Тема АЛГЕБРА

Последовательности и прогрессии → .01 Арифметическая прогрессия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Последовательности и прогрессии

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Комбинация арифметической и геометрической прогрессий

Рекуррентные соотношения

Периодичность и зацикливание

Последовательности нестандартного вида

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#69822Максимум баллов за задание: 7

Последовательность ${a },n∈ℕ, n$ задана такими равенствами: $a = 2, 1$ $a = 1 2$ и

-2 -1-- -1-- an = an−1 + an+1,n ≥2

Найдите такие $n,$ при которых

|an|≤ 10−3

Источники: САММАТ-2023, 11.3 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала можно переписать условие в более приятном виде: рассмотрите последовательность обратных членов из первой последовательности) Как теперь выглядит наше условие?

Подсказка 2

Теперь мы понимаем, что член новой последовательности равен среднему арифметическому соседних членов. А у какой последовательности как раз есть такое свойство?

Подсказка 3

У арифметической прогрессии! Теперь решить задачу не составит труда,)

Показать ответ и решение

В условии задана последовательность, каждый член которой, начиная со второго, является средним гармоническим своих соседей. От такой “гармонической прогрессии” легко перейти к арифметической прогрессии, если рассмотреть последовательность обратных: $1- bn = an.$ Тогда условие переписывается в виде

bn−1+bn+1 bn =----2----

Так что по характеристическому свойству мы имеем арифметическую прогрессию. Из условия задачи находим её первый и второй члены:

b1 = 12,b2 = 1

Тогда разность равна $12$ и по формуле $n$ -го члена

bn = n 2

Теперь остаётся решить

|an|≤10−3 ⇐⇒ bn ≥ 103 ⇐⇒ n ≥2⋅103

Ответ:

$n ≥2⋅103$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#71021Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c,d$ таковы, что числа $a2,b2,c2,d2$ в указанном порядке составляют арифметическую прогрессию и числа $--1-- a+b+c$ , $--1-- a+b+d$ , $--1-- a+c+d$ , $-1--- b+c+d$ в указанном порядке составляют арифметическую прогрессию. Докажите, что $a =b= c= d$ .

Источники: Изумруд-2023, 11.3 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии и получим четыре уравнения от четырех переменных. Попробуйте преобразовать их таким образом, чтобы получить зависимость b + d от c.

Подсказка 2

Приведем к общему знаменателю уравнение 1/(a+b+c)+1/(a+c+d)=2(a+b+d). Получаем, b²+d²+ab+ad=2c²+2ac. Так же мы знаем, что b²+d²=2c². Попробуйте, пользуясь ранее полученными уравнениями, сперва доказать, что b = d, потом, что c = b, а затем и равенство a = b.

Показать доказательство

Запишем характеристическое свойство для каждой арифметической прогрессии:

2 2 2 a +c = 2b

(1)

b2 +d2 = 2c2

(2)

---1---+ ---1---= ---2--- a +b+ c a+ c+ d a+ b+ d

(3)

Преобразуем уравнение $(3):$

(a+ b+d)(a+c+ d)+ (a+ b+ c)(a+b +d)= 2(a+ b+ c)(a+c +d)

2a2+ b2 +d2+ 3ab +2ac+3ad+ 2bc +2bd+2cd= 2a2+2c2+ 2ab+ 4ac+2ad+ 2bc+ 2bd+2cd

b2+d2+ ab+ ad =2c2+ 2ac

Воспользовавшись равенством $(2),$ получим

ab +ad= 2ac

при этом $a> 0,$ значит $b+ d= 2c.$ Подставим в равенство $(2)$ и получим

(b +d)2 b2 +d2 = 2--2-

2(b2 +d2)= b2 +2bd+d2

(b− d)2 = 0

То есть $b= d.$ Но $2c= b+d =2b,$ откуда $b=c =d.$

Подставим полученные равенства в уравнение $(1):$

a2+b2 = 2b2

Значит, $a= b= c=d.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#103843Максимум баллов за задание: 7

Числа $5,− 11,121- 2 2 10$ являются членами некоторой арифметической прогрессии. Найти разность прогрессии, если известно, что первое из указанных чисел является её шестым членом.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как последовательность арифметическая, то нужно как-то упорядочить её члены. Значит, имеет смысл разобрать два случая. Каким по счёту может быть число -11/2? Попробуем выразить через него и его номер шестой член, а после преобразуем.

Подсказка 2

В случае возрастающей последовательности, если у -11/2 номер m, то шестой член равен -11/2 + d(6-m), где d — разность прогрессии! Как тогда связаны d и m? Можно ли оценить m?

Подсказка 3

d = 8/(6-m), но m у нас небольшое! Тогда можно их даже перебрать и посмотреть, как тогда будет выглядеть номер у 121/10 ;) Не забудьте про случай убывания!

Показать ответ и решение

Случай 1.

Пусть прогрессия является возрастающей. Расположим элементы, заданные в условии, буквами с номерами: $11 5 121 am =− 2 ,a6 = 2,an = 10$ . Так как элементы прогрессии нумеруются с 1 , то $m$ принимает значения от 1 до 5. В зависимости от $m$ формула для шестого члена имеет вид:

5+ 11 a6 = am +d(6− m )⇒ d= a66−−-amm = 26−-2m-= 6−8m

В таблице приведены все возможные значения $d$ .


Номер ( $m$ )	Разность (d)	$n$

1	1,6	12

2	2

3	$8 3$

4	4

5	$2$

Известно, что $an =a6+ d(n − 6) (n≥ 7)$ . Учитывая, что $121 5 an =-10-,a6 =2$ имеем

n = an-−d a6 +6= 1906d + 6= 458d + 6

Подставляя в это равенство полученные значения $d$ , найдем натуральное $n$ . Это возможно только при $d= 1,6$ ( $n= 12$ ).

Случай 2.

Пусть прогрессия убывающая. Тогда $am = 12101,a6 = 52,an = − 112$ . Аналогичные рассуждения приводят к следующим значениям разности:

d =− 1,92 (m= 1); d= −2,4 (m = 2); d= −3,2 (m = 3); d =− 4,8 (m =4); d= −9,6 (m =5)

Тогда ни при каком $d$ соотношение

n = an−-a6-+6 = −8+ 6 (n≥ 7) d d

не даёт натуральное значение. Прогрессия не может быть убывающей.

Ответ: 1,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#123016Максимум баллов за задание: 7

Девять действительных $a,a ,...,a 1 2 9$ образуют арифметическую прогрессию. Известно, что $a 9$ в $3$ раза больше среднего арифметического этих девяти чисел. Найдите $a1$ , если известно, что $a4 = 6.$

Показать ответ и решение

Пусть разность прогрессии равна $d.$ Так как $a = 6, 4$ то

a5 = 6+ d, a6 =6+ 2d, ...,a9 =6 +5d

С другой стороны,

a3 =6 − d, a2 = 6− 2d, a1 = 6− 3d

По условию среднее арифметическое данных девяти чисел в три раза меньше числа $a9,$ то есть

a9 = 3⋅ a1+...+a9 9

0= a1+ ...+ a8− 2a9

0 =(6− 3d)+ ...+ (6 − d)+ 6+(6+ d)+...+(6+ 4d)− 2(6+ 5d)=36− 6d

d= 6

Итак, $d =6,$ откуда $a1 = 6− 3 ⋅6 =− 12.$

Ответ:

$− 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#31383Максимум баллов за задание: 7

Пусть $a ,...,a 1 20$ — арифметическая прогрессия, у которой $a +a + a +a = 10 3 7 14 18$ . Найдите $a + a + ...+a 1 2 20$ .

Показать ответ и решение

Пусть $d$ — разность прогрессии, тогда условие $a +a + a +a = 10 3 7 14 18$ равносильно $4a +38d= 10 1$ . Запишем сумму первых двадцати членов по формуле: $2a1+19d 2 ⋅20$ . Теперь понятно, что нужно подставить $5$ вместо $2a1 +19d$ , и получится ответ $50$ .

Ответ:

$50$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#31395Максимум баллов за задание: 7

Среди первых двадцати пяти членов арифметической прогрессии сумма членов с нечётными номерами на $19$ больше, чем с чётными. Найти двенадцатый член прогрессии, если её двадцатый член равен утроенному девятому.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Все задачи на арифметическую прогрессию (сократим до АП) сводятся к обозначению двух переменных: а₁, первого члена АП, и d, разность АП. Здесь ситуация интереснее: мы из одной арифметической прогрессии достаем две: у одной изначальный элемент - первый член с нечетным индексом (сколько членов в данной прогрессии?), то есть а₁, а у второй - первый с четным индексом, то есть а₂, который выражается через а₁ и d.

Подсказка 2

Самое интересное, что у этих двух прогрессий одинаковая разность - 2d. Это значит, что мы знаем всё для того, чтобы посчитать суммы членов данных прогрессий по формуле.

Подсказка 3

Вспоминаем второе условие задачи: а₂0 = 3 * а9. Выразим а₂₀ и а9 через а₁ и d, и вот мы имеем два уравнения и две неизвестных. После решения полученной системы уравнений сможем найти и а₁₂ = а₁ + 11d.

Показать ответ и решение

Первые $12$ членов с чётными номерами представляют из себя арифметическую прогрессию с первым членом $a 2$ и разностью $2d,$ первые $13$ членов с нечётными индексами — прогрессию с первым членом $a1$ и разностью $2d,$ тогда по условию:

2a1 +2d(13− 1) 2(a1+ d)+2d(12− 1) -----2------⋅13= -------2--------⋅12+ 19

После упрощения получим $a1+ 12d =19,$ откуда $a13 = 19$ Из условия $a20 = 3a9$ следует, что $5d a1 =− 2 ,$ подставим это в $a1+ 12d=19$ и найдём $d= 2,$ тогда $a12 = a13− d =19− 2= 17.$

Ответ:

$17$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#31397Максимум баллов за задание: 7

Найти восемнадцатый член арифметической прогрессии, если первый и одиннадцатый её члены — натуральные числа, а сумма первых четырнадцати членов равна $77.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как мы можем использовать условие о том, что какие-то члены — натуральные числа? Попробуем исходя из этого получить натуральность d или a. Как можно для этого действовать? Запишем условия о том, что сумма равна 77, и о натуральности первого и одиннадцатого члена.

Подсказка 2

Используем условие о натуральности первого и одиннадцатого члена так: их разность это целое число! А их разность это 10d, то есть d это какое-то k/10. (с целым k). А что можно сказать о d из условия про сумму?

Подсказка 3

Верно, из 13d = 11-2a следует, что d это m/13 (для целого m)! Но мы помним, что d это k/10 еще. Теперь пробуем из этого всего получить, что d — целое число. Зачем это может пригодиться - дальше мы пробуем сделать какую-то оценку на d, чтобы понять, каким именно целым числом оно может быть!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть первый член прогрессии равен $a$ , разность арифметической прогрессии равна $d$ . Сумма первых $14$ членов равна $77$ , то есть $(a+ a+ 13d)⋅14∕2= 77$ , откуда

11− 2a d= --13--

C другой стороны

13a+110− 20a 110 − 7a a11 =a+ 10d= -----13-----= --13---∈ℕ

Значит, что $. 110− 7a..13$ . Также по условию $a1 = a∈ ℕ$ , поэтому достаточно перебрать натуральные $a$ от $1$ до $15$ (при $a =16,$ уже $110− 7a <0$ ). Делимость будет выполнена только при $a =12$ . Тогда $d= 11−12⋅312= −1$

В итоге, $18$ член прогрессии равен:

a18 =a +17d= 12− 17= −5

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть первый член прогрессии равен $a,$ разность прогрессии равна $d.$ Сумма первых четырнадцати членов равна $77,$ то есть $(a+ a+ 13d)⋅7= 77,$ так что $13d= 11− 2a$ это целое число. То есть $d$ имеет вид $k∕13,$ где $k$ — целое число (само $d$ целое только в случае, если окажется, что $k$ кратно $13$ ).

К тому же из условия следует, что разность одиннадцатого и первого члена $a+ 10d − a =10k∕13$ это целое число. Тогда $k$ точно делится на $13$ (так как $10$ не делится на $13$ ). Мы доказали, что число $d$ — целое (по сути это следует только из принадлежности $10d$ и $13d$ множеству целых чисел и факта, что числа $10$ и $13$ взаимнопросты).

Из натуральности числа $a1+ 10d$ следует, что $a1 ≥1− 10d,$ откуда:

2− 20d+13d≤ 2a1+13d= 11

То есть $9 d≥ −7.$ Также заметим, что если $d ≥1$ , то $2a1+ 13d ≥15> 11,$ значит, возможные значения $d$ это только $0$ или $− 1.$ Если $d =0,$ то $11 a1 =-2$ — ненатуральное, противоречие. Если $d= −1,$ то $a1 = 12,$ откуда $a18 = −5.$

Ответ:

$− 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#39756Максимум баллов за задание: 7

В арифметической прогрессии $a 1$ , $a 2$ , $a 3$ , $...$ с разностью $1$ выполнено равенство $56a = 9a ⋅a 8 3 13$ . Найдите $a 4$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Прежде чем что-либо сделать, давайте внимательно посмотрим на равенство из условия. Справа у нас индексы 3 и 13, а слева 8. Какую связь можно заметить между этими числами?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть $a8 =a$ , тогда равенство можно переписать в виде

2 25 56a= 9(a− 5)(a+ 5)= 9a − 225 ⇐ ⇒ a∈{9;−-9 }

откуда $61 a4 = a− 4∈ {5;−-9 }$

Второе решение.

С учётом заданного условия на прогрессию равенство можно записать как

56(a1+ 7)= 9(a1 +2)⋅(a1+ 12)

Если обозначить $a1 =x$ , то получаем

56x+392= 9(x2 +14x+ 24)

2 9x + 70x − 176= 0

√ --------- x = −-70±-4900+-6336 = −70±-106-∈{2;− 88} 18 18 9

Тогда $a4 =x +3∈ {5;− 61}. 9$

Ответ:

${− 61;5} 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#80495Максимум баллов за задание: 7

Первый член бесконечной возрастающей арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равен 100. Можно ли утверждать, что в ней обязательно найдётся ещё один квадрат натурального числа, кроме 100?

Показать ответ и решение

Пусть шаг арифметической последовательности равен $k > 0$ . Тогда число $k$ натуральное и $100 +k(20+k)= (10 +k)2$ точно присутствует в этой последовательности.

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#80583Максимум баллов за задание: 7

Конечная арифметическая прогрессия состоит из целых чисел, и ее сумма — степень двойки. Докажите, что количество членов прогрессии также степень двойки.

Показать доказательство

Пусть первый член прогрессии $a$ и шаг прогрессии равен $d$ . Так как $a$ и $a+d$ целые, то и $d$ целое. Значит если у нас длина прогрессии $k$ , то сумма всей прогрессии равна $k(a+a+d(k−1)) 2$ и это степень двойки. Тогда и $k(2a+ d(k − 1))$ степень двойки. Так как оба множителя целые и положительные(очевидно, что $k> 0$ и поэтому и второй множитель больше 0), то и каждое из них степень 2.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#80584Максимум баллов за задание: 7

Найдите конечную арифметическую прогрессию с разностью $6,$ состоящую из простых чисел и имеющую наибольшую длину.

Показать ответ и решение

Предположим, что есть такая последовательность длины хотя бы $5.$ Рассмотрим ее первые $5$ членов. Очевидно, что они имеют разные остатки по модулю $5.$ Тогда там встречаются все остатки и значит там есть число кратное $5.$ Оно может быть только $5,$ так как оно простое и только первым, так как следующие числа хотя бы $6.$ Тогда это последовательность $5,11,17,23,29$ и ее длина ровно $5,$ так как следующее число не простое.

Ответ:

$5,11,17,23,29$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#80964Максимум баллов за задание: 7

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, содержит точный куб и точный квадрат. Докажите, что она содержит и точную шестую степень.

Показать доказательство

Обозначим разность арифметической прогрессии за $d.$ Тогда арифметическая прогрессия из условия содержит элементы $m3$ и $3 2 m +kd =n .$ Следовательно, $3 2 m ≡ n (mod d),$ то есть $3 m$ это квадратичный вычет по модулю $d.$ Если $m$ это не квадратичный вычет по модулю $d,$ то $3 m$ также не будет являться квадратичным вычетом по модулю $d.$ Следовательно, $2 m ≡ t (mod d)$ для некоторого $t> m.$ Тогда $6 3 x =(t − m )∕d$ — это целое число. Значит, арифметическая прогрессия содержит $6 3 t = m + d⋅x.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#90118Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $a ,a ,...,a 1 2 15$ — арифметическая прогрессия и

a1+ a5 +a15 = 3.

Найдите $a5+ a9$ .

Показать ответ и решение

Пусть $a = a 1$ , $d$ — разность прогрессии, тогда

a1+ a5+ a15 =a+ a+ 4d+ a+14d=

=3a+ 18d= 3(a+ 6d)=3

по условию, значит,

a5+ a9 = a+ 4d +a+ 8d= 2(a+ 6d)=2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#90133Максимум баллов за задание: 7

Сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии в два раза больше суммы первых десяти членов. Найдите первый член этой прогрессии, если известно, что пятый её член равен 7.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть а — первый член прогрессии, d — её знаменатель. Вспомните формулу n-ного члена прогрессии и суммы первых n членов, запишите уравнением условие о соотношении сумм.

Подсказка 2

Из полученного линейного уравнения можно сделать вывод о соотношении а и d.

Подсказка 3

Запишите формулой 5-й член прогрессии и подставьте в неё ранее найденное отношение. Задача убита!

Показать ответ и решение

Пусть данная прогрессия имеет вид $a =a +(k− 1)d k$ . Из условия получаем

a1+ ⋅⋅⋅+ a15 =15a+ 105d =2 ⋅(a1+ ⋅⋅⋅+a10)= 20a+ 90d

a= 3d

Тогда

a+ 4d= a+ 4a= 7 3

a= 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#91359Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $a2,b2,c2$ - арифметическая прогрессия. Доказать, что тогда и $-1-, 1-,-1 b+c a+c a+b$ - тоже арифметическая прогрессия.

Показать доказательство

Мы знаем, что $a2− b2 = (a− b)(a +b)= b2 − c2 = (b − c)(b+ c)$ . Тогда нам нужно показать, что

-1-- -1-- -1-- -1-- b+c − a+c = a+ c − a+ b

Домножим на $(b2− c2)(a +c)= (a2− b2)(a+ c)$

(b − c)(a+ c)− b2+ c2 =a2− b2− (a+ c)(a− b)

ba− ca+ bc− b2 = −b2− ca +ab+ cb

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#91926Максимум баллов за задание: 7

Числа $y$ и $z$ таковы, что последовательность $1,√y,√z$ , а также последовательность $1,y− 1,z − y$ являются арифметическими прогрессиями. Найти разность второй прогрессии.

Показать ответ и решение

Запишем условия на прогрессии $2√y = 1+ √z$ , $3y = z+ 3$ . Из первого уравнения $z = (2√y− 1)2$ . Подставив полученое выражение вместо $z$ , получаем $√- 3y =4y− 4 y+ 4$ , откуда $y = 4$ . Тогда разность второй прогрессии равна 2.

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#92006Максимум баллов за задание: 7

Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если известно, что пятый и девятый члены дают в сумме 40, а сумма седьмого и тринадцатого членов равна $58.$

Показать ответ и решение

Пусть первый член прогрессии равен $a$ , и $d$ — разность прогрессии. Тогда по условию $a+ 4d+ a+8d= 40$ и $a+ 6d+a +12d= 58$ . Решая полученныу систему уравнений, получаем $d= 3$ , $a =2$ .

Ответ: первый член равен 2, а разность равна 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#33347Максимум баллов за задание: 7

$S$ - сумма первых $10$ членов возрастающей арифметической прогрессии $a ,a,a ,... 1 2 3$ , состоящей из целых чисел. Известно, что $a6a12 >S +1,a7a11 < S +17$ . Укажите все возможные значения $a1$ .

Источники: Физтех - 2021, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим разность прогрессии за d. Неравенства в условии теперь можно переписать через a₁ и составить систему.

Подсказка 2

Мы видим одинаковые части у обоих неравенств. Сразу напрашивается вычесть из второго первое и получить неравенство на d. Какой вывод можно сделать исходя из условия на целые числа и возрастания прогрессии?

Подсказка 3

Верно, что d = 1, так как это единственное целое и положительное число, которое нам подходит. Теперь мы можем заменить S в неравенствах на что-то более понятное, так как знаем разность.

Подсказка 4

Мы получили два квадратных уравнения на a₁. Решив их, мы сможем найти промежутки для a₁ и выписать ответ.

Показать ответ и решение

Обозначим разность прогрессии через $d$ . Данные в условии неравенства можно преобразовать следующим образом:

{ (a + 5d)(a +11d)> S+ 1, (a1+ 6d)(a1+10d)< S+ 17 1 1

{ a21+ 16a1d+ 55d2 >S +1 a2+ 16a1d+ 60d2 <S +17 1

Вычитая из второго неравенства первое (а это можно сделать, так как они разного знака), получаем $5d2 < 16$ . Из условия следует, что $d ∈ℤ$ , поэтому $d= 1$ ( $|d|≤1$ и прогрессия возрастает). Тогда $a10 = a1+ 9$ и $S = a1+a210⋅10=$ $5(a1 +a1+ 9)=10a1+ 45$ , и система неравенств принимает вид

{ a21+ 16a1+55> 10a1+45+ 1, a21+ 16a1+60< 10a1+45+ 17

{ a21+ 6a1 +9> 0, a21+ 6a1 − 2< 0

{ a1 ⁄= −3, √-- √-- a1 ∈ (−3 − 11;−3+ 11).

Так как $a1 ∈ ℤ$ , то $a1 ∈ {− 6;−5;−4;−2;−1;0}$ .

Ответ:

$− 6;−5;−4;− 2;−1;0$

Критерии оценки

Составлена система неравенств относительно одного из членов прогрессии и её разности – отдельно не оценивается; найдена разность прогрессии – 2 балла; получено неравенство на разность прогрессии вида 0 < 𝑑 < √ 𝑎, но забыто, что разность целая, и поэтому разность не найдена – 1 балл вместо 2; составлена и решена система неравенств относительно первого члена прогрессии – 2 балла; если при этом приобретена одна лишняя точка, то 1 балл вместо 2; указаны целочисленные значения переменной – 1 балл (этот балл ставится, даже если приобретена одна лишняя точка).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#92138Максимум баллов за задание: 7

Сумма первых трёх членов арифметической прогрессии, а также сумма первых шести её членов — натуральные числа. Кроме того, её первый член $d1$ удовлетворяет неравенству $1 d1 ≥ 2$ . Какое наименьшее значение может принимать $d1$ ?

Источники: ОММО - 2021, номер 1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Два параметра, через которые выражается все члены в арифметической прогрессии — это первый член и разность прогрессии. В том числе суммы первых скольких-то членов. При этом, про разность прогрессии нам ничего не известно, а вот про суммы первых трех и шести, а также про первый член есть информация. При этом, в задаче требуют улучшить оценку на первый член, с помощью информации про суммы.

Подсказка 2

Хотелось бы как-то совместить натуральность сумм и оценку на первый член. Это можно сделать, к примеру, выразив первый член через сумму первых трех и первых шести. Что нам это даст?

Подсказка 3

Мы получим, что некоторое выражение зависящее только от описанных сумм, деленное на натуральное число будет >= 1/2. Но тогда выражение от сумм >= 9/2, а так как они натуральные, то минимальное значение этого выражения равно 5. Значит, d_1 >= 5/9. Осталось привести пример и еще одна задача вами покорена!

Показать ответ и решение

Пусть $d n$ — $n$ -й член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $S =d + d +...+d n 1 2 n$ — сумма первых $n$ членов прогрессии.

Выразим $d1$ через $S3$ и $S6$ . Заметим, что $S3 =3d1+ 3d,S6 = 6d1+ 15d$ , откуда $5S3−S6- d1 = 9$ . По условию $5S3−S6- 1 9 ≥ 2$ . Отсюда $9 5S3− S6 ≥ 2$ . Так как $S3$ и $S6$ по условию — натуральные числа, то наименьшее значение величины $5S3− S6$ равно 5 (оно достигается, например, при $S3 = 2,S6 = 5$ ). Поэтому $5 mind1 = 9$ .

Ответ:

$5 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#63903Максимум баллов за задание: 7

Числа $a ,a,a ,...,a 1 2 3 20$ образуют арифметическую прогрессию. Известно, что сумма первых десяти членов этой прогрессии равна 9, а сумма последних десяти членов равна 11. Найдите сумму $a6+a7+ ...+ a14+a15$ .

Источники: ДВИ - 2020, вариант 203, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введем переменную для первого члена прогрессии и для разности двух соседних членов. Составьте с ними уравнения согласно условиям задачи и выражение для нахождения. Что теперь необходимо найти, чтобы определить ответ на вопрос?

Подсказка 2

Конечно, достаточно найти каждую из переменных (и это вполне реально сделать!). Но можно действовать и чуть хитрее: посмотрите, на сколько отличаются сумма, которую найти нужно и известные суммы. Тогда достаточно найти чему равно соответствующее выражение и прибавить его значение к известной сумме (или вычесть из известной) и задачка будет убита!

Показать ответ и решение

Пусть $d$ – разность прогрессии, $a$ – первый член, тогда $a = a+ (n − 1)⋅d n$ . Из условия получаем