Тема АЛГЕБРА

Системы уравнений и неравенств → .02 Замены переменных

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Системы уравнений и неравенств

Арифметические операции над системой

Замены переменных

Оценки в системах

Симметрия или цикличность в системе

Однородные и сводящиеся к ним

Сведение системы к квадратному

Системы неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88246

Решите систему

{ 6x − 2⋅3y = 2; 6x ⋅3y =12.

Показать ответ и решение

Обозначим $6x = a, 3y = b$ . Тогда

{ a− 2⋅b=2 a⋅b= 12

Выразив $a= 2+2b$ и подставив во второе уравнение, получим

b(2 +b)= 12 ⇐ ⇒ (b− 2)(b+3)= 0

Причем $b= −3$ не подходит, так как $b= 3y > 0$ . Итого, $b= 2, a= 6$ . Делая обратную замену, получаем $6x = 6, 3y = 2 =⇒ x =1, y = log32$

Ответ:

$(1,log 3) 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#92166

Решить систему уравнений

{ xy+ 2x− 3y+2 =0 2x2y− 3xy2− 12x+18y = 16

Показать ответ и решение

({ xy +2x− 3y+ 2= 0 ( 2x2y− 3xy2 − 12x+ 18y =16

Преобразуем второе уравнение:

xy(2x− 3y)− 6(2x − 3y)= 16

(2x− 3y)(xy− 6)= 16

Заметим, что в первом уравнении тоже можно выделить похожие выражения:

(2x− 3y)+(xy+ 2)=0

Пусть $a= 2x − 3y,$ $b= xy,$ тогда изначальная система будет выглядеть:

( { a+b+ 2= 0 ( a(b− 6)=16

Выразим $b$ из первого уравнения:

a+ b+2 =0 =⇒ b =− a− 2

Подставим выражение для $b$ во второе уравнение:

a((−a − 2)− 6) =16

Упростим выражение:

a(−a− 8) =16

2 − a − 8a= 16

a2 +8a+ 16= 0

(a+ 4)2 = 0

Откуда получаем, что $a= −4$ . Используя выражение $b= −a− 2$ , находим $b=2.$

Тогда получаем, что

( {2x − 3y = −4 (xy =2

( {2x= 3y− 4 (2xy = 4

Подставляем первое уравнение во второе:

(3y− 4)y =4

Откуда получаем, что

⌊ y = 2 |⌈ y = − 23

Тогда решениями являются

( ( { x =1 |{ x =−3 ( и |( 2 y = 2 y = − 3

Прямая подстановка в условие показывает, что оба решения подходят.

Ответ:

$(1,2),(−3,− 2) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31698

Решите систему:

{ x+ y+ x= 9; (x+y)x y y = 20.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что у нас есть две переменные - x и y, но они входят в оба выражения только в составе двух выражений - (x+y) и (x/y). Значит, время для замены!

Подсказка 2

Мы знаем что-то про сумму двух чисел и про их произведение.... Вот бы вспомнить какую-то теорему, чтобы быстро решать такие системы. Например, обратную теорему Виета!

Показать ответ и решение

Две переменные входят в систему лишь в составе двух устойчивых выражений. Обозначаем эти выражения новыми буквами! Пусть $a =x +y$ , $x b= y$ . Тогда система имеет вид

{ a+ b=9 ab=20.

По обратной теореме Виета если система имеет решение, то $a$ и $b$ являются корнями уравнения $t2− 9t+20= (t− 5)(t− 4)= 0$ .

$a =5 =x +y$ и $b= x =4 y$ . Тогда $5= x+ y = 4y+ y$ , значит, $y = 1$ и $x =4$ .
$a =4 =x +y$ и $x b= y =5$ . Тогда $4= x+ y = 5y+ y$ , значит, $2 y = 3$ и $10 x= 3$ .

Ответ:

$(4;1)$ или $(10;2) 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#36906

Решите систему уравнений

{ 1 + 1 = 5; x1 y-1 x2 + y2 = 13.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть сумма двух чисел, она равна 5. Есть и сумма квадратов этих двух чисел, она равна 13. Как из суммы каким-нибудь способом получить сумму квадратов? Нужно применить какую-то формулу, чтобы в ней фигурировали квадраты...

Подсказка 2

Ну конечно, если сумму возвести в квадрат, то как раз появится сумма квадратов! А также появится удвоенное произведение двух чисел. Теперь мы имеем систему, равносильную изначальной, где нам известна и сумма двух чисел, и их же произведение. Похоже на теорему Виета. Быть может, у нас получится подобрать здесь корни?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Перепишем второе уравнение

( 1 1)2 2 2 1 x + y − xy =13 ⇐⇒ 25− xy = 13 ⇐⇒ xy = 6

Теперь применим это в первом

1+ 1 = x+y-= 5 =⇒ x +y = 5 x y xy 6

Отсюда легко видеть, что $x$ и $y$ — корни $t2− 5t+ 1 = 0 6 6$ , то есть подойдут только пары $(1,1) 2 3$ и $(1,1) 32$ . Все переходы были равносильны для положительных $x,y$ , потому решения можно не проверять.

Второе решение.

ОДЗ:

x ⁄=0,y ⁄= 0

Система равносильна:

( { x+y= 5; ( xxy2+y2-=13. x2y2

С учётом замены $u= x+ y,v =xy$ на ОДЗ система равносильна:

{ u =5v; u2− 2v = 13v2.

{ u= 5v; 25v2− 2v = 13v2.

{ 1 v = 65 = xy; u= 6 = x+ y.

По обратной теореме Виета если решения системы существуют, то они удовлетворяют уравнению $t2− 5t+ 1 =0 6 6$ , то есть в качестве $(x;y)$ подойдут только пары $(1;1) 2 3$ и $(1;1) 3 2$ . Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

$(1;1),(1;1) 2 3 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#36913

Решите систему уравнений:

{ x3− y3 =65; x2y − xy2 = −20.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно разложить на множители оба уравнения и сделать замену a = x-y, b = xy.

Подсказка 2

Отлично, мы нашли, чему равны а и b, то есть х-у и ху. Теперь остается выразить х через у, найти у, а затем найти и х.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Система эквивалентна:

{ (x− y)(x2+ xy+ y2)= 65 xy(x− y)=− 20

C учётом замены $a= x− y,b =xy$ получаем:

{ a(a2+ 3b)=65 { a3 =125 ab= −20 ⇐ ⇒ ab =−20

Откуда $x− y =5,xy = −4$ . То есть $x+ 4x =5 ⇐ ⇒ x2− 5x+ 4= 0 ⇐⇒ x= 1 или x =4$ . Соответственно находим $y = − 4x$ и получаем ответ.

Второе решение.

Система эквивалентна:

{ (x− y)(x2+ xy+ y2)= 65 xy(x− y)=− 20

Так как при $x − y = 0$ система не имеет решений и при $x =0$ система не имеет решений, то поделим первое уравнение на второе и получим:

x y 13 y + 1+ x =− 4 .

При замене $x t= y$ получаем уравнение $2 13 ±1 t +t+ 1+ 4 t= 0 ⇐⇒ t= −4 ,$ то есть либо $x = −4y$ , либо $xy =− 4$ .

Подставим во второе уравнение системы: либо $− 4y2(− 5y)= −20 ⇐⇒ y = −1$ (в этом случае $x =4$ ), либо $− 4(− 4y − y)= −20 ⇐⇒ y = −4$ (в этом cлучае $x= 1$ ).

Ответ:

$(1;− 4),(4;−1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90926

Решите систему уравнений

{ x2 +y2 = 13 x3 +y3 = 35

Показать ответ и решение

Заметим, что система симметрическая, а значит разумно обозначить симметрические многочлены $x+ y$ и $xy$ через $a$ и $b$ и выразить всё через них:

{ 2 a −2 2b= 13 a(a − 3b)= 35

Из первого уравнения следует, что $b= a2−13. 2$ Если подставить во второе, то мы получим уравнение относительно $a :$

3 a − 39a+ 70= 0.

Оно имеет корни $a= −7,a= 2$ и $a =5.$

Если $a= −7,$ то $b= 18.$ Однако в этом случае не будет вещественных решений относительно $x$ и $y,$ потому что они должны быть корнями уравнения $t2+ 7t+ 18= 0,$ а у него корней нет.

Если $a= 2,$ то $b= − 9. 2$ Этому случаю соответствуют решения $(2±√22,2∓-√22) 2 2$ относительно $x$ и $y.$

Если $a= 5,$ то $b= 6.$ В этом случае подойдут пары $(2,3)$ и $(3,2).$

Ответ:

$(2±√22,2∓√22),(2,3),(3,2) 2 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#78976

Положительные числа $a,b$ и $c$ таковы, что выполнены равенства

2 2 2 2 2 2 a +ab+ b =1, b+ bc+c = 3, c + ca +a = 4.

Найдите $a +b+ c$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте немного остановим свой взгляд на равенства из условия. Можно сказать, что нам дали идентичные выражения. Где ещё с таким видом равенств вы могли встречаться?

Подсказка 2

Точно, это же теорема косинусов для угла в 120 градусов. Так давайте же попробуем это изобразить на рисунке. Какая фигура там получается?

Подсказка 3

Верно, получается прямоугольный треугольник, а внутри него точка, из которой все стороны видны под углом 120 градусов. Причём расстояние от точки до вершин треугольника и есть наши a, b, c. А у нас просят найти их сумму. Хм, чтобы тогда хорошо сделать... Что будет с нашими отрезками, если повернуть наш треугольник на 60 градусов вокруг вершины с углом 90 градусов?

Подсказка 4

Верно, если посчитать углы и воспользоваться простым свойствами поворота, то получится, что наши отрезки "выпрямляются". То есть мы получили треугольник с известным углом и смежными сторонами, а напротив как раз то, что надо найти. Осталось только воспользоваться известной теоремой, и победа!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Отложим из одной точки $T$ отрезки $TA, T B и TC$ с длинами $a, b и c$ соответственно так, чтобы $∘ ∠AT B = ∠BT C = ∠CT A= 120.$

Тогда по теореме косинусов при учете соотношения $∘ 1 cos120 = −2,$ получаем, что $√ - AB = 1,BC = 3,CA = 2.$ Видим, что по теореме Пифагора треугольник $ABC$ прямоугольный $∘ (∠B = 90 ),$ причем его катет $AB$ в два раза короче гипотенузы $AC,$ откуда следует равенства $∘ ∘ ∠BAC = 60 ,∠BCA =30 .$

Отметим точку $B1$ — середину гипотенузы $AC$ и точку $C1,$ что $△ABC = △AB1C1$ и точки $C1$ и $B$ по разные стороны от $AC :$

$PIC$

По построению треугольники $ABC$ и $AB1C1$ отличаются поворотом на $60∘$ с центром в точке $A.$ Отметим точку $T1$ в треугольнике $AB1C1,$ соответсвующую точке $T$ в треугольнике $ABC.$ Тогда $BT = B1T1, CT = C1T1, и AT = AT1 = TT1.$ Последнее равенство обусловлено тем, что треугольник $AT T1$ получается равносторонним, поскольку точки $T$ и $T1$ отличаются поворотом на $60∘$ с центром в точке $A.$

Осталось отметить, что точки $B, T, T1, C1$ лежат на одной прямой, поскольку $∠ATB = ∠AT1C1 = 120∘ и ∠ATT1 =∠AT1T = 60∘.$ В итоге получаем, что

a+ b+ c= AT + BT +CT = BT +T T1 +T1C1 = BC1,

а $BC1$ может быть вычислено из теоремы косинусов для треугольника $BAC1 :$

BC2 = AB2 +AC2 +AB ⋅AC = 1+ 4+1 ⋅2 =7. 1 1

Второе решение.

Вычтем из первого равенства второе. Получим $(a− c)(a+c)+ b(a− c)=− 2,$ т.е.

-−2- a +b+ c= a− c

Аналогично, вычитая из второго равенства третье и из третьего первое, получим

−2 −1 3 a+ b+ c= a−-c = b−-a = c−-b

Если обозначить $s=a +b+ c,$ то можно переписать предыдущее соотношения как

a− c=− 2s−1, b− a= −s−1, c− b= 3s−1

Теперь сложим все исходные равенства:

2a2+ 2b2+ 2c2 +ab+ bc +ca= 8

(1)

Нетрудно заметить, что левую часть можно выразить следующим образом:

2 1 2 2 2 (a+ b+c) + 2((a− c)+ (b− a) + (c− b))= 8

что означает

2 1 −2 −2 −2 s + 2(4s + s + 9s )= 8

Домножением на $s2$ получаем биквадратное уравнение

s4 − 8s2+ 7=0

корнями которого являются $2 2 s = 1 и s =7.$ Однако первое из значений явно вступает в противоречие с равенством $(1):$

2 2 2 2 2 1 1 1 s = (a+b +c) >a + b + c+ 2ab+ 2bc+ 2ca =4.

Значит, остается $s2 = 7,$ т.е. $√ - a+ b+c = 7.$

Ответ:

$√7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#49483

Решите систему уравнений

(| x2 = (y− z)2− 3; { y2 = (z− x)2− 7; |( 2 2 z = (x− y) + 21.

Источники: ОММО-2018, номер 5, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

хм, пока не очень понятно, что можно сделать с этими уравнениями, а давайте попробуем перенести квадрат разности в другую часть и естственно применить разность квадратов.

Подсказка 2

заметим, что множители в наших трех итоговых уравнениях частично совпадают! // для удобства можно заменить их на a, b, c. тогда у вас есть ab, bc и ac, а надо найти каждое по отдельности, для этого помогло бы узнать abc, например!

Показать ответ и решение

Перенесём в каждом уравнении квадрат разности в левую части и применим формулу для разности квадратов:

(| (x− y +z)(x +y− z)= −3 { (y− z +x)(y +z− x)= −7 . |( (z− x +y)(z +x− y)= 21

Обозначим $X = −x+ y+ z,Y = x− y+ z,Z =x +y − z$ . Тогда

(| YZ =− 3 { ZX =− 7 |( XY = 21

Перемножая все получившиеся равенства, имеем $(XY Z)2 = 3⋅7⋅21$ , откуда $XY Z =21$ или $XYZ = −21.$

Разберём случай $XYZ = 21$ . В нём $X = (XYZ)∕(YZ)= −7,Y = −3,Z =1$ ; тогда $x= Y+2Z-=$ $− 1,y =− 3,z = −5.$

Второй случай разбирается аналогично и в нём $x= 1,y = 3,z = 5.$

Ответ:

$(−1,−3,− 5),(1,3,5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#79923

Найдите все пары положительных чисел $(x,y)$ , удовлетворяющих системе уравнений

({ √-- ∘ y- y − 2 xy − x + 2= 0 ( 3x2y2+ y4 =84

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие-то неприятные выражения с x и y... Сделайте замену!

Подсказка 2

Пусть v = √(xy), u = √(y/x).

Показать ответ и решение

Обозначим $∘ y= u, √xy-= v x$ (при этом $u> 0, v > 0$ ). Тогда $uv = ∘-y⋅√xy = ∘y2-=|y|=y x$ , $v = √xy :∘ y= √x2-=|x|=x u x$ , так как по условию $x$ и $y$ положительны. Система принимает вид

{ uv− 2v− u+ 2= 0, { (v− 1)(u− 2)= 0 4 44 ⇔ 4 4 4 3v + u v =84 3v + u v = 84

Из первого уравнения следует, что $v = 1$ или $u= 2$ . Если $v = 1$ , то $3+u4 =84$ , откуда $u= 3$ ; тогда $x= v = 1,y =uv =3 u 3$ . Если $u =2$ , то $4 4 3v + 16v =84$ , откуда $4∘-84- v = 19$ ; тогда $v 4∘21 4∘ 84- x= u = 76,y = uv = 2⋅ 19$ .

Ответ:

$(1;3),(4∘-21;2⋅ 4∘ 84) 3 76 19$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#93103

Решите систему уравнений

{ x+ √x+-2y− 2y = 7 x2+x +2y− 4y2 =227 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать нижнее уравнение.

Подсказка 2

Воспользуйтесь формулой разности квадратов. Можно ли сделать замену?

Подсказка 3

Пусть a = x - 2y, b = √(x + 2y).

Показать ответ и решение

Пусть $x − 2y = a,√x+-2y = b≥0$ . Тогда

(| 7 |{ a+ b= 2 (1) ||( 2 2 27 b a+ b= 2 (2)

Из $(1)$ получаем, что $7 a= 2 − b.$ Подставим во $(2):$

2( 7 ) 2 27 b 2 − b + b = 2

Домножим обе части уравнения на $2$ и раскроем скобки:

−2b3+ 7b2+2b2 = 27

2b3 − 9b2− 27 =0

Подберём корни: $b= 3$ — один из корней. Тогда вынесем $(b− 3)$ за скобки:

2 (b− 3)(2b − 3b− 9)=0

Найдём корни второй скобки: $b1 = 3,b2 = − 3 2$ — не подходит, так как $b≥ 0.$ Значит, единственное возможное значение $b$ — это $3.$

Тогда $a = 7− b= 1. 2 2$ Получаем систему:

(| 1 { x − 2y = 2 (3) |( x +2y = 9 (4)

Отсюда получаем, что $x= (3)+(4)= 19,y = (4)−-(3)= 17. 2 4 4 8$

Таким образом, система уравнений имеет единственное решение — $(19 17) 4 ;8 .$

Ответ:

$(19;17) 4 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#70347

Числа $x$ и $y$ удовлетворяют условиям $x2+ y2 = 1$ и $20x3− 15x =3.$ Найдите $|20y3− 15y|.$

Источники: СпбОШ - 2015, задача 11.3(см. www.pdmi.ras.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Подберём $α$ таким образом, чтобы выполнялось равенства $x= sin(α),y = cos(α).$ Тогда $3 3 sin(3α)= 3sin(α)− 4sin (α)=3x− 4x = −3∕5.$ Следовательно,

3 3 |20y − 15y|= |20cos(α)− 15cos(α)|=

∘-----2--- = |5cos(3α)|= 5 1 − sin (3α) =4

Второе решение.

Найдём значение выражения $|4y3− 3y|.$ Для этого достаточно найти значение его квадрата, а потом извлечь корень. Но квадрат этого выражения равен

3 2 2 2 2 4 2 |4y − 3y|= y (4y− 3) =y (16y − 24y + 9).

Подставим $1− x2$ вместо $y2,$ преобразуем и получим выражение

6 4 2 2 2 (3)2 16 − 16x + 24x − 9x + 1= 1− x(4x− 3) = 1− 5 = 25-

Следовательно, $()2 |4y3− 3y|2 = 45 ,$ откуда и находим ответ.

Ответ:

$4$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#31983

Решите систему уравнений

{ x2− 4xy+ 4y2 = 2x− 4y+3; √3x-− 6y = 2− xy.

Источники: Физтех-2014, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните формулы сокращённого умножения.

Подсказка 2

Сделайте замену t = x - 2y.

Показать ответ и решение

С учётом замены $t=x − 2y$ первое уравнение равносильно $t2 = 2t+3 ⇐⇒ t= −1$ или $t=3$ , однако для неотрицательности подкоренного во втором уравнении $t≥ 0$ , откуда подходит только $t= x− 2y = 3$ . С учётом первого уравнения системы второе уравнение превращается в $2− xy = 3⇐ ⇒ xy = −1$ . Мы преобразовали систему из условия к:

{ x= 2y+3; (2y+ 3)y +1= 0.

Тогда $y = −3±√9−-8,x = −3±1-+3 = 3±1- 4 2 2$ .

Ответ:

$(1;− 1),(2;−1∕2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#78978

Решить систему

(| x2 = 2∘y2-+1; { y2 = 2√z2−-1− 2; |( 2 √-2--- z = 4 x + 2− 6.

Источники: Ломоносов - 2013, 11 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Корни выглядят очень неприятно, так что давайте попробуем от них избавиться! Что для этого можно сделать?

Подсказка 2

Да, давайте обозначим каждый из корней какой-то своей буквой, например a, b, c. Тогда каждую из исходных переменных x, y, z — можно выразить через новые a, b, c! Какую систему мы тогда получим?

Подсказка 3

Мы получим систему(с точностью до обозначений): {a² - 2 = 2b; b² - 1 = 2c - 2; c² + 1=4a - 6;} Теперь остаётся придумать, что делать с этой системой...

Подсказка 4

Давайте сложим все три уравнения и перенесём всё в одну часть! Тогда можно выделить три полных квадрата, сумма которых равна нулю. Чтобы закончить решение, достаточно найти такие a, b, c, которые удовлетворяют полученному уравнению и сделать обратную замену!

Показать ответ и решение

Введём обозначения $a= √x2+-2, b= ∘y2+-1, c= √z2−-1.$ Получится система