Тема АЛГЕБРА

Последовательности и прогрессии → .01 Арифметическая прогрессия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Последовательности и прогрессии

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Комбинация арифметической и геометрической прогрессий

Рекуррентные соотношения

Периодичность и зацикливание

Последовательности нестандартного вида

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125864Максимум баллов за задание: 7

Назовём натуральное число однобоким, если оно больше 1, и все его простые делители заканчиваются на одну и ту же цифру. (Например, числа $19$ и $117= 3⋅3⋅13$ — однобокие, а число $682= 2⋅11⋅31$ — нет). Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия с разностью, не превышающей 2025, состоящая из 150 натуральных чисел, каждое из которых — однобокое?

Источники: Всеросс, РЭ, 2025, 10.9 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Предположим, у нас есть арифметическая прогрессия с разностью d и первым членом a. Рассмотрим модуль m такой, что НОД(d, m) = 1. Что можно сказать о наборе остатков от деления любых m последовательных членов прогрессии на m?

Подсказка 2

Пусть p и q — два разных простых числа, оканчивающихся на разные ненулевые цифры. Ясно, что число, делящееся на p·q, не может быть однобоким. Если p·q ≤ 150, что тогда можно сказать о делимости разности d на p или q?

Подсказка 3

Для каждой такой пары (p, q) с p·q ≤ 150 разность d обязана делиться хотя бы на одно из чисел p или q. Какие пары маленьких простых чисел с произведением ≤ 150 можно найти?

Подсказка 4

Рассмотрим простые числа: 2, 5, 7, 11, 13. Любые два из них образуют пару с разными окончаниями и p·q ≤ 150. Значит, d должно делиться на все эти числа, кроме, возможно, одного. Чему равно минимальное произведение четырёх наибольших из них?
Теперь добавим пару (3, 19): 3·19 = 57 ≤ 150, окончания 3 и 9 разные. Как это влияет на оценку d? Сравните результат с 2025.

Показать ответ и решение

Пусть у нас есть возрастающая прогрессия с разностью $d$ из $150$ однобоких чисел. Разберёмся, что мешает числу $d$ быть слишком маленьким.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Утверждение. Пусть $d$ взаимно просто с натуральным $m.$ Тогда среди любых $m$ последовательных членов арифметической прогрессии с разностью $d$ есть член, делящийся на $m.$ Более того, числа

a,a +d,a+ 2d,...,a+ (m − 1)d

дают все $m$ различных остатков при делении на $m;$ поскольку если остатки у чисел $a+ ℓd$ и $a+ kd$ для некоторых $0 ≤k< ℓ< m$ совпали, то $ℓd− kd= (ℓ − k)d$ должно делиться на $m,$ а значит, в силу взаимной простоты $d$ и $m,$ $(ℓ − k)$ должно делиться на $m,$ что неверно.)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Далее, пусть $p$ и $q$ — два простых числа, оканчивающиеся на разные цифры, причём такие, что $pq ≤ 150;$ назовем такую пару вредной. Тогда если $d$ не делится ни на одно из чисел $p,$ $q,$ то, согласно утверждению, в нашей прогрессии есть член, делящийся на $pq,$ что невозможно для однобокого числа.

Вывод: для каждой вредной пары простых чисел $d$ делится хотя бы на одно из них.

Теперь рассмотрим простые числа $2,5,7,$ $11,13.$ Любые два из них образуют вредную пару, значит, $d$ делится на все эти числа, кроме, возможно, одного. Кроме того, $3$ и $19$ — тоже вредная пара, значит, $d$ делится хотя бы на одно из них. Отсюда

d≥ (2⋅5⋅7⋅11)⋅3= 2310 >2025,

противоречие.

Ответ:

не существует

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#126307Максимум баллов за задание: 7

На бильярдном столе из одинаковых 153 шаров выложен правильный треугольник. Расположение шаров плотное: ни один дополнительный шар не может быть помещен в треугольник и любая пара соседних шаров в треугольнике касаются друг друга. Сколько шаров составляют сторону треугольника?

Источники: Росатом - 2025, 10.3 ( см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть основание треугольника составляют n шаров. Сколько шаров их тогда касается?

Подсказка 2

Их будет касаться n-1 шар, сверху будет n-2 шара и так далее.

Подсказка 3

Получили арифметическую прогрессию. Найдите её сумму и выразите n.

Показать ответ и решение

Если основание треугольника составляют $n$ шаров, то их касается $n − 1$ шар, которых в свою очередь сверху касается $n − 2$ шара и т.д. до вершины треугольника, где расположен единственный шар. Количества шаров в каждом ряду образуют арифметическую прогрессию, и суммарное количество шаров в треугольнике

n(n+ 1) 1+2 +⋅⋅⋅+ n =---2---= 153

Получаем квадратное уравнение:

n2 +n − 306= 0

Оно имеет два корня:

n= 17 или n =− 18

Так как количество шаров $n$ натуральное число, то $n= 17.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#128122Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c,d$ составляют в указанном порядке возрастающую арифметическую прогрессию, причём $a2 +d2 = b3+c3.$ Докажите, что $d< 3.$

Источники: Изумруд-2025, 10.4 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала распишите равенство через первый член и разность прогрессии.

Подсказка 2

Давайте для удобного преобразования выражения возьмем a за x-3y, а разность прогрессии за 2y.

Подсказка 3

Выразите y через x с помощью данного равенства.

Подсказка 4

Вспомните, что исходные числа у нас положительные.

Подсказка 5

x > 3y, зная это — сделайте оценку на х.

Подсказка 6

Получилось, что x < 3/2, и снова вспомним о том что x > 3y. Завершите оценку на d.

Показать доказательство

Введем обозначения:

a+-d b-+c x= 2 = 2

2y = b− a= c− b =d− c

Тогда

a= x− 3y

b= x− y

c= x+ y

d= x+ 3y

Поскольку числа положительные,

a =x− 3y > 0

Из этого следует, что

x +3y < 2x

Запишем условие задачи в новом виде:

2 2 3 3 (x− 3y) + (x+ 3y) =(x− y) +(x+ y)

x2 +9y2 = x3+ 3xy2 = x(x2+3y2)

Тогда

x = x2+9y2= 1+ --6y2--< 1+ ---6y2----= 3 x2+3y2 x2+ 3y2 (3y)2+3y2 2

Получим, что

d =x +3y < 2x< 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#129927Максимум баллов за задание: 7

Четыре бельчонка изучали арифметику. Каждому из них назвали одинаковую пару ненулевых чисел $(a,b).$ Первый бельчонок поделил $a$ на $b,$ второй перемножил свою пару чисел, третий вычел $b$ из $a,$ четвёртый сложил свои числа. Оказалось, что полученные ими результаты образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке). Найдите все возможные пары чисел $(a,b).$

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 4, 10.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Благодаря двум последним членам прогрессии мы можем узнать разность. Как ей следует воспользоваться?

Подсказка 2

Но ведь нам сказано, что числа из условия упорядочены! Составьте систему уравнений, описывающую прогрессию.

Подсказка 3

Из полученных уравнений нетрудно найти b, подставьте его и найдите a.

Показать ответ и решение

Числа $a, b$ $ab,$ $a− b$ и $a+ b$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $a+ b− (a− b)=2b.$ Сразу заметим, что $b⁄= 1,$ так как иначе первые два члена прогрессии совпадали бы. Запишем систему уравнений:

(| a { b +2⋅2b= a− b |( ab+2b= a− b

( |{ a = a− 5b | b ( ab= a− 3b

(| 3b 3b ||{ b(1−-b)-= 1− b-− 5b || 3b |( a = 1− b

(| 3b(1− b)= −5b2(1− b) { |( a= -3b- 1− b

Поделим первое уравнение системы на $b(1− b):$

( ||{ b= − 3 5 ||( a = 3b--=− 9 1− b 8

Ответ:

$(− 9;− 3) 8 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#139260Максимум баллов за задание: 7

Последовательности ${a } n$ и ${b} n$ ( $n = 1,2,3,...$ ) являются арифметическими прогрессиями, $a =32,b = 43. 11 21$ Последовательность ${cn}$ определяется равенством

n n cn =(−1) an+(−1) bn

Сумма первых сорока членов последовательности ${c } n$ равна 100, а сумма первых её двадцати трех членов равна $− 60.$ Найдите $b 40$ и сумму первых ста членов арифметической прогрессии ${a }. n$

Показать ответ и решение

Напишем сумму первых сорока членов $c n$

c1+ c2+...c40 = (−a1+a2− a3+ a4+...− a39+ a40)+ (−b1+ b2− b3+ b4+...− b39+b40) =20A+ 20B,

где $A$ и $B$ разности прогрессий $an$ и $bn.$ Получили, что

A+ B =5

Напишем сумму первых $23$ членов $cn$

c1 +c2+ ...c23 = (−a1+ a2− a3+ a4+ ...− a23)+(−b1+ b2 − b3+ b4 +...− b23)= 11A+ 11B − a23− b23

Заметим что

a23 = a11 +12A= 32+ 12A b23 = b21+ 2B = 43+ 2B

Подставим

−60= −75+ 9B− A

9B− A =15

Можем найти $A$ и $B$ из системы линейных уравнений

{ A + B = 5 9B − A= 15

{ A +B = 5 10B =20

{ A =3 B =2

Получили, что решение $B = 2$ и $A =3.$ Теперь найдём

b40 = b21+ 19B = 43+38= 81

Посчитаем сумму $an$

a1 = a11− 10A= 32− 30 =2

S = 100(2a12+-99A) =50⋅(4+ 297)= 50⋅301 =15050

Ответ: 15050

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#78957Максимум баллов за задание: 7

Существует ли такая арифметическая прогрессия из трех натуральных чисел, что произведение всех ее членов есть точная $2008$ -я степень натурального числа?

Показать ответ и решение

Например $6669,2⋅6669,3⋅6669.$ Их произведение равно $6⋅63⋅669 = 62008.$

Ответ:

Да

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#78959Максимум баллов за задание: 7

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов также является членом этой прогрессии. Докажите, что все её члены — целые числа.

Показать доказательство

Пусть $a$ — один из членов прогрессии, а $d$ — её разность. По условию числа $a(a+ d)$ и $a(a+ 2d)$ также члены прогрессии; значит, их разность имеет вид $nd$ при некотором целом $n,$ т. е. $ad= nd.$ Поскольку $d >0,$ получаем $a= n,$ т. е. $a$ — целое число

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#78962Максимум баллов за задание: 7

Множество $S$ состоит из чисел

2 2 3 1,1+ b,1+ b+b ,1+b +b + b,...

где $b$ — некоторое натуральное число. Докажите, что если два числа из $S$ являются членами возрастающей арифметической прогрессии, то найдётся ещё одно число из $S,$ также являющееся членом этой прогрессии.

Показать доказательство

Решение. Пусть $1+b+ ...+ bn = a+ kd,1+ b+...+bm =a +ld,$ где $a$ и $d$ — первый член и разность прогрессии, $k,l∈ ℕ.$ Пусть $k< l$ и, соответственно $n< m.$ Тогда

n+1 n+2 m b + b +...+b =(a+ ld)− (a+kd)= (l− k)d =pd, p ∈ℕ

Заметим, что

bm+1+ bm+2+ ...+ b2m−n = m−n (n+1 n+2 m) m−n =b b + b +...+b = b pd= qd, q ∈ ℕ

и, значит, число $1+ b+ ...+b2m−n =a +ld+qd= a+ (l+q)d$ также является членом прогрессии.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#80754Максимум баллов за задание: 7

Углы выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию, имеющую разность $2∘$ и начинающуюся с угла $143∘.$ Какое наибольшее число вершин может быть у такого многоугольника?

Источники: Физтех - 2024, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним формулу для подсчета суммы углов у выпуклого многоугольника и формулу суммы арифметической прогрессии.

Подсказка 2

Приравняв эти суммы, сможем получить квадратное уравнение. Но точно ли все значения этого уравнения подойдут?

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — искомое число вершин. Тогда сумма углов многоугольника равна $180∘⋅(n− 2).$ С другой стороны, эту же сумму можно выразить через сумму арифметической прогрессии, которая равна $∘ n(n−1) ∘ 143 ⋅n+ 2 ⋅2 .$ Приравняем эти суммы и получим следующее уравнение:

∘ ∘ n(n − 1) ∘ 180 ⋅(n − 2)= 143 ⋅n +--2---⋅2

n2− n+ 143n − 180n+ 360= 0

2 n − 38n+ 360= 0

Получаем, что $n= 18$ или $n= 20.$ Но $n =20$ не подходит, так как тогда наибольший угол многоугольника равен $143∘+2∘⋅19= 181∘,$ что больше $180∘.$

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#85034Максимум баллов за задание: 7

Первый член арифметической прогрессии меньше 0, сотый не меньше 74, а двухсотый меньше 200. Количество членов прогрессии на интервале $(0,5;5)$ ровно на два меньше, чем на отрезке $[20;24,5]$ . Найдите первый член и разность прогрессии.

Показать ответ и решение

Пусть $a$ первый член арифметической прогрессии, а $d$ —- ее разность. Тогда ее $100$ -й член равен $a+99d$ , а $200$ -й равен $a+ 199d.$

Из условия получаем, что

a <0; a+ 99d≥ 74; a+ 199d< 200;

Если рассмотреть разность второго и первого уравнения, а также третьего и второго, то получим:

99d> 74; 100d< 126;

То есть $7949 < d< 1.26$ . Отсюда, в частности, следует, что последовательность возрастает.

Пусть $x1$ - наибольший член арифметической прогрессии, который находится левее интервала $(0.5;5)$ , т. е. $x1 ≤ 0.5$ . А $x2$ - наименьший элемент арифметической прогрессии, который находится правее интервала $(0.5;5)$ (то есть $x2$ - наименьший член, удовлетворяющий условию $x2 ≥ 5$ ).

Схожим образом определим $y1$ - наименьший член арифметической прогрессии, который находится внутри интервала $[20;24.5]$ , а $y2$ - наибольший элемент арифметической прогрессии, внутри $[20;24.5]$

Так как на отрезке $[20;24.5]$ ровно на $2$ члена прогрессии больше, чем на $(0.5;5)$ , то количество членов прогрессии между $x1$ и $x2$ в точности равно количеству элементов между $y 1$ и $y 2$ . Тогда $x − x = kd= y − y 2 1 2 1$ для некоторого натурального $k$ .

При этом $(x − x )≥ 5− 0.5= 4.5 2 1$ , а $y − y ≤24.5− 20= 4.5 2 1$ . (потому что отрезок $[x ;x] 1 2$ покрывает интервал $(0.5;5)$ , а $[20;24.5]$ покрывает $[y1;y2]$ ). Но тогда $kd= x2− x1 = 4.5= y2− y1$ , а также $x1 = 0.5;$ $x2 = 5;$ $y1 = 20;$ $y2 = 24.5$

Из двух условий:

(| 74 { 99 < d< 1.26 |( d= 4.5,(k ∈ℤ) k

Получаем $257-<k < 891418-$ , то есть $k∈ {4,5,6}$ . Откуда $d ∈{98, 910,34}$

При этом мы знаем, что в прогрессии есть члены $x2 = 5$ и $y1 = 20$ . Тогда $15= y1− x2 = md$ для некоторого целого $m$ . Подставляя найденные выше значения для $d$ , мы получим целое значение $m$ только в случае $d = 3 4$ .

Далее перейдем к поиску $a$ . Из условия на сотый член прогрессии $a+99d≥ 74$ следует, что $1 a≥ −4$ . А также мы знаем, что $a <0$ .

Будем теперь двигаться на $d= 0.75$ влево от $x1 = 0.5$ , из нашей прогрессии, пока не попадем в интервал $1 [− 4;0)$ . Тогда получаем, что в этом интервале находится только член прогрессии, равный $0.5− 0.75=− 0.25$ , тогда $a =− 0.25$ .

Непосредственной подстановкой значений можно убедиться, что $a =− 0.25,d =0.75$ удовлетворяют условиям задачи.

Ответ:

$a =− 0.25,d= 0.75$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#91953Максимум баллов за задание: 7

Натуральные числа $a ,...,a 1 n$ образуют строго возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите все возможные значения $n,$ если известно, что $n$ нечётно, $n> 1$ и сумма $a1+ ...+ an$ равна 2024.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дана арифметическая прогрессия и ее сумма, быть может, тогда сразу записать условие с помощью переменных? Какое уравнение получится?

Подсказка 2

n(2a + (n-1)d)/2 = 2024. Итак, условие на сумму записано. Какое условие мы еще не использовали? Что можно сделать с этим уравнением?

Подсказка 3

Домножим обе части уравнения на 2 и используем условие на нечётность n!

Подсказка 4

n(2a + (n-1)d) = 4048. Каким может быть n, если он нечётный? Что можно сказать про связь 4048 и n?

Подсказка 5

n должно быть нечётным и делить 4048! Осталось лишь разобрать случаи нечётных делителей 4048 ;)

Показать ответ и решение

Пусть $d$ — разность прогрессии. Переобозначим $a =a . 1$ Так как прогрессия состоит из натуральных чисел и строго возрастает, то $a$ и $d$ — натуральные числа. По формуле суммы арифметическое прогрессии имеем

n(2a +(n− 1)d) -----2------= 2024

Умножим это равенство на $2,$ тогда получится следующее уравнение в целых числах

n(2a +(n− 1)d)= 4048

Заметим, что $4048 =24⋅11⋅23.$ Из уравнения следует, что $. 4048.. n.$ Кроме того, по условию $n$ — нечетное число, поэтому $n$ может быть равно $11,$ $23$ или $11⋅23= 253.$

Рассмотрим эти три случая:

1.: $n =253.$ Тогда получится уравнение $253(2a+ 252d)= 4048,$ то есть $2a +252d= 16.$ Но $d≥ 1,$ поэтому $2a+ 252d >16,$ и такое равенство невозможно.
2.: $n =11.$ Тогда получится уравнение $11(2a+10d)= 4048,$ что равносильно $a+ 5d= 184.$ Тогда $a= 184− 5d.$ При $d= 1$ получим $a= 179,$ следовательно, подходящая арифметическая прогрессия существует.
3.: $n =23.$ Тогда получится уравнение $23(2a+22d)= 4048,$ что равносильно $a+ 11d =88.$ Тогда $a= 88− 11d.$ При $d= 1$ получим $a= 77,$ следовательно, подходящая арифметическая прогрессия существует.

Таким образом, $n= 11$ или $n = 23.$

Ответ: 11; 23

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#92343Максимум баллов за задание: 7

Числа $a ,a,...,a 1 2 20$ образуют арифметическую прогрессию. Найти её разность, если известно, что

2 2 2 a1+a3+ ⋅⋅⋅+ a19 =1330,

2 2 2 a2+ a4+⋅⋅⋅+a20 = 1540

и $a10+a11 = 21.$

Источники: ДВИ - 2024, вариант 245, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дана арифметическая прогрессия, так что обозначим ее разность за d. Как можно записать уравнение на сумму из условия через d и один из членов прогрессии?

Подсказка 2

2a₁+ 19d = 21. Теперь подумаем, а как удобнее всего воспользоваться суммой квадратов членов. Интересно, что член с чётным индексом — это соответствующий член с нечетным индексам, увеличенный на d.

Подсказка 3

Отнимите от второго уравнения первое и рассмотрите разность соответствующих квадратов!

Показать ответ и решение

Обозначим разность прогрессии за $d.$ Тогда по условию

a10+ a11 = a1 +9d+ a1+10d= 2a1+ 19d= 21.

Выразим теперь разность сумм квадратов членов с чётными и нечётными индексами.

a2− a2= d2+ 2a d,...,a2 − a2 = d2+2a d. 2 1 1 20 19 19

Складывая все 10 этих выражений, получаем

a2+ a2+ ⋅⋅⋅+ a2 − (a2 +a2+ ⋅⋅⋅+ a2)= 10d2+ 2d(a1+ ⋅⋅⋅+ a19)= 2 4 20 1 3 19

= 10d2+10(2a1+ 18d) =10d(d +(21− d))= 210d= 1540 − 1330= 210.

Отсюда $d= 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#129648Максимум баллов за задание: 7

Пусть $p$ и $q$ — различные простые числа. Дана бесконечная убывающая арифметическая прогрессия, в которой встречается каждое из чисел $23 p ,$ $24 p ,$ $23 q$ и $24 q .$ Докажите, что в этой прогрессии обязательно встретятся числа $p$ и $q.$

Источники: ВСОШ, ЗЭ, 2024, 10.1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Начнем с того, что в прогрессии могут быть и нецелые числа. Подумайте, можно ли от них как-то избавиться?

Подсказка 2:

Если и есть нецелые числа, то они рациональные. Попробуйте обосновать, что если вычеркнуть из прогрессии все нецелые числа, то оставшиеся тоже образуют арифметическую прогрессию.

Подсказка 3:

Сформулируем несколько утверждений, которые помогут решить задачу. Во-первых, если в целочисленной арифметической прогрессии есть два числа a и b, то a − b кратно d. Во-вторых, если в прогрессии с разностью d есть a, то b ей будет принадлежать тогда и только тогда, когда a − b кратно d.

Подсказка 4:

Значит, d является делителем p²⁴ − p²³. Нужно, чтобы оно также делило p²³ − p. Чтобы было проще, подумайте, может ли d делиться на p?

Показать доказательство

Вычеркнем все нецелые числа из прогрессии (если они есть). Ясно, что после вычёркивания остаётся бесконечная убывающая арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел. Пусть её разность равна — $d.$

Заметим, что $23 23 q − p$ делится на $d,$ значит, $d$ не делится на $p,$ иначе $23 q$ должно будет делиться на $p,$ что неверно. С другой стороны, $d$ должно являться делителем числа

24 23 23 p − p = p (p− 1).

Поскольку $p$ и $d$ взаимно просты, $p− 1$ делится на $d.$ Далее, $p23− p$ делится на $p − 1,$ поскольку оно равно

21 20 p(p− 1)(p + p + ⋅⋅⋅+ 1).

Поэтому $p23− p$ делится на $d,$ и, поскольку $p< p23,$ получаем, что $p$ лежит в нашей прогрессии. Аналогично, $q$ лежит в этой прогрессии.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#135286Максимум баллов за задание: 7

Третий член арифметической прогрессии равен $3x +3,$ пятый член равен $(x2+2x)2,$ а девятый равен $3x2.$ Найдите $x.$

Источники: Физтех - 2024, 10.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как воспользоваться условием о номерах членов прогрессии?

Подсказка 2

Пусть a₁ — первый член прогрессии, d — ее разность. Чему тогда равны третий, пятый и девятый члены прогрессии?

Подсказка 3

Например, a₃ = a₁ + 2d.

Подсказка 4

Попробуйте связать третий, пятый и девятый члены прогрессии при помощи уравнения.

Показать ответ и решение

Числа $A,$ $B,$ $C$ являются третьим, пятым и девятым членами арифметической прогрессии соответственно тогда и только тогда, когда они удовлетворяют соотношению

3B = 2A+ C

a = a + 2d, a =a + 6d 5 3 9 3

Таким образом, задача сводится к решению уравнения

3(x2+ 2x)2 = 2(3x +3)+ 3x2

Сделав замену $t= x2+2x,$ получаем:

3t2 = 3t+ 6

t2− t− 2= 0

Данное уравнение имеет корни $t= −1$ и $t= 2.$ Далее находим значения $x:$

[ 2 x2+ 2x+ 1= 0 x + 2x− 2= 0

[ x =− 1 √ - x =− 1± 3

Ответ:

$− 1,$ $− 1± √3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#136045Максимум баллов за задание: 7

${a } n$ и ${b} n$ — возрастающие целочисленные арифметические прогрессии, $a = b= 1 1 2$ и $a + ...+ a = b +...+b . 1 2n+1 1 2n+1$ Какое наименьшее значение может принимать $a2n+1?$

Источники: ИТМО - 2024, 10.1 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии Вам в прямом виде дают свойство суммы первых 2n+1 членов каждой прогрессии. Вероятно, подсчет этой суммы в том или ином виде продвинет решение.

Подсказка 2

Введите разности прогрессий aₙ и bₙ. Попробуйте связать их неким равенством.

Подсказка 3

Основываясь на свойствах делимости и том, что нам необходимо наименьшее значение, найдите минимальное значение разности aₙ.

Показать ответ и решение

Посчитаем, чему равна сумма первых $(2n +1)$ членов. Мы можем симметрично расписать члены арифметической прогрессии, тогда сумма нечётного числа членов равна количеству членов, умноженному на средний член:

a1 +...+ a2n+1 = (2n+ 1)an+1,

аналогично для $bn.$ Поскольку суммы прогрессий равны, $an+1 =bn+1.$

Пусть $c$ — разность прогрессии $a , n$ тогда

an+1− a1 =nc

Пусть $d$ — разность прогрессии $bn,$ тогда с другой стороны,

a − a = b − b = (n − 1)d n+1 1 n+1 2

Значит,

nc =(n− 1)d.

Так как $n− 1$ и $n$ взаимно просты, $c$ делится на $n− 1,$ а $d$ делится на $n.$ Наименьшее возможное значение $c$ равно $n− 1,$ а значит, наименьшее возможное значение

a2n+1 = 1+ 2n(n− 1)

Ответ:

$1+ 2n(n − 1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#63595Максимум баллов за задание: 7

Последовательности ${a } n$ и ${b} (n= 1,2,3,...) n$ являются арифметическими прогрессиями, $a =32,b = 43 11 21$ . Последовательность ${cn}$ определяется равенством

n n cn = (−1)an +(−1) bn.

Сумма первых сорока членов последовательности ${cn}$ равна $100,$ а сумма первых её двадцати трех членов равна $− 60.$ Найдите $b40$ и сумму первых ста членов арифметической прогрессии ${a }. n$

Показать ответ и решение

Пусть $a =a+ nd ,b =b+ nd n 1 n 2$ . Заметим, что

2∑k (−1)iai = −(a +d1)+ (a+ 2d1)− (a+ 3d1)+ ...= d1 +d1+ ...d1 = kd1 i=1

То есть каждая пара сокращается и даёт вклад $d 1$ в сумму. Отсюда

∑40 ci = 20d1+ 20d2 = 100 =⇒ d1+ d2 = 5 i=1

Тогда

2∑3 ci = 11(d1+d2)− a− 23d1− b− 23d2 = i=1

=− a− b− 12(d1+ d2)= −a− b− 60= −60 =⇒ a+ b=0

Добавим условия про $a11$ и $b21$

( |{ a+ 11d1 =32 | −a +21d2 = 43 =⇒ a =− b=− 1,d1 = 3,d2 =2 ( d1+ d2 = 5

Отсюда

b40 = b+40d2 = 1+80= 81

a 2a+ 101d S100 =---2--- ⋅100 =(−2+ 303)⋅50= 15050

Ответ:

$81,15050$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#63697Максимум баллов за задание: 7

В арифметической прогрессии сумма ее $m$ первых членов равна сумме $n$ первых членов ( $m$ не равно $n).$ Докажите, что в этом случае сумма ее первых $m + n$ членов равна нулю.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче идет речь о сумме арифметической прогрессии - вспоминаем формулу и используем!

Подсказка 2

Здесь нам нужно приравнять две суммы - первых n и первых m членов. Приравниваем, домножаем на 2, получаем:
2an+ dn(n − 1)= 2am+ dm(m − 1). Что теперь можно с этим сделать?

Подсказка 3

Нам нужно что-то доказать про сумму n+m членов - попробуем записать то, что просят доказать, используя ту же самую формулу суммы арифметической прогрессии и подумать, как к этому можно прийти имея наше равенство (из предыдущей подсказки)

Показать доказательство

Введём обозначения для члена прогрессии $a =a +(k− 1)d k$ и сумм первых $n,m$ членов:

2a+d(n−-1) Sn = a1+ ...+ an = 2 n,

2a+ d(m − 1) Sm = a1+...+am = -----2----m

По условию эти суммы равны, поэтому

2an+ dn(n − 1)= 2am+ dm(m − 1)

2a(n − m )+d(n2− n− m2+ m)= 0

2a(n− m)+ d((n − m )(n+ m)− (n− m))=0

(n− m)(2a+ d(n +m − 1))= 0

По условию $n$ не равно $m,$ поэтому $2a+ d(n+ m− 1)= 0,$ а значит, и сумма $m + n$ членов равна нулю:

2a+ (m + n− 1)d Sm+n = ------2------(m+ n)= 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#63702Максимум баллов за задание: 7

Найдите первый член целочисленной арифметической прогрессии, у которой сумма первых шести членов отличается от суммы следующих шести членов менее чем на $450,$ а сумма первых пяти членов превышает более чем на $5$ сумму любого другого набора различных членов этой прогрессии.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем использовать наши странные условия, чтобы сделать оценку на члены прогрессии, ведь интуитивно далеко не для всех чисел такое выполняется, они явно должны быть определенной величины. Попробуйте воспользоваться вторым условием и оценить какой-нибудь член прогрессии!

Подсказка 2

Например, скажем, что a1+a2+....+a5 - (a1+a2+a3 +a4) >5. Тогда a5 >5! Теперь аналогичным способом пробуем оценить a6 или a4, чтобы можно было получить оценку сверху на d из нашего условия.

Подсказка 3

Нам бы помогла еще и оценка снизу на d, мы бы тогда смогли его найти! Хм, а мы как раз совсем не использовали первое условие...

Показать ответ и решение

Из второго условия можем сделать вывод

a1+ ...+a5− (a1+...+a4)> 5 =⇒ a5 > 5 =⇒ a5 ≥6

аналогично

a1+ ...+ a5− (a1+ ...+ a6)> 5 ⇐⇒ −a6 > 5 ⇐⇒ a6 ≤ −6

Отсюда $d= a6− a5 ≤−12,$ при этом равенство достигается только при $a5 = 6,a6 =− 6.$ Далее будем пользоваться первым условием

(a +...a)− (a +...+ a )= −6 ⋅6d <450 ⇐⇒ d> − 450= −12.5 =⇒ d≥ −12 1 6 7 12 36

Из двух полученных неравенств $d= −12,$ а дополнительно $a = 6,a = −6. 5 6$ В итоге $a =a − 4d= 6+48 =54. 1 5$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#64110Максимум баллов за задание: 7

В арифметической прогрессии первый член равен -405, а разность равна 18. Известно, что сумма абсолютных величин (модулей) первых $n$ членов этой прогрессии равна 5661. Найдите значение $n.$

Показать ответ и решение

Члены последовательности выглядят так

− 405,−387,...− 9,9,27,...

Где

−9 =− 405+ 18⋅22= a23

Посчитаем сначала сумму модулей отрицательных членов

2∑3 9+405- k=1|ak|= 2 ⋅23= 4761

Сумма оставшихся положительных равна $5661− 4761= 900.$ Здесь

a24 = 9,an = 9+kd= 9+ 18k

Нам требуется решить уравнение

9+-9+18k-⋅(k+ 1)=900 ⇐⇒ (k+1)2 = 100 ⇐ ⇒ k =9 2

В итоге

an =a24+ 9⋅18 =a33 ⇐⇒ n= 33

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#68023Максимум баллов за задание: 7

В возрастающей арифметической прогрессии из $n$ натуральных чисел каждый член, кроме последнего, делится на свой номер в прогрессии, а последний – нет. Докажите, что $n$ является степенью некоторого простого числа.

Источники: Всесиб-2023, 11.4 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посмотрим на наше условие о том, что все числа с номерами меньше n делятся на свой номер. Эти числа будут вида a+(k-1)d, и если посмотреть по модулю k, то это будет сравнимо с a-d = 0 (mod k). Какое противоречие можно найти, если n (кол-во чисел в прогрессии) - не степень простого?

Подсказка 2

По факту мы поняли что a-d делится на все k<n. А что можно найти у числа, которое не является степенью простого?

Подсказка 3

Делители, которые являются взаимно простыми! Поймите, как это применить, зная что a-d делится на все k<d.

Показать доказательство

Пусть первый член прогрессии равен $a,$ а разность равна $d.$ Тогда из условия $a∈ℕ,d ∈ℕ.$ По условию $k−$ ый член последовательности делится на $k$ (кроме последнего), тогда получим:

a+ (k− 1)d= a+kd− d≡k a− d≡k 0.

Значит, $a− d$ делится на все числа от $1$ до $n− 1.$ Пусть $n$ не является степенью простого числа, тогда $n= p⋅q,$ где $p$ и $q$ не имеют общих делителей. Тогда