Тема АЛГЕБРА

Тождественные преобразования → .02 Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Преобразования с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#107194

Положительные числа $x$ и $y$ таковы, что значение выражения

1 1 2- K = x +y + xy

не изменяется, если $x$ уменьшить на 1 , а $y$ — увеличить на 1. Найдите все возможные значения выражения

M =x3− y3− 3xy.

Источники: Физтех - 2025, 11.2 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Из условия следует, что выполняется равенство

1 1 2 1 1 2 x + y + xy-= x−-1 + y+-1 + (x−-1)(y+-1)

Преобразуя, получаем:

( ) ( ) ( ) -1--− 1 + --1- − 1 + 2 -----1---- − 1- = 0 x− 1 x y +1 y (x− 1)(y+ 1) xy

---1-- − --1---+ 2⋅--y-− x-+1-- x(x− 1) y(y+ 1) xy(x − 1)(y+ 1)

y(y +1)− x(x− 1)+2(y− x+ 1) =0

(y+ x+ 2)(y− x +1)= 0

Так как $x$ и $y$ — положительные числа, первый множитель положителен, поэтому второй множитель равен нулю, т.е. $x =y +1$ . Значит,

x3− y3 − 3xy = (y +1)3− y3 − 3y(y +1)= 1.

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#82696

Докажите, что если действительные числа $a$ , $b$ , $c$ удовлетворяют условию

1 1 1 ---1--- a + b + c = a +b+ c

то сумма каких-то двух из них равна нулю.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Приведем левую дробь к общему знаменателю:

1 1 1 bc+ ac +ab a + b + c =--abc---

Теперь по правилу пропорции имеем равенство:

(a +b+ c)(bc +ac+ ab)= abc

Раскрываем в левой части скобки, получаем:

abc+a2c+ a2b+ b2c +abc+b2a+ c2b+ c2a +abc= abc

В левой и правой части $abc$ взаимно уничтожится, тогду получится уравнение:

2 2 2 2 2 2 ac+ a b+b c+b a+ cb+ ca +2abc= 0

Заметим, что левая часть равна $(a+b)(b+ c)(a+ c).$ Тогда получаем равенство

(a+b)(b+ c)(a+ c) =0

Из которого напрямую следует, что сумма каких-то двух из наших чисел равна нулю.

Второе решение.

Рассмотрим многочлен, корнями которого являются данные числа

P (x)= (x− a)(x− b)(x − c)

Пусть при раскрытии скобок мы получаем

P (x)= x3+ px2 +qx+ r

Тогда по теореме Виета

( |{ a +b+ c= −p |( ab+ bc+ca= q abc= −r

Из условия после приведения к общему знаменателю получаем

(a +b+ c)(ab+bc+ ca)= abc

то есть

−pq = −r

Тогда $P (x)$ можно представить в виде

x3+ px2 +qx+ pq = x2(x+ p)+q(x+ p) =(x2+ q)(x+p)

Так как мы знаем про наличие трёх корней $a,b,c,$ то $q < 0$ и $2 x + q = (x − t)(x+ t),$ где $√--- t= −q.$

Не умаляя общности, $a= t,b =−t,c= −p.$ В итоге $b= −a,$ поэтому требуемое верно.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#91975

Найдите целое число, задаваемое выражением

∘ ---√-- ∘ ---√-- 3−-√5 + 3+-√5 3+ 5 3− 5

Источники: ДВИ - 2024, вариант 242, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся свойством корня от частного двух положительных чисел и сложим полученные дроби:

∘---√-- ∘---√-- 3-−√-5+ 3-+√-5= 3 + 5 3 − 5

∘3−-√5 ∘3+-√5 = ∘3+-√5-+ ∘3−-√5-

Приведём к общему знаменателю и воспользуемся формулой разности квадратов

√- √- 3−∘--5+-3+--5 = 6= 3. 32 − (√5)2 2

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#96410

Решите уравнение

-5-- x−-5 3x+-8 2− x + x+ 2 + x2− 4 = 0

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ x⁄= 2 x ⁄= −2

Преобразуем выражение:

-5-- x−-5 3x+-8 2− x + x+ 2 + x2− 4 = 0

5(x+ 2) (x − 5)(x − 2) 3x+8 −(x+-2)(x−-2) + (x-− 2)(x-+2) + (x−-2)(x+2) =0

2 −5x−-10+-x-− 7x+-10+-3x-+8-=0 (x− 2)(x+ 2)

2 -x-−-9x-+8- =0 (x− 2)(x+ 2)

Тогда найдем корни:

2 [ x= 1 x − 9x+8 =0 =⇒ x= 8

Ответ:

$1;8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#67573

Докажите, что если действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условию

1 1 1 1 a +-b + c = a+-b+-c,

то для любого нечётного числа $n$ верно

1n + 1n +-1n =---1---n. a b c (a+ b+ c)

Показать доказательство

Первое решение.

Приведем левую дробь к общему знаменателю:

1 1 1 bc+ ac +ab a + b + c =--abc---

Теперь по правилу пропорции имеем равенство:

(a +b+ c)(bc +ac+ ab)= abc

Раскрываем в левой части скобки, получаем:

abc+a2c+ a2b+ b2c +abc+b2a+ c2b+ c2a +abc= abc

В левой и правой части $abc$ взаимно уничтожится, тогду получится уравнение:

2 2 2 2 2 2 ac+ a b+b c+b a+ cb+ ca +2abc= 0

Заметим, что левая часть равна $(a+b)(b+ c)(a+ c).$ Тогда получаем равенство

(a+b)(b+ c)(a+ c) =0

Из которого напрямую следует, что сумма каких-то двух из наших чисел равна нулю.

Тогда для некоторого $p ∈{a,b,c}$ верно $(a +b+ c)n =pn$ и $1an-+ 1bn-+ 1cn-= 1pn.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Рассмотрим многочлен, корнями которого являются данные числа

P (x)= (x− a)(x− b)(x − c)

Пусть при раскрытии скобок мы получаем

P (x)= x3+ px2 +qx+ r

Тогда по теореме Виета

( |{ a +b+ c= −p |( ab+ bc+ca= q abc= −r

Из условия после приведения к общему знаменателю получаем

(a +b+ c)(ab+bc+ ca)= abc

то есть

−pq = −r

Тогда $P (x)$ можно представить в виде

x3+ px2 +qx+ pq = x2(x+ p)+q(x+ p) =(x2+ q)(x+p)

Так как мы знаем про наличие трёх корней $a,b,c,$ то $q < 0$ и $2 x +q =(x− t)(x+ t),$ где $√ --- t= −q.$ Не умаляя общности, $a =t,b=− t,c= −p.$

В итоге $b= −a,$ поэтому требуемое верно с учётом того, что $n$ — нечётное число:

1 1 1 1 1 1 1 an +bn + cn-= tn-− tn-+ (−-p)n-= −pn

---1----- ---1----- --1-- 1- (a+ b+ c)n = (t− t− p)n = (−p)n = − pn

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#67767

Различные действительные числа $x,y,z$ таковы, что среди трёх чисел

---x+-y--- ---y+-z-- --z-+x---- x2+ xy+ y2 , y2+ yz+z2, z2+zx+ x2

какие-то два равны. Верно ли, что все эти три числа равны?

Источники: УТЮМ - 2016 и Высшая проба - 2023, 11.2

Показать ответ и решение

В данных выражениях умножим числители и знаменатели на $x− y,y− z,$ $z− x$ соответственно (согласно условию, эти разности ненулевые). Получим те же числа в другом виде:

x2− y2 y2− z2 z2− x2 x3− y3, y3−-z3, z3− x3

Без ограничения общности будем считать, что первое и третье числа равны. Тогда

2 2 2 2 x3−-y3-= z3− x3-⇔ x − y z − x

x2z3− x5− y2z3+ y2x3 = z2x3− z2y3− x5+ x2y3 ⇔

x3y2+ y3z2+ z3x2 = x3z2+ y3x2 +z3y2

Это симметричное равенство, поэтому теперь можно просто поменять местами две переменные (например, $x$ и $y)$ и проделать те же переходы в обратном порядке, получив равенство третьего и второго чисел:

x3y2+ y3z2+ z3x2 = x3z2+ y3x2 +z3y2 ⇔

x2z3 − x2y3− z5+ z2y3 = z2x3− z5− y2x3+ y2z3 ⇔

x2− z2 z2− y2 x3−-z3-= z3− y3-⇔

2 2 2 2 z3− x3-= y3− z3 z − x y − z

Деления при этом корректны, так как выражения-делители уже фигурировали ранее в знаменателях, и мы знаем, что они не равны нулю.

Ответ: верно

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#68076

Найти все целые решения уравнения

√---- √- (√ - )2022 n+ 1− n = 2− 1

Источники: Росатом-2023, 11.3, Москва (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что левая часть уравнения имеет смысл при $n ≥0$ Выполним преобразование в левой части:

√---- √- (√n-+1-− √n-)(√n-+1+ √n) 1 n+ 1− n = ------√n+-1+-√n-------= √n+-1+-√n-

Следовательно, $√---- - n+ 1− √n$ монотонно убывает с ростом $n$ , а значит, рассматриваемое уравнение имеет не более одного решения. Учитывая, что $( )( ) √2 − 1 √2 +1 =1$ , имеем равносильное исходному уравнение $( ) √n-+-1+√n-= √2+ 1 2022$ . Тогда получим

( { √n+-1− √n =(√2− 1)2022 √- √- 2022 √- 2022 ( √n+-1+ √n =(√2+ 1)2022 ⇒ 2 n =( 2 +1) − (2 − 1) ⇒

( (√2-+1)2022− (√2-− 1)2022)2 ⇒ n= ---------2-----------

Покажем, что найденное число является целым (натуральным). Имеем по биному Ньютона

( √- √- )2 (20∑22 k 20∑22 k)2 ( 2+ 1)2022− ( 2− 1)2022 = Ck202222 − (−1)kCk202222 = k=0 k=0

( √- 10∑10 )2 = 2 2 C220k+212 2k , k=0

отсюда

( √- 2022 √ - 2022)2 (√ -10∑10 )2 (10∑10 )2 n= (-2-+1)---−-(-2− 1)-- = 2 C22k02+21 2k =2 C22k02+21 2k ∈ℤ 2 k=0 k=0

Ответ:

$1 ((√ )2022 (√- )2022)2 4 2+ 1 − 2− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#75970

Натуральные числа $a,b,c$ таковы, что $a2+ b2 +c2 = (a− b)2+(b− c)2+ (c− a)2.$ Докажите, что $ab$ — точный квадрат.

Показать доказательство

Раскроем скобки и приведём подобные:

2 2 2 0 =a + b +c − 2ab − 2bc− 2ac

Заметим, что в правой части выражение, очень похожее на $(a+ b− c)2,$ но чтобы получить этот квадрат, надо добавить $4ab.$ Тогда равенство превратится в $4ab= (a+ b− c)2.$ Значит, $4ab$ — точный квадрат. Но тогда и $ab$ — точный квадрат, потому что $4$ — квадрат. Получили требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#89779

Действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

abc =(a− 1)(b− 1)(c− 1).

Найдите наименьшее возможное значение выражения $a2+ b2+c2$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

В данном в условии соотношении раскроем скобки

abc= abc− ab− bc− ac+a +b+ c− 1.

ab+ bc+ac= a+ b+ c− 1.

Стало быть,

a2+b2+ c2 = (a+ b+ c)2− 2(ab+ bc+ac)=

= (a+b +c)2 − 2(a+ b+c− 1)=(a+ b+ c− 1)2+ 1≥1.

При этом равенство достигается при $a+b+ c= 1$ , например, при $a =b= 0$ и $c= 1$ . Нетрудно заметить, что при таких значениях $a,b,c$ равенство, данное в условии, имеет место. Стало быть, наименьшее значение выражения $a2+b2+ c2$ равно 1 .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#30991

Про различные вещественные числа $a$ и $b$ известно, что

a b b +a = a + b.

Найдите $1 1 a + b$ .

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное выражение:

a b a b ( a+-b) b + a= a + b⇐⇒ a − b+ b − a = 0⇐⇒ (a− b) 1+ ab = 0

Сократим на $a− b⁄=0$ ( $a⁄= b$ по условию), откуда $a+abb= 1a + 1b = −1$ .

Ответ:

$− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#30992

Известно, что $a2+ b= b2+ c= c2+a.$ Какие значения может принимать выражение

(2 2) ( 2 2) (2 2) a a − b +b b − c + c c− a ?

Показать ответ и решение

Двойное равенство трёх выражений из условия проще переписать в терминах трёх равенств по два выражения:

(| a2− b2 = c− b { b2 − c2 = a− c |( 2 2 c − a = b− a

Подставим всё это в иискомое по условию задачи и получим:

2 2 2 2 2 2 a(a − b)+ b(b − c)+ c(c − a)= ac− ab+ ba− bc+ cb− ac= 0.

Ответ:

$0$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#64520

Найдите в явном виде целое число, заданное выражением

√-- (---2---- ---2---) 11⋅ √11-− √7-+ √11+ √7

Источники: ДВИ - 2022, вариант 222, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Приведём выражения к общему знаменателю и воспользуемся формулой разности квадратов $a2− b2 = (a− b)(a +b)$

√-- 2⋅(√11− √7)+2 ⋅(√11+ √7) √11-⋅4√11- 11⋅---(√11−-√7)(√11+-√7)---= ----4--- = 11

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#64522

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением $(2√2-)2∕3+ ( 27√-)2∕3− 13. 27 2 2 18$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 225, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся тем, что $2√2-= (√2)3,27 =33$ , тогда выражение примет вид

(√2)2∕3⋅3 32∕3⋅3 13 2 9 13 4+81− 13 72 -32∕3⋅3- +(√2)2∕3⋅3 − 18-= 9 + 2 − 18 =--18---= 18 = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#70163

Произведение положительных чисел $a$ и $b$ равно 1. Известно, что

(3a+ 2b)(3b+ 2a)= 295.

Найдите $a +b$ .

Источники: ВСОШ - 2022, школьный этап, 9 класс

Показать ответ и решение

Раскроем скобки

2 2 13ab+6b + 6a =295

Так как $ab= 1$

2 2 6b+ 6a = 282

a2+ b2 =47

Добавим к обеим частям равенства $2 =2ab$

a2+2ab+ b2 =49

(a +b)2 = 49

a+b =±7

И так как $a$ и $b$ положительные, получаем ответ.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#75221

Для вещественного числа $x$ выполнено равенство

--x−-4--- --2x-− 4-- --x−-2--- -3 x2 − 5x+ 1 + 2x2− 5x+1 + x2− 3x+ 1 =x

Найдите сумму возможных значений выражения

1 1 1 x2−-5x+-1 + 2x2− 5x-+1-+x2−-3x+-1

Показать ответ и решение

Домножим обе части условия на $x$ , получим

-x2−-4x-- --2x2− 4x- -x2−-2x-- x2− 5x +1 +2x2− 5x+ 1 + x2− 3x +1 = 3

Выделим в каждой дроби “целую часть”:

( x − 1 ) ( x− 1 ) ( x− 1 ) 1+ x2−-5x+1- + 1+ 2x2− 5x+-1 + 1 +x2-− 3x+-1 =3

( ) (x − 1)----1----+ ----1-----+ ---1----- =0 x2 − 5x+ 1 2x2− 5x +1 x2 − 3x+ 1

Таким образом, либо $x= 1,$ либо значение второй скобки равно $0.$ При $x= 1$ условие выполнено, а значение искомого выражения равно $− 11. 6$ Если обнуляется значение второй скобки, то и искомое выражение равно $0.$ При этом не важно, существуют ли такие $x$ : в любом случае к искомой сумме добавляется $0.$ Значит, сумма всех возможных значений выражения равна $11 − 6 .$

Ответ:

$− 11 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#97655

Числа $x$ и $y$ удовлетворяют равенству

-x-- --y--- x+ y + 2(x − y) = 1.

Найдите все возможные значения выражения

5x+-y, x− 2y

в ответ запишите их сумму.

Показать ответ и решение

Приведём дроби к общему знаменателю:

2x(x−-y)+y-(x+-y) 2(x− y)(x +y) = 1

2x2 − 2xy+ xy+y2 =2x2− 2y2

3y2− xy =0

y(3y− x)= 0

Получается, либо $y = 0,$ либо $3y− x= 0.$ Рассмотрим оба случая:

1) $y = 0.$ Тогда

5x-+y-= 5x= 5 x− 2y x

2) $3y− x= 0.$ То есть $x= 3y,$ откуда

5x+-y= 15y+y-= 16y= 16 x− 2y 3y− 2y y

Итак, сумма всех возможных значий искомого выражения равна $5+ 16 =21.$

Ответ: 21

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#42114

Известно, что

1- 2- --3-- 3a + 3b = a+ 2b.

Докажите, что $a= b$ .

Источники: Муниципальный этап, 9 класс

Показать доказательство

Преобразуем данное равенство, умножив обе его части на $3ab(a+ 2b)$ . Получим: $b(a+ 2b)+ 2a(a +2b)= 9ab.$ После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых равенство примет вид: $2 2 2b + 2a − 4ab= 0.$ Следовательно, $2 2(a − b) =0$ , откуда $a =b$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#48745

Что больше: число $3∘5√13-+18− 3∘5-√13−-18-$ или наибольший корень уравнения $x2+$ $2020x− 6069 =0$ ?

Источники: ПВГ-2020

Показать ответ и решение

Наибольший корень уравнения $x2+ 2020x− 6069= 0$ равен $3$ ( $− 2023+3 =− 2020,−2023⋅3= −6069 =⇒$ по обратной теореме Виета числа $3$ и $− 2023$ являются корнями уравнения $2 x +2020x − 6069= 0).$

Обозначим $∘3-√------ 3∘ -√------ a = 5 13+ 18,b= 5 13− 18.$

Отметим, что $3 3 3∘--√--2----2 3√------- a − b = 18− (−18)=36,a⋅b= (5 13) − 18 = 325− 324 =1.$ Тогда имеем:

(a− b)3 = a3− 3a2b+ 3ab2− b3 = (a3− b3)− 3ab(a− b)=36− 3(a − b)

Получается, что число $a− b$ является одним из корней уравнения

3 t = 36− 3t

которое равносильно

t3− 3t2+ 3t2− 9t+12t− 36 =0 ⇐ ⇒ (t− 3)(t2+ 3t+12)= 0

Так как $t2+3t+ 12= 0$ не имеет действительных корней, то единственным корнем уравнения является $t= 3.$

В итоге $a− b=3.$

Ответ:

ничего, эти числа равны

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#64519

Известно, что

--x- 1−-x -1 f(x)= 1+ x + x −24

Найдите $(3) f 5.$

Источники: ДВИ - 2020, вариант 201, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Подставим и упростим полученное выражение, приведя к общему знаменателю

3∕5 1− 3∕5 1 3 2 1 9+ 16 − 1 24 f(3∕5)= 1+3∕5 +--3∕5--− 24 = 8 + 3 − 24-=--24----= 24-= 1

Второе решение.

Преобразуем функцию

2 -x--+ 1− x-− 1-= x-+-(1-− x)(1+-x)− 1-= 1+x x 24 (1+x)x 24

x2+-1− x2 1- --1--- -1 = (1+ x)x − 24 = (1 +x)x − 24

Подставим $x =3∕5$ :

1 1 25 1 3∕5-⋅8∕5 − 24 = 24-− 24-= 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#83209

Найдите количество пар натуральных чисел $a$ и $b$ , не превосходящих 100 000, удовлетворяющих равенству

a3−-b b2−-a2 a3+ b = b2+ a2

Источники: КМО - 2020, первая задача второго дня для 8-9 классов, автор Белов Д.А. (cmo.adygmath.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуем данное выражение, домножив дроби на произведение знаменателей:

32 5 3 2 3 2 5 3 2 ab + a − b− a b= ab − a +b − ab

После приведения подобных и сокращения на 2 получаем

a5 = b3

Так как преобразования равносильны (знаменатели исходных дробей при натуральных числах ненулевые), то достаточно найти количество пар натуральных $a$ и $b$ , для которых $a5 = b3$ . При таком условии $b$ является пятой степенью, а число $a$ точным кубом.

Пятых степеней до 100000 всего 10 штук, и каждой будет соответствовать куб, не превосходящий 100000. Значит, подходящих пар всего 10 штук.

Ответ: 10

Предыдущая подтема

Следующая подтема