Системы уравнений и неравенств → .01 Арифметические операции над системой

Пусть какая-то переменная равна например, Но тогда и что противоречит условию. Таким образом, все переменные ненулевые. Пусть какая-то переменная равна например, Тогда противоречие с условием. Значит, среди переменных тоже нет.

Давайте перемножим все равенства. С учётом рассуждений, описанных выше, мы можем сократить в полученном равенстве одинаковые множители и получить равенство Теперь запишем четыре равенства из условия и только что полученное равенство в следующем виде: Если их перемножить и сократить на одинаковые множители, получим требуемое.

Общее решение в целых числах уравнения имеет вид , , где – целое число. Перепишем уравнения:

Перемножим эти два уравнения:

Из рациональности следует, что равенство возможно только если

Выразим из каждого уравнения:

Рассмотрим возможные варианты.

Случай 1. :

Случай 2. :

Первое уравнение эквивалентно второе: Вычтем второе уравнение из первого, получим откуда

1.

Подставим в первое уравнение: Тогда Обе пары подходят.

2.

Подставим в первое уравнение: Тогда Обе пары подходят.

Вычтем из первого уравнения второе:

Если , то и первое уравнение системы

не имеет решений. Значит, и система сводится к одному уравнению

которое имеет решение относительно при всех

Таким образом, , при этом любое положительное значение произведение может принять: достаточно взять

Вычтем из первого уравнения второе:

Случай 1:

Подставляем в : . Тогда получаем два решения:

Прямая подстановка в условие показывает, что оба решения подходят.

Случай 2:

Подставляем в :

Так как , то здесь нет решений.

Поделим первое уравнение на второе

Теперь перемножим уравнения исходной системы

Воспользуемся, что

Тогда

Проверив, получаем, что решение —

Заметим, что Домножим второе уравнение на

Теперь подставим первое равенство во второе

Рассмотрим два случая:

1) Пусть тогда

Проверив, получаем, что — решение.

2) Пусть тогда

При

Значит, такого быть не может. При

Проверив, получаем, что — решения.

Несмотря на то, что при виде условия хочется плакать, можно домножить первое уравнение на , второе на и сложить все три уравнения, чтобы избавиться от и выделить

В первом случае получаем систему

В зависимости от знака оно принимает значения , откуда и получаем второе уравнение. Рассмотрим оба случая

• . Но тогда левая часть неотрицательная, а правая — отрицательна, решений нет.
• . Получаем решение , далее сократим на скобку , получим . Заметим, что в левой части монотонная функция, поэтому решений не более одного. Нетрудно угадать, что подойдёт только .

Итак, , при этом (нам подошёл второй случай), откуда .

Вернёмся к случаю . Отсюда получаем

Из первого уравнения , подставляем

• , в этом случае решений нет.
• , здесь . Отсюда сразу же находим . Наконец, найдём .

Разложим каждое уравнение в произведение скобок

Решение последней системы:

Домножим второе уравнение на и сложим с первым, тогда получим:

Тогда из последнего уравнения следует, что Проверяем полученный ответ:

Вычтем последнее уравнение системы из первого:

По условию все числа различны, значит скобка не равна нулю. Отсюда то есть Получается, наша система равносильна следующей:

Так как числа и положительны, то Тогда

Прибавим к первому уравнению два других и выделим полные квадраты по каждой переменной:

Следовательно, единственное возможное решение. Проверим это подстановкой в уравнения системы:

Вычтем из первого уравнения второе и получим равносильную систему:

В итоге получаем две пары и пишем ответ.

Эту задачу легче всего решат те, кто хорошо знает формулу квадрата суммы трех чисел: . При этом ее надо узнавать справа налево, т.е. сложить все три уравнения системы, раскрыть скобки и убедиться, что слева стоит полный квадрат выражения .

Справа будет число . Отсюда имеем два случая: и

1) . Применим формулу разности квадратов к каждому из уравнений системы. Получим, что

Подставив вместо число , будем иметь простую систему

которая легко решается: .

2) . Этот случай разбирается в точности так же, как и предыдущий, с заменой соответствующих знаков на минусы.

Сложим уравнения:

Осталось проверить решения, подставив их в первое уравнение, откуда получаем ответ.

Если , то сложим эти два уравнения и получим . Значит, . Из исходной системы находим

Если , то рассмотрим разность уравнений системы:

Если , то и из системы находим . Если , то и из системы находим

Сложим уравнения:

Сумма квадратов двух чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из чисел равно нулю. Поэтому из последнего равенства и . Мы нашли решение следствия системы, но не факт, что оно является решением исходной системы. Но после подстановки найденных значений и убеждаемся, что они подходит, и пишем ответ.

Сложив уравнения, получим:

Теперь напишем их разность:

Откуда получаем единственное решение . Проверять его не нужно, поскольку система из суммы и разности уравнений вместе эквивалентна изначальной.

Допустимые значения и определяются условием , а произведение правых частей уравнения равно . Перемножив уравнения системы, получим или .

Так как обе части уравнений системы отличны от нуля, то система из первого уравнения и уравнения-следствия после перемножения равносильна исходной системе. Исключая из системы, получаем . Отсюда , тогда , .

Равенства из условия переписываются в виде и . Если их сложить, то мы получим, что . Отсюда следует, что . В силу того, что числа положительны, то . Из равенств выше, следует, что , а . Далее подстановкой получаем, что .