Тема АЛГЕБРА

Тождественные преобразования → .01 Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Преобразования с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119819

Про действительные числа $a,b,c,d$ известно, что

ab =cd= 2025, a+c =b+ d, a+ b⁄= c+ d

Чему может быть равно значение $a +b+ c+d?$

Источники: Турнир Ломоносова - 2025, 11.1(см. turlom.olimpiada.ru)

Показать ответ и решение

Поскольку $a+ c=b+ d,$ то $a− b= d− c.$ Отсюда

2 2 (a − b) = (d− c)

2 2 2 2 a + b− 2ab= c+ d − 2cd

Так как $ab= cd,$ добавим к обеим частям равенства $4ab:$

a2+b2− 2ab+ 4ab= c2+ d2− 2cd+ 4ab= c2+ d2− 2cd+ 4cd

a2+ b2+ 2ab= c2+ d2+ 2cd

(a +b)2 = (d+ c)2

|a +b|= |d+ c|

По условию $a+ b⁄= c+d,$ поэтому

a+ b= −c− d

Итак,

a+ b+ c+d =− c− d +c+ d= 0

Ответ:

Только $0$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#77403

Разность квадратов двух чисел равна 6, а если уменьшить каждое из этих чисел на 2, то разность их квадратов станет равна 18. Чему равна сумма этих чисел?

Показать ответ и решение

Пусть наши числа — $x$ и $y.$ Из условия следует система:

{ x2− y2 = 6 (x− 2)2 − (y− 2)2 = 18

Преобразуем второе уравнение системы — раскроем скобки по формуле сокращенного умножения:

2 2 x − 4x +4− (y − 4y+ 4)= 18

Раскроем скобки в этом равенстве и приведем подобные слагаемые в левой части:

x2− 4x+4 − (y2− 4y +4)= x2− 4x +4− y2+ 4y − 4= x2− y2− 4x +4y

Из первого уравнения системы $x2− y2 = 6.$ Подставляя это значение в полученное равенство, имеем:

6− 4x+ 4y = 18

Перенесем $6$ в правую часть и разделим равенство на $− 4$ :

x − y =− 3

Вернемся теперь к первому уравнению системы, в нем левую часть разложим по формуле сокращенного умножения:

(x− y)(x+ y)= 6

Теперь, подставим в это равенство $x− y = −3,$ тогда получаем:

− 3(x+ y)= 6

Разделив уравнение на $− 3,$ получаем нужное значение суммы $x+ y = −2.$

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#78953

Каждое из $2020$ положительных чисел равно сумме квадратов остальных $2019$ чисел. Найдите все эти числа.

Показать ответ и решение

Пусть наши числа равны $a,a ,...,a . 1 2 2020$ Рассмотрим разность двух соседних выражений из условия, то есть $a − a. 1 2$ Тогда почти все квадраты сократятся, кроме $2 a1$ и $2 a2.$ И того получим после разложения на скобки $(a1− a2)(a1+ a2)= 0,$ но числа у нас положительные, поэтому $a1 = a2.$ Аналогично проводя преобразования получим, что все $ai$ равны между собой. Ответ получить уже несложно.

Ответ:

Все числа равны $--1 2019$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#78955

Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят $50,$ а остальные больше $50,$ но не превосходят $100.$ При этом никакие два из них не отличаются ровно на $50.$ Найдите сумму этих чисел.

Показать ответ и решение

Вычтем $50$ из каждого числа, которое больше $50.$ Получатся $50$ разных чисел, то есть числа от $1$ до $50.$ Их сумма равна $1+ 2+ ...+ 50=25⋅51,$ а сумма исходных чисел — $25 ⋅51+ 25⋅50=25⋅101.$

Ответ:

$2525$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#80764

Из множества $M,$ состоящего из семи подряд идущих натуральных чисел, выбираются шестёрки попарно различных чисел такие, что сумма чисел в каждой из шестёрок — простое число. Пусть $p$ и $q$ — две из таких сумм. Найдите множество $M$ , если $2 2 p − q = 792.$

Источники: Физтех - 2024, 11.4 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — наименьшее натуральное число из $M.$ Тогда

M = {a, a+ 1,a+ 2,...,a +6}

Сумма всех $7$ чисел равна

6⋅7 7a+ 1+ 2+ ...+6 =7a+ 2 =7a+ 21

Переберем сумму шестёрок чисел:

. 6a+21 не подходит, так как.. 3 .. 6a+20 не подходит, так как. 2 6a+19 нет противоречий 6a+18 не подходит, так как ... 3 6a+17 нет противоречий .. 6a+16 не подходит, так как. 2 6a+15 не подходит, так как ... 3

Тогда, $p= 6a+ 19, q =6a+ 17.$ По условию задачи $p2 − q2 = 792$ или то же самое, что и

2 2 (6a+19) − (6a+ 17) = 792 =⇒ 2(12a+ 36)=792

2(a+ 3)=396 =⇒ a+3 =33 =⇒ a= 30

Следовательно, $M$ может быть только множеством

{30, 31, 32, 33, 34, 35, 36}

Проверка: $6a +19= 199$ — простое, $6a+ 17= 197$ — простое.

Ответ:

${30, 31, 32, 33, 34, 35, 36}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90236

Известно, что число $a+ 1 a$ — целое. Докажите, что число $a2+ 1- a2$ — тоже целое.

Показать доказательство

Так как $a+ 1 a$ — целое, его квадрат тоже целое число. Значит, $(a + 1)2 = a2+ 2+ 1 a a2$ — целое число. Но от искомого оно отличается только на целое число 2.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#92257

Дана функция

(x+-1)2+-x2 f(x)= (x+ 1)2− x2.

Найдите наибольшее целое число, не превосходящее числа $f(2024)$ .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 244, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуем функцию по аналогии с выделением целой части у дроби:

2x2+-2x-+1- x(2x+-1)+x-+1- x+-1- f(x)= 2x+ 1 = 2x +1 =x + 2x +1

Тогда

2025 f(2024)= 2024+ 4049

Так как второе слагаемое меньше $1,$ то наибольшее не превосходящее $f(2024)$ целое число это $2024.$

Ответ: 2024

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#58026

Даны два числа (не обязательно целые), не равные $0.$ Если каждое из них увеличить на единицу, их произведение увеличится вдвое. А во сколько раз увеличится их произведение, если каждое из исходных чисел возвести в квадрат и затем уменьшить на единицу?

Показать ответ и решение

Обозначим данные числа через $a$ и $b.$ По условию

(a+ 1)(b+ 1)= ab+ a+ b+ 1= 2ab

Приведя в последнем равенстве подобные члены, получаем

ab− a− b− 1= 0

Тогда

(a− 1)(b− 1)= ab− a− b+ 1= (ab − a − b − 1)+ 2= 0 +2 = 2 ( 2 )(2 ) a − 1 b− 1 = (a− 1)(b− 1)(a + 1)(b+ 1)= 2⋅2ab= 4ab

Ответ:

в $4$ раза

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#68640

Простые числа $p,q$ и $r$ таковы, что

2 2 2 p< q,p +q =r,p +q = r − 116

Найдите $p,q$ и $r.$

Показать ответ и решение

Возведём первое равенство в квадрат:

2 2 2 p +2pq+ q = r

Далее вычтем из полученного второе исходное равенство:

2 2pq =116= 2 ⋅29

Значит, учитывая, что $p< q,$ получаем:

p= 2,q = 29⇒ r= p+ q = 31

Ответ:

$p =2,q = 29,r= 31$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#89774

Известно, что $x:y =19:17$ . Найдите $x+-y x− y$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Из условия следует $x =19t,y =17t,$ тогда

x+-y 19t+17t 36t x− y = 19t− 17t = 2t = 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90319

Чему равна сумма выражений $√2023+-t2$ и $√999+t2$ , если их разность равна $8$ ?

Источники: ДВИ - 2023, вариант 238, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим $a= √2023+-t2, b= √999+-t2.$ По условию

a− b= 8

Рассмотрим $a2− b2$ :

a2− b2 =(∘2023+-t2)2− (∘999-+t2)2 = 2023+t2− 999 − t2 = 1024

Получили систему:

{ a− b =8 1024- a2 − b2 = 1024 =⇒ (a− b)(a +b)= 1024 =⇒ a+ b= 8 =128

Ответ: 128

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#97661

Уравнение $x4− 7x− 3= 0$ имеет ровно два действительных корня $a$ и $b,$ $a> b.$ Найдите значение выражения $a4−b4. a−b$

Показать ответ и решение

Так как число $a$ и $b$ является корнем уравнения $x4− 7x − 3 =0,$ то $a4− 7a− 3=0$ и $b4− 7b− 3 =0.$ Рассмотрим разность двух получившихся выражений:

(4 ) ( 4 ) a − 7a− 3 − b − 7b− 3 = 0

4 4 a − b− 7a+ 7b =0

a4− b4 = 7(a− b)

a4−-b4= 7 a− b

Мы смогли поделить обе части уравнения на $a− b,$ так как по условию числа $a$ и $b$ различны.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#30977

Два различных числа $x$ и $y$ (не обязательно целых) таковы, что

2 2 x − 2000x= y − 2000y

Найдите сумму чисел $x$ и $y.$

Показать ответ и решение

В данном выражении квадраты $x2$ и $y2$ изначально находятся с разных сторон от равенства. Давайте перенесём их в одну часть и разложим по формуле разности квадратов, а остальное выражение соберём в правой части:

2 2 x − y = 2000x − 2000y

(x− y)(x+ y)=2000(x − y)

В последнем выражении мы получили разность $x− y$ как множитель с обеих сторон равенства. Сократим на этот общий множитель: он не равен 0 из условия, что числа $x$ и $y$ различны. Получим $x+ y = 2000,$ а именно эту сумму нас и просили найти.

Ответ:

$2000$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#30978

Даны два ненулевых числа. Если к каждому из них прибавить единицу, а также из каждого из них вычесть единицу, то сумма обратных величин четырёх полученных чисел будет равна $0.$ Какое число может получиться, если из суммы исходных чисел вычесть сумму их обратных величин? Найдите все возможности.

Показать ответ и решение

Пусть нам даны числа $a$ и $b.$ Перепишем условие через равенства. Нам дано:

--1- --1- --1- --1- a+ 1 + b+ 1 + a− 1 + b− 1 = 0

Нужно найти $1 1 a+ b− a − b.$

Заметим, что выражение $a+ b− 1a − 1b$ определено, так как числа $a$ и $b$ ненулевые. Теперь приведем все дроби к общему знаменателю. Значит

2 2 -1--+ -1--+ -1--+ -1--= -22a--+ -22b--= 2a(b-−2-1)+-22b(a-−-1)= 0 a+ 1 b+ 1 a− 1 b− 1 a − 1 b − 1 (a − 1)(b − 1)

Итак, знаменатель не равен нулю — $a$ и $b$ не равны $±1$ — а числитель $2a(b2− 1)+ 2b(a2− 1) =2(ab2+ a2b− a − b)= 2(a+ b)(ab− 1)= 0$ равен нулю. Теперь нам нужно посчитать, чему равно $a +b− 1a − 1b = a2b+aab2b−a−b,$ но это выражение равно нулю, так как числитель равен нулю.

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#30982

В вершинах треугольника записано по натуральному числу, на каждой стороне — произведение чисел, записанных в её концах, а внутри треугольника — произведение чисел, записанных в его вершинах. Сумма всех семи чисел равна $1000.$ Какие числа записаны в вершинах треугольника?

Показать ответ и решение

Обозначим числа в вершинах через $x,y$ и $z.$ Тогда на сторонах будут написаны числа $xy,yz$ и $zx,$ а внутри — $xyz.$ По условию,

x+ y+z +xy+ yz+ zx +xyz = 1000

Добавим к обеим частям по единице и разложим на скобки:

1+ x+ y+z +xy+ yz+ zx +xyz = (1+x)(1+y)(1 +z)= 1001

Так как числа $x,y,z$ — натуральные, то каждая скобка больше $1.$ Число $1001 =7⋅11⋅13,$ и так как $7,11,13$ — простые числа, других разложений в произведение трёх натуральных чисел, больших единицы, у числа $1001$ нет. Значит, скобки равны $7,11$ и $13$ в каком-то порядке, а числа $x,y$ и $z$ — $6,10$ и $12.$

Ответ:

$6$ , $10$ и $12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#30994

Даны три числа. Если их все увеличить на $1,$ то их произведение тоже увеличится на $1.$ Если все исходные числа увеличить на $2,$ то их произведение тоже увеличится на $2.$ А на сколько увеличится произведение, если все исходные числа увеличить на $3?$

Показать ответ и решение

Пусть исходные числа это $a,b$ и $c$ , тогда:

(| (a+ 1)(b+ 1)(c+1)= abc+1 { (a+ 2)(b+ 2)(c+2)= abc+2 |( (a+ 3)(b+ 3)(c+3)= abc+x

(| a+b +c+ ab+bc+ ac=0 { 4(a+ b+ c)+ 2(ac+ bc+ab)+6 =0 |( 9(a+ b+ c)+ 3(ab+ bc+ac)+27= x

Из первых двух уравнений можно заключить

a+ b+c =− 3,ab+ bc+ ac= 3,

тогда из последнего

x= 27+9⋅(−3)+ 3⋅3= 9

Ответ:

$9$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#35453

Петя перемножил три подряд идущих натуральных числа, а к результату прибавил среднее число. Докажите, что получился куб какого-то натуральное числа.

Показать доказательство

Обозначим наши числа через $a− 1,a,a+1.$ Тогда Петя получил число $(a− 1)a(a +1)+ a= a3 − a+ a= a3.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#35456

Сумма четырех целых чисел равна $0.$ Числа расставили по кругу и каждое умножили на сумму двух его соседей. Докажите, что сумма этих четырех произведений, умноженная на $− 1,$ равна удвоенному квадрату целого числа.