Тема АЛГЕБРА

Последовательности и прогрессии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Последовательности и прогрессии

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Комбинация арифметической и геометрической прогрессий

Рекуррентные соотношения

Периодичность и зацикливание

Последовательности нестандартного вида

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#35325

a) Докажите, что если $xn+1 = axn + b,$ то $xn = can + d.$ (при условии $a ⁄= 1$ )

b) Найдите явную формулу $n−$ ого члена последовательности, заданной соотношениями $xn+1 = 3xn − 1,$ $x1 = 1.$

Показать ответ и решение

a) Давайте попробуем доказать это по индукции.
1. База. При $n = 1$ имеем: $x1 = ax0 + b = ca + d,$ где в качестве c берётся $x0,$ а в качестве $d$ берётся $b.$

2. Шаг индукции. Итак, пусть при всех $k$ от $1$ до $n$ мы уже доказали формулу, что $x = cak + d. k$
Докажем её для $n + 1$ :

по определению xn+1 по предполож ению индукции n n+1 xn+1 = axn + b = a(ca + d) + b = ca + ad + b.

Однако мы бы хотели, чтобы наше $x n+1$ имело вид $x = can+1 + d. n+1$
Таким образом, у нас с одной стороны свободный член получился равным $ad + b,$ а с другой стороны он должен быть просто $d.$
Из этого условия и находим $d$ : $ad + b = d,$ значит, $b = d(1− a),$ откуда $b d = 1−a.$ Вот здесь-то нам и пригодилось условие, что $a ⁄= 1.$

b) Независимо от предыдущего пункта попробуем угадать формулу, посчитав первые несколько членов:

x1 = 1; x2 = 3⋅x1− 1 = 3⋅1− 1 = 2; x3 = 3x2 − 1 = 3(3− 1 )− 1; x4 = 3(3(3− 1)− 1)− 1; x5 = 3(3(3(3− 1)− 1)− 1)− 1.

И вот, например, для $x5$ если преобразовать выражение, то становится видно, что:

2 3 2 4 3 2 x5 = 3(3(3 − 3− 1) − 1)− 1 = 3(3 − 3 − 3− 1) − 1 = 3 − 3 − 3 − 3 − 1.

Таким образом, очевидно (но лучше доказать по индукции), что для $xn$ формула имеет вид:

xn = 3n −1 − 3n− 2 − 3n−3 − ...− 31 − 1 = 3n−1 − (3n−2 + 3n− 3 + ...+ 31 + 1)

В скобках у нас появляется формула суммы геометрической прогрессии с первым членом $3n−2$ и знаменателем $13 :$

n−2 n−3 1 3n−2(1− (13)n− 1) 3n−1(1− (13)n−1) 3 + 3 + ...+ 3 + 1 = -------2--------= -------2-------. 3

В итоге имеем

1− (1)n−1 1 + (1)n−1 3n−1 + 1 xn = 3n−1(1− ----3-----) = 3n−1(----3----) = -------- 2 2 2

Ответ:

$3n−1+-1 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#103841

Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если сумма её первого и третьего членов равна $35,$ а сумма первых пяти членов в $49$ раз больше суммы их обратных величин.

Показать ответ и решение

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $a$ , а знаменатель как $r.$

По первому условию задачи

2 a+ ar =35

a(1+ r2)= 35

Еслм $r= 1,$ то сумма первых пяти членов равна $5a,$ сумма обратных равна $5a.$ По второму условию задачи $5a= 49⋅ 5a.$ Но тогда $a =±7$ и не выполнено условие $a(1+ r2)= 35.$

При $r⁄= 1$ сумма первых пяти членов вычисляется по формуле:

S5 =a +ar+ ar2+ar3+ ar4 =a(1+ r+r2+ r3+r4)= ar5− 1 r− 1

Сумма этих обратных величин:

1 -1 -1- -1- -1- 1( 1 1- 1- 1-) 1 -r5-− 1- a + ar + ar2 + ar3 + ar4 = a 1+ r + r2 + r3 + r4 = a ⋅r4(r− 1)

И тогда второе условие задачи записывается так:

5 ( 5 ) ar-−-1= 49⋅ 1 ⋅-r4-− 1- r− 1 a r(r− 1)

a2(r5− 1)=49⋅ r5−-1 r4

2 49 a = r4-

Подставляем в $2 (a(1+ r )=35):$

( 7 ) r2 (1+ r2)= 35

2 2 7(1+ r)= 35r

1+ r2 = 5r2

4r2− 1= 0

r= 12 или r= − 12

a(1+ (1)2)= 35 2

( ) a 1+ 1 = 35 4

a= 35⋅ 4 =28 5

Таким образом, первый член равен 28, а знаменатель может быть равен $± 1. 2$

Ответ:

первый член равен 28, а знаменатель может быть равен $± 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#103842

Найдите отношение суммы первых $2n$ членов арифметической прогрессии к сумме следующих $2n$ её членов, если сумма первых $3n$ членов равна сумме следующих $n$ членов, а разность $d$ прогрессии не равна нулю.

Показать ответ и решение

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a.$ Сумма первых $m$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

m Sm = 2-⋅(2a+ (m− 1)d)

По условию сумма первых $3n$ членов равна сумме следующих $n$ членов:

S3n =S4n− S3n

3n 4n 2⋅-2 (2a+(3n− 1)d)=-2 ⋅(2a+ (4n− 1)d)

6a +9nd− 3d= 4a +8nd− 2d

2a= d− nd

Тогда соответственно

2n S2n =-2 ⋅(2a+ (2n − 1)d) =n(d− nd+(2n− 1)d)= n⋅nd= n2d

Теперь найдем сумму следующих $2n$ членов, то есть членов с номерами от $2n+ 1$ до $4n$ . Сумма этих членов будет равна разности суммы первых $4n$ членов и суммы первых $2n$ членов:

S(2n)′ =S4n− S2n = 2n(2a+ (4n − 1)d)− n(2a+(2n− 1)d)= 2n⋅3nd− n ⋅nd= 5n2d

Так как по условию $d⁄= 0,$ то отношение суммы первых $2n$ членов к сумме следующих $2n$ членов:

2 R= -S2n-= -nd2-= 1 S(2n)′ 5n d 5

Ответ:

$1 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#104820

Докажите, что число $0,123456789101112131415...$ не является периодической десятичной дробью.

Показать доказательство

Пусть эта дробь является периодической и имеет какой-то предпериод длины $y$ и период длины $x.$ После предпериода обязательно найдётся какая-то ненулевая цифра. Значит, период содержит ненулевые цифры. Однако, дробная часть содержит запись всех чисел вида $k 10.$ Если взять достаточно большое $k,$ то мы получим число, запись которого не входит в предпериод, и при этом его нули полностью покрывают один из периодов. Пришли к противоречию с наличием в периоде ненулевой цифры.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105458

Пусть $a ,a,a 1 2 3$ — арифметическая прогрессия с ненулевой разностью. Известно, что $aa ,aa ,aa 12 23 31$ — геометрическая прогрессия. Найти её знаменатель.

Показать ответ и решение

Из того, что $a a,a a,a a 12 23 3 1$ — геометрическая прогрессия, следует, что ни одно из чисел $a,a ,a 1 2 3$ не равно нулю. Знаменатель геометрической прогрессии равен отношению ее второго члена к первому, т.е. $a3 q = a1$ . Следовательно,

a3a1 = a2a3q

a1 q = a2

Получили

a3 a1 a1-= a2

a21 = (a1+d)(a1+2d)

Так как $d⁄= 0,$ то сокращаем и получаем

d= − 3a1 2

Теперь уже можно найти

q = a1 =-a1- = ----a1----= −2 a2 a1 +d a1 +(−1,5a1)

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#77218

Последовательность ${a} n$ определена условиями

-1-- a0 = 7 и an = an−1+ an−1 для n ∈ℕ.

Докажите, что $64< a2024 < 65.$

Показать доказательство

Возведем в квадрат второе уравнение

2 2 1 an =an−1+ a2n−1 + 2

Выразив остальные члены последовательности, получим систему

( ||| a2n = a2n−1+ a12-+2 ||||| a2 = a2 +n−211--+2 ||||{ n2−1 n2−2 an−12- an−2 = an−3+ a2n−3 +2 ||||| ⋅⋅⋅ ||||| a22 = a21+ 1a21 +2 ||( a21 = a20+ 12+2 a0

Сложив уравнения системы, получим

2 2 n−∑ 11 an = 2n+ a0+ a2k k=0

Тогда

20∑231 a22024 =4097+ a2> 4097 k=0 k

А значит, $a2024 > 64.$

Заметим, что данная последовательность возрастающая, то есть каждый член больше предыдущего, а значит, обратный квадрат меньше.

20∑231 1 a22024 =4097+ a2< 4097 +2024⋅49 < 4225= 652 k=0 k

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#78957

Существует ли такая арифметическая прогрессия из трех натуральных чисел, что произведение всех ее членов есть точная $2008$ -я степень натурального числа?

Показать ответ и решение

Например $6669,2⋅6669,3⋅6669.$ Их произведение равно $6⋅63⋅669 = 62008.$

Ответ:

Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#78959

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов также является членом этой прогрессии. Докажите, что все её члены — целые числа.

Показать доказательство

Пусть $a$ — один из членов прогрессии, а $d$ — её разность. По условию числа $a(a+ d)$ и $a(a+ 2d)$ также члены прогрессии; значит, их разность имеет вид $nd$ при некотором целом $n,$ т. е. $ad= nd.$ Поскольку $d >0,$ получаем $a= n,$ т. е. $a$ — целое число

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#78960

Последовательность ${a } n$ задаётся следующим образом: $a = 1 1$ , $a = a + 1- n+1 n an$ для любого натурального $n.$ Докажите, что $a100 >14.$

Показать доказательство

Заметим, что $a > 0 n$ для любого натурального $n.$ Также

( 1 )2 a2n+1 = an + an- > a2n+ 2

Тогда

a2100 > a299+ 2> a298 +2⋅2> ...> a21+ 2⋅99= 199> 142

что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#78962

Множество $S$ состоит из чисел

2 2 3 1,1+ b,1+ b+b ,1+b +b + b,...

где $b$ — некоторое натуральное число. Докажите, что если два числа из $S$ являются членами возрастающей арифметической прогрессии, то найдётся ещё одно число из $S,$ также являющееся членом этой прогрессии.

Показать доказательство

Решение. Пусть $1+b+ ...+ bn = a+ kd,1+ b+...+bm =a +ld,$ где $a$ и $d$ — первый член и разность прогрессии, $k,l∈ ℕ.$ Пусть $k< l$ и, соответственно $n< m.$ Тогда

n+1 n+2 m b + b +...+b =(a+ ld)− (a+kd)= (l− k)d =pd, p ∈ℕ

Заметим, что

bm+1+ bm+2+ ...+ b2m−n = m−n (n+1 n+2 m) m−n =b b + b +...+b = b pd= qd, q ∈ ℕ

и, значит, число $1+ b+ ...+b2m−n =a +ld+qd= a+ (l+q)d$ также является членом прогрессии.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#78963

Докажите, что все члены последовательности

∘ --2--- x1 = 0, xn+1 = 2xn+ 3xn+ 1, n= 1,2,...

являются целыми числами.

Показать доказательство

Заметим, что все члены последовательности неотрицательны, и

∘------ xn+1 = 2xn+ 3x2n+ 1> 2xn ≥ xn

Поэтому все члены последовательности различны. Перенеся $2xn$ в левую часть и возведя полученное равенство в квадрат, получаем

x2n+1− 4xn+1xn+ x2n = 1

Кроме того, также выполняется и равенство

x2n−1− 4xn−1xn+ x2n = 1

(получаемое уменьшением индексов на $1$ ). Это означает, что $xn+1$ и $xn−1$ являются корнями уравнения $2 2 x − 4xnx+ xn = 1.$ Тогда по теореме Виета получаем $xn+1+ xn−1 = 4xn,$ т. е. $xn+1 =4xn − xn−1.$ Отсюда в силу того, что первые два члена последовательности — целые числа, следует, что все $xn,$ вычисляемые с помощью полученной формулы, т. е. $xn = 4xn−1− xn−2,$ — целые числа.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#78964

Одиннадцати мудрецам завязывают глаза и надевают каждому на голову колпак одного из $1000$ цветов. После этого им глаза развязывают, и каждый видит все колпаки, кроме своего. Затем одновременно каждый показывает остальным одну из двух карточек — белую или черную. После этого все должны одновременно назвать цвет своих колпаков. Удастся ли это? Мудрецы могут заранее договориться о своих действиях (до того, как им завязали глаза); мудрецам известно, каких 1000 цветов могут быть колпаки.

Показать ответ и решение

Существует ровно $21111$ —разрядных последовательностей из $0$ и $1,$ из них с четным числом единиц — ровно половина, то есть $10 2 = 1024.$ Закодируем 1000 цветов тысячей таких последовательностей. Распределим разряды между мудрецами. Мудрец номер $k$ действует так: среди видимых им 10 цветов колпаков подсчитывает число $ak$ тех, у кого в $k$ -м разряде стоит $1.$ Если это число четно, он показывает черную, а иначе-белую карточку.

После этого каждый мудрец может вычислить все разряды в коде цвета своего колпака, кроме одного — за который он сам отвечает. Для этого он подсчитывает число $bk$ единиц в $k$ -х разрядах девяти мудрецов (кроме себя и мудреца номер $k$ ), и если четность $bk$ совпадает с показанной четностью $ak,$ у него в $k$ м разряде $0,$ иначе $1.$ Недостающий разряд восстанавливается благодаря четности общего числа единиц в коде.

Ответ:

Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#79330

При каком натуральном $n$ выражение $-n2-- 1,001n$ принимает наибольшее значение?

Показать ответ и решение

Рассмотрим последовательность $a = --n2-. n 1,001n$ Рассмотрим отношение соседних членов $a n$ и $a n+1$ и сравним его с $1.$ Оно равно $2 1,(n00+11n)2 .$ Нетрудно видеть, что при $n ≥ 2001$ оно больше $1,$ а при остальных — меньше, если составить соответствующее неравенство. Отсюда следует, что до $n =2001$ последовательность возрастает, а при $n> 2002$ — убывает, то есть максимум достигается при $n =2001.$

Ответ:

$2001$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#79596

Все члены геометрической прогрессии положительны. Сумма первых $15$ членов прогрессии равна $58,$ а сумма обратных величин этих членов равна $14,5.$ Найдите восьмой член прогрессии.

Источники: ОММО - 2024, задача 1 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $b$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель. Тогда по условию $b, q > 0,$ так как все числа положительны.

Заметим сразу, что исходная прогрессия не является постоянной(то есть $q ⁄=1$ ), так как иначе каждый ее член был бы равен $58 15,$ и тогда сумма обратных величин была бы равна $225- 58 ⁄=14,5$

Запишем сумму первых 15 членов

q15− 1 b+bq+ bq2 +...+ bq14 = b-q−-1-= 58

Последовательность, составленная из обратных величин данной прогрессии также является геометрической прогрессией(со знаменателем $1q$ ), поэтому

( ) ( ) 1 15− 1 1 + 1-+ 1-+ ...+ -1- = 1 1+ 1 +...+ -1- = 1 -q------= 14,5 b bq bq2 bq14 b q q14 b 1− 1 q

Преобразовав второе равенство, получаем систему

(|| b⋅ q15−-1= 58 { q −1 15 ||( 1⋅-q14-−-1-= 14,5 b q (q− 1)

Поделив первое равенство на второе, получаем

b2⋅q14 = 58- 14,5

b2⋅q14 = 4

Так как $b, q > 0$ получаем значение восьмого члена прогрессии

b⋅q7 = 2

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#79608

Последовательность ( $a n$ ) удовлетворяет условиям

∘ -------- a1 = 1, an+1− an = an+ an+1 при всех n≥ 1.

Какие значения может принимать $a 2023$ ?

Источники: ОММО - 2024, задача 10 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Выписав условие $a − a ≥ 0 n+1 n$ , возведем равенство в квадрат и запишем его для двух соседних членов последовательности

2 2 an+1− 2an+1 ⋅an +an =an+ an+1

2 2 an− 2an⋅an−1+an−1 =an−1+ an

То есть получаем, что $a n+1$ и $a n−1$ — два корня уравнения

2 2 t − (2an+ 1)⋅t+ an− an = 0

По теореме Виета получаем

an−1+ an+1 =2an+ 1

an+1 = an+ (an− an−1)+1

Первые члены последовательности равны $1,3,6,10,...$ Это очень похоже на суммы первых $n$ натуральных чисел. Давайте по индукции докажем формулу:

an+1 = n(n+-1) 2

База очевидна: $a1 = 1= 1⋅22$

Переход ясен:

an+1 = n(n+-1)+n +1 = (n+-1)(n-+2) 2 2

Поэтому

2022⋅2023 a2023 = 2 = 2047276

Ответ: 2047276

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#80754

Углы выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию, имеющую разность $2∘$ и начинающуюся с угла $143∘.$ Какое наибольшее число вершин может быть у такого многоугольника?

Источники: Физтех - 2024, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — искомое число вершин. Тогда сумма углов многоугольника равна $180∘⋅(n− 2).$ С другой стороны, эту же сумму можно выразить через сумму арифметической прогрессии, которая равна $∘ n(n−1) ∘ 143 ⋅n+ 2 ⋅2 .$ Приравняем эти суммы и получим следующее уравнение:

∘ ∘ n(n − 1) ∘ 180 ⋅(n − 2)= 143 ⋅n +--2---⋅2

n2− n+ 143n − 180n+ 360= 0

2 n − 38n+ 360= 0

Получаем, что $n= 18$ или $n= 20.$ Но $n =20$ не подходит, так как тогда наибольший угол многоугольника равен $143∘+2∘⋅19= 181∘,$ что больше $180∘.$

Ответ: 18

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#80755

Найдите все действительные значения $x,$ при каждом из которых существует геометрическая прогрессия, состоящая из действительных чисел и такая, что её четвёртый член равен $∘ 15x+6- (x−3)3,$ десятый член равен $x+ 4,$ а двенадцатый член равен $∘ ------------ (15x+ 6)(x− 3).$

Источники: Физтех - 2024, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть первый член прогрессии это $b,$ а знаменатель прогрессии это $q.$ Тогда запишем систему, исходя из условий задачи

(| ∘ 15x+-6- ||||{ bq3 = (x−-3)3 ||||| bq9 =x∘+4----------- ( bq11 = (15x+ 6)(x− 3)

Заметим, что $(bq9)4 =(bq11)3⋅(bq3).$ Запишем это равенство через $x$ :

∘------- (∘ (15x+-6)(x−-3))3⋅ 15x-+6-= (x +4)4 (x − 3)3

2 4 2 2 (15x+ 6) =(x+ 4) ⇔ (x − 7x+ 10)(x +23x+ 22)=0

Из последнего уравнения получаем следующую совокупность решений

⌊ x= −22— не подходит, так как bq9 и bq11 разных знаков || x= −1 || x= 2— не подходит под ОД З ⌈ x= 5

В итоге, получаем, что $x =− 1$ или $x =5$ .

Ответ:

${−1; 5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#82677

Дана последовательность $a n$ : 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, $...$
(одна единица, две двойки, три тройки, четыре четверки и т.д.) и еще одна последовательность $bn$ такая, что $abn =ban$ для всех натуральных $n$ .

Известно, что $bk = 1$ при некотором $k> 100$ . Докажите, что $bm =1$ при всех $m >k$ .

Источники: СПБГОР - 2024, 11.2 (см. www.pdmi.ras.ru)

Показать доказательство

Возьмём число $m : t(t+1)+ 1≤ m ≤ (t+1)(t+2) 2 2$ , заметим, что для любого такого $m$ $a = t+1 m$ , тогда $b = b = a t+1 am bm$ , тогда если $bm =1$ , то $abm =1$ , тогда $bt+1 =1$ , и наоборот.

Значит, $bt+1 = 1 ⇐⇒ bm = 1$ для $t(t+1) (t+1)(t+2) m ∈ [ 2 + 1; 2 ]$

Значит, и $bt+1 ⁄=1 ⇐⇒ bm ⁄= 1$

Если $b3 =1$ , то

2× 3 3× 4 ∀m ∈ [-2-+ 1;-2--]:bm = 1 т.е. b4 = b5 =b6 = 1

Докажем тогда по индукции, что $∀m > 3 bm = 1.$

База уже есть. Переход будем делать от $m ∈ [3;t(t+21)]$ к $m ∈[3;(t+1)2(t+2)].$

Заметим, что $t+ 1< t(t+21)$ при $t>3 ⇒ bt+1 = 1$ , но по предположению индукции $∀m ∈ [t(t+21)+ 1≤ m≤ (t+1)2(t+2)]:bm =1$ , значит,

∀m ≥3 :bm = 1, если b3 = 1

Аналогичными рассуждениями

∀m ≥3 :bm ⁄= 1, если b3 ⁄= 1

Итого т.к. $bk =1$ , $k> 100$ , то $b3 =1$ , а значит, $∀m > 3$ :

bm = 1⇒ ∀m > k bm =1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#83743

Дана последовательность:

∘ ∘ n ∘ a1 = cos10 ,a2 =cos100,...,an = cos(10) ,...

Найдите наименьшее значение выражения

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx, где x∈ ℝ

Источники: Звезда - 2024, 11.4 (см. zv.susu.ru)

Показать ответ и решение

Посмотрим на разность градусных мер углов у соседних членов последовательности:

n n−1 n−1 n−3 n−3 10 − 10 = 10 (10− 1)=9⋅1000⋅10 =360⋅25⋅10

Если $n≥ 3,$ то эта разность делится на 360. Тогда косинусы равны, то есть $a3 =a4 = ...= a2024.$

Преобразуем по известным тригонометрическим формулам:

∘ ∘ ∘ ∘ a2+a2023+ a2024 = cos100 + 2cos1000 =cos100 + 2cos(360 ⋅3− 80)=

= cos(90∘+ 10∘)+ 2cos80∘ =− sin10∘+2 sin10∘ =sin 10∘

Теперь подставим в искомое выражение:

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx =

= cos10∘⋅cosx+ sin10∘⋅sinx= cos(x− 10∘)

Наименьшее значение косинуса, как известно, равно $− 1.$

Ответ:

$− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#85034

Первый член арифметической прогрессии меньше 0, сотый не меньше 74, а двухсотый меньше 200. Количество членов прогрессии на интервале $(0,5;5)$ ровно на два меньше, чем на отрезке $[20;24,5]$ . Найдите первый член и разность прогрессии.

Показать ответ и решение

Пусть $a$ первый член арифметической прогрессии, а $d$ —- ее разность. Тогда ее $100$ -й член равен $a+99d$ , а $200$ -й равен $a+ 199d.$

Из условия получаем, что

a <0; a+ 99d≥ 74; a+ 199d< 200;

Если рассмотреть разность второго и первого уравнения, а также третьего и второго, то получим:

99d> 74; 100d< 126;

То есть $7949 < d< 1.26$ . Отсюда, в частности, следует, что последовательность возрастает.

Пусть $x1$ - наибольший член арифметической прогрессии, который находится левее интервала $(0.5;5)$ , т. е. $x1 ≤ 0.5$ . А $x2$ - наименьший элемент арифметической прогрессии, который находится правее интервала $(0.5;5)$ (то есть $x2$ - наименьший член, удовлетворяющий условию $x2 ≥ 5$ ).

Схожим образом определим $y1$ - наименьший член арифметической прогрессии, который находится внутри интервала $[20;24.5]$ , а $y2$ - наибольший элемент арифметической прогрессии, внутри $[20;24.5]$

Так как на отрезке $[20;24.5]$ ровно на $2$ члена прогрессии больше, чем на $(0.5;5)$ , то количество членов прогрессии между $x1$ и $x2$ в точности равно количеству элементов между $y 1$ и $y 2$ . Тогда $x − x = kd= y − y 2 1 2 1$ для некоторого натурального $k$ .

При этом $(x − x )≥ 5− 0.5= 4.5 2 1$ , а $y − y ≤24.5− 20= 4.5 2 1$ . (потому что отрезок $[x ;x] 1 2$ покрывает интервал $(0.5;5)$ , а $[20;24.5]$ покрывает $[y1;y2]$ ). Но тогда $kd= x2− x1 = 4.5= y2− y1$ , а также $x1 = 0.5;$ $x2 = 5;$ $y1 = 20;$ $y2 = 24.5$

Из двух условий:

(| 74 { 99 < d< 1.26 |( d= 4.5,(k ∈ℤ) k

Получаем $257-<k < 891418-$ , то есть $k∈ {4,5,6}$ . Откуда $d ∈{98, 910,34}$

При этом мы знаем, что в прогрессии есть члены $x2 = 5$ и $y1 = 20$ . Тогда $15= y1− x2 = md$ для некоторого целого $m$ . Подставляя найденные выше значения для $d$ , мы получим целое значение $m$ только в случае $d = 3 4$ .

Далее перейдем к поиску $a$ . Из условия на сотый член прогрессии $a+99d≥ 74$ следует, что $1 a≥ −4$ . А также мы знаем, что $a <0$ .

Будем теперь двигаться на $d= 0.75$ влево от $x1 = 0.5$ , из нашей прогрессии, пока не попадем в интервал $1 [− 4;0)$ . Тогда получаем, что в этом интервале находится только член прогрессии, равный $0.5− 0.75=− 0.25$ , тогда $a =− 0.25$ .

Непосредственной подстановкой значений можно убедиться, что $a =− 0.25,d =0.75$ удовлетворяют условиям задачи.

Ответ:

$a =− 0.25,d= 0.75$

Следующая подтема