Тема АЛГЕБРА

Квадратные трёхчлены

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Квадратные трёхчлены

Дискриминант и корни квадратных трёхчленов

Теорема Виета для квадратных трёхчленов

Графики квадратных трёхчленов

Квадратные трёхчлены с целыми коэффициентами

Теорема о промежуточном значении

Задачи на исследование квадратичной функции

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#76189

Дед Мороз нарисовал на снегу две окружности с радиусами $2023$ и $r> 2023$ , которые касаются друг друга и ветвей параболы $y = x2$ . Найдите $r.$

Показать ответ и решение

Первое решение.

Посмотрим при каких условиях окружность касается параболы. Пусть есть окружность радиуса $R1$ с центром в точке $A$ , $B$ — точка касания окружности и параболы. Проведем касательную $BE$ . Тогда $∘ ∠ABE = 90$ .

$PIC$

Проведем через точку $B$ прямую, параллельную оси $Ox$ ( $C$ — точка пересечения прямой и оси $Oy$ ). Тогда $∠CBA +∠EBC1 = 90∘$ . Значит, $tg∠EBC1 = ctg∠ABC$ , но $tg∠EBC1 = 2x1$ , так как $EB$ — касательная $y = x2$ в точке $x1$ .

Значит, $CB 1 AC-= 2x1 ⇒ AC = 2$ . Тогда по теореме Пифагора получаем, что $1 R21 = x21 +4$ .

Теперь рассмотрим случай с двумя окружностями

$PIC$

Пусть $CB =x1$ и $C1B1 = x2$ . Тогда

R2= x2+ 1 1 1 4

2 2 1 R2 = x2+ 4

R22− R21 = x22− x21 (1)

Также знаем, что

2 2 R2 +R1 =CC1 = x2− x1 (2)

Из (1) и (2) получаем

R2 − R1 = 1⇒ R2 = R1+ 1= 2023+1 =2024

Второе решение.

Пусть $(0,Y)$ — координаты центра первой окружности. Тогда $(0,Y + 2023+ r)$ — координаты центра второй окружности, где $r$ — искомый радиус.

$PIC$

Запишем систему уравнений для первой (1) и второй (2) окружности. Первое уравнение – пересечение окружности и параболы. Второе – условие касания

( |{ x2+ (x2− Y)2 = 20232 |( −-21-- = 2 x − Y

(|{ 2 1 Y =20231+ 4 |( x2 = Y − 2

( ||{ x2+ (x2− (Y + 2023+ r))2 = r2 | −----------1----------= 2 |( x2− (20232+ 1+ 2023+ r) 4

({x2+ (x2− (Y +2023+ r))2 = r2 ( 2 1 x =− 2 + (Y + 2023+ r)

Получаем, что $2 2 2023 + 2023 +r= r ⇒ r1 = −2023$ и $r2 = 2024$ . Так как $r≥ 0$ , то нам подходит только $r2 = 2024.$

Ответ: 2024

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#76650

Квадратный трёхчлен $x2− px+ q$ с натуральными коэффициентами имеет два корня. Оказалось, что если $q$ уменьшить на $30%$ , то разность его корней увеличится в 5 раз. Найдите такой трёхчлен с наименьшей возможной суммой корней.

Источники: ЮМШ-2023, 11 класс, отборочный тур (см. yumsh.ru) | ЮМШ-23/24, 11 класс, 1 отборочный тур (см. yumsh.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним, как мы находим корни в приведённом квадратном уравнении! А как можно выразить разность корней?

Подсказка 2

Да, корни находим через обычную формулу с дискриминантом. Тогда разность корней, это просто корень из дискриминанта нашего уравнения! Остаётся составить уравнение, в котором будет отражаться условие задачи!

Подсказка 3

Верно, из условия мы получаем, что 20p² = 81q. Остаётся найти минимальные p и q

Показать ответ и решение

По формуле корней квадратного уравнения имеем: $x = p±√p2−4q. 1,2 2$ Следовательно, $x − x = ∘p2-− 4q. 2 1$ После уменьшения $q$ на $30%$ разность корней станет равна $∘ 2---(7--) p − 4 10q.$ Следовательно, при условии, что $2 p − 4q ≥ 0,$ получаем

∘ ------ ∘ ------- 5 p2− 4q = p2− 14q ⇐⇒ p2 = 81q > 4q ⇐ ⇒ 4⋅5⋅p2 = 34 ⋅q. 5 20

По теореме Виета сумма корней квадратного трёхчлена $x2− px+ q$ равна $p.$ Наименьшее натуральное $p,$ удовлетворяющее равенству $4⋅5⋅p2 = 34⋅q,$ это $32 =9,$ так как $p2$ должно делиться на $34.$ Тогда $q = 20.$

Ответ:

$x2− 9x+ 20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#78817

Учитель написал на доске квадратный трёхчлен $x2+ 10x+ 20.$ Затем каждый ученик по очереди увеличивал или уменьшал на единицу по своему выбору либо коэффициент при $x,$ либо свободный член. В результате получился трёхчлен $2 x + 20x +10.$ Верно ли, что в некоторый момент на доске был написан квадратный трёхчлен с целыми корнями?

Показать ответ и решение

Заметим, что при каждом изменении трехчлена его значение в точке $x =− 1$ изменяется на $1$ (в ту или другую сторону). Значение первого трехчлена

2 f(x)= x + 10x+20

в этой точке равно $f(−1)= 11,$ а последнего,

2 g(x)= x + 20x +10

— $g(−1)= −9.$ Поэтому в какой-то промежуточный момент на доске был написан трехчлен

h(x)= x2+ px+q

для которого $h(− 1) =0.$ Оба его корня — целые числа: один равен $− 1,$ другой по теореме Виета равен $− q.$

Ответ:

Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#79333

На доске написаны $100$ чисел из интервала $(0,1).$ Разрешается выбрать два числа $a$ и $b$ и заменить их на два различных корня квадратного трехчлена $2 x − ax+b$ (если этот трехчлен имеет два различных корня). Докажите, что этот процесс не может продолжаться бесконечно долго.

Показать доказательство

Решение 1. Сначала докажем, что все числа на доске всегда будут принадлежать интервалу $(0,1).$ Для этого достаточно проверить, что корни трехчлена вида $2 x − ax+ b,$ где $a,b∈ (0,1),$ тоже принадлежат интервалу $(0,1).$ Пусть $x1$ и $x2$ — эти корни, тогда $x1x2 =b >0,$ поэтому $x1$ и $x2$ числа одного знака. При этом $x1+ x2 =a >0,$ поэтому $x1$ и $x2$ положительны. Кроме того, $x1+x2 =a <1,$ поэтому $x1$ и $x2$ меньше $1.$ Таким образом, $x1$ и $x2$ тоже принадлежат интервалу $(0,1).$

Рассмотрим сумму обратных величин к числам на доске и исследуем, как она изменяется при указанных операциях. Заменяя пару чисел $a$ и $b$ на корни $x1$ и $x2$ трехчлена $2 x − ax+ b,$ мы заменяем в этой сумме слагаемое $1 1 S = a + b$ на

1 1 x + x a S′ = x1 + x2 =-1x1x22= b

Так как $a$ и $b$ —- числа из интервала $(0,1),$ имеем $1b > ab$ и $1a > 1,$ откуда

S− S′ = 1+ 1 − a > 1 >1 a b b a

Таким образом, рассматриваемая сумма обратных величин на каждом шагу уменьшается более чем на $1.$ Поскольку она останется положительной, такое уменьшение не может происходить бесконечно много раз. Точнее, количество действий не может быть больше, чем $[S0],$ где $S0$ — сумма обратных величин исходных чисел, а квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Решение 2. Как и в первом решении, отметим, что все числа на доске всегда принадлежат интервалу $(0,1).$ Кроме того, заметим, что корни трехчлена $x2 − ax+ b,$ где $a,b∈ (0,1).$ лежат между числами $a$ и $b$ на числовой оси. Действительно, из равенства $x1+ x2 = a$ и ранее доказанной положительности корней следует, что $x1 <a$ и $x2 < a.$ А из равенства $x1x2 = b$ и ранее доказанных неравенств $x1 < 1$ и $x2 < 1$ следует, что $b< x1$ и $b <x2$ . Таким образом, если у трехчлена $x2− ax+ b$ есть два корня, то $b <a$ и корни лежат в интервале $(b,a).$ Следовательно, минимум из чисел на доске не уменьшается, значит, все числа будут не меньше некоторого положительного числа $c$ (равного минимуму из исходных чисел).

Теперь исследуем, как изменится сумма всех чисел на доске. При замене чисел $a$ и $b$ на корни трехчлена $2 x − ax+ b$ из этой суммы вычитается $b.$ Действительно, исходные числа вносили в сумму вклад $a+ b,$ а заменившие их корни $x1$ и $x2−$ вклад $x1+x2 =a.$ Таким образом, сумма всех чисел на каждом шаге уменьшается на величину, не меньшую, фиксированного положительного числа $c.$ Поскольку сумма всегда остается положительной и в начале она не превосходит $100,$ таких действий будет не больше, чем $[100∕c],$ где квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#83310

На графике приведенного квадратного трехчлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целочисленными координатами. Найти расстояние между этими точками, если известно, что оно выражается целым числом, а дискриминант квадратного трёхчлена равен 9.

Источники: Росатом - 2024, региональный вариант, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Формула подсчёта расстояния между двумя данными точками использует квадрат этого расстояния. Тогда что мы можем сказать про квадрат числа, если корень из него — целочисленное значение?

Подсказка 2

Выражение квадрата расстояния содержит сразу и абсциссы, и ординаты наших точек, это очень много переменных, вот бы оставить что-то одно из этого. Откуда же тогда можно получить y₁ - y₂ и x₁ - x₂ в одном выражении (где x₁, x₂, y₁, y₂ — абсциссы и ординаты данных точек соответственно)?

Подсказка 3

Тогда квадрат расстояния — это (x₁ - x₂)2(1 + k²), где k — некоторое выражение, записанное сейчас одной переменной для удобства. Имеется выражение «квадрат = 1 + квадрат», но много ли квадратов целых чисел отличаются на 1? Какой вывод можно сделать об абсциссах данных точек и о вершине параболы?

Подсказка 4

Осталось ещё одно условие в задаче, про дискриминант. Если изначальный квадратный трёхчлен равен y = x² + bx + с. В дискриминанте задействованы b и c, а в предыдущем найденном факте мы упоминали вершину, что их связывает? Конечно же b! А после можно будет сделать вывод на чётность x₁ - x₂.

Показать ответ и решение

Пусть $(x ,y ),(x ,y ) 1 1 2 2$ — эти точки, а $y =x2 +bx+ c$ — трёхчлен. Тогда справедливы равенства $y = x2+ bx + c 1 1 1$ и $y = x2 +bx + c 2 2 2$ . Если вычесть из первого второе, то получим $y1− y2 =(x1− x2)(x1 +x2+ b)$ , то есть $y1− y2$ делится на $x1− x2$ (для удобства запишем $y1− y2 = k(x1− x2)$ ).

Квадрат расстояния равен

2 2 2 2 (y1− y2) + (x1− x2) =(x1− x2) (1 +k )

Поскольку множитель $(x − x )2 1 2$ — квадрат, то и $1+ k2$ должен быть квадратом. Заметим, что квадраты целых чисел могут отличаться на $1$ только если эти числа — $1$ и $0$ . Значит, $k =0 =x + x + b 1 2$ , откуда $y − y =0 1 2$ . То есть абсциссы выбранных точек симметричны относительно абсциссы вершины параболы.

Поскольку $2 b − 4c$ равен 9, то $b$ нечётное. Таким образом, абсцисса вершины параболы является полуцелым числом (рациональная дробь со знаменателем $2$ ), а значит, абсциссы $x1$ и $x2$ разной чётности, то есть расстояние — любое положительное нечётное число.

Ответ: Это может быть любое положительное нечётное число.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#84473

Пусть $a$ , $b$ , $c$ — различные числа, причем $c⁄= 0$ . Докажите, что если уравнения $x2+ ax+bc= 0$ и $x2+bx+ ca= 0$ имеют ровно один общий корень, то другие корни этих уравнений удовлетворяют уравнению $2 x +cx+ ab= 0$ .

Показать доказательство

Пусть $x ,x 1 2$ — корни $x2+ax +bc= 0,$ а $x ,x 1 3$ — корни $x2 +bx+ ca.$ Подставим $x 1$ в уравнения, тогда, так как он общий, получится:

2 2 x1+ax1+ bc= x1 +bx1+ ca

$x2 1$ взаимно уничтожается, перебрасываем все слагаемые с $x 1$ влево, остальное — вправо и выносим общие множители, получается:

(a− b)x1 = (a− b)c

Так как $a$ и $b$ по условию различны, то $a − b⁄= 0,$ следовательно, можно поделить на $a− b,$ откуда получим, что $x1 = c.$ Тогда из теоремы Виета $x1x2 =bc$ и $x1x3 =ca.$ Так как $c⁄=0$ по условию, разделим на $c= x1$ каждое уравнение. Получаем, что $x2 = b$ и $x = a. 3$

Помимо этого, по теореме Виета: $x +x = −a, 1 2$ то есть $c= x = −a− x = −a− b= −(a+b). 1 2$ Но $− (x + x)= −(a+ b)=− c. 2 3$ Тогда по обратной теореме Виета $x 2$ и $x 3$ — корни $x2+ cx +ab= 0.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#85147

Найдите все значения параметра $a,$ при которых у уравнения

2 2 x − (2a +1)x+ a + 2= 0

существуют ровно два различных корня, которые отличаются ровно в два раза.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Одно из условий можем сразу назвать: корни точно должны быть! А если один из них равен t, то чему будут равны второй корень, сумма корней, произведение корней?

Подсказка 2

Все это можем легко найти! Наверняка Вы уже догадались, какую теорему можем применить :)

Подсказка 3

Чтобы найти подходящие значения параметра, можем избавиться от переменной t с помощью двух уравнений (выражаем из одного и подставляем во второе!). Найдите решения полученного уравнения и проверяйте, подходят ли они под поставленное в самом начале условие.

Показать ответ и решение

Данное уравнение квадратное при всех значениях параметра. Пусть $t$ и $2t$ — два его различных корня. Тогда дискриминант уравнения положителен и выполнена теорема Виета:

( 7 (| 2 2 ||||a > 4 ||{D = (2a+ 1) − 4(a + 2)> 0 ||{ 2a + 1 |t+ 2t= 2a+ 1 ⇔ |t= --3-- ||(t⋅2t= a2+ 2 |||| 2 |(t2 = a-+-2 2

Из второго и третьего уравнений системы получаем

a2− 8a+ 16= 0 ⇒ a= 4

Найденное $a$ удовлетворяет условию $D > 0.$

Тогда при $a= 4$ получаем уравнение $x2− 9x+ 18= 0$ с корнями $x1 = 3,x2 = 6,$ отличающимися в два раза.

Ответ:

$a = 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточно обоснованные переходы	3

Все равенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено	2

Определено, что уравнение квадратное и найдено при каких $a$ оно имеет решение	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#85154

При каких $a$ сумма квадратов корней уравнения $x2− ax+ a− 2= 0$ минимальна?

Показать ответ и решение

Квадратное уравнение имеет решение при неотрицательном значении дискриминанта:

x2+ax+ a− 2= 0; 2 D= a − 4(a− 2); D= a2− 4a+8 =(a− 2)2+ 4> 0.

$D> 0,$ следовательно, уравнение имеет два корня для любого значения $a.$ По теореме Виета:

x1+ x2 = a; x1⋅x2 = a− 2.

Для суммы квадратов корней получим:

S = x21+x22 =(x1+ x2)2− 2x1 ⋅x2; S = a2− 2(a− 2) =a2− 2a+ 4=(a− 1)2 +3.

Наименьшее значение для этой суммы получим при $a= 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#85542

Квадратные трехчлены $f,g$ и $h$ таковы, что при каждом вещественном $x$ числа $f(x),g(x),h(x)$ являются длинами сторон некоторого треугольника, а числа $f(x)− 1,g(x)− 1,h(x)− 1$ не являются длинами сторон треугольника. Докажите, что один из многочленов $f +g− h,f + h− g,g+ h− f$ постоянен.

Показать доказательство

Понятно, что про больших значениях переменной $x$ каждая из функций $f + g− h− 1,f +h− g− 1,g +h− f − 1$ будет иметь постоянный знак, причем у одной из функций при больших $x$ значения точно должны быть отрицательными. Пусть у функции $f +g − h− 1.$ Тогда при больших $x$ выполнено $0< f + g− h< 1.$ Если $f + g− h$ не константа, то при больших значениях $x$ она будет принимать большие по модлую значения (в частности, большие $1$ ). Значит, $f + g− h$ — постоянная функция.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#85544

Квадратные трехчлены $f(x)⁄= g(x)$ отличаются друг от друга перестановкой коэффициентов. Оказалось, что $f(x)≥ g(x)$ при всех вещественных $x.$ Докажите, что коэффициенты трехчлена $f(x)$ образуют арифметическую прогрессию (в некотором порядке).

Показать доказательство

Предположим, один из коэффициентов при соответствующих степенях $f(x)$ и $g(x)$ совпадают. Тогда, поскольку суммы коэффициентов $f(x)$ и $g(x)$ совпадают, получаем, что $k l f(x)− g(x)=a(x − x)$ при $k⁄= l.$ Легко проверить, что в таком случае в точке $1∕2$ или $2$ значение выражения $k l a(x − x )$ меньше нуля — противоречие. Понятно, что дискриминант трехчлена $f(x)− g(x)$ должен быть не больше $0.$ Пусть $2 f(x)= ax +bx+ c.$ Коэффициенты трехчлена $g(x)$ являются коэффициентами $f(x),$ сдвинутыми по циклу, можно считать, что на $1,$ иначе поменяем $f$ и $g$ местами. Тогда дискриминант равен

(b − c)2 − 4(a− b)(c − a)= b2− 2bc+c2+ 4bc+ 4a2− 4ab− 4ac=(b+ c)2+ (2a)2− 2⋅2a ⋅(b+ c)= (b+c − 2a)2 ≥0

Тогда $b +c− 2a= 0,$ то есть образуют арифметическую прогрессию.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#85554

Кривая, заданная уравнением $y = x2+ px+ q$ , пересекает ось $Ox$ прямоугольной декартовой системы координат в точках $A$ и $B$ , а ось $Oy$ - в точке $C$ (все три точки различны). Известно, что точка $D$ равноудалена от точек $A,B$ и $C$ , а сумма ее координат равна (-2023). Найдите минимально возможную при данных условиях длину отрезка $AB$ .

Источники: ПВГ - 2024, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А, В, С — точки параболы, причём при пересечении с осями Ох и Оу. Тогда про координаты этих точек много уже известно. Подумайте, как называют точки пересечения параболы и оси Охи, и используйте известную теорему для квадратного уравнения.

Подсказка 2

Известная теорема для квадратного уравнения— теорема Виета. Используйте и другие условия задачи, постарайтесь получить значение q - p, ведь только эти переменные изначально даны в условии.

Подсказка 3

Вы уже знаете, что абсциссы А и В — это корни квадратного уравнения и помимо теоремы Виета у них есть явные формулы, используйте это, выражая АВ.

Показать ответ и решение

Из условия вытекает, что $q ⁄= 0$ . Если обозначить $A(x;0),B(x;0),C(0;q),D (x;y) 1 2$ , то, очевидно, что $x= x1+x2- 2$ . Далее

2 2 |DB| = |DC |

2 2 2 2 (x− x2) +y = x + (y − q)

2qy =q2+ 2xx − x2 2 2

Так как $2x= x1+ x2$ , то $2qy = q2+ x1x2$ . Поэтому с учетом теоремы Виета: $x =− p2,y = q+12-$ .

Тогда из условия задачи имеем уравнение

q− p= 2⋅(− 2023)− 1 =− 4047

По формуле корней квадратного уравнения,

-- ∘ ------ |AB|= |x2− x1|=√ D = p2− 4q,

откуда следует

|AB|2 = p2 − 4q = p2− 4p +4⋅4047= (p− 2)2 +4⋅4046≥4 ⋅4046

Данное значение $√---- √ -- |AB |= 2 4046= 34 14$ достигается при $p =2,q = −4045$ .

Ответ:

$2√4046= 34√14$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#85566

На координатной плоскости $Oxy$ рассматривается угол, образованный прямыми $y = x$ и $y = −2x$ , целиком лежащий в полуплоскости $y ≥0$ . Среди всех парабол вида $2 y = ax + bx +c$ , вписанных в данный угол, найдите ту параболу, которая принимает наименьшее значение в точке $x =2$ .

Источники: Курчатов - 2024, 11.6 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Внимание

Условие этой задачи можно понимать по-разному:

Подсказка 1 по первому варианту

Вспомним, что означает с точки зрения уравнений, что парабола касается прямой, запишем эти условия в алгебраической форме. Получим некоторые условия, связывающие между собой коэффициенты квадратного трехчлена.

Подсказка 2 по первому варианту

Теперь, имея условие на коэффициенты трехчлена, останется только подставить в выражение для него x=2 и минимизировать получившуются величину.

Подсказка 1 по второму варианту

Условие, что парабола имеет вершину при x=2, можно записать алгебраически: это значит, что выделяя полный квадрат, мы получим скобку (х-2)^2.

Подсказка 2 по второму варианту

Далее получаем условие на коэффициенты трехчлена, связанные с тем, что искомая парабола касается двух прямых. Из этих условий коэффициенты определяются однозначно!

Показать ответ и решение

Пусть парабола $y =ax2+ bx+ c$ касается обеих прямых $y = x$ и $y = −2x$ . Касание с прямой $y = x$ означает, что квадратное уравнение $2 ax + bx +c =x$ имеет единственное решение, т.е. дискриминант $D1$ этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие: $2 D1 = (b− 1)− 4ac= 0$ .

Аналогично, касание с прямой $y = −2x$ означает, что квадратное уравнение $2 ax +bx+ c= −2x$ имеет единственное решение, поэтому дискриминант $D2$ этого квадратного уравнения также равен $2 0 :D2 = (b+ 2) − 4ac= 0$ . Из этих двух равенств следует, что $2 2 (b− 1) = (b+2)$ , поскольку оба этих выражения равны $4ac$ . Решая это уравнение относительно $b$ , получаем $1 b= −2$ . Подставим это значение $b$ в формулу для $D1$ и найдем $-9 ac= 16$ . Подставим в уравнение параболы $2 y = ax + bx+ c$ значения $x =2$ и $b=$ $1 −2$ : получается выражение $4a+ c− 1$

Найдём, какое наименьшее значение принимает это выражение при условии $9 ac= 16$ .

Заметим, что $a> 0$ , поскольку парабола лежит в верхней полуплоскости относительно оси $Ox$ , а значит, и $c>0$ . Поэтому мы можем применить неравенство Коши: $√--- 4a+ c≥ 2 4ac=3$ , откуда $4a+ c− 1 ≥3− 1= 2$ . Значит, наименьшее значение равно 2 , причем оно достигается, когда $4a +c=$ $√ --- 2 4ac$ . Перенося все слагаемые налево, получаем, что $√- √- (2 a− c)2 = 0$ , откуда $√- √ - 2 a= c$ и $c= 4a$ . Подставляя $c$ в формулу $ac= 196$ и помня, что $a,c> 0$ , получаем $a = 38$ и $c= 32$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Принимались также решения, в которых условие понималось так, чтобы найти параболу, которая принимает своё наименьшее значение в точке $x= 2$ . Решение задачи в этой трактовке приведено ниже.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть наша парабола имеет вершину в точке $x= 2$ . Тогда ее уравнение выглядит так: $y = a(x− 2)2+d$ для некоторых чисел $a$ и $d$ .

Касание с прямой $y =x$ означает, что квадратное уравнение $a(x− 2)2+ d= x$ имеет единственное решение, т.е. дискриминант $D1$ этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие: $D1 = (4a+ 1)2 − 4a(4a +d)= 0$ .

Аналогично, касание с прямой $y = −2x$ означает, что квадратное уравнение $a(x− 2)2 +d =−2x$ имеет единственное решение, поэтому дискриминант $D2$ этого квадратного уравнения также равен $0:D2 = (4a− 2)2 − 4a(4a+ d)= 0$ . Из этих двух равенств следует, что $(4a+ 1)2 = (4a − 2)2$ , поскольку оба этих выражения равны $4a(4a+ d)$ . Решая это уравнение относительно $a$ , получаем $a = 18$ . Подставим это значение $a$ в формулу для $D1$ и найдем $d= 4$ . Таким образом, мы нашли уравнение искомой параболы:

y = 1(x− 2)2+ 4= 1x2− 1x+ 9 8 8 2 2

Ответ:

$y = 3x2− 1x + 3 8 2 2$

в другой трактовке условия $1 2 1 9 y = 8x − 2x+ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#86345

На параболе $y = x2$ даны две точки: $A$ с абсциссой $− 3$ и $B$ с абсциссой $5.$ Точка $C$ лежит на дуге $AB$ . Найдите максимальную возможную площадь треугольника $ABC$ .

Источники: ШВБ - 2024, 11.2 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Итак, хотим найти площадь…какую формулу для ее нахождения будет проще всего применить? Что из нужных величин у нас уже есть и фиксированно? Что тогда нужно максимизировать?

Подсказка 2

У нас уже есть фиксированное AB, значит нам нужно максимизировать длину высоты из C на AB. А как связать это условие с поведение параболы в точке C?

Подсказка 3

Это произойдет, когда касательная к параболе в точке C будет параллельна AB. Как этого добиться?

Подсказка 4

Тангенс угла наклона касательной к графику в точке равен производной функции в этой точке. Ну а найти тангенс угла наклона AB найти будет несложно!

Подсказка 5

Тангенс угла наклона должен быть равен двум. Тогда мы составим уравнение на производную в точке С и найдем ее координаты! Осталось лишь посчитать площадь)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Площадь треугольника $ABC$ будет максимальной, когда высота из точки $C$ на основание $AB$ будет максимальной длины. Это произойдет, когда касательная к параболе в точке $C$ будет параллельна $AB.$

Координаты точек: $A (− 3,9), B (5,25)$ . Тангенс наклона прямой, содержащей $AB$ , равен $16 8 = 2.$ Тангенс угла наклона касательной к графику в точке равен производной функции в этой точке, поэтому хотим найти $x0$ такое, что $( 2)′ (x0) = 2x0 = 2 ⇐⇒ x0 =1.$

Итого, искомые координаты $C(1,1)$ . Найдем длины сторон треугольника $ABC :$

∘ --------------- √- AB = (5+3)2+ (25− 9)2 =8 5

∘ --------------- √-- BC = (5− 1)2 +(25− 1)2 = 4 37

∘-------------- √- AC = (1+ 3)2+ (1− 9)2 = 4 5

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

√ - √ -- p= 6 5+ 2 37

--------------------------- S =∘ p⋅(p− 8√5)⋅(p− 4√5)⋅(p− 4√37) =64

Второе решение.

$PIC$

Разрежем треугольник вертикальным отрезком $CD$ , тогда

(x − x )CD + (x − x )CD S(ABC )= S(ACD)+ S(BCD )= -C---A-----2--B---C----=

= xB −-xA-⋅CD =4⋅CD 2

Пусть $y = kx +b−$ уравнение прямой $AB$ . Тогда $CD = kx+ b− x2$ . Этот трёхчлен достигает максимум посередине между корнями, которые, очевидно, равны $xA$ и $xB.$ Значит, максимальная длина отрезка $CD$ получится, если взять $xC = xA+x2B-= 1$ , и тогда $CD = 16.$

Ответ: 64

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#88681

Квадратный трехчлен $y =ax2+ bx+c$ не имеет корней и $a+ b+c> 0$ . Найдите знак коэффициента $c$ .

Показать ответ и решение

Квадратный трехчлен $f(x)$ не имеет корней, следовательно, знакопостоянен. Кроме этого, $f(1) =a+ b+ c> 0.$ Заключаем, что $f(x )> 0 0$ для любого действительно $x0,$ в частности, $f(0)= c> 0.$

Ответ: Коэффициент отрицателен

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#88683

Парабола $y = ax2$ высекает на прямых $y = 1,y =2,y = 3$ три отрезка. Докажите, что из этих отрезков можно сложить прямоугольный треугольник.

Показать доказательство

Найдем длину отрезка, высекаемого параболой $y = ax2$ на прямой $y =b$ для заданного $b.$ Абцисса точки пересечения графиков данных функций удовлетворяют уравнению $2 ax =b,$ то есть $∘ --- x= ± b∕a,$ ордины данных точек равны, то есть расстояние между ними равно $∘ --- 2 b∕a.$

Таким образом, парабола $2 y = ax$ высекает на прямых $y = 1,y =2,y = 3$ три отрезка, длины которых равны соотвественно $∘--- 2 1∕a$ , $∘ --- ∘--- 2 2∕a,2 3∕a.$ Осталось заметить, что

∘ --- ∘ --- ∘ --- (2 1∕a)2+ (2 2∕a)2 = 22(3∕a)= (2 3∕a)2,

следовательно, в силу обратной теоремы Пифагора, верно, что треугольник, длины сторон которого равны соотвественно $2∘1∕a,$ $∘ --- 2 2∕a,$ $∘ --- 2 3∕a,$ является прямоугольным.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#88708

Две смежные вершины квадрата лежат на параболе $y = x2− 4x +5$ , а две другие - на параболе $y = x2− 2ax+ a2+2a.$ Найти наименьшую площадь этого квадрата при всевозможных значениях параметра $a.$

Источники: САММАТ - 2024, 11.6 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что коэффициент при х² у данных парабол одинаковый, значит, одну можно получить параллельным переносом другой на некоторый вектор.

Подсказка 2

Обозначьте вершины квадрата за буквы. Подумайте, что это за вектор будет, на который нужно сделать перенос параболы?

Подсказка 3

Это одна из сторон квадрата!

Показать ответ и решение

Пусть вершины квадрата $A$ и $B$ лежат на первой параболе, а вершины $C$ и $D$ — на второй. У этих парабол одинаковые коэффициенты при $2 x$ . Значит, вторую параболу можно получить из первой параллельным переносом на некоторый вектор. Заметим, что этим вектором является вектор $⃗ AC$ . При этом переносе вершина первой параболы $(2,1)$ переходит в вершину $(a,2a)$ второй. Значит, $⃗ AC$ имеет координаты $(a − 2,2a − 1)$ . То есть квадрат длины стороны квадрата равен

2 2 2 (a − 2) + (2a− 1)= 5a − 8a +5

Это и есть площадь квадрата. Минимум $9 5$ достигается в вершине $a= 4 5$ .

Ответ:

$9 5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#90288

График $G1$ квадратного трехчлена $y = px2 + qx + r$ с вещественными коэффициентами пересекает график $G2$ квадратного трехчлена $y = x2$ в точках $A$ и $B.$ Касательные в точках $A$ и $B$ к графику $G2$ пересекаются в точке $C.$ Оказалось, что точка $C$ лежит на графике $G . 1$
Найдите все возможные значения $p.$

Источники: Всеросс., 2024, РЭ, 11.7(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вычтем из обоих трехчленов линейную функцию, проходящую через A и B. Как теперь выглядят условия задачи?

Подсказка 2

На самом деле, условия касания парабол и прямых, а также пересечение прямых на параболе сохраняются и для новых трехчленов. Осталось решить задачу для более простого случая, когда параболы пересекаются в 2 точках, являющиеся из нулями.

Показать ответ и решение

Вычтем из обоих трехчленов линейную функцию, график которой проходит через точки $A$ и $B.$ Обозначим полученные трехчлены соответственно $P(x)$ и $Q (x)$ (где у $P(x)$ старший коэффициент равен $p,$ а у $Q (x)$ он равен $1$ ). Пусть абсциссы точек $A$ и $B$ равны соответственно $x a$ и $x . b$ Тогда $P (x ) = P(x ) = Q(x ) = Q (x ) = 0, a b a b$ и касательные в точках $(xa,0)$ и $(xb,0)$ к графику трехчлена $Q(x)$ пересекаются на графике $P(x).$ В самом деле, вычитание линейной функции сохраняет условия касания прямой и параболы в точке с заданной абсциссой, а также пересечения двух прямых и параболы в одной точке.

Обозначим $(xa +xb)∕2$ через $xm.$ Поскольку $Q (xa) = Q(xb) = 0,$ график трехчлена $Q (x)$ симметричен относительно прямой $x = xm,$ поэтому касательные к этому графику в точках $(xa,0)$ и $(xb,0)$ пересекаются на оси симметрии. Пусть также точка пересечения касательных имеет координаты $(xm,yc),$ а вершина параболы-графика $Q (x )$ имеет координаты $(xm,yd).$

Поскольку старший коэффициент трехчлена $Q (x)$ равен $1,$ имеет место равенство $0 − yd = (xb − xm)2,$ или $yd = − (xa − xb)2∕4,$ поскольку график $Q(x)$ есть парабола $y = x2$ , перенесенная параллельно так, чтобы вершина попала в $(x ,y). m d$ По этой же причине угловые коэффициенты касательных в точках $(x ,0) a$ и $(x ,0) b$ есть $± (xa − xb);$ значит, $2 yc = − (xa − xb) ∕2.$ Таким образом, если перенести параболы-графики $P (x )$ и $Q(x)$ так, чтобы их вершины попали в $(0,0),$ то ординаты точек с абсциссой $x = xm$ на этих параболах будут соответственно $− yc$ и $− yd = − yc∕2,$ из чего следует, что старший коэффициент у $P(x)$ в $2$ раза больше, чем у $Q (x ).$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#92262

Многочлен $f(x)$ второй степени имеет действительные коэффициенты. Попарно различные действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условиям

f(a)= bc,f(b)= ca,f(c)=ab.

Найдите все возможные значения выражения

f(a)+-f(b)+-f(c) f(a+ b+c)

при условии, что $f(a +b+ c) ⁄=0$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте запишем f(x) в явном виде. f(x) = dx² + ex + f, где d - ненулевой коэффициент! Теперь нужно как-то использовать условие на связь a, b, c.

Подсказка 2

Составим систему из 3х уравнений. Мы бы очень хотели восстановить все коэффициенты многочлена f(x). Что можно сделать?

Подсказка 3

Может помочь вычитание уравнений! Например, вычтем из второго первое и из третьего первое. В итоге красиво собираются коэффициенты: перед d — разность квадратов, перед e — разность этих же чисел, справа — число, помноженное на эту же разность!

Подсказка 4

Если расписать разность квадратов, то у каждого из слагаемых уравнения будет общий множитель ;) Поскольку a,b,c - различные, то мы без проблем можем обе части уравнения поделить на этот множитель!

Подсказка 5

В итоге получили систему из двух линейных уравнений относительно d и e. Можем решить ее аналогичным вычитанием!

Подсказка 6

После того, как нашли d и e, можем найти f путем подстановки известных коэффициентов в любое уравнение исходной системы.

Подсказка 7

Коэффициенты f(x) восстановлены! Теперь остается аккуратно подставить значения функции в выражение [f(a)+f(b)+f(c)]/f(a+b+c)

Показать ответ и решение

Пусть многочлен $f(x)$ имеет вид $dx2+ ex +f.$ Тогда выпишем условия:

( a2d +ae+ f = bc |{ 2 |( bd2+ be+ f = ca cd+ ce+ f = ab

Вычтем из второго уравнения первое, из третьего вычтем первое:

{ (b2− a2)d+ (b− a)e= c(a− b) (c2− b2)d+ (c − b)e =a(b− c)

Так как по условию все числа попарно различны, то получаем

{ (a +b)d+e =− c (c+ b)d +e= −a

Вычитая из верхнего нижнее:

(a− c)d= a− c, d= 1

Тогда

e= −a − b− c

f =bc− a(− a− b− c)− a2 = ab+ bc+ ac

Наконец, вычислим искомое

f(a)+f(b)+f(c) --f(a+-b+c)-- =

= -------2-----bc+-ca-+ab--------------= (a +b+ c)− (a+b+ c)(a+ b+ c)+ ab+bc+ ca

ab-+bc+-ca- = ab +bc+ ca =1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#96408

Решить уравнения, выделив полный квадрат:

(a) $x2+ 4x− 5= 0.$

(b) $x2+ 5x+ 7= 0.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если мы хотим представить наш многочлен в виде (x + c)² + k (то есть выделить полный квадрат), то нам надо понять, чему равно c. Коэффициент перед х в таком выражении будет равен 2c, а значит 2c = 4, c = 2. Надо понять, какое k, если x^2 + 4x - 5 = 0. Сделайте это в пунктах (а) и (б). Что получается?

Подсказка 2

В первом k = -9, а во втором k = 3/4. Что нужно делать дальше? Перенести число в другую часть. Мы получили равенство вида (x - c)² = -k. Каким должно быть k, чтобы были решения и какие решения будут при нужных k?

Подсказка 3

Оно должно быть отрицательным, так как квадрат всегда неотрицателен. А значит, в пункте (б) решений просто нет. В первом пункте обратите внимание, что есть не только случай, когда x + 2 = 3!

Показать ответ и решение

a) Переносим свободный член на правую сторону:

2 x + 4x= 5.

Чтобы выделить полный квадрат, добавим и вычтем $(4)2 =4 2$ :

x2+ 4x+ 4= 5+4.

Теперь у нас есть:

(x+2)2 = 9.

x +2= ±3.

Таким образом, действительные корни уравнения:

x1 = 1, x2 = −5.

(b) Переносим свободный член на правую сторону:

x2+ 5x= −7.

Чтобы выделить полный квадрат, добавим и вычтем $(5)2 25- 2 = 4$ :

2 25 25 x + 5x+ 4-= −7+ -4 .

( )2 x + 5 = − 3. 2 4

Поскольку правая часть отрицательна, это указывает на то, что у уравнения нет действительных корней.

Ответ:

(a) -5; 1.

(b) корней нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#97390

Решите уравнения, не вычисляя дискриминант:

(a) $5x2− 121x+ 116= 0;$

(b) $x2− 22x+ 120= 0;$

Показать ответ и решение

(a) Заметим, что $x= 1$ является корнем данного уравнения, так как $5 − 121+ 116= 0.$ Так как по теореме Виета произведение корней равно $116 5 ,$ то второй корень уравнения равен $116- 116- 5 :1= 5 .$

(b) Заметим, что $− (12+10)= −22$ и $12⋅10 =120.$ Тогда по обратной теореме Виета числа 12 и 10 являются корнями данного уравнения.

(c) Число $− 1$ является корнем данного уравнения, так как $3− 78+ 75 =0.$ По теореме Виета произведение корней равно $75 3-,$ откуда второй корень равен $75 − -3 .$

Ответ:

(a) $1,$ $116- 5$

(b) $12,$ $10$

Предыдущий раздел

Следующий раздел