Тема АЛГЕБРА

Уравнения без логарифмов и тригонометрии → .02 Иррациональные уравнения (с радикалами)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с модулем

Иррациональные уравнения (с радикалами)

Уравнения с модулями и корнями (радикалами)

Показательные уравнения

Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с целой и дробной частями

Использование монотонности функций в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Правильная замена или группировка на скобки

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85024

Решите неравенство

√6-+-x−-x2- √6+-x−-x2 ---2x-+5-- ≥ --x-+4---

Показать ответ и решение

Первое решение.

Запишем ОДЗ:

( ( (x− 3)(x +2)≤ 0 ( x ∈[−2,3] |||{ 6+ x− x2 ≥0 ||||{ ||||{ 2x+ 5⁄= 0 ⇐ ⇒ x⁄= − 5 ⇐⇒ x ⁄=− 5 ⇐⇒ x∈ [− 2,3] |||( x+ 4⁄= 0 ||||( 2 ||||( 2 x⁄= −4 x ⁄=− 4

Рассмотрим два случая. Во-первых,

∘ -------- [ 6+ x− x2 =0 ⇐⇒ 6+ x− x2 = 0 ⇐⇒ x= 3 x= −2

Во-вторых, $√ ------2- 6+ x− x >0,$ значит, на него можно сокращать. Так же заметим, что на ОДЗ выражения $2x+ 5$ и $x+4$ положительны.

1 1 2x+-5 ≥ x+-4

x +4≥ 2x+ 5

x≤ −1

Пересечём это с ОДЗ и получим в этом случае $x∈ [− 2,−1].$

В итоге, объединив все случаи, получим $x ∈[−2,− 1]∪ {3}.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Аналогично, как в первом решении, запишем ОДЗ неравенства:

( (| (x− 3)(x +2)≤ 0 (| x ∈[−2,3] |||{ 6+ x− x2 ≥0 |||{ |||{ | 2x+ 5⁄= 0 ⇐ ⇒ | x⁄= − 5 ⇐⇒ | x ⁄=− 5 ⇐⇒ x∈ [− 2,3] ||( x+ 4⁄= 0 |||( 2 |||( 2 x⁄= −4 x ⁄=− 4

Давайте перенесём теперь всё в одну часть и приведём разность дробей к общему знаменателю. Получится следующая дробь

∘ ----------( − x− 1 ) (3− x)(x+2) (2x+-5)(x+-4) ≥ 0

Умножим на $− 1$ неравенство и поменяем знак:

∘ ----------( ---x+-1----) (3− x)(x+2) (2x+ 5)(x+ 4) ≤ 0

Мы знаем нули этого выражения вместе с выколотыми точками. Поэтому давайте решим это неравенство методом интервалов, подставив значения точек из нужных интервалов. Но выколотые точки в знаменателе не удовлетворяют ОДЗ, поэтому не будем их рассматривать вовсе. Рассматривая промежуток $[−2,− 1]$ и подставляя, например, точку $x =− 32,$ получаем, что значение будет отрицательно(в числителе минус, в знаменателе обе скобки положительны). А рассматривая промежуток $[−1,3],$ можем подставить $x= 0$ и получить, что знак плюс. Итого, решение получается $x∈ [−2,−1]∪{3}$ (не забываем, про не выколотые точки).

Ответ:

$[−2,−1]∪{3}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88712

Решить уравнение

∘ √------√-------√-- 4√----- 4√----- 4√- 2x− 1+ 3x− 1 − x− 2x− 1− 3x− 1+ x= 0

Источники: САММАТ - 2024, 11.10 (см. sammat.samgtu.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим корни четвёртых степеней через $a,b$ и $c$ , тогда уравнение примет вид:

∘ -2--2---2 a +b − c = a+b− c

После возведения в квадрат и приведения подобных получаем равенство

0= c2 +ab− ac− bc,

что равносильно

(c− b)(c− a)= 0,

откуда либо $c= b$ , то есть $x = 12$ , либо $c= a$ , откуда $x =1$ .

При подстановке оба корня подходят (её необходимо сделать, потому что при возведении в квадрат могли появиться лишние корни).

Ответ:

$1 ;1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90448

Пусть $x <y$ — положительные действительные числа такие, что

√ - √- √---- ∘ ---- x+ y = 4 и x +2+ y+2 =5.

Найдите $x$ .

Источники: Турнир Ломоносова - 2024, 11.1 (см. turlom.olimpiada.ru)

Показать ответ и решение

Запишем равенства в следующем виде:

√ - √ - ∘ ---- √---- y = 4− x и y+2 =5 − x +2.

Учитывая ограничение $x ≤16$ возведём их в квадрат и выразим $y$ :

√ -2 √----2 y = (4 − x) и y = (5− x+ 2)− 2.

Получаем уравнение

(4− √x)2 = (5− √x-+2)2− 2.

После раскрытия полных квадратов и приведения подобных оно примет вид

10√x+-2= 8√x+ 9.

После возведения в квадрат получим уравнение

36x− 144√x − 119= 0.

Решая его как квадратное относительно $x$ , получаем

√-- 17 √-- 7 x1 =-6 , x2 =6,

откуда

x1 = 289,x2 = 49. 36 36

По ОДЗ оба корня проходят, но при первом корне $y < x$ , значит он не подходит.

Ответ:

$49 36$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#69995

Решите уравнение

-----15---- ∘3-----3- x( 3√35− 8x3) =2x+ 35− 8x

Источники: ШВБ-2022, отборочный тур (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

{ x⁄= 0 { x⁄= 0 3 ⇐ ⇒ 3√35 35− 8x ⁄=0 x⁄= 2

Сделаем замену $t= 3√35−-8x3$ . Тогда $t3 = 35− 8x3$

Получаем систему

{ t3+ 8x3 = 35 { (t+ 2x)3− 3⋅2xt2− 3⋅4x2t=35 15-=2x +t ⇐ ⇒ 15= 2x +t ⇐⇒ xt xt

{ (1x5t)3 − 3⋅2xt2 − 3⋅4x2t=35 { (15xt)3− 3⋅2(xt2+2x2t)=35 ⇐⇒ 1x5t = 2x+ t ⇐ ⇒ 15 =2x2t+ t2x ⇐ ⇒

{ ( ) ⇐ ⇒ 15xt-3− 3⋅2⋅15 =35 15 =2x2t+t2x

Преобразовав первое уравнение, получим

(15)3 xt = 125

xt= 3

Сделаем обратную замену

∘3------- x⋅ 35− 8x3 = 3

3 3 x (35− 8x) =27

Решив квадратное уравнение относительно $x3,$ получим

[ x= 1 x= 32

Ответ: 1; 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#74467

Числа $x,y$ удовлетворяют уравнению

∘ -3--- ∘ -3--- ∘-3--- ∘-3--- x +y + y +x = x + x+ y + y

Можно ли утверждать, что $x= y?$

Источники: БИБН-2022, 11.3 (см. www.unn.ru)

Показать ответ и решение

Сначала исследуем ОДЗ переменных. Поскольку

3 ( 2 ) x + x≥ 0⇔ x x + 1 ≥0,

то $x≥ 0.$ Аналогично, $y ≥0.$ Таким образом, для неотрицательных $x,y$ обе части неравенства имеют смысл и неотрицательны. Поэтому возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному выражению, которое, (после сокращения) запишется так:

∘ -3-3------4---4 ∘-3-3-------3---4- x y +xy +x + y = x y + xy+xy + x y

После возведения в квадрат и уничтожения подобных членов оно примет вид:

4 4 3 3 x +y − xy − xy =0

x3(x− y)− y3(x − y)= 0

(x− y)(x3− y3)= 0

(x − y)2(x2 +xy+ y2)=0

[ [ x− y =0 ⇔ x =y x2 +xy+ y2 = 0 x =y =0

Второе выражения это верно, т.к. $x ≥0$ и $y ≥ 0.$

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#72250

Числа $x$ и $y$ удовлетворяют равенству:

√-- ∘ ---------- ∘------- ∘y-(1-− x) xy + (1 − x)(1 − y)= 7x(1− y)+---√7---

Найдите наибольшее значение выражения $x+ 7y.$ Ответ обоснуйте.

Источники: Муницип - 2021, 8 класс

Показать ответ и решение

Числа $x$ и $y$ одного знака (иначе не существует $√xy-$ ). Они не могут быть оба отрицательными (иначе не существуют корни, стоящие в правой части равенства. Если $x> 0$ , то $y ≤ 1$ (иначе не существует $∘------- 7x(1− y)$ ) и аналогично из неравенства $y > 0$ следует, что $x ≤1$ . Значит, $0 ≤x ≤1$ и $0≤ y ≤ 1$ . При этих условиях возведём обе части уравнения в квадрат (переход равносильный, так как обе части уравнения неотрицательны):