Тема АЛГЕБРА

Системы уравнений и неравенств → .01 Арифметические операции над системой

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Системы уравнений и неравенств

Арифметические операции над системой

Замены переменных

Оценки в системах

Симметрия или цикличность в системе

Однородные и сводящиеся к ним

Сведение системы к квадратному

Системы неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#107057

Для попарно различных вещественных чисел $a,b,c,d,e$ оказалось, что

(| ab+ b= ac+a, |||{ bc+ c= bd+ b, | |||( cd+ d= ce+c, de+ e= da+ d.

Докажите, что $abcde= 1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам сказали, что числа различны, то есть их разности не 0. Полезно перенести слагаемые в разностях из условия, чтобы возникли разности: например a(b-c)=a-b.

Подсказка 2

Так можно написать 4 выражения. Слева и справа встречаются почти все попарные разности, так что хочется перемножить все эти выражения, но одного не хватает. Где его взять?

Подсказка 3

Для этого можно перемножить все выражения из условия и сократить их! Только стоит не забывать, что делить на 0 нельзя.

Показать доказательство

Пусть какая-то переменная равна $0,$ например, $a.$ Но тогда и $b=0,$ что противоречит условию. Таким образом, все переменные ненулевые. Пусть какая-то переменная равна $− 1,$ например, $a.$ Тогда $c= −1,$ противоречие с условием. Значит, $− 1$ среди переменных тоже нет.

Давайте перемножим все равенства. С учётом рассуждений, описанных выше, мы можем сократить в полученном равенстве одинаковые множители и получить равенство $e(b+ 1)=a(e+ 1).$ Теперь запишем четыре равенства из условия и только что полученное равенство в следующем виде: $a(b− c)= a− b,$ $b(c− d)=b− c,$ $c(d− e)=c− d,$ $d(e − a)= d− e,$ $e(a− b)= e− a.$ Если их перемножить и сократить на одинаковые множители, получим требуемое.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#119624

Целые числа $x$ и $y$ связаны уравнением $2x− 3y = 1$ и имеют вид $x= 12a+ b√5,y = ba−1+ 3√5$ для некоторых чисел $a$ и $b.$ Найти $x,y$ и $a,$ если известно, что число $b$ рациональное.

Источники: Росатом - 2025, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В данный момент у нас есть 3 уравнения и 4 переменные. Можно ли как-то уменьшить количество переменных, использую условие?

Подсказка 2

Одно из уравнений — линейное и целочисленное. Давайте выразим его общее решение через некоторую новую переменную (например, t) и будем использовать её вместо х и у.

Подсказка 3

Итак, теперь переменных 3. Давайте посмотрим на два других уравнения. В одном есть слагаемое с a, а в другом с числом, обратным а. Не возникает ли у вас желания перенести эти слагаемые в одну сторону, остальное — в другую и перемножить уравнения? Останется всего лишь две переменные.

Подсказка 4

Теперь давайте вспоминать про рациональность b. Посмотрите внимательно на равенство, которое получилось. В левой части находится выражение вида m + n√5 = h, где m, n, h — рациональные, а вот √5 — не очень рациональный. Какие соотношения для m, n, h должны выполняться, чтобы равенство было верным?

Показать ответ и решение

Общее решение в целых числах уравнения $2x − 3y = 1$ имеет вид $x= 3t− 1$ , $y = 2t− 1$ , где $t$ – целое число. Перепишем уравнения:

{ √- 3t− 1− b√5= 12a− 1 2t− 1− 3 5= ba

Перемножим эти два уравнения:

√ - √- (3t− 1− b 5)(2t− 1− 3 5)= 12b

(3t− 1)(2t− 1)+ 15b− √5(3(3t− 1)+ b(2t− 1))= 12b

Из рациональности $b$ следует, что равенство возможно только если

{ 3(3t− 1)+b(2t− 1)= 0 (3t− 1)(2t− 1)+ 15b= 12b

Выразим $b$ из каждого уравнения:

3(3t−-1) (3t− 1)(2t−-1) b= − 2t− 1 = − 3

(2t− 1)2 =9

[ t= 2 t= −1

Рассмотрим возможные варианты.

Случай 1. $t =2$ :

{ x= 3t− 1= 5 5(1+ √5) y = 2t− 1= 3 ⇒ b=− 5⇒ a= ---12---

Случай 2. $t =− 1$ :

{ √- x= 3t− 1=− 4 ⇒ b= −4 ⇒ a= -5−-1 y = 2t− 1 =− 3 3

Ответ:

$x = 5, y = 3, a = 5(1+-√5); x =− 4, y = −3, a = √5−1 1 1 1 12 2 2 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#119867

Найти все пары действительных чисел $a$ и $b,$ удовлетворяющих системе уравнений.

{ a= -6- b= a+5b- 3a−b

Источники: Всесиб-2025, 11.1(см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

От знаменателей точно нужно избавляться, но не забудьте про ОДЗ.

Подсказка 2

Равенства получились не очень удобные. Одну переменную через другую не выразить. Зато можно попробовать сложить или вычесть, вдруг получится что-то хорошее?

Показать ответ и решение

Первое уравнение эквивалентно $a2+ ab= 6,$ второе: $3ab− b2 =5.$ Вычтем второе уравнение из первого, получим $a2 − 2ab+ b2 = (a− b)2 = 1,$ откуда $a= b± 1.$

1.: $a =b− 1.$ Подставим в первое уравнение: $2 2b− 3b− 5 =0,$ $−-3±√49 b= 4 .$ Тогда $3 a= 2;−2.$ Обе пары подходят.
2.: $a =b+ 1.$ Подставим в первое уравнение: $2 2b+ 3b− 5 =0,$ $− 3±√49 b= ---4--.$ Тогда $3 a= 2,−2.$ Обе пары подходят.

Ответ:

$±(2,1),±(3,5) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#120666

Найдите все тройки вещественных чисел $x,y,z,$ для которых справедливо равенство множеств:

{ x− y y− z-z-− x} {x,y,z}= y− z ,z− x,x − y

Источники: Курчатов - 2025, 11.6 ( см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте рассмотреть, какими могут быть искомые вещественные числа: положительными или отрицательными.

Подсказка 2

Если перемножить xyz в левой части равенства множеств, мы увидим, что оно равно 1, так как равно перемноженной правой части. Тогда попробуйте рассмотреть несколько случаев, связанных с сравнением между собой переменных и 0.

Подсказка 3

Попробуйте составить систему уравнений, руководствуясь сравнением дробей с нулем и друг между друг другом. Попробуйте рассмотреть их числители и знаменатели.

Показать ответ и решение

Заметим, что $xyz = x−-y⋅ y−z⋅ z−x =1, y− z z−x x−y$ поэтому среди чисел $x,$ $y$ и $z$ либо два отрицательных и одно положительное, либо все положительные. Без ограничения общности будем считать, что число $x$ — наибольшее, тогда ясно, что числа $x−y- y−z$ и $y−-z z− x$ имеют разные знаки, значит, $x >0 >y,z.$ Разберем два случая.

Случай 1. $x> 0> y > z$ . В этом случае легко видеть, что $y−z x−-z x−z < x− y$ (числитель меньше числителя, знаменатель больше знаменателя, и все разности положительны). Поэтому $y−z z−-x 0 >z−x > x−y$ и

( |||{ xy − xz =x− y | yz − yx= y− z ||( zx − zy = z− x

Домножая на знаменатели, получаем систему из трех уравнений:

( ||| xy − xz =x− y { yz − yx= y− z |||( zx − zy = z− x

Заметим, что сумма трех этих равенств равна $0,$ поэтому можно рассматривать только первые два. Выражая из второго равенства переменную $y,$ находим $-z--- y = x− z+1.$ Подставляя это выражение в первое равенство и упрощая, получаем:

−1− x − 1 z =--x--, y =1-+x

Когда переменная $x$ будет пробегать все возможные положительные значения, эти две формулы будут описывать соответствующие значения переменных $y$ и $z.$

Заметим, что мы рассматривали случай, когда переменная $x$ — наибольшая. Если придать переменной $x$ отрицательные значения, полученные формулы будут давать ответ в ситуациях, когда наибольшей является переменная $y$ или $z.$ Таким образом, первая серия ответов выглядит следующим образом:

( ) (x,y,z)= t,−--1-,− 1+-t , t∈ℝ ∖{0,−1} t+ 1 t

Случай 2. $x > 0> z > y.$ В этом случае мы получаем аналогичную серию равенств:

x = y− z-, y = x−-y, z = z− x z− x y− z x− y

Домножая на знаменатели, получаем систему из трех уравнений:

( |||{ xz− x2 =y− z | y2− yz = x− y ||( zx − zy = z− x

Складывая эти равенства, получаем формулу $(x− y)(x+ y− 2z)= 0.$ Учитывая, что $x ⁄=y,$ находим $2z = x+ y.$ Тогда $z− x =y − z,$ и первое уравнение нашей системы переписывается в виде $x(z− x)= z− x.$ Вновь вспоминая, что $x⁄= z,$ находим $x =1.$ Остается решить несложную систему:

( {z− yz = z− 1 ( y+ 1= 2z

Решая ее, находим ответ $y = −2$ и $z = − 1 2$ (мы учитываем, что $z >y).$

Вновь циклически переставляя найденные ответы, получаем еще три тройки:

( 1) ( 1 ) ( 1 ) 1,−2,−2 , − 2,1,−2 , −2,−2,1

Ответ:

$(x,y,z)= (t,−-1-,− 1+t), t∈ ℝ∖ {0,−1} t+1 t$

$( 1) ( 1 ) ( 1 ) 1,−2,−2 , − 2,1,−2 , −2,−2,1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#126183

Ненулевые числа $x,y,z$ удовлетворяют системе уравнений

(| xy =3z+ z2 { yz =3x+ x2 |( 2 zx =3y+ y

Найдите все возможные значения выражения $(x+ 3)2+ (y+3)2+ (z+ 3)2,$ если известно, что система имеет хотя бы одно решение в ненулевых числах.

Источники: Физтех - 2025, 10.1 ( см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда мы видим подобные системы, нередко хочется сложить все уравнения, но пока что не очень понятно, что нам это может дать – всё-таки нам хочется как-то выделить выражения х + 3, у + 3 и z + 3 (или хотя бы выразить квадраты наших переменных), можно ли как-то это сделать?

Подсказка 2

Ага, если преобразовать правые части уравнений, как раз получатся нужные нам скобочки! Но сильно легче от этого не стало, ведь мы даже не можем ничего сократить, в каждом уравнении все еще есть все три переменные :( Давайте тогда получим одно длинное уравнение таким образом, чтобы справа и слева какие-то части можно было сократить.

Подсказка 3

Перемножим наши уравнения, разделим результат на xyz (так как числа ненулевые, мы с чистой совестью можем это сделать), раскроем скобочки и по возможности упростим результат, видим, что в полученном уравнении есть сумма попарных произведений чисел х, у и z, которую очень просто можно выразить через исходную систему, каким образом можно это сделать?

Подсказка 4

Конечно же, просто сложив наши уравнения! Теперь в нашем равенстве есть сумма квадратов и сумма самих переменных, остается понять, что нужно добавить к равенству, чтобы получилось интересующее нас выражение.

Показать ответ и решение

Перемножим левые и правый части уравнений:

2 2 2 xy⋅yz⋅zx =(3z+ z)(3x +x )(3y+ y )

xy⋅yz⋅zx= xyz(3+ z)(3+ x)(3+y)

$x,y,z$ — ненулевые числа. Разделим обе части на $xyz :$

xyz =(x+ 3)(y+ 3)(z+ 3)

Раскроем скобки:

xyz = xyz+ 3xy+ 3xz +3yz+ 9x +9y+ 9z+ 27

(xy +yz+ zx)+3(x+ y+z)= −9

Сложим три уравнения системы:

xy+ yz+xz =3(x+ y+ z)+ x2+ y2 +z2

Подставим в предыдущее равенство:

x2+y2+ z2+ 6(x+ y+ z) =− 9

В итоге получим

2 2 2 2 2 2 (x+ 3) +(y+ 3) + (z +3) = x +y + z + 6(x+ y+ z)+27= 18

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#126311

Найти все тройки действительных чисел $a,b,c$ , удовлетворяющих системе уравнений:

(| ab− c=3 { a+ bc=4 |( 2 2 a + c =5

Источники: Всесиб - 2025, 10.2 ( см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А как обычно решаются системы? Что-то складываем, что-то вычитаем... Есть ли в задаче намёк на то, как и что следует сложить?

Подсказка 2

3² + 4² = 5².

Подсказка 3

Получим, что b = ±2. Рассмотрим оба случая. Вам останется только решить системы с 2 неизвестными.

Показать ответ и решение

Сложим первое и второе уравнения, возведя их в квадрат:

2 2 2 2 (ab− c) + (a +bc) =3 + 4

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b − 2abc+c + a +2abc+ bc = (b + 1)(a +c )= 3 +4 = 25

Из 3 уравнения знаем, что $a2+ c2 = 5,$ тогда

5(b2+1)= 25

b= ±2

1) $b=2$

Из первого уравнения

c= 2a − 3

Подставим это в третье уравнение:

5a2− 12a+ 4= 0

2 a= 2;5

Имеем 2 кандидата на решение:

a= 2; b= 2; c= 1

2 11 a= 5; b= 2; c=− 5

Первая тройка второму уравнению удовлетворяет, а при подстановке второй во второе уравнение получим в левой части $− 4,$ следовательно, первая тройка является искомым решением.

2) $b=− 2$

Из первого уравнения

c= 2a − 3

Подставим это в третье уравнение:

2 5a + 12a+ 4= 0

a =− 2;− 2 5

Имеем 2 кандидата на решение:

a =− 2; b= −2; c= 1

a= − 2; b= −2; c= − 11 5 5

Вторая тройка второму уравнению удовлетворяет, но, при подстановке первой во второе уравнение, получим в левой части $− 4,$ следовательно, вторая тройка является искомым решением.

Итого получаем

a= 2; b= 2; c= 1

a= − 2; b= −2; c= − 11 5 5

Ответ:

$a =2;b= 2;c= 1$ и $a= 2;b= −2;c=− 11 5 5$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#79602

Про действительные числа $a,b,c$ известно, что

{ ac− 2= 9b2; 3bc− 2= a2

Найдите все значения, чему может быть равно $ab$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, система не кажется достаточно приятной, чтобы работать с ней в её начальном виде. Как же преобразовать? Свободные коэффициенты и соответствующие коэффициенты перед a и b равны! Значит, надо…

Подсказка 2

Надо вычесть из первого уравнения второе — полученное выражение будет раскладываться на скобки. Достаточно ли нам этого? Давайте проверим, может ли каждая из скобок быть равна 0. Лучше начать с подстановки самой неприятной скобки, ведь вдруг она не может быть равна 0 и с ней не надо разбираться. Чему тогда равно произведение ab, и что может его ограничивать?

Подсказка 3

Одна из скобок не равна 0, а значит, a = 3b, а тогда ab = 3b². Теперь понятно, как ограничено выражение ab. Как тогда понять, достигается ли каждое из предполагаемых нами значений, или же существуют некоторые выколотые точки или даже удалённые интервалы? Верно, предъявить значения параметров, при которых достигается любой элемент из предполагаемого множества значений!

Показать ответ и решение

Вычтем из первого уравнения второе:

c(a− 3b)= (3b− a)(3b+ a)

(a− 3b)(a +3b+ c)= 0

Если $a+ 3b+ c= 0$ , то $a= −3b− c$ и первое уравнение системы

27b2- (3b )2 4 + 2 +c = −2,

не имеет решений. Значит, $a= 3b$ и система сводится к одному уравнению

3bc= 9b2 +2,

которое имеет решение относительно $c$ при всех $b⁄= 0:$

2 c= 9b-+-2 3b

Таким образом, $ab= 3b2 > 0$ , при этом любое положительное значение $d> 0$ произведение $ab$ может принять: достаточно взять

∘ -- d 9b2+2- b = 3,a= 3b,c= 3b

Ответ:

$(0,+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#92168

Решите систему

{ 2x2− x − 3y =0 2y2+y +3x= 0

Показать ответ и решение

Вычтем из первого уравнения второе:

2(x− y)(x+ y)− 4(x+ y)=0

2(x+ y)(x− y− 2)= 0

Случай 1: $x = −y$

Подставляем в $(2)$ : $2y2− 2y = 0$ . Тогда получаем два решения:

{ y =0 { y =1 x =0 и x =− 1

Прямая подстановка в условие показывает, что оба решения подходят.

Случай 2: $x = y+2$

Подставляем в $(2)$ :

2y2+ y+ 3(y+ 2)= 0

2y2+ 4y+ 6= 0

Так как $D < 0$ , то здесь нет решений.

Ответ:

$(0,0),(−1,1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92170

Решить систему

{ x2y3 = 16 x3y2 = 2

Показать ответ и решение

Поделим первое уравнение на второе

y x = 8

y = 8x

Теперь перемножим уравнения исходной системы

55 x y =32

xy = 2

Воспользуемся, что $y = 8x$

8x2 =2

1 x2 = 4

⌊ | x= 12 |⌈ 1 x= − 2

Тогда

⌊ ( | |{ x= 12 || |( ||| y = 4 || (|{ x= − 1 |⌈ 2 |( y = −4

Проверив, получаем, что решение — $(1 ) 2;4 .$

Ответ:

$(1;4) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92171

Найдите все действительные решения системы уравнений

{ x9− x8− 2y2 = 0 7 y3 2 3 x + x4 = y +yx

Показать ответ и решение

Заметим, что $x⁄= 0.$ Домножим второе уравнение на $2x4$

({ 2y2 = x9− x8 ( 2x11+ 2y3 =2x4y2+2yx7

Теперь подставим первое равенство во второе

2x11+y(x9− x8)= x4(x9− x8)+2yx7

2x4+ y(x2− x)= x4(x2− x)+ 2y

2 4 2 y(x − x− 2)= x (x − x− 2)

⌊ ⌈ y = x4 x2− x − 2 =0

Рассмотрим два случая:

1) Пусть $y = x4,$ тогда

x9− x8− 2x8 = 0

x= 3

Проверив, получаем, что $(3;81)$ — решение.

2) Пусть $x2 − x− 2= 0,$ тогда $x∈{−1;2}.$

При $x= −1$

−2y2 = 2

y2 =− 1

Значит, такого быть не может. При $x= 2$

29− 28− 2y2 = 0

y2 = 27

[ y =8√2 y =−8√2-

Проверив, получаем, что $(2,8√2),(2,− 8√2-)$ — решения.

Ответ:

$(3,81),(2,8√2-),(2,−8√2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#63598

Решите систему уравнений

(| 6x +y2− z2 = 6 { x2− y − 4z = −4, |( 2 2 2 21x − 2y +3y =22z

Показать ответ и решение

Несмотря на то, что при виде условия хочется плакать, можно домножить первое уравнение на $2$ , второе на $3$ и сложить все три уравнения, чтобы избавиться от $y$ и выделить $x − z$

2 2 2 2 12x− 2z − 12+ 3x − 12z+ 12 +21x − 22z = 0

(x − z)(12+ 24x +24z)= 0 ⇐ ⇒ x = z или 1+ 2x+ 2z = 0

В первом случае получаем систему

(|{ 6x+ y2− x2 =6 { 2 2 x2− y− 4x = −4 =⇒ y =2 x −2 4x +4= (x− 2)≥2 0 √- |( x2 = −2y2+ 3y y = x − 6x+ 6= (x− 2) − 2x+2 =y ±2 y − 2

В зависимости от знака $x− 2$ оно принимает значения $∘------ ± (x− 2)2$ , откуда и получаем второе уравнение. Рассмотрим оба случая

$y2 = y− 2√y− 2 =⇒ y2 ≤y =⇒ y ∈ [0,1]$ . Но тогда левая часть неотрицательная, а правая — отрицательна, решений нет.
$y2 = y+ 2√y− 2 =⇒ y(√y − 1)(√y +1)= 2(√y-− 1)$ . Получаем решение $y = 1$ , далее сократим на скобку $√y-− 1$ , получим $y(√y+ 1)= 2$ . Заметим, что в левой части монотонная функция, поэтому решений не более одного. Нетрудно угадать, что подойдёт только $y = 1$ .

Итак, $y =(x− 2)2 =1$ , при этом $x − 2= −∘ (x−-2)2$ (нам подошёл второй случай), откуда $x− 2= −1,x= z = 1$ .

Вернёмся к случаю $2x +2z+ 1= 0,2z = −1 − 2x$ . Отсюда получаем

{ 24x+4y2− 4x2− 4x− 1= 24 { 4y2 = 4x2− 20x+ 25= (2x− 5)2 x2− y+4x+ 2= −4 ⇐⇒ y = x2+ 4x+ 6

Из первого уравнения $2y =± (2x− 5)$ , подставляем

$2x2+ 8x+12 =2x− 5 ⇐⇒ 2x2+6x+ 17= 0$ , в этом случае решений нет.
$2x2+ 8x+12 =− 2x +5 ⇐⇒ 2x2+ 10x +7= 0$ , здесь $x = −-5±√11 2$ . Отсюда сразу же находим $z = −1∕2− x =2 ∓ √11 2$ . Наконец, найдём $y =− x+ 5∕2= 5∓ √11 2$ .

Ответ:

$(1,1,1),(−5+√11,5− √11,2− √11),(−5−√11,5 + √11,2+ √11) 2 2 2 2 2 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#64443

Решите систему уравнений

{ xy+ 3y2− x +4y− 7= 0; 2xy+ y2− 2x− 2y+ 1= 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В контексте этой задачи можно действовать по-разному. Например, если домножить первое уравнение на некоторое число и вычесть из него второе, можно избавиться от одной из переменных.

Подсказка 2

Также можно попробовать разложить левые части уравнений на скобки.

Показать ответ и решение

Разложим каждое уравнение в произведение скобок

{ (y− 1)(x+3y+ 7)= 0 { x+ 3y +7 =0 (y− 1)(2x +y− 1)= 0 =⇒ y =1 или 2x+y − 1 =0

Решение последней системы: $(2,−3).$

Ответ:

$(2;− 3),(c;1), где c ∈ℝ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#77203

Решите систему уравнений

{ x2 − 4x− 12y− 18= 0; y2 +x+ 6y+ 6,75= 0.

Показать ответ и решение

Домножим второе уравнение на $4$ и сложим с первым, тогда получим:

2 2 x − 4x− 12y− 18 +4(y +x+ 6y+ 6,75)=0

2 2 2 2 x +4y + 12y+ 9= 0⇒ x + (2y +3) = 0

Тогда из последнего уравнения следует, что $x= 0,y = − 3. 2$ Проверяем полученный ответ:

{ 02− 4⋅0− 12⋅(− 32)− 18= 0;− верно (− 3)2+ 0+ 6⋅(− 3)+6,75 =0.− верно 2 2

Ответ:

$x =0,y = − 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#97664

Различные положительные числа $a,b,c$ таковы, что

(| a2+ bc =115; { b2+ ac =127; |( 2 c + ab =115.

Найдите $a +b+ c.$

Если ответов несколько, введите их через пробел.

Показать ответ и решение

Вычтем последнее уравнение системы из первого:

2 2 a + bc− c − ab= 115− 115

(a− c)(a+ c)− b(a− c)= 0

(a − c)(a − b+ c)=0

По условию все числа различны, значит скобка $(a − c)$ не равна нулю. Отсюда $(a− b+ c)= 0,$ то есть $b=a +c.$ Получается, наша система равносильна следующей:

{ a2+ c(a+ c)= 115 (a+c)2+ ac =127

{ a2+ c2+ ac= 115 a2+ c2+ 3ac= 127

{ 2ac= 122 (a+ c) + ac=127

{ ac= 62 (a+c) = 121

Так как числа $a$ и $c$ положительны, то $(a+ c)=11.$ Тогда $a+ b+ c=2 (a+ c)=22.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#99220

Решить систему уравнений:

( x2+ 25y+ 19z = −471 |{ 2 |( y2+23x+ 21z = −397 z +21x+ 21y = −545

Источники: Газпром - 2023, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не совсем понятно, как работать с уравнениями по отдельности, поэтому попробуем их как-то связать. Что можно сказать о коэффциеинтах при каждой переменной?

Подсказка 2

Все коэффициенты нечётны, так что просто выделить полный квадрат вряд ли получится (и будет полезным). Но что можно сделать, чтобы всё-таки их собрать?

Подсказка 3

Сложите три уравнения! Тогда в выражении у нас будут и удвоенные произведения, и квадраты!

Показать ответ и решение

Прибавим к первому уравнению два других и выделим полные квадраты по каждой переменной:

2 2 2 x + y +z + 44x+46y+ 40z =− 1413

2 2 2 x + 44x+y + 46y+ z+ 40z+ 1413= 0

x2+ 44x+484+ y2+46y+ 529+z2+ 40z+400= 0

(x+ 22)2+ (y +23)2 +(z+ 20)2 = 0

Следовательно, $x= −22,y =− 23,z = −20−$ единственное возможное решение. Проверим это подстановкой в уравнения системы:

( |{ (− 22)2+ 25⋅(−23)+ 19 ⋅(−20)= 484 − 575− 380= −471 | (− 23)2+ 23⋅(−22)+ 21 ⋅(−20)= 529 − 506− 420= −397, ( (− 20)2+ 21⋅(−22)+ 21 ⋅(−23)= 400 − 462− 483= −545.

Ответ:

$(−22;− 23;−20)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#31164

Решите систему уравнений

{ x2+ y2− x− 3y =0, x2+ y2− y− 3x =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Написано как будто два раза одно и то же, тем более как слагаемые. Первое выражение оставим как есть, а из второго вычтем первое.

Показать ответ и решение

Вычтем из первого уравнения второе и получим равносильную систему:

{ x2 +y2− x− 3y =0 x2 +y2− x− 3y − x2− y2+ y+3x =0.

{ x2+y2− x− 3y = 0 2x − 2y = 0

{ x2 +x2− x− 3x= 0 x= y

{ x(x− 2)= 0 x= y

В итоге получаем две пары и пишем ответ.

Ответ:

$(0,0),(2,2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#31176

Решите систему уравнений

(| (x +y)2− z2 =4; { (y +z)2− x2 =2; |( 2 2 (z+ x) − y =3.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если раскрыть все скобки, то получится три удвоенных попарных произведения, а также много квадратов чисел. Если бы сложили все уравнения, то что бы нам это напомнило?

Показать ответ и решение

Эту задачу легче всего решат те, кто хорошо знает формулу квадрата суммы трех чисел: $(x+ y+ z)2 =x2+ y2+ z2 +2xy+ 2xz+2yz$ . При этом ее надо узнавать справа налево, т.е. сложить все три уравнения системы, раскрыть скобки и убедиться, что слева стоит полный квадрат выражения $(x+ y+ z)$ .

Справа будет число $9$ . Отсюда имеем два случая: $x+ y+ z = 3$ и $x+ y+z =− 3.$

1) $x+y +z =3$ . Применим формулу разности квадратов к каждому из уравнений системы. Получим, что

( |{ (x+ y+ z)(x+y − z)= 4 |( (x+ y+ z)(−x+ y+ z)= 2 (x+ y+ z)(x− y +z)= 3

Подставив вместо $x +y+ z$ число $3$ , будем иметь простую систему

(| x+ y− z = 4∕3 { −x+ y+ z = 2∕3 |( x− y+ z = 1

которая легко решается: $x =7∕6,y = 1,z = 5∕6$ .

2) $x+y +z =−3$ . Этот случай разбирается в точности так же, как и предыдущий, с заменой соответствующих знаков на минусы.

Ответ:

$(7,1,5),(− 7,− 1,− 5) 6 6 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#31281

Найдите действительные решения системы уравнений

{ x2− 4x +4y+ 27= 0; y2+ 2x +8y+ 10= 0.

Показать ответ и решение

Сложим уравнения:

2 2 2 2 x − 2x+ 1+y + 12y+36= 0⇐ ⇒ (x − 1) + (y+ 6) =0 ⇐⇒ x= 1,y = −6

Осталось проверить решения, подставив их в первое уравнение, откуда получаем ответ.

Ответ:

$(1,− 6)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#31588

Решите систему

{ y− 2|x|+ 3= 0; |y|+ x− 3= 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Здесь логично будет раскрыть модуль сначала для какой-нибудь одной из переменных. Дальше можно что-нибудь сделать с уравнениями...

Подсказка 2

В каждом из случаев можно сложить или вычесть их. А дальше по необходимости можно раскрыть и модуль для другой переменной!

Показать ответ и решение

Если $y <0$ , то сложим эти два уравнения и получим $x − 2|x|= 0$ . Значит, $x= 0$ . Из исходной системы находим $y =− 3.$

Если $y ≥ 0$ , то рассмотрим разность уравнений системы: $x +2|x|− 6= 0.$

Если $x≥ 0$ , то $x= 2$ и из системы находим $y =1$ . Если $x <0$ , то $x =− 6$ и из системы находим $y =9.$

Ответ:

$(−6;9),(0;−3),(2;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#34755

Найдите все действительные решения системы уравнений

{ x2+ 7x− y+ 11 =0; y2+ 3x− y+ 15 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Квадратные трёхчлены —> полезно будет выделить полные квадраты! Но выделять их, когда на месте удвоенного числа стоят 7 или 3 не супер приятно. Может вспомним, что перед нами система? Что в ней часто спасает?

Подсказка 2

Сложите уравнения! Тогда уже полные квадраты выделяются чётко, и мы вновь получаем стандартную для оценки конструкцию, из которой явно находим икс и игрек. Получается, задачка решена?

Подсказка 3

А вот и нет! Когда мы складываем уравнения системы, мы получаем лишь её следствие – не факт, что все решения действительно подходят, так что обязательно нужно сделать проверку!

Показать ответ и решение

Сложим уравнения:

2 2 (2 ) ( 2 ) x +10x+ y − 2y +26= 0 ⇐⇒ x +10x+ 25+ y − 2y+ 1 = 0 ⇐⇒

2 2 ⇐⇒ (x +5) +(y− 1)= 0

Сумма квадратов двух чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из чисел равно нулю. Поэтому из последнего равенства $x =− 5$ и $y =1$ . Мы нашли решение следствия системы, но не факт, что оно является решением исходной системы. Но после подстановки найденных значений $x$ и $y$ убеждаемся, что они подходит, и пишем ответ.

Ответ:

$(−5;1)$

Следующая подтема