсказка 13

Выразили как квадрат разности, и теперь осталось простое биквадратное уравнение.

Подсказка 14

Не забудьте, что мы рассматривали только часть допустимых х!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Поскольку выражение слева и справа — чётные функции, то достаточно рассмотреть случай $x ≥0.$

Тогда на ОДЗ $x∈ [0;1]$ все преобразования равносильны. А при $x∈∕$ $[0;1]$ решений нет.

∘ ----- ∘ ----- x 1− x2+x = 1+ x2

∘ ----2 ∘----2 x 1− x = 1+ x − x

x2− x4 = 1+2x2− 2x∘1+-x2

2x∘1-+-x2-=x4+ x2+ 1

4x2(1+ x2)=(x2(x2+ 1)+ 1)2

(x2(x2+ 1) − 1)2 = 0

x4+x2− 1= 0.

Решив квадратное относительно $2 x$ уравнение, получим $∘ √5−1- x= 2 .$

Учитывая чётность всех выражений в исходном уравнении $∘√---- x =± --5−21.$

Второе решение.

Используем неравенство Коши–Буняковского(скалярное произведение двух векторов на плоскости не превосходит произведения их длин) для векторов на плоскости вида $√ ----- ( 1− x2,x)$ и $± (x,1)$ . Получим

±(x∘1-− x2+ x)≤ 1⋅∘1+-x2

Равенство достигается, если вектора пропорциональны(косинус угла между ними равен $1$ ), то есть

√----- -1−-x2= x x 1

∘1-−-x2 = x2

√- x2 =-5−-1 2

Ответ:

$±∘ √5−1- 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#67148Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

||x3||− |5x| √2x2− 4x−-1−-|x|+-2 = 0

Источники: Вступительные в МГУ, 1995

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте просто запишем наше уравнение как системку: числитель = 0, знаменатель не равен 0, и одз из-за корня) Думаю, решить уравнение числитель = 0 не сложно)

Подсказка 2

Остаётся подставить получившиеся корни из первого уравнения в оставшиеся условия из системы и проверить, подходят они или нет)

Показать ответ и решение

Для равенства дроби нулю нужно, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель при этом не обращался в ноль. Исходное уравнение равносильно следующей системе: