Тема АЛГЕБРА

Последовательности и прогрессии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Последовательности и прогрессии

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Комбинация арифметической и геометрической прогрессий

Рекуррентные соотношения

Периодичность и зацикливание

Последовательности нестандартного вида

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#85034Максимум баллов за задание: 7

Первый член арифметической прогрессии меньше 0, сотый не меньше 74, а двухсотый меньше 200. Количество членов прогрессии на интервале $(0,5;5)$ ровно на два меньше, чем на отрезке $[20;24,5]$ . Найдите первый член и разность прогрессии.

Показать ответ и решение

Пусть $a$ первый член арифметической прогрессии, а $d$ —- ее разность. Тогда ее $100$ -й член равен $a+99d$ , а $200$ -й равен $a+ 199d.$

Из условия получаем, что

a <0; a+ 99d≥ 74; a+ 199d< 200;

Если рассмотреть разность второго и первого уравнения, а также третьего и второго, то получим:

99d> 74; 100d< 126;

То есть $7949 < d< 1.26$ . Отсюда, в частности, следует, что последовательность возрастает.

Пусть $x1$ - наибольший член арифметической прогрессии, который находится левее интервала $(0.5;5)$ , т. е. $x1 ≤ 0.5$ . А $x2$ - наименьший элемент арифметической прогрессии, который находится правее интервала $(0.5;5)$ (то есть $x2$ - наименьший член, удовлетворяющий условию $x2 ≥ 5$ ).

Схожим образом определим $y1$ - наименьший член арифметической прогрессии, который находится внутри интервала $[20;24.5]$ , а $y2$ - наибольший элемент арифметической прогрессии, внутри $[20;24.5]$

Так как на отрезке $[20;24.5]$ ровно на $2$ члена прогрессии больше, чем на $(0.5;5)$ , то количество членов прогрессии между $x1$ и $x2$ в точности равно количеству элементов между $y 1$ и $y 2$ . Тогда $x − x = kd= y − y 2 1 2 1$ для некоторого натурального $k$ .

При этом $(x − x )≥ 5− 0.5= 4.5 2 1$ , а $y − y ≤24.5− 20= 4.5 2 1$ . (потому что отрезок $[x ;x] 1 2$ покрывает интервал $(0.5;5)$ , а $[20;24.5]$ покрывает $[y1;y2]$ ). Но тогда $kd= x2− x1 = 4.5= y2− y1$ , а также $x1 = 0.5;$ $x2 = 5;$ $y1 = 20;$ $y2 = 24.5$

Из двух условий:

(| 74 { 99 < d< 1.26 |( d= 4.5,(k ∈ℤ) k

Получаем $257-<k < 891418-$ , то есть $k∈ {4,5,6}$ . Откуда $d ∈{98, 910,34}$

При этом мы знаем, что в прогрессии есть члены $x2 = 5$ и $y1 = 20$ . Тогда $15= y1− x2 = md$ для некоторого целого $m$ . Подставляя найденные выше значения для $d$ , мы получим целое значение $m$ только в случае $d = 3 4$ .

Далее перейдем к поиску $a$ . Из условия на сотый член прогрессии $a+99d≥ 74$ следует, что $1 a≥ −4$ . А также мы знаем, что $a <0$ .

Будем теперь двигаться на $d= 0.75$ влево от $x1 = 0.5$ , из нашей прогрессии, пока не попадем в интервал $1 [− 4;0)$ . Тогда получаем, что в этом интервале находится только член прогрессии, равный $0.5− 0.75=− 0.25$ , тогда $a =− 0.25$ .

Непосредственной подстановкой значений можно убедиться, что $a =− 0.25,d =0.75$ удовлетворяют условиям задачи.

Ответ:

$a =− 0.25,d= 0.75$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#85353Максимум баллов за задание: 7

Сумма членов конечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и положительным знаменателем равна $40- 27$ , а сумма тех же членов с чередующимися знаками (первый — со знаком «плюс», второй — со знаком «минус» и т.д.) равна $20- 27$ . Найдите знаменатель прогрессии.

Показать ответ и решение

Пусть у нас в прогрессии $k$ членов, а знаменатель равен $q.$ Заметим, что $q ⁄= 1,$ т.к. иначе прогрессия состояла из единиц, а сумма единиц не может быть нецелым числом. Тогда из первого условия получаем

2 k−1 40 1+ q+ q +...+ q = 27

k 1−-q-= 40 1− q 27

А из второго

1− q+q2− q3+...+(−1)k− 1⋅qk−1 = 20 27

1−-(−-q)k 20 1+q =27

Получаем систему

( |||{ 1-− qk = 40- 1− q 27 |||( 1-− (−q)k= 20 1+ q 27

Разберём два случая:

1. Пусть $k$ нечётно, тогда обозначим $k q =t$ и решим получившуюся систему

( 1−-t 40 ||{ 1− q = 27 || 1+-t 20 ( 1+ q = 27

( { 27(1− t)= 40(1− q) ( 27(1+ t)= 20(1+ q)

Сложим два равенства, получим

54 =60− 20q

q =-3 10

Тогда $t =− 1-, 27$ но $t= qk$ при этом $q > 0,$ получаем противоречие, значит, такого случая быть не может

2. Пусть $k$ чётно, тогда обозначим $qk = t$ и решим получившуюся систему

(|| 1−-t= 40 { 1− q 27 ||( 1−-t= 20 1+ q 27

({ 27(1− t)= 40(1− q) ( 27(1− t)= 20(1+ q)

Вычтем из второго равенства первое, получим

0 =− 20 +60q

q = 1 3

Тогда $( ) t =-1 = 1 4. 81 3$ При обратной замене $t=qk$ становиться понятно, что $k =4.$ Данное значение $q$ нам подходит.

Ответ:

$1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#85558Максимум баллов за задание: 7

Последовательность натуральных чисел $a,a ,a ,... 0 1 2$ определяется следующими соотношениями:

a0 = 1

a =kn +(−1)na , n n−1

где $k$ — фиксированное натуральное число.

Сколько существует таких последовательностей, в которых встречается число 2024?

Источники: Курчатов - 2024, 11.1 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Дана формула для вычисления членов последовательности, но она выглядит сложно, попробуйте явно выразить первые члены, может быть увидите какую-то закономерность.

Подсказка 2

Видно, что каждый член с номером, дающим остаток 3 при делении на 4, равен 1. Тогда попробуйте выразить формулы и доказать их справедливость для членов с номерами 4m, 4m+1, 4m+2 и 4m+3, где m — целое неотрицательное число.

Подсказка 3

Все члены с номерами вида 4m имеют вид 4mk+1, с номерами 4m+1 — k-1, с номерами 4m+2 — (4m+3)k-1, с номерами 4m+1 — 1. Доказывать эти формулы очень удобно по индукции, ведь по условию дано соотношение, где последующий член выражается через предыдущий.

Подсказка 4

Теперь, используя полученные формулы, посмотрите какие члены нашей последовательности могут равняться 2024.

Подсказка 5

Числа с номерами 4m и 4m+3 сразу отпадают из-за нечётности, а с номером 4m+1 даёт только одну последовательность (какую?). Для чисел с номерами 4m+2 получается уравнение в целых числах ((4m+3)k=2025). При решении полученного уравнения количество рассматриваемых случаев можно уменьшить, рассмотрев, какие остатки при делении на 4 дают 4m+3, 2025 и какой тогда остаток при деление на 4 должно иметь k.

Показать ответ и решение

Докажем, что для любого целого $m ≥0$ справедливы следующие формулы:

a = 4mk+ 1, 4m a4m+1 = k− 1, a4m+2 = (4m + 3)k− 1, a4m+3 = 1.

Будем доказывать эти формулы индукцией по $m$ . База $m = 0$ проверяется непосредственно. Предположим, что формулы справедливы для всех чисел, не больших $m − 1$ , и докажем эти формулы для числа $m$ . Поскольку по предположению индукции $a4m−1 = 1$ , последовательно получаем следующие равенства:

a4m = k⋅(4m)+ (−1)4ma4m−1 =4mk +1, a = k(4m +1)+ (− 1)4m+1a = (4km + k)− (4mk+ 1)=k − 1, 4m+1 4m+2 4m a4m+2 = k(4m +2)+ (− 1) a4m+1 = (4km +2k)+ (k − 1)= (4m + 3)k− 1, a4m+3 = k(4m +3)+ (− 1)4m+3a4m+2 = (4km +3k)− (4km +3k − 1)= 1.

Таким образом, наши формулы доказаны. Теперь, используя эти формулы, посмотрим, какие члены нашей последовательности могут равняться 2024. Ясно, что числа вида $a4m$ и $a4m+3$ не могут равняться 2024: числа вида $a4m$ нечётны, а числа вида $a4m+3$ равны 1 . Далее, числа вида $a4m+1$ могут равняться 2024 только при $k =2025$ , что дает нам один пример последовательности.

Наконец, предположим, что для некоторого целого неотрицательного $m$ число $a4m+2$ равно 2024 . Мы получаем следующее уравнение: $(4m+ 3)k= 2025$ . Заметим, что сомножитель $4m + 3$ дает остаток 3 при делении на 4 , а число 2025 дает остаток 1 при делении на 4. Значит, число $k$ , во-первых, должно быть делителем числа 2025 , а во-вторых, должно иметь остаток 3 при делении на 4 (т.к. $3⋅3≡ 1(mod4)$ ). Поскольку $2025 =34⋅52$ , число $k$ имеет вид $3α⋅5β$ , где $α∈ {0,1,2,3,4}$ и $β ∈{0,1,2}$ . Для того, чтобы число $k$ такого вида давало бы остаток 3 при делении на 4 , необходимо и достаточно, чтобы степень $α$ была бы нечетной (поскольку $5 ≡1(mod4)$ и $3α ≡ 4(−1)α(mod4)$ ). Получаем ещё 6 возможных значений $k:3,3⋅5,3⋅52,33,33⋅5,33⋅52$ . Вместе с вариантом $k =2025$ получаем 7 возможных последовательностей.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#85565Максимум баллов за задание: 7

Последовательность многочленов $P(x),P (x),... 0 1$ задана условиями $P (x)= x,P (x)= P (x− 1)P (x+ 1) 0 n n− 1 n−1$ при $n≥ 1.$ Найдите наибольшее число $k,$ для которого $P100(x)$ делится на $k x .$

Показать ответ и решение

Заметим, что $k$ совпадает с кратностью корня $x =0.$ Каждый из данных корней был получен из корня $1$ или $− 1$ у многочлена $P99(x),$ каждый из которых в свою очередь появился из корня $− 2,0,$ или $2$ у многочлена $P99(x),$ и так далее. В итоге получим, что каждому корню $0$ многочлена $P100(x)$ соответствует последовательность из $101$ числа $0,...,0,$ в которой каждые два соседних числа отличаются на $1.$ Причем каждой такой последовательности соответствует корень $0$ многочлена $P100(x).$ Тогда $k$ равно количеству таких последовательностей. Будем идти по последовательности слева направо. При переходе к следующему члену последовательности мы либо прибавляем к предыдущему члену $1,$ либо вычитаем, причем прибавлений и вычитаний поровну. В итоге получаем ответ $50 k =C100.$

Ответ:

$C50 100$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#87807Максимум баллов за задание: 7

Представьте в виде обыкновенной дроби число $0,3(24)$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте как-то попробуем избавиться от периодичности. Что для этого можно сделать?

Подсказка 2

Попробуем получить два числа, которые легко получаются из исходного и при этом их разность не будет периодичной.

Подсказка 3

Домножим наше число на 1000 и на 10. Что получим?

Подсказка 4

Будут два числа с одинаковым периодом! То есть их разность легко считается.

Подсказка 5

Мы пришли к уравнению 990x = 321, где x — исходное число.

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

24∕1000 0,3(24)= 0,3+ 24∕1000+ 24∕100000+ ...= 0,3+ 1−-1∕100 =

=0,3+ 24-= 3-+ 8--= 99+8-= 107- 990 10 330 330 330

Второе решение.

Обозначим число $0,3(24)$ за $x.$ Тогда домножая число на $10$ и на $1000,$ получим:

1000x= 324,(24) -10x=-3,(24)----- 990x= 321

Из последнего равенства находим представление в виде обыкновенной дроби:

x= 321= 107 990 330

Ответ:

$107 330$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#87811Максимум баллов за задание: 7

Найдите бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, если ее сумма равна $3$ , а сумма квадратов её членов равна $4,5$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, что все члены и сумма бесконечной геометрической прогрессии выражаются через две величины. Вспомним, какие это две величины и попробуем выразить через них то, что нам дано в задаче.

Подсказка 2

Итак, первое условие дает нам одно уравнение на b₁ (первый член) и q (знаменатель), а второе уравнение — второе условие на них же, ведь знаменатель и первый член для прогрессии из квадратов выражаются через b₁ и q. Останется решить систему из двух уравнений и получить b₁ и q!

Подсказка 3

Для решения системы можно исключить из одного из уравнения b1, найти q, а дальше подстановкой найти b1, уже зная q.

Показать доказательство

Пусть первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен $b , 1$ а знаменатель — $q.$ По условию сумма прогрессии равна $3,$ тогда по формуле суммы:

b1 1−-q = 3

Если рассмотреть квадраты элементов этой прогрессии, то они будут образовывать геометрическую прогрессию с первым членом $b21$ и знаменателем $q2.$ По условию сумма новой прогрессии равна $4.5.$ Тогда:

2 --b1-2 = 4.5 1− q

Решим систему:

({ -b1 =3, ( 1−qb21--- (1−q)(1+q) = 4.5

Подставим первое уравнение во второе:

{ b1-= 3, 1−qb1- 3 ⋅1+q = 4.5

Далее поделим первое уравнение на второе ( $b ⁄= 0) 1$

{ 1+q-= 2, 1−bq1-= 1.5 1+q

В итоге, из первого равенства получим $q = 1, 3$ а из второго $b1 = 1.5(1 +q)= 2.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#88526Максимум баллов за задание: 7

Сумма трёх первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему прибавить 1, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии.

Показать ответ и решение

Пусть $a , a , a 1 2 3$ — члены возрастающей арифметической прогрессии, а $d> 0$ — разность прогресcии. Тогда по условию:

a1+ a2+ a3 =15⇒ a1 +a1+ d+ a1 +2d= 15

a +d =5 1

(1)

Пусть $b1, b2, b3$ — члены геометрической прогрессии, а $q$ — знаменатель прогрессии. Тогда по условию:

b1 = a1− 1, b2 = a2− 1, b3 =a3+ 1

Запишем характеристическое свойство геометрической прогрессии:

2 2 b2 =b1b3 ⇒ (a1+ d− 1) =(a1− 1)(a1 +2d+ 1)

(2)

Составим из $(1)$ и $(2)$ систему уравнений и решим ее:

{ a1+d =5 (a1+ d− 1)2 =(a1− 1)(a1 +2d+ 1)

{ a1 = 5− d (5 − d+ d− 1)2 =(5− d− 1)(5− d +2d+ 1)⇒ 42 =(4− d)(d+ 6)

Из последнего уравнения после приведения получаем следующее:

[ d2+ 2d− 8⇒ d= −4,не подходит d= 2

Получили, что $d= 2,$ тогда $a1 =3$ . Найдем сумму первых $10$ членов прогрессии:

2a1+d(10− 1) S10 = 2 ⋅10= (2a1+ 9d)⋅5=120

Ответ: 120

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#88528Максимум баллов за задание: 7

Четвёртый член арифметической прогрессии равен половине второго, который на $36$ больше, чем третий член некоторой геометрической прогрессии. Найдите первый член арифметической прогрессии, если он вдвое больше первого члена геометрической прогрессии и впятеро больше второго члена геометрической прогрессии.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Дана арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия и какие-то условия, их связывающие. Сколько нам нужно ввести переменных, и какие они должны быть, чтобы описывать всё происходящее?

Подсказка 2

Итак, нужны первый член и разность арифметической прогрессии, а также первый член и знаменатель геометрической прогрессии. Запишем все условия с использованием четырех этих величин и объединим их в систему!

Подсказка 3

Из систему можно мгновенно найти q, выразить b через а (или наоборот), а оставшуюся систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными как-нибудь уж получится решить!

Показать ответ и решение

Пусть $a$ и $d$ — это первый член арифметической прогрессии и её разность соответственно, а $b$ и $q$ — это первый член геометрической прогрессии и её знаменатель соответственно. Тогда условия задачи можно переписать в виде системы

( a+ d ||||| a+ 3d= --2- |||{ a+ d= bq2+36 | ||||| a =2b ||( a =5bq

Заметим, что $b⁄= 0,$ значит, из третьего и четвертого уравнений системы, можно найти $q$

2b= 5bq =⇒ q = 2 5

Подставим $b= a 2$ и $q = 2 5$ в первые два уравнения системы, получим систему

(| a+-d |{ a+ 3d= 2 ||( a+ d= a ⋅ 4-+36 2 25

(|{ 5d =− a |( d= − 23a+ 36 25

Следовательно,

− a= − 23a +36 5 25

18a =36 25

a= 50

Ответ:

$50$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#90372Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму

[1] [2] [ 22] [23] [21000] 3 + 3 + 3 + 3 + ...+ 3 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним, что [x] = x - {x}, чтобы разложить каждое слагаемое в сумме и суммировать все, что не является дробной частью с помощью суммы геометрической прогрессии, обозначим эту сумму за S

Подсказка 2

У нас получилось S - {1/3} - {2/3} - {2^2/3} - ... - {2^1000/3}, что можно сказать про каждое из дробных частей?

Подсказка 3

Верно, что они равны либо 1/3, либо 2/3, в зависимости от четности степени двойки. Далее посчитать все аккуратно и вычесть не составляет труда.

Показать ответ и решение

Воспользуемся следующим фактом:

[x]= x− {x}

Преобразуем исходное выражение:

[1] [2] [22] [21000] 1 { 1} 2 { 2} 21000 {21000} 3 + 3 + 3 +...+ 3 = 3 − 3 + 3 − 3 + ...+ 3 − 3 =

(1 2 22 21000) ( {1} { 2} {22} {21000}) 3 + 3 +-3 +...+-3- − 3 + 3 + -3 +... --3-

Первую скобку можно посчитать как сумму геометрической прогрессии.

1+ 2+ 22+ ...+ 21000= 13-⋅(21001−-1)= 21001−-1 3 3 3 3 2 − 1 3

Во второй скобке мы имеем дело с дробной частью, соответственно, каждое из слагаемых будет равно или $1 3,$ или $2 3$ в зависимости от четности степени двойки. Тогда получаем:

{ 1} {2} {22} { 21000} 1 2 1 2 1 1 1501 3 + 3 + 3 + ... 3 = 3 +3 + 3 + 3 + ...+ 3 = 500+ 3 = 3

Итого:

1001 1001 2---− 1-− 1501= 2--−-1502 3 3 3

Ответ:

$21001-− 1502 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#91147Максимум баллов за задание: 7

Последовательность ${a } n$ задана рекуррентным соотношением

an = an−1 +an−2− an−3+3

и начальными условиями $a0 = 1,a2 =5.$ Чему может быть равно $a6?$

Источники: ИТМО-2024, 11.2 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что первое хочется сделать, увидев рекуррентную формулу? Попробовать подставить что-то вместо n. Например, взять n-1 и посмотреть, что получится. В задаче же у нас спрашивают про чётный член. Тогда в теории надо как-то избавиться от членов вида n-1 и n-3 в формуле. Посмотрев на формулы для n и n-1, что можно попробовать сделать?

Подсказка 2

Давайте сложим две формулы, тогда останутся только члены с номерами n, n-2 и n-4. Теперь, записав полученное выражение как разность членов n, n-2 и n-2, n-4, можем найти формулу для разности 2k и 2(k-1) члена, через суммирование таких выражений. Как же теперь можно найти формулу для 2k-ого члена?

Подсказка 3

Верно, сложим аналогично выражения для всех k от 1 до 3. Тогда слагаемые буду сокращаться и мы сможем выразить 6-ый член. Победа!

Показать ответ и решение

Перепишем рекуррентную формулу:

an− an−2 =an−1− an−3+3

Записав её для $n − 1$ вместо $n,$ получим

an−1 − an−3 = an−2− an−4 +3,

откуда

an− an−2 =an−2− an−4+6

Поскольку $a2− a0 =4,$ то

a2i− a2(i− 1) = 4+ 6(i− 1)

Значит,

a = 1+∑3 (4+ 6(i− 1)) =1+ 3⋅4+ 3⋅3(3− 1)= 31 6 i=1

Ответ: 31

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#91953Максимум баллов за задание: 7

Натуральные числа $a ,...,a 1 n$ образуют строго возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите все возможные значения $n,$ если известно, что $n$ нечётно, $n> 1$ и сумма $a1+ ...+ an$ равна 2024.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дана арифметическая прогрессия и ее сумма, быть может, тогда сразу записать условие с помощью переменных? Какое уравнение получится?

Подсказка 2

n(2a + (n-1)d)/2 = 2024. Итак, условие на сумму записано. Какое условие мы еще не использовали? Что можно сделать с этим уравнением?

Подсказка 3

Домножим обе части уравнения на 2 и используем условие на нечётность n!

Подсказка 4

n(2a + (n-1)d) = 4048. Каким может быть n, если он нечётный? Что можно сказать про связь 4048 и n?

Подсказка 5

n должно быть нечётным и делить 4048! Осталось лишь разобрать случаи нечётных делителей 4048 ;)

Показать ответ и решение

Пусть $d$ — разность прогрессии. Переобозначим $a =a . 1$ Так как прогрессия состоит из натуральных чисел и строго возрастает, то $a$ и $d$ — натуральные числа. По формуле суммы арифметическое прогрессии имеем

n(2a +(n− 1)d) -----2------= 2024

Умножим это равенство на $2,$ тогда получится следующее уравнение в целых числах

n(2a +(n− 1)d)= 4048

Заметим, что $4048 =24⋅11⋅23.$ Из уравнения следует, что $. 4048.. n.$ Кроме того, по условию $n$ — нечетное число, поэтому $n$ может быть равно $11,$ $23$ или $11⋅23= 253.$

Рассмотрим эти три случая:

1.: $n =253.$ Тогда получится уравнение $253(2a+ 252d)= 4048,$ то есть $2a +252d= 16.$ Но $d≥ 1,$ поэтому $2a+ 252d >16,$ и такое равенство невозможно.
2.: $n =11.$ Тогда получится уравнение $11(2a+10d)= 4048,$ что равносильно $a+ 5d= 184.$ Тогда $a= 184− 5d.$ При $d= 1$ получим $a= 179,$ следовательно, подходящая арифметическая прогрессия существует.
3.: $n =23.$ Тогда получится уравнение $23(2a+22d)= 4048,$ что равносильно $a+ 11d =88.$ Тогда $a= 88− 11d.$ При $d= 1$ получим $a= 77,$ следовательно, подходящая арифметическая прогрессия существует.

Таким образом, $n= 11$ или $n = 23.$

Ответ: 11; 23

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#92343Максимум баллов за задание: 7

Числа $a ,a,...,a 1 2 20$ образуют арифметическую прогрессию. Найти её разность, если известно, что

2 2 2 a1+a3+ ⋅⋅⋅+ a19 =1330,

2 2 2 a2+ a4+⋅⋅⋅+a20 = 1540

и $a10+a11 = 21.$

Источники: ДВИ - 2024, вариант 245, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дана арифметическая прогрессия, так что обозначим ее разность за d. Как можно записать уравнение на сумму из условия через d и один из членов прогрессии?

Подсказка 2

2a₁+ 19d = 21. Теперь подумаем, а как удобнее всего воспользоваться суммой квадратов членов. Интересно, что член с чётным индексом — это соответствующий член с нечетным индексам, увеличенный на d.

Подсказка 3

Отнимите от второго уравнения первое и рассмотрите разность соответствующих квадратов!

Показать ответ и решение

Обозначим разность прогрессии за $d.$ Тогда по условию

a10+ a11 = a1 +9d+ a1+10d= 2a1+ 19d= 21.

Выразим теперь разность сумм квадратов членов с чётными и нечётными индексами.

a2− a2= d2+ 2a d,...,a2 − a2 = d2+2a d. 2 1 1 20 19 19

Складывая все 10 этих выражений, получаем

a2+ a2+ ⋅⋅⋅+ a2 − (a2 +a2+ ⋅⋅⋅+ a2)= 10d2+ 2d(a1+ ⋅⋅⋅+ a19)= 2 4 20 1 3 19

= 10d2+10(2a1+ 18d) =10d(d +(21− d))= 210d= 1540 − 1330= 210.

Отсюда $d= 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#94159Максимум баллов за задание: 7

Существует ли непериодическая последовательность только из единиц и двоек?

Показать ответ и решение

Предъявим такую последовательность. Будем чередовать блоки из чисел 1 и 2, каждый раз увеличивая количество единиц на одну:

1,2,1,1,2,1,1,1,2,1,1,1,1,2,...

Предположим противное. Пусть существует период длины $t.$ Тогда найдётся момент, когда блок из единиц будет иметь длину, превышающую $2t.$ Поскольку после него идёт двойка, а затем снова блок из единиц, длина которого также больше $2t,$ мы можем выбрать такой блок бесконечно далеко, в том числе и за пределами предпериода. Пусть период частично попадает на начало этого блока, но из-за его длины весь следующий период будет состоять только из единиц. Однако период не может состоять только из единиц, так как в последовательности бесконечно много двоек. Получаем противоречие.

Ответ:

Да, существует.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#94160Максимум баллов за задание: 7

Каждое следующее число в последовательности целых чисел получается из предыдущего так: число возводится в квадрат, и из него вычеркиваются все цифры, кроме последних четырех. Докажите, что последовательность периодическая, и длина периода не больше 10000.

Показать доказательство

Из условия задачи понятно, что последовательность состоит из чисел не более чем четырёхзначных. Для удобства каждое значение будем записывать как четырёхзначное, например, 0041 или 0345. Очевидно, что каждое число однозначно определяет следующее, поэтому, если в последовательности повторится какое-то из них, то это будет означать, что появился цикл. Посчитаем, сколько всего может быть различных значений:

10⋅10⋅10⋅10 =104

Таким образом, не позже чем через $104$ операций, число повторится. Следовательно, в последовательности обязательно есть период, длина которого не превышает $104.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#94161Максимум баллов за задание: 7

В Летней школе один преподаватель оставил на дверях всех комнат записки следующего содержания: “Я в комнате номер …” и исчез в неизвестном направлении (записки на разных дверях могут сообщать разную информацию, указанные номера существуют). Настойчивый школьник начал поиски преподавателя, руководствуясь этими указаниями. Докажите, что с некоторого момента он начнет двигаться по циклу.

Показать доказательство

Пусть всего $n$ комнат. Рассмотрим $(n +1)$ -ое перемещение школьника к следующей двери. Пусть он подошёл к двери с номером $x.$ Так как всего различных комнат $n,$ комнату $x$ он точно посещал до этого. Запишем последовательность номеров комнат, между которыми перемещался школьник:

...(x,...)(x,...)...

Так как последовательность комнат после $x$ однозначно определена, путь от $x$ до $x$ и будет искомым циклом.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#94162Максимум баллов за задание: 7

В каждом числе последовательности $10,11,12,13,...,2023,2024,...$ вычеркнули все цифры, кроме двух первых. Докажите, что получилась непериодическая последовательность.

Показать доказательство

Предположим обратное: пусть существует период длины $t.$ Рассмотрим нашу последовательность. Понятно, что после 99 будут идти 10 десяток (с 100 до 109). После этого десятки будут появляться в последовательности после вычеркивания всех цифр, кроме первых двух, у $(k+ 2)−$ значных чисел от $1000...0$ до $1099...9.$ Такие блоки будут содержать $k 10$ десяток. Поскольку последовательность бесконечная, найдётся такое $k,$ что $k 10 > 2t.$ Так как блоки, состоящие из более чем $2t$ десяток, будут повторяться и дальше, то после предпериода найдётся период, который целиком попадёт в такой блок. Однако период не может состоять только из десяток, так как после них обязательно идёт число 11. Это приводит к противоречию. Следовательно, последовательность не может быть периодической.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#94164Максимум баллов за задание: 7

В тридесятом королевстве у каждого замка и каждой развилки сходятся по три дороги. Рыцарь, Любящий Разнообразие, выехал из своего замка и по очереди поворачивает то направо, то налево. Докажите, что рано или поздно он приедет к своему замку.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если мы хотим доказать зацикливание, то нам стоит как-то ввести состояние, ведь в принципе зацикливания у нас фигурирует это самое состояние (а также, нам надо доказать, что этих состояний конечное число, и тогда у нас действительно будет цикл). Что можно назвать состоянием в данной задаче?

Подсказка 2

Верно, состоянием можно назвать тройку параметров — номер вершины, по какой из трёх дорог пришёл и куда повернул. Тогда если у нас n вершин (замки или развилки), то состояний 6n, а значит их конечное число, и мы получили цикл. Решена ли на данный момент задача или нужно сказать что-то ещё?

Подсказка 3

Конечно, не решена, ведь мы ничего не доказали про предпериод, ведь если он есть, то окажется, что мы не вернёмся в начальную вершину. Однако так как здесь каждое предыдущее состояние единственным образом определяется по следующим, то по принципу зацикливания назад мы понимаем, что предпериода нет.

Показать доказательство

Представим это как бесконечную последовательность состояний, где в состояние указывается: в какой замок или на какую развилку попал рыцарь, по какой из трёх дорог он туда пришёл и в какую сторону он должен повернуть. Таким образом если в королевстве $n$ замков и развилок, то состояний $6n,$ т.е. конечное число, при этом каждое следующие определяется по предыдущему. По принципу зацикливания такая последовательность рано или поздно зациклиться, а по принципу зацикливания назад предпериода не будет. Поэтому рано или поздно рыцарь вернётся к своему замку.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#94165Максимум баллов за задание: 7

Установлено, что погода на Сириусе в данный день полностью определяется предыдущей неделей. Варианты погоды: магнитная буря, метеоритный дождь, штиль. Последнюю неделю шел метеоритный дождь. Докажите, что “дождливые” недели всегда были и будут.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таких задачах со сложным процессом (по сути, мы строим последовательность погоды на каждый день самостоятельно, потому что у нас есть первая неделя, и после мы понимаем погоду на 8 день, на 9 и так далее), про который нам ещё и ничего не рассказано. Нужно действовать только рассуждая, нет смысла что-то перебирать. Правда ли, что здесь работает принцип зацикливания? Достаточно ли этого для полного решения задачи?

Подсказка 2

Само собой, он здесь работает, ведь количество состояний, по которым определяется следующий день, конечно. Но это не всё, ведь ещё нужно понять, что не будет предпериода. А предпериода нет по принципу зацикливания назад, ведь наше предыдущее состояние так же единственным образом определяется по следующим. А значит, предпериода нет и мы победили.

Показать доказательство

Так как у нас конечное число состояний, а так же каждое последующие определяется по конечному числу предыдущих, то можем применить принцип зацикливания. Согласно ему последовательность состояний погоды рано и поздно зациклиться, при чём в силу обратимости данной последовательности в ней не будет предпериода. Значит, раз одна “дождливая” неделя была, то такие недели всегда были и будут.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#97053Максимум баллов за задание: 7

Последовательность { $x n$ } определена рекурсивно: $x = a 1$ при некотором натуральном $a,$ а также $x = 2x + 1. n+1 n$ Пусть $y =2xn − 1. n$ Какое максимальное количество подряд идущих простых чисел может быть в последовательности { $yn$ }?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала рекомендуется заметить что-нибудь про последовательность. Поймите ответ, написав несколько первых членов последовательности при маленьких a. Поймите, что x_i тоже должны быть простыми.

Подсказка 2

Будем доказывать, что ответ 2. Как доказать, что среди трех подряд идущих членов обязательно будет составной? На что он может делиться?

Подсказка 3

Попробуйте доказать, что x_3 | y_2. Воспользуйтесь тем, что x_3 сравнимо с 7 по модулю 8, то есть 2 - квадратичный вычет по модулю x_3.

Показать ответ и решение

Пусть $k$ — максимальное количество подряд идущих простых чисел может быть в последовательности { $y n$ }. Без ограничений общности, можем считать, что данная оценка достигается для подпоследовательности $y1,...,yk.$

Оценка. Докажем, что если при некотором $i$ число $yi$ — простое, то и число $xi$ — простое. Действительно, пусть $xi$ кратно некоторому натуральному $d$ , тогда

x d yi =2 i − 1 кратно 2 − 1

что влечет противоречие с простотой числа при $d> 1.$ В частности, если подпоследовательность ${y}k ii=1$ состоит только из простых чисел, то и подпоследовательность ${x}k i i=1$ состоит лишь из простых чисел.

Теперь докажем, что для каждого нечетного простого числа $a$ хотя бы одно из чисел $y ,y ,y 1 2 3$ является составным. Предположим противное, пусть $y1,y2$ и $y3$ — простые числа, тогда $x1,x2,x3$ тоже простые числа. Поскольку $x1 ≥3$ нечетно, имеем $x2 >3$ и $x2 ≡ 3 (mod 4);$ следовательно, $x3 ≡ 7 (mod 8).$ Таким образом, $2$ является квадратичным вычетом по модулю $p= x3,$ поэтому $2 2 ≡s (mod p)$ для некоторого целого числа $s$ и, следовательно,

x (p−1)∕2 p− 1 2 2 = 2 ≡ s ≡ 1 (mod p)

Это означает, что $p|y , 2$ т. е. $2x2 − 1= x = 2x + 1. 3 2$ Но легко показать, что $2t− 1> 2t+1$ для всех целых $t>3.$ Противоречие. Тем самым мы показали, что $k ≤2.$

Пример. Если $a =2,$ то числа $y = 3 1$ и $y = 31 2$ являются простыми числами.

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#97896Максимум баллов за задание: 7

Последовательность $(a ) n$ удовлетворяет условиям

∘ -------- a0 =0, a1 ⁄=0, an+1− an = an+an+1 при всех n ≥0.

Какие значения может принимать $a 2024$ ?

Источники: ОММО - 2024, задача 10 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала возведём в квадрат и посмотрим, что же у нас получается после приведения подобных. Во-первых, у нас получается симметричное уравнение относительно a_(n + 1) и a_n. А это значит, что то, что верно для a_(n - 1) верно и для a_(n + 1) относительно a_n. Что можно тогда заметить?

Подсказка 2

Мы можем заметить, что уравнению t^2 - (2a_n + 1)*t + a^2_n - a_n = 0 удовлетворяют и а_(n - 1), и a_(n + 1). Значит, по теореме Виета, a_(n - 1) + a_(n + 1) = 2a_n + 1. Теперь попробуйте найти первые несколько членов!

Подсказка 3

У нас получается такая прогрессия - 1,3,6,10….- это же значения суммы первых n натуральных чисел. Попробуйте это доказать, и тогда задача сведётся к тому, чтобы записать ответ.

Показать ответ и решение

Выписав условие $a − a ≥ 0 n+1 n$ , возведем равенство в квадрат и запишем его для двух соседних членов последовательности