Тема АЛГЕБРА

Тождественные преобразования → .02 Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Преобразования с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#107194

Положительные числа $x$ и $y$ таковы, что значение выражения

1 1 2- K = x +y + xy

не изменяется, если $x$ уменьшить на 1 , а $y$ — увеличить на 1. Найдите все возможные значения выражения

M =x3− y3− 3xy.

Источники: Физтех - 2025, 11.2 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте честно уменьшим x на 1, а y увеличим на 1. Какое выражение получится? Запишем уравнение!

Подсказка 2

Имеет смысл попробовать перенести все в одну часть и попробовать разложить на множители, чтобы как-то связать x и y.

Подсказка 3

Отлично, x = y + 1. Как тогда выглядит выражение из условия?

Показать ответ и решение

Из условия следует, что выполняется равенство

1 1 2 1 1 2 x + y + xy-= x−-1 + y+-1 + (x−-1)(y+-1)

Преобразуя, получаем:

( ) ( ) ( ) -1--− 1 + --1- − 1 + 2 -----1---- − 1- = 0 x− 1 x y +1 y (x− 1)(y+ 1) xy

---1-- − --1---+ 2⋅--y-− x-+1-- x(x− 1) y(y+ 1) xy(x − 1)(y+ 1)

y(y +1)− x(x− 1)+2(y− x+ 1) =0

(y+ x+ 2)(y− x +1)= 0

Так как $x$ и $y$ — положительные числа, первый множитель положителен, поэтому второй множитель равен нулю, т.е. $x =y +1$ . Значит,

x3− y3 − 3xy = (y +1)3− y3 − 3y(y +1)= 1.

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#126963

Натуральные числа $a,b,c$ таковы, что $a + b= 2+ 16, b a c$ причём все дроби нескоратимы. Найдите $|a − b|.$

Источники: ИТМО - 2025, 10.2 ( см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Удобно ли нам работать с такой суммой? Что хочется сделать в самом начале, когда мы видим сумму дробей, с которой не очень ясно как взаимодействовать?

Подсказка 2

Ну конечно же привести всё к общему знаменателю! Но не бросайтесь в омут с головой: надо ли все дроби переносить в одну сторону или удобно оставить a и b отдельным от с?

Подсказка 3

На что нам намекает модуль? Вероятно, он появился из квадрата... Осталось лишь придумать, как сделать с обеих сторон точные квадраты в числителе и применить условие о несократимости исходных дробей!

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное выражение:

a b 16 b + a − 2 = c

a2 +b2− 2ab 16 ----ab-----= c-

2 2 (a−-b)-= 4- ab c

По условию дробь $a b$ — несократима, то есть числа $a$ и $b$ не имеют общих делителей. Значит $|a− b|$ также не имеет с ними общих делителей. Несократимые дроби, с натуральными числителем и знаменателем, могут быть равны только в том случае, если равны их числители и их знаменатели. То есть:

(a − b)2 = 42

Отсюда, $|a− b|= 4.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#127249

(a) Для любых $x$ , $y$ , $z$ справедливо

3 3 3 2 2 2 x + y +z − 3xyz =(x+ y+ z)(x +y + z − xy− xz− yz)=

1 2 2 2 = 2(x+ y+ z)((x− y) + (y − z) +(z− x)).

(b) Пусть $a$ , $b$ , $c$ — действительные числа. Докажите, что если

√3---- 3√---- √ ---- a− b+ b− c+ 3c− a =0,

то какие-то два из чисел $a$ , $b$ , $c$ равны.

Показать доказательство

(a) Заметим, что все три выражения симметричны относительно $x,y,z,$ так что нам достаточно посмотреть на коэффициенты при $3 2 x , x y, xyz$ (все выражения получаются степени ровно 3, поэтому меньших степеней не будет). При $3 x$ во втором выражении получаем коэффициент 1 (берём $x$ и $2 x$ ), в третьем выражении получаем во второй скобке $2 2x ,$ а всего $1 2 3 2 ⋅x⋅2x =x ,$ тоже коэффициент 1. Теперь коэффициент при $2 xy :$ во втором выражении есть 2 подходящих слагаемых $x ⋅(−xy)$ и $2 yx.$ В третьем выражении есть $2 y⋅(2x )$ и $x⋅(− 2xy),$ что действительно сокращается в 0. Остался коэффициент при $xyz.$ Во втором выражении три раза мы берем из первой скобки переменную, а из второй две другие с минусом. В третьем выражении во второй скобке появляются выражения вида $− 2xy,$ которых три штуки, при этом 2 сократится. Получается, при всех слагаемых правильные коэффициенты, что и требовалось.

(b) Заменим слагаемые в сумме на $x,y,$ и $z.$ Тогда получаем $x+y +z =0.$ Используя первое равенство из предыдущего пункта, получаем $0+ 3xyz = 0.$ Тогда $xyz = 0,$ то есть какие-то два числа из исходных равны, что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#127251

Существуют ли различные вещественные числа $a,b,c$ и $d,$ удовлетворяющие условиям $1− ab-= 1− bc-= 1-− cd? a+ b b+ c c+ d$

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Попробуйте поработать с какими-то из этих равенств. Избавьтесь от знаменателей, проведите некоторые тождественные преобразования.

Подсказка 2:

Попробуйте привести равенство к такому виду, чтобы справа был 0, а слева — произведение скобочек. Это позволит понять, какие соотношения должны выполняться между переменными.

Показать ответ и решение

Сначала поработаем с первым равенством:

1−-ab- 1−-bc- 2 a+ b = b+ c =⇒ 0= (1− ab)(b+c)− (a +b)(1− bc)= (c− a)b

Поскольку $a⁄= c,$ получаем $b= 0,$ но из равенства второй и третьей дробей из условия аналогично следует $c=0,$ противоречие. Значит, таких $a,b,c,d$ не существует.

Ответ:

не существуют

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#127253

Попарно различные действительные числа $a,$ $b$ и $c$ удовлетворяют условию

2 2 2 a − b= b − c=c − a.

Чему может быть равно $(a+ b+1)(b+ c+ 1)(a+ c+1)?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Давайте для удобства заменим a + b, b + c и a + c на x, y и z. Как теперь выглядят равенства из условия?

Подсказка 2:

Они имеют вид x(y - z) = x - y и аналогичные ему. Давайте заметим, что разность любых двух переменных есть как в левой части одного равенства, так и в правой какого-то другого. Что с этим можно сделать?

Подсказка 3:

Если их перемножить, то получится xyz = 1. Давайте запишем равенства из условия в виде x(z + 1) = y(x + 1) = z(y + 1). Заметим, что выражение, которое нужно найти, состоит из этих слагаемых.

Подсказка 4:

Давайте обозначим эти 3 равных выражения через A. Попробуйте найти какое-нибудь соотношение, связывающее A и какую-нибудь из переменных (опять же, используя эти 3 равенства).

Подсказка 5:

Имеет место следующее равенство (если не понимаете, как его получить, сначала разберитесь с этим):

Подсказка 6:

Обратите внимание на этот многочлен, у него вторая степень. А сколько у него корней?

Подсказка 7:

Очевидно, что числа x, y и z являются его корнями. Значит, он тождественно равен 0. Осталось, используя всю полученную информацию, вычислить значение выражения и привести пример значений a, b, c, при которых оно реализуется.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $x= a+ b, y =b+ c,z = c+a.$ Тогда исходные равенства превращаются в выражения вида $x(y − z)= x− y.$ Перемножив такие равенства, получаем

xyz(y − z)(z − x)(x − y)= (y − z)(z − x)(x − y)

откуда $xyz = 1.$ Также из равенств следует

x(z+ 1)= y(x+ 1)= z(y+ 1)

Попытаемся найти значение и этих выражений. Пусть $x(z +1)= A.$ Тогда

z =---A---- AA(+zz++1)1 + 1

откуда получаем квадратное уравнение на $z :$

z2(A+ 1)+z(A+ 1)− A(A +1)= 0

Аналогично можно получить уравнение на $x,z$ с такими же коэффициентами. Если уравнение невырожденное, то у него не более двух корней, поэтому можно считать $x= y,$ но из этого следует $a =c,$ чего по условию не бывает. Значит, уравнение вырожденное и $A =− 1.$ Теперь вспомним про исходное выражение:

(a+b+ 1)(b+ c+1)(a+c+ 1)= (x +1)(y+ 1)(z+ 1)=

= xyz +1+ (xz +x)+ (yx +y)+ (zy+ z)=1 +1− 3= −1

Теперь осталось показать, что $− 1$ достигается, то есть существуют такие $a,b,c.$ Возьмём $a =0.$ Тогда $2 2 2 − b= c, b− c= c,$ то есть $4 2 c − c =c .$ Ясно, что у этого уравнения есть решение с $c >0,$ тогда числа $a,b,c$ будут различны, а равенства выполнятся.

Ответ:

$− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#82696

Докажите, что если действительные числа $a$ , $b$ , $c$ удовлетворяют условию

1 1 1 ---1--- a + b + c = a +b+ c

то сумма каких-то двух из них равна нулю.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Приведем левую дробь к общему знаменателю:

1 1 1 bc+ ac +ab a + b + c =--abc---

Теперь по правилу пропорции имеем равенство:

(a +b+ c)(bc +ac+ ab)= abc

Раскрываем в левой части скобки, получаем:

abc+a2c+ a2b+ b2c +abc+b2a+ c2b+ c2a +abc= abc

В левой и правой части $abc$ взаимно уничтожится, тогду получится уравнение:

2 2 2 2 2 2 ac+ a b+b c+b a+ cb+ ca +2abc= 0

Заметим, что левая часть равна $(a+b)(b+ c)(a+ c).$ Тогда получаем равенство

(a+b)(b+ c)(a+ c) =0

Из которого напрямую следует, что сумма каких-то двух из наших чисел равна нулю.

Второе решение.

Рассмотрим многочлен, корнями которого являются данные числа

P (x)= (x− a)(x− b)(x − c)

Пусть при раскрытии скобок мы получаем

P (x)= x3+ px2 +qx+ r

Тогда по теореме Виета

( |{ a +b+ c= −p |( ab+ bc+ca= q abc= −r

Из условия после приведения к общему знаменателю получаем

(a +b+ c)(ab+bc+ ca)= abc

то есть

−pq = −r

Тогда $P (x)$ можно представить в виде

x3+ px2 +qx+ pq = x2(x+ p)+q(x+ p) =(x2+ q)(x+p)

Так как мы знаем про наличие трёх корней $a,b,c,$ то $q < 0$ и $2 x + q = (x − t)(x+ t),$ где $√--- t= −q.$

Не умаляя общности, $a= t,b =−t,c= −p.$ В итоге $b= −a,$ поэтому требуемое верно.

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#91975

Найдите целое число, задаваемое выражением

∘ ---√-- ∘ ---√-- 3−-√5 + 3+-√5 3+ 5 3− 5

Источники: ДВИ - 2024, вариант 242, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуемся свойством: √(a/b) = √a/√b. Теперь можно привести нашу сумму дробей к общему знаменателю!

Подсказка 2

Осталось применить формулу разности квадратов и аккуратно всё вычислить! Ответ готов!

Показать ответ и решение

Воспользуемся свойством корня от частного двух положительных чисел и сложим полученные дроби:

∘---√-- ∘---√-- 3-−√-5+ 3-+√-5= 3 + 5 3 − 5

∘3−-√5 ∘3+-√5 = ∘3+-√5-+ ∘3−-√5-

Приведём к общему знаменателю и воспользуемся формулой разности квадратов

√- √- 3−∘--5+-3+--5 = 6= 3. 32 − (√5)2 2

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#96410

Решите уравнение

-5-- x−-5 3x+-8 2− x + x+ 2 + x2− 4 = 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ и подумаем, а как связаны между собой знаменатели дробей?

Подсказка 2

Один знаменатель равен произведению двух других, так что несложно привести их к общему! А когда дробь равна нулю?

Подсказка 3

Когда её числитель равен нулю! Теперь наша задача превратилась в поиски корней квадратного уравнения 😉

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ x⁄= 2 x ⁄= −2

Преобразуем выражение:

-5-- x−-5 3x+-8 2− x + x+ 2 + x2− 4 = 0

5(x+ 2) (x − 5)(x − 2) 3x+8 −(x+-2)(x−-2) + (x-− 2)(x-+2) + (x−-2)(x+2) =0

2 −5x−-10+-x-− 7x+-10+-3x-+8-=0 (x− 2)(x+ 2)

2 -x-−-9x-+8- =0 (x− 2)(x+ 2)

Тогда найдем корни:

2 [ x= 1 x − 9x+8 =0 =⇒ x= 8

Ответ:

$1;8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#67573

Докажите, что если действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условию

1 1 1 1 a +-b + c = a+-b+-c,

то для любого нечётного числа $n$ верно

1n + 1n +-1n =---1---n. a b c (a+ b+ c)

Показать доказательство

Первое решение.

Приведем левую дробь к общему знаменателю:

1 1 1 bc+ ac +ab a + b + c =--abc---

Теперь по правилу пропорции имеем равенство:

(a +b+ c)(bc +ac+ ab)= abc

Раскрываем в левой части скобки, получаем:

abc+a2c+ a2b+ b2c +abc+b2a+ c2b+ c2a +abc= abc

В левой и правой части $abc$ взаимно уничтожится, тогду получится уравнение:

2 2 2 2 2 2 ac+ a b+b c+b a+ cb+ ca +2abc= 0

Заметим, что левая часть равна $(a+b)(b+ c)(a+ c).$ Тогда получаем равенство

(a+b)(b+ c)(a+ c) =0

Из которого напрямую следует, что сумма каких-то двух из наших чисел равна нулю.

Тогда для некоторого $p ∈{a,b,c}$ верно $(a +b+ c)n =pn$ и $1an-+ 1bn-+ 1cn-= 1pn.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Рассмотрим многочлен, корнями которого являются данные числа

P (x)= (x− a)(x− b)(x − c)

Пусть при раскрытии скобок мы получаем

P (x)= x3+ px2 +qx+ r

Тогда по теореме Виета

( |{ a +b+ c= −p |( ab+ bc+ca= q abc= −r

Из условия после приведения к общему знаменателю получаем

(a +b+ c)(ab+bc+ ca)= abc

то есть

−pq = −r

Тогда $P (x)$ можно представить в виде

x3+ px2 +qx+ pq = x2(x+ p)+q(x+ p) =(x2+ q)(x+p)

Так как мы знаем про наличие трёх корней $a,b,c,$ то $q < 0$ и $2 x +q =(x− t)(x+ t),$ где $√ --- t= −q.$ Не умаляя общности, $a =t,b=− t,c= −p.$

В итоге $b= −a,$ поэтому требуемое верно с учётом того, что $n$ — нечётное число:

1 1 1 1 1 1 1 an +bn + cn-= tn-− tn-+ (−-p)n-= −pn

---1----- ---1----- --1-- 1- (a+ b+ c)n = (t− t− p)n = (−p)n = − pn

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#67767

Различные действительные числа $x,y,z$ таковы, что среди трёх чисел

---x+-y--- ---y+-z-- --z-+x---- x2+ xy+ y2 , y2+ yz+z2, z2+zx+ x2

какие-то два равны. Верно ли, что все эти три числа равны?

Источники: УТЮМ - 2016 и Высшая проба - 2023, 11.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Эти знаменатели подозрительно напоминают разложение разности кубов... Может, у каждой дроби умножить числитель и знаменатель на что-то и получить заветную разность?

Подсказка 2

Так и сделаем: числитель и знаменатель первой дроби умножим на x-y, второй на y-z, третьей на z-x и получим в числителях разность квадратов, а в знаменателях разность кубов. Но кажется, что это нам пока не сильно помогло...

Подсказка 3

Если уж какие-то два числа равны, то давайте приравняем первую и третью дроби (не умоляя общности) и посмотрим, что получится. (Похоже, что без работы ручками нам не обойтись...)

Подсказка 4

Перемножив крест-накрест и раскрыв скобки мы видим какой-то ужас. Хотя, если приглядеться, полученное равенство будет симметрично относительно переменных x и y. На какую мысль это наводит?

Подсказка 5

А мысль то проста: произвести все операции в обратном порядке, поменяв при этом местами переменные x и y, и получить равенство второй и третьей дроби!

Показать ответ и решение

В данных выражениях умножим числители и знаменатели на $x− y,y− z,$ $z− x$ соответственно (согласно условию, эти разности ненулевые). Получим те же числа в другом виде:

x2− y2 y2− z2 z2− x2 x3− y3, y3−-z3, z3− x3

Без ограничения общности будем считать, что первое и третье числа равны. Тогда

2 2 2 2 x3−-y3-= z3− x3-⇔ x − y z − x

x2z3− x5− y2z3+ y2x3 = z2x3− z2y3− x5+ x2y3 ⇔

x3y2+ y3z2+ z3x2 = x3z2+ y3x2 +z3y2

Это симметричное равенство, поэтому теперь можно просто поменять местами две переменные (например, $x$ и $y)$ и проделать те же переходы в обратном порядке, получив равенство третьего и второго чисел:

x3y2+ y3z2+ z3x2 = x3z2+ y3x2 +z3y2 ⇔

x2z3 − x2y3− z5+ z2y3 = z2x3− z5− y2x3+ y2z3 ⇔

x2− z2 z2− y2 x3−-z3-= z3− y3-⇔

2 2 2 2 z3− x3-= y3− z3 z − x y − z

Деления при этом корректны, так как выражения-делители уже фигурировали ранее в знаменателях, и мы знаем, что они не равны нулю.

Ответ: верно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#68076

Найти все целые решения уравнения

√---- √- (√ - )2022 n+ 1− n = 2− 1

Источники: Росатом-2023, 11.3, Москва (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала обратим внимание на данные нам числа. Что в них можно увидеть особенного? Что если записать числа в левой части без корня?

Подсказка 2

Верно, без корней они дают разницу единицу, так как отличаются на 1. Но ведь мы можем это сделать, нужно только умножить число на сопряжённое и разделить, чтобы ничего не поменялось. Тогда какое выражение с точки зрения функции у нас получилось? Сколько решений имеет это уравнение?

Подсказка 3

Ага, слева у нас получилась убывающая функция, а справа константа. Откуда это уравнение имеет не более одного решения. Давайте попробуем составить систему из двух уравнений. Что тогда у нас получится?

Подсказка 4

Верно, аналогичными преобразованиями с сопряжёнными числами, получим второй уравнение, а дальше большое страшное n. Осталось понять, почему оно целое. А нельзя ли просто раскрыть скобки по биному Ньютона и посмотреть, что получится? Попробуйте это сделать, и задача решена!

Показать ответ и решение

Заметим, что левая часть уравнения имеет смысл при $n ≥0$ Выполним преобразование в левой части:

√---- √- (√n-+1-− √n-)(√n-+1+ √n) 1 n+ 1− n = ------√n+-1+-√n-------= √n+-1+-√n-

Следовательно, $√---- - n+ 1− √n$ монотонно убывает с ростом $n$ , а значит, рассматриваемое уравнение имеет не более одного решения. Учитывая, что $( )( ) √2 − 1 √2 +1 =1$ , имеем равносильное исходному уравнение $( ) √n-+-1+√n-= √2+ 1 2022$ . Тогда получим

( { √n+-1− √n =(√2− 1)2022 √- √- 2022 √- 2022 ( √n+-1+ √n =(√2+ 1)2022 ⇒ 2 n =( 2 +1) − (2 − 1) ⇒

( (√2-+1)2022− (√2-− 1)2022)2 ⇒ n= ---------2-----------

Покажем, что найденное число является целым (натуральным). Имеем по биному Ньютона

( √- √- )2 (20∑22 k 20∑22 k)2 ( 2+ 1)2022− ( 2− 1)2022 = Ck202222 − (−1)kCk202222 = k=0 k=0

( √- 10∑10 )2 = 2 2 C220k+212 2k , k=0

отсюда

( √- 2022 √ - 2022)2 (√ -10∑10 )2 (10∑10 )2 n= (-2-+1)---−-(-2− 1)-- = 2 C22k02+21 2k =2 C22k02+21 2k ∈ℤ 2 k=0 k=0

Ответ:

$1 ((√ )2022 (√- )2022)2 4 2+ 1 − 2− 1$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#75970

Натуральные числа $a,b,c$ таковы, что $a2+ b2 +c2 = (a− b)2+(b− c)2+ (c− a)2.$ Докажите, что $ab$ — точный квадрат.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что хочется сделать - раскрыть скобки и привести подобные, переместив всё в одну сторону) Получившееся выражение похоже на квадрат суммы/разности трёх выражений! Но чего-то не хватает…

Подсказка 2

Везде удвоенные произведения вычитаются, а надо, чтобы хотя бы одно шло с плюсом

Подсказка 3

Можно добавить и вычесть 4ab, тогда получится собрать (a+b-c)²! Что же получается?

Показать доказательство

Раскроем скобки и приведём подобные:

2 2 2 0 =a + b +c − 2ab − 2bc− 2ac

Заметим, что в правой части выражение, очень похожее на $(a+ b− c)2,$ но чтобы получить этот квадрат, надо добавить $4ab.$ Тогда равенство превратится в $4ab= (a+ b− c)2.$ Значит, $4ab$ — точный квадрат. Но тогда и $ab$ — точный квадрат, потому что $4$ — квадрат. Получили требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#89779

Действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

abc =(a− 1)(b− 1)(c− 1).

Найдите наименьшее возможное значение выражения $a2+ b2+c2$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте раскрыть скобки для выражения, данного в условии

Подсказка 2

А теперь стоит расписать a²+b²+c² так, чтобы можно было воспользоваться полученным в первом пункте (то есть чтобы появилось выражение вида ab+bc+ac) после чего попробуйте выделить полный квадрат!

Подсказка 3

После выделения полного квадрата мы сразу видим оценку снизу на интересующее нас выражение, а значит осталось привести пример!

Показать ответ и решение

В данном в условии соотношении раскроем скобки

abc= abc− ab− bc− ac+a +b+ c− 1.

ab+ bc+ac= a+ b+ c− 1.

Стало быть,

a2+b2+ c2 = (a+ b+ c)2− 2(ab+ bc+ac)=

= (a+b +c)2 − 2(a+ b+c− 1)=(a+ b+ c− 1)2+ 1≥1.

При этом равенство достигается при $a+b+ c= 1$ , например, при $a =b= 0$ и $c= 1$ . Нетрудно заметить, что при таких значениях $a,b,c$ равенство, данное в условии, имеет место. Стало быть, наименьшее значение выражения $a2+b2+ c2$ равно 1 .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#30991

Про различные вещественные числа $a$ и $b$ известно, что

a b b +a = a + b.

Найдите $1 1 a + b$ .

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное выражение:

a b a b ( a+-b) b + a= a + b⇐⇒ a − b+ b − a = 0⇐⇒ (a− b) 1+ ab = 0

Сократим на $a− b⁄=0$ ( $a⁄= b$ по условию), откуда $a+abb= 1a + 1b = −1$ .

Ответ:

$− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#30992

Известно, что $a2+ b= b2+ c= c2+a.$ Какие значения может принимать выражение

(2 2) ( 2 2) (2 2) a a − b +b b − c + c c− a ?

Показать ответ и решение

Двойное равенство трёх выражений из условия проще переписать в терминах трёх равенств по два выражения:

(| a2− b2 = c− b { b2 − c2 = a− c |( 2 2 c − a = b− a

Подставим всё это в иискомое по условию задачи и получим:

2 2 2 2 2 2 a(a − b)+ b(b − c)+ c(c − a)= ac− ab+ ba− bc+ cb− ac= 0.

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#64520

Найдите в явном виде целое число, заданное выражением

√-- (---2---- ---2---) 11⋅ √11-− √7-+ √11+ √7

Источники: ДВИ - 2022, вариант 222, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Иррациональные знаменатели нам точно не нужны. Подумайте, как мы можем от этой иррациональности избавиться и посмотрите внимательно на оба знаменателя при этом :)

Подсказка 2

Если перед Вами все еще сумма двух дробей – самое время это исправить и преобразовать их к единой дроби. А заодно можем раскрыть все скобки и привести подобные, ведь пока не видно каких-то других преобразований. А нужны ли они или уже можем все посчитать?

Показать ответ и решение

Приведём выражения к общему знаменателю и воспользуемся формулой разности квадратов $a2− b2 = (a− b)(a +b)$

√-- 2⋅(√11− √7)+2 ⋅(√11+ √7) √11-⋅4√11- 11⋅---(√11−-√7)(√11+-√7)---= ----4--- = 11

Ответ: 11

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#64522

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением $(2√2-)2∕3+ ( 27√-)2∕3− 13. 27 2 2 18$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 225, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Вспомним свойства степеней и представим числа внутри дробей, чтобы избавиться от дробей в степенях! Тогда выражения приятно преобразуется и мы получим натуральное число.

Показать ответ и решение

Воспользуемся тем, что $2√2-= (√2)3,27 =33$ , тогда выражение примет вид

(√2)2∕3⋅3 32∕3⋅3 13 2 9 13 4+81− 13 72 -32∕3⋅3- +(√2)2∕3⋅3 − 18-= 9 + 2 − 18 =--18---= 18 = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#70163

Произведение положительных чисел $a$ и $b$ равно 1. Известно, что

(3a+ 2b)(3b+ 2a)= 295.

Найдите $a +b$ .

Источники: ВСОШ - 2022, школьный этап, 9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно как-то применить то, что ab = 1, заметим, что если раскрыть скобки, то будет сколько-то слагаемых с ab, может стоит попробовать так сделать?

Подсказка 2

Наступил коварный момент, все ab пропали и осталось только a² + b² = 47. Давайте попробуем вспомнить, где встречались сумма квадратов и ab?

Подсказка 3

Правильно в формуле квадрата суммы! Но нам не хватает слева 2ab, не забывайте, что мы всегда можем что-то добавить и сразу же убавить, или, что то же самое, прибавить с двух сторон уравнения равные величины. То что мы на верном пути нам так же подсказывает, что слева и справа получился полный квадрат, обратите внимание, что числа a,b - положительные!

Показать ответ и решение

Раскроем скобки

2 2 13ab+6b + 6a =295

Так как $ab= 1$

2 2 6b+ 6a = 282

a2+ b2 =47

Добавим к обеим частям равенства $2 =2ab$

a2+2ab+ b2 =49

(a +b)2 = 49

a+b =±7

И так как $a$ и $b$ положительные, получаем ответ.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#75221

Для вещественного числа $x$ выполнено равенство

--x−-4--- --2x-− 4-- --x−-2--- -3 x2 − 5x+ 1 + 2x2− 5x+1 + x2− 3x+ 1 =x

Найдите сумму возможных значений выражения

1 1 1 x2−-5x+-1 + 2x2− 5x-+1-+x2−-3x+-1

Показать ответ и решение

Домножим обе части условия на $x$ , получим

-x2−-4x-- --2x2− 4x- -x2−-2x-- x2− 5x +1 +2x2− 5x+ 1 + x2− 3x +1 = 3

Выделим в каждой дроби “целую часть”:

( x − 1 ) ( x− 1 ) ( x− 1 ) 1+ x2−-5x+1- + 1+ 2x2− 5x+-1 + 1 +x2-− 3x+-1 =3

( ) (x − 1)----1----+ ----1-----+ ---1----- =0 x2 − 5x+ 1 2x2− 5x +1 x2 − 3x+ 1

Таким образом, либо $x= 1,$ либо значение второй скобки равно $0.$ При $x= 1$ условие выполнено, а значение искомого выражения равно $− 11. 6$ Если обнуляется значение второй скобки, то и искомое выражение равно $0.$ При этом не важно, существуют ли такие $x$ : в любом случае к искомой сумме добавляется $0.$ Значит, сумма всех возможных значений выражения равна $11 − 6 .$