Тема АЛГЕБРА

Последовательности и прогрессии → .01 Арифметическая прогрессия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Последовательности и прогрессии

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Комбинация арифметической и геометрической прогрессий

Рекуррентные соотношения

Периодичность и зацикливание

Последовательности нестандартного вида

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#85032Максимум баллов за задание: 7

Дана конечная арифметическая прогрессия $a ,a,...,a 1 2 n$ с положительной разностью, причём сумма всех её членов равна $S$ , а $a >0. 1$ Известно, что если разность прогрессии увеличить в 3 раза, а её первый член оставить неизменным, то сумма $S$ увеличится в 2 раза. А во сколько раз увеличится $S$ , если разность исходной прогрессии увеличить в 4 раза (оставив первый член неизменным)?

Источники: Физтех - 2020 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала запишем формулу суммы арифметической прогрессии через первый член в общем виде. Как она меняется от изменения разности?

Подсказка 2

Подставляем разности d, 3d и 4d. Теперь пользуемся условием на то, что при подстановке 3d сумма увеличивается в 2 раза относительно суммы с d. Что отсюда можем выразить?

Подсказка 3

Выражаем разность прогрессии через первый член. Теперь можем подставить это в общую формулу суммы. Что это нам даёт?

Подсказка 4

Это позволяет нам выразить через первый член и количество членов (которые неизменны во всех суммах) суммы с разностями d и 4d. Теперь осталось только найти их отношение, которое определяется однозначно!

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формуле арифметической прогрессии

2a+ (n − 1)d S = a+ (a+d)+ ...+ (a +(n− 1)d)=----2-----⋅n

Из формулы суммы арифметической прогрессии с разностью $3d$ получаем:

2a+ (n − 1)3d 2S =a +(a+ 3d)+ ...+ (a +3(n− 1)d)= -----2-----⋅n

Пусть сумма арифметической прогрессии с разностью $4d$ была в $k$ раз больше, чем сумма исходной. Тогда получаем:

$kS = a+(a+ 4d)+...+ (a+ 4(n− 1)d)= 2a+-(n− 1)⋅4d⋅n 2$

Из первых двух равенств получаем, что

2a+-(n-− 1)d⋅n⋅2= 2a+-3(n-− 1)d⋅n 2 2

4a+ 2(n − 1)d= 2a +3(n− 1)d

2a =(n− 1)d

Тогда $2a+ 2a S = --2---⋅n= 2an$ . Откуда из выражения для третьей суммы получим

k⋅2an= 2a+-4(n2-− 1)d= 2a+2-8a⋅n= 5an

Значит, $k= 2.5$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

$(t+ 1)$ -ый член прогрессии с первым членом $a$ и разностью $d,3d,4d$ можно выразить, как $a+ td,a+3td,a +4td$ соответственно.

Представим $(t+1)$ -й член прогрессии с разностью $4d$ следующим образом:

a+ 4td= α(a+ td)+ β(a +3td)

При этом хотим найти такие $α,β$ , чтобы равенство было выполнено при любых $t$ и любых $a,d$ . Тогда нужно приравнять коэффициенты в левой части перед $a$ и $d$ , чтобы получилось тождество:

( {a =(α+ β)⋅a, (4td= αtd +β ⋅3td,

( { 1= (α+ β), ( 4= α+ 3β,

То есть $β = 1.5,α= −0.5$ . Так как данное равенство при $β =1.5,α =− 0.5$ выполняется при любых значениях $t$ , будет выполнено равенство для сумм прогрессий:

kS = αS+ β⋅2S =− 0.5S+ 1.5⋅2S = 2.5S

Значит, $k= 2.5$

Ответ: 2,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#85174Максимум баллов за задание: 7

Сумма первых шести членов арифметической прогрессии ${a } n$ равна сумме следующих четырех членов. Найдите $a16- a1 .$

Показать ответ и решение

Пусть $d$ — разность прогрессии. Тогда $a = a + (n − 1)d, n 1$ в частности $a =a + 15d 16 1$ . Тогда сумма первых шести членов прогрессии равна

6a1+ (1+2 +3+ 4+ 5)d= 6a1+ 15d,

а сумма следующих четырёх равна

4a1+(6+ 7+ 8+9)d= 4a1 +30d.

По условию эти суммы равны:

6a1+ 15d= 4a1+ 30d

2a1 = 15d

Подставим в искомое выражение

a16-= a1-+15d= 1+ 15d= 1+ 2a1= 3 a1 a1 a1 a1

Замечание.

При сокращении мы воспользовались тем, что $a1 ⁄=0,$ хотя в условии олимпиады ИТМО-2020 этого (или равносильного этому условия о том, чтобы прогрессия была не постоянной) дано не было. Судя по всему, предполагалось, что искомое отношение определено и задумываться о таком не надо было.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#126017Максимум баллов за задание: 7

Арифметическая прогрессия ${a } n$ с ненулевой разностью такова, что последовательность $b = a ⋅sina n n n$ также арифметическая прогрессия с ненулевой разностью. Найти возможные значения первого члена и разности прогрессии ${an},$ если для всех $n$ справедливо равенство $2 2cosan =cosan+1.$

Источники: Росатом - 2020, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие выводы можно сделать из уравнения 2cos²(aₙ) = cos(a_{n+1}). Попробуйте выразить cos(aₙ).

Подсказка 2

При всех n cos(a_{n+1}) ≥ 0 и |cos(aₙ)| = √( cos(a_{n+1}) / 2 ) ≤ 1 / √2. Что тогда можно сказать об aₙ?

Подсказка 3

Все значения aₙ попадают на участок [π/4;π/2]. Попробуйте подумать о разности арифметической прогрессии - d.

Подсказка 4

Что, если d будет больше ближайшего к aₙ числа, кратного 2π?

Подсказка 5

Тогда некоторый член последовательности выйдет за пределы [π/4;π/2]. Проведите аналогичные рассуждения в меньшую сторону.

Подсказка 6

Получим, что d кратно 2π, или d = 2πk, k ∈ ℤ. Как мы можем это использовать?

Подсказка 7

Выразите cos(aₙ) при помощи a₁ и d.

Подсказка 8

Получится, что cos(aₙ) = cos(a₁). Подставьте это в уравнение из условия.

Подсказка 9

Мы получим несколько решений относительно a₁, выразите через них aₙ и bₙ.

Показать ответ и решение

Из уравнения

2 2cos(an)= cos(an+1)

следует, что при всех $n$

cos(an+1)≥ 0

-------- ∘ cos(an+1)- -1- |cos(an)|= 2 ≤ √2-

На тригонометрическом круге все значения $an$ попадают на участок $[π π] 4;2 .$

$PIC$

${an}$ является арифметической прогрессией, докажем, что ее разность $d$ должна быть кратна длине окружности $2π.$

Если бы величина $d$ была больше ближайшего к $an$ числа, кратного $2π,$ то один из следующих членов последовательности, располагаясь на единичной окружности против часовой стрелки от $an$ и смещаясь от него на постоянное значение вдоль дуги, выйдет за участок $[ ] π4;π2 .$

Аналогично, если величина $d$ меньше ближайшего к $an$ числа, кратного $2π,$ то один из следующих членов прогрессии, располагаясь по часовой стрелке от $an$ и смещаясь от него на постоянное значение вдоль дуги, выйдет за участок $[π4;π2].$

Тогда получаем, что

d= 2πk, k∈ ℤ

По условию, $d ⁄=0,$ следовательно, $k⁄= 0.$ Получаем, что при всех $n$

cos(an)= cos(a1+(n− 1)d)= cos(a1+ (n − 1)⋅2πk)= cos(a1)

Определим первый член прогрессии

2cos2(a1)=cos(a1)

⌊ cos(a )= 0 ⌈ 1 1 cos(a1)= 2

⌊ a1 = π +2πm, m ∈ℤ ⌈ 2π a1 = ± 3 + 2πm, m ∈ ℤ

Тогда из первого решения получаем

π an = 2 + 2πm+ (n− 1)2πk

bn =an

Из двух оставшихся

π an = ±3 +2πm + (n − 1)2πk

√- bn = ±-3an 2

Ответ:

1) $a = π +πm,m ∈ Z;d= 2πk,k ∈Z,k⁄= 0 1 2$

2) $π a1 = 3 + 2πm, m∈ Z;d= 2πk,k ∈Z,k⁄= 0$

3) $π a1 =− 3 + 2πm,m ∈Z;d= 2πk,k∈Z,k ⁄=0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#31347Максимум баллов за задание: 7

Дана арифметическая прогрессия. Сумма первых её $10$ членов равна $60,$ а сумма первых $20$ её членов равна $320.$ Чему может быть равен $15$ -й член этой прогрессии?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть две неизвествых - а и d. Давайте составим на них уравнения, используя условие! Перед этим, конечно, вспомним формулу суммы арифметической прогрессии)

Подсказка 2

Действительно, можно рассматривать это как два уравнения с двумя неизвестными. Осталось найти а и d и решить задачу

Показать ответ и решение

Пусть первый член последовательности это $a,$ а шаг последовательности равен $d.$ Тогда сумма первых её $10$ членов равна

10(a+ (a +9d)) -----2------=60,

а сумма первых $20$ её членов равна

20(a+ (a+19d)) ------2------=320.

Тогда

20(a-+(a+-19d))− 2⋅ 10(a+-(a+9d))= 200 = 20-⋅10d 2 2 2

Значит, $d= 2$ и тогда

10(2a-+18)= 60. 2

Отсюда $a= −3$ и поэтому $15$ -ый член последовательности будет равен $a+ 14d =25.$

Ответ:

$25$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#46084Максимум баллов за задание: 7

Известно, что числа $x,y,z$ образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $α= arccos(− 3) 7$ , а числа $--1 -7- -1- cosx,cosy,cosz$ также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите $2 cos y$ .

Источники: Физтех-2017, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сведем все к максимум двум переменным, пусть это будет y и α. Тогда, по условию, х = у-α, а z = y+α.

Подсказка 2

Основное свойство арифметической прогрессии: удвоенный член прогрессии равен сумме его двух соседей. Примените это к дробям и воспользуйтесь формулой суммы косинусов. Дальше и появится то, что мы ищем - cos(y)^2, не усложняйте себе жизнь поиском самого cos(y) :)

Показать ответ и решение

Используем критерий того, что три числа образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию

14 1 1 14 2cosx+zcosx−z cosy = cosx + cosz ⇐ ⇒ cosy-= 1(cos(x-+2z)+-cos2(x-− z) 2

Кроме того, $x+ z = 2y$ по тому же критерию. Дополнительно мы знаем разность первой прогрессии из условия, откуда $z − z =2α$ , подставим всё это в равенство выше и получим

--7-= -2cosycosα-- cosy cos2α + cos2y

Раскроем двойные углы и перемножим

2 2 2 2 7 − 7cos2 α 14cosα − 7+ 14cos y− 7= 2cosycosα ⇐⇒ cosy =-7-− cosα

Подставляя $cosα= − 37$ , имеем $cos2y = 1103$ .

Ответ:

$10 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#70629Максимум баллов за задание: 7

По окружности движутся $n> 4$ точек, каждая — с постоянной скоростью. Для любых четырех из них есть момент времени, когда они все встречаются. Докажите, что есть момент, когда все точки встречаются.

Источники: СпбОШ - 2016, задача 11.4(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, что будет, если какие-то три точки встретились вместе один раз, и что будет если какие-то три точки вместе будут встречаться многократно.

Подсказка 2

Если какие-то три точки встретились хотя бы 2 раза, то они будут бесконечно много раз встречаться! Да, действительно! Кроме того, вы что-то знаете про время встреч этих точек. Верно, время последующих встреч этих 3 точек образовывает арифметическую прогрессию.

Подсказка 3

Так, кажется значительная часть работы выполнена... Теперь осталось только доказать, что найдётся число, принадлежащее всем прогрессиям. Как же это удобней доказывать? Верно, по индукции... Для двух прогрессий очень просто найти общий член, а в общем случае переход нам поможет осуществить КТО!

Показать доказательство

Заметим, что если какие-то три точки встретились вместе только один раз, то и все остальные точки также должны были в этот момент времени с ними встретиться. Если же одни и те же три точки встретились хотя бы два раза, то они будут встречаться бесконечно много раз, причем времена их встреч образуют арифметическую прогрессию. Поэтому докажем следующую лемму, откуда будет следовать утверждение задачи.
Лемма
Пусть $A1,A2,...,An$ — арифметические прогрессии с натуральными разностями $d1,d2,...,dn,$ причем любые две из них пересекаются. Тогда найдется число, принадлежащее множеству значений всех этих прогрессий.

Доказательство
Индукция по числу прогрессий. База для $n= 2$ прогрессий очевидна. Докажем переход от $n$ к $n+ 1.$ Не умаляя общности (и по индукционному предположению) можно считать, что прогрессии $A1,A2,...,An$ начинаются с нуля. Пусть $d= HOK (d1,d2,...,dn− 1).$ Поскольку прогрессии $An+1,A1,A2,...,An −1$ имеют общую точку, мы можем считать, что первый член прогрессии $An+1$ равен $ad$ (где $a$ — некоторое натуральное число). А поскольку прогрессии $An$ и $An+1$ тоже пресекаются, прогрессия $An+1$ должна содержать число вида $bdn$ . Если $ad= bdn,$ то мы нашли общую точку всех прогрессий. В противном случае прогрессия $An+1$ содержит все числа вида

ad+ k(bdn − ad)= kbdn− (k− 1)ad

По китайской теореме об остатках существует число $k,$ которое делится на $d∕$ НОД $(d,dn)$ и имеет остаток 1 при делении на
$dn∕$ НОД $(d,dn).$ При таком $k$ соответствующий член прогрессии $An+1$ делится и на $d,$ и на $dn,$ т.е. принадлежит множеству значений всех прогрессий.
Покажем, как из леммы следует утверждение задачи. Зафиксируем пару точек $A$ и $B$ и запустим отсчет времени с момента какой-нибудь их встречи. Пусть в следующий раз они встретились через $t$ секунд, тогда далее все их встречи будут происходить в моменты времени $kt,$ где $k∈ ℕ.$ Для каждой точки $C$ моменты ее встреч с парой $A,$ $B$ образуют арифметическую прогрессию $t(RC + nQC)$ (здесь $tRC$ — момент их первой совместной встречи, $tQC$ — интервал между двумя последовательными встречами, $QC ∈ℕ$ ). По условию точки $A,B,C$ и $D$ встретятся вместе, поэтому прогрессии $RC + nQC$ и $RD+ nQD$ пересекаются для любой пары точек $C$ и $D.$ Тогда, согласно лемме, у всех таких прогрессий есть общая точка $P.$ Значит, в момент времени $tP$ все точки встретятся вместе.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#49597Максимум баллов за задание: 7

Сумма первых тринадцати членов некоторой арифметической прогрессии составляет $50%$ от суммы последних тринадцати членов этой прогрессии. Сумма всех членов этой прогрессии без первых трёх относится к сумме всех членов без последних трёх как $4 :3.$ Найти количество членов этой прогрессии.

Источники: ОММО-2015, задача 1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таких задачах с прогрессиями и большим количеством неизвестных полезно представить прогрессию как a+d; ...; a+nd. Попробуйте записать данные из условия в таком виде

Подсказка 2

Верно, получилось 2 уравнения с неизвестными a, n и d. Как бы найти n, когда в двух равенствах 3 переменные?

Подсказка 3

Конечно! Попробуйте "выразить" в каждом уравнении а, а потом приравнять эти уравнения. Получится, что в каждом слагаемом есть множитель d, который можно сократить. Остаётся только аккуратно посчитать и найти n

Показать ответ и решение

Пусть это прогрессия $a+ d,...a +nd,$ в которой всего $n$ членов. Из первого условия

1 (a+ d)+...(a+ 13d)= 2[(a +(n− 12)d)+...+(a+ nd)]

26a+ 182d= 13a+ 13nd− 78d ⇐ ⇒ a = nd − 20d

Запишем второе условие

4[(a +d)+ ...+(a+ (n− 3)d)]= 3[(a+ 4d)+ ...(a+ nd)]

[ (n−-3)(n−-2)-] [ (n−-4)(n−-3)-] 4 (n− 3)a+ 2 d = 3 (n− 3)a+ (n− 3)nd− 2 d

4a+2(n− 2)d= 3a+ 3nd− 3 ⋅ n−-4 ⇐⇒ a= nd+ 4d − 3⋅ n-− 4d 2 2

Из полученных равенств имеем

n− 20= n+ 4− 3⋅ n−-4 ⇐⇒ n−-4 =8 ⇐⇒ n =20 2 2

Ответ:

$20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#63699Максимум баллов за задание: 7

Две арифметические прогрессии содержат по $2015$ членов каждая. Отношение последнего члена первой прогрессии к первому члену второй равно отношению последнего члена второй прогрессии к первому члену первой и равно $4.$ Отношение суммы всех членов первой прогрессии к сумме всех членов второй равно $2.$ Найдите отношение разностей этих прогрессий и приведите пример таких прогрессий.

Источники: ПВГ-2015, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

По традиции при виде сумм арифметической прогрессии используем формулу суммы. Для начала попробуйте аккуратно записать все условия (отношения членов и отношения сумм), приравнять равные 4 отношения членов, и уже после этого подумать, как получить желаемое!

Показать ответ и решение

Пусть это $a ,a +d ,...a +2014d ,a,a + d,...a + 2014d . 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2$ Запишем то, что дано по условию

a1+-2014d1 a2+-2014d2 a2 = a1 = 4

{ a1+ 2014d1 = 4a2 a2+ 2014d2 = 4a1

{ 2014d1 =4a2− a1 2014d2 =4a1− a2

Далее напишем условия на суммы

2a1+2014d1 2a2+-2014d2 2 ⋅2015= 2 2 ⋅2015

2a1+ 2014d1 = 4a2+ 4028d2

подставим сюда представления для $2014d∗,$ получим

2a1+ 4a2− a1 = 4a2+ 8a1− 2a2

2a2 = 7a1

d1 4a2−-a1- d2 = 4a1− a2 = 26

В качестве примера: $-26- -1- a1 = 2,a2 =7,d1 = 2014,d2 = 2014.$

Ответ:

$26$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#63703Максимум баллов за задание: 7

В бесконечной числовой последовательности $x ,x,...,x ,... 1 2 n$ не все члены равны между собой. Для всех $n≥ 2$ выполняется равенство

xn−1+ xn +xn+1 xn =------3-------

Найдите отношение

x − x x20110026−-1x050063-

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что это за странное равенство в условии - перепишем его в удобном виде, пусть x_n выражается только через x_n+1 и x_n-1!

Подсказка 2

Получаем, что x_n = (x_n-1 + x_n+1)/2, а это значит, что каждый член нашей последовательности - среднее арифметическое двух соседних! (Вспоминаем, что это значит!)

Показать ответ и решение

Перепишем равенство в более удобном виде

xn−1+-xn+1 3xn = xn−1+ xn +xn+1 ⇐⇒ xn = 2

Получается, что последовательность ${xn}$ является арифметической прогрессией, ведь каждый член этой последовательности равен среднему арифметическому соседних членов. При этом по условию не все члены равны друг другу, поэтому разность этой прогрессии $d⁄= 0.$ Тогда сразу же получаем

x − x 1006d x2012−-x1006= 503d-= 2 1006 503

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#106715Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a,$ для которых найдутся такие $x,$ $y$ и $z,$ что числа $cosx,$ $cosy$ и $cosz$ попарно различны и образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, при этом числа $cos(x+ a),$ $cos(y +a)$ и $cos(z+ a)$ также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию.

Источники: ММО - 2014, первый день, 11.2(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если числа образуют арифметическую прогрессию, то для них выполняется характеристическое свойство арифметической прогрессии! Как оно преобразуется с помощью известных формул тригонометрии?

Подсказка 2

Верно! Получается, что 2cos(y)cos(a)-2sin(y)sin(a) = cos(x)cos(a) - sin(x)sin(a) + cos(z)cos(a) - sin(z)sin(a). Попробуем теперь сгруппировать слагаемые с sin(a) и cos(a) по отдельности. Пришло время использовать оставшуюся часть условия! Что тогда получается?

Подсказка 3

Конечно! Снова по характеристическому свойству 2cos(y) - cos(x) - cos(z) = 0. Может ли оказаться так, что sin(a) при этом не равен 0?

Подсказка 4

Если sin(a)≠0, то sin(x), sin(y), sin(z) образуют арифметическую прогрессию. Какое тогда можно найти противоречие?

Показать ответ и решение

Числа $cos(x +a),cos(y +a),cos(z+ a)$ образуют арифметическую прогрессию, значит,

2cos(y+ a)= cos(x +a)+ cos(z +a)

2cosy cosa− 2sinysin a=

= cosx cosa− sinxsin a+coszcosa − sinz sina

(2cosy− cosx − cosz)cosa= (2siny− sinx− sinz)sina

По условию числа $cosx,cosy,cosz$ также образуют арифметическую прогрессию, значит, $2cosy = cosx+ cosz$ и поэтому левая часть этого равенства равна нулю. Следовательно, либо $sina =0$ и $a =πk,k∈ ℤ,$ либо $2siny =sin x+sinz,$ т.е. числа $sinx,sin y,sinz$ также образуют арифметическую прогрессию. Но в последнем случае точка с координатами $(cosy,siny)$ является серединой отрезка с концами в точках $(cosx,sinx),(cosz,sinz)$ и при этом все три точки лежат на единичной окружности с центром в начале координат, что невозможно. Для $a= πk,$ где $k∈ ℤ,$ подходящим примером являются числа $x =0,y = π∕2,z = π.$

Ответ:

$a =πk,k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#39771Максимум баллов за задание: 7

Несколько чисел образуют арифметическую прогрессию, причём их сумма равна $63$ , а первый член в полтора раза больше разности прогрессии. Если все члены прогрессии уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы первый член прогрессии был равен разности прогрессии, то сумма всех чисел уменьшится не более, чем на $8$ , но не менее, чем на $7$ . Определите, какой может быть разность этой прогрессии.

Источники: ПВГ-2013, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии присутствуют утверждения о сумме членов прогрессии, поэтому имеет смысл ввести буквенные обозначения. Пусть d - разность прогрессии. Тогда изначально первый член был равен 1.5d, а после стал равен d. Запишем сумму членов этой прогрессии и подумаем, что же можно сделать с ней дальше?

Подсказка 2

Изначально сумма была равна nd(n+2)/2, после стала равна dn(n+1)/2. Первое значение в точности равно 63, второе лежит на отрезке [55, 56]. Как можно преобразовать получившиеся выражения для дальнейшей работы? Видим в обеих дробях dn, видим деление на 2, на что это намекает?)

Подсказка 3

Поделим двойное неравенство (про принадлежность отрезку) на равенство, чтобы избавиться от d! Получаем новую цепочку неравенств, по ней находим n! Подставляем и находим d :)

Показать ответ и решение

Пусть $a (i∈{1,2,...,n}) i$ — прогрессия из условия, у которой $a = 3d, 1 2$ тогда её сумма

3dn nd(n+-2) a1+a2+ ...+ an = 2 + d+ 2d +...+(n− 1)d= 2 = 63

После уменьшения получится новая прогрессия $′ ai,$ у которой $′ a1 = d,$ тогда сумма станет равна

dn(n+ 1) a′1 +...+ a′n = dn+ d+ 2d+...+(n− 1)d =--2--- ∈[55;56]

Поделим второе двойное неравенство на первое равенство:

dn(n-+1)⋅---2--- ∈[55;56] 2 nd(n+ 2) 63 63

55 ≤ n+-1≤ 56 63 n+ 2 63

55n+ 110 ≤63n+ 63≤ 56n +112

{ 8n ≥47 7n ≤49

47 8-≤ n≤ 7

Так как $n ∈ℕ,$ то $n = 6$ или $n =7.$ Подставляя в любое из равенств, получаем, что $21 d = 8-$ или $d= 2.$

Ответ:

${21;2} 8$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#39768Максимум баллов за задание: 7

Найдите первый член арифметической прогрессии

a1,a2,...

если $a13 = 0,$ а произведение чисел

a1 a2 a24 5 ,5 ,...,5

равно их среднему арифметическому.

Источники: Ломоносов-2012, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем понять, что нам даёт условие a_13=0, не просто так же его нам дали. Попробуйте вспомнить про характеристическое свойство арифметической прогрессии. Что тогда хорошее мы сразу поймём про члены прогрессии?

Подсказка 2

Точно, симметричные относительно a_13 члены будут в сумме давать 0. Отсюда мы сразу понимаем, чему на самом деле равно произведение чисел, данных в условии. Теперь поймём, а чем на самом деле является вторая последовательность из степеней 5?

Подсказка 3

Верно, это же нам самом деле геометрическая прогрессия. Обозначим тогда первое число за b, а знаменатель будет какой-то степенью пятёрки. Осталось только подставить это в последнее равенство, данное условием. То есть среднее арифметическое членов будет равно 5^(a_1)=b, откуда b сократится, и остаётся только решить оставшееся уравнение для q. Не забудьте, что q>0!

Показать ответ и решение

Пусть разность данной арифметической прогрессии равна $d.$ Тогда на основе $a =0 13$ получаем

a12+ a14 = a13− d +a13+ d= 0,...,a2+ a24 = a13− 11d+ a13 +11d= 0

Тогда получается

a1 a2 a24 a1+a2+...+a24 a1+0+...+0 5 ⋅5 ⋅...⋅5 = 5 =5

Так как показатели степеней являются арифметической прогрессией, то числа $5ai$ образуют геометрическую прогрессию. Пусть $b= 5a1,q = 5d > 0$ , тогда

∑ -2i4=15ai= b+-bq+-...+-bq23 = b-⋅(1+ q+ q2 +...+q23)= 5a1 = b 24 24 24

23 1+ q+...+q = 24

Функция в левой части монотонно возрастает при $q >0$ , поэтому может принимать значение $24$ не более, чем в одной точке. И легко видеть, что принимается это значение при $q =1.$

В итоге $5d = 1$ , откуда $d= 0$ и $a1 = 0.$

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#85033Максимум баллов за задание: 7

Первый член арифметической прогрессии равен $− 12,$ разность равна $24. 11$ Найдите сумму первых $n$ членов этой прогрессии при условии, что она меньше $− 39.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выразите сумму первых n членов.

Подсказка 2

Можно оценить n и перебрать его возможные значения.

Показать ответ и решение

Сумма первых $n$ членов имеет вид $−24+-2411⋅(n−1)⋅n= 12n(n−12). 2 11$ По условию это выражение меньше $− 39,$ то есть отрицательно, однако число $12n 11$ положительно, значит число $n − 12$ — отрицательно. То есть $n$ — натуральное число из отрезка $[1;12].$ Осталось перебрать все возможные значения и убедиться, что подходит только $n =6.$

Также можно честно решить неравенство $12n(n−12) 11 < −39,$ получится ответ $n ∈(5,5;6,5).$ То есть $n = 6$ и искомая сумма равна $432 − 11 .$

Ответ:

$− 432 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#88926Максимум баллов за задание: 7

Арифметическая прогрессия $a ,a,..., 1 2$ состоящая из натуральных чисел, такова, что при любом $n$ произведение $a ⋅a n n+31$ делится на $2005.$ Докажите, что все члены этой прогрессии делятся на $2005.$

Источники: Всеросс., 2005, РЭ, 10.5(см. math.ru)

Показать доказательство

По условию числа $a ⋅a n n+31$ и $a ⋅a n+31 n+62$ делятся на $2005.$ Значит, их разность $a (a − a )=62da n+31 n+62 n n+31$ кратна $2005.$ Следовательно, $dan+31$ делится на $2005.$ Аналогично на $2005$ делится $dan+32.$ То есть $2005$ делит разность $2 dan+32− dan+31 = d.$

Покажем, что $d$ также делится на $2005.$ Заметим, что $2005= 401⋅5.$ Если $2 d$ делится на $5,$ то и $d$ делится на $5.$ Аналогично с простым числом $401.$

По доказанному выше имеем: $2 an⋅an+31 = (a1+ d(n − 1))(a1+ d(n+ 30))≡ a1 (mod 2005).$ Таким образом, $2 a1$ кратно $2005,$ а значит $a1$ делится на $2005.$ Из делимости $a1$ и $d$ на $2005$ следует требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#105453Максимум баллов за задание: 7

Какое наибольшее число членов может содержать конечная арифметическая прогрессия с разностью $4$ при условии, что квадрат ее первого члена в сумме с остальными членами не превосходит $100?$

Источники: Вступительные в МГУ - 1996 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Задача с арифметической прогрессией, поэтому сразу обозначим её первый член за a₁. Чему тогда равна сумма первых n членов прогрессии?

Подсказка 2

Сумма первых n членов равна (a₁ + 2(n-1))n. Отлично, как тогда записывается условие задачи?

Подсказка 3

По сути, мы решаем квадратное неравенство a₁² + (a₁ + 2(n-1))n - a₁ ≤ 100. Если прогрессия существует, то мы найдем a₁. При каких условиях это произойдёт?

Подсказка 4

Запишем условие на дискриминант квадратного неравенства!

Показать ответ и решение

Пусть $a 1$ — первый член арифметической прогрессии, разность $d= 4,$ $n$ — количество членов прогрессии, $S$ — сумма прогрессии. Тогда выразим $S :$

2a1 +4(n− 1) ----2------⋅n = (a1+ 2(n − 1))⋅n

В соответствии с условием, сумма первого члена в квадрате и остальных членов (без первого) не превосходит 100, то есть:

a21+ (a1+ 2(n − 1))⋅n− a1 ≤100

a21 +a1(n − 1)+ 2n2− 2n − 100≤ 0

Если у данного уравнения существуют решения, то такая прогрессия (с найденным $a1$ ) существует. Решения существуют, если дискриминант данного выражения неотрицательный, то есть:

2 2 (n − 1) − 8n + 8n+ 400≥0

−7n2+ 6n+ 401≥ 0

Из неравенства следует $3+ 16√11- n< ---7----,$ поэтому $n ≤8.$

$n= 8$ уже возможно, например, при $a1 = −3,$ тогда сумма из условия как раз в точности равна $9+ (−3 +14)⋅8+3 =100.$

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#79126Максимум баллов за задание: 7

Числа $− sin x,4sin x⋅ctg2x,cosx$ являются членами арифметической прогрессии с номерами $k,k+ 1,k +2$ соответственно. Найти все значения $x$ и $k,$ если седьмой член этой прогрессии равен $1 5.$

Источники: Вступительные в МФТИ - 1991 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Три подряд идущих члена арифметической прогрессии... Конечно же, сразу хочется переписать это условие в виде уравнения с тремя данными в условии функциями. Далее, естественно будет это уравнение преобразовать к более приятному виду!

Подсказка 2

Если Вы всё правильно сделали, то должно было получиться 2 значения для ctg(x) — 1 и -4/3. Случай ctg(x) = 1 рассматривается просто, а со вторым нужно быть повнимательнее.

Подсказка 3

План рассмотрения случая ctg(x)=-4/3. Нам нужно выписать 2 серии решений (рассматриваем далее каждую по отдельности), для них выразить все нужные тригонометрические функции и подставить всё в условие для 7-го члена арифметической прогрессии. Отсюда и находятся значения x и k!

Показать ответ и решение

Из условия задачи получаем уравнение

cos2x 8 sinx⋅ctg2x= cosx− sinx ⇐⇒ 8sinx⋅ sin2x = cosx − sin x

cos2x 4⋅-cosx-= cosx − sinx ⇐ ⇒ 4cos2x= cos2x− cosx sinx

3cos2x +cosxsinx − 4sin2x =0 ⇐ ⇒ 3ctgx+ ctgx− 4= 0

Из последнего уравнения получаем:

[ ctgx =1 4 ctgx =− 3

Случай 1 $π π ctgx= 1, x= 4 +πn, 2x = 2 + 2πn, n∈ ℤ.$ Видно, что в этом случае прогрессия имеет вид либо $√2 √2- − 2 ; 0; 2 ,$ либо $√2- √2- 2 ; 0; − 2 .$

Пусть для данных значений $x$ существует искомое $k,$ указанное в условии задачи. Тогда получаем соотношения:

{ √-} d∈ ± -2- — разность прогрессии 2

ak+1 = a1+ dk= 0

Отсюда ${ √2 } a1 = −d, k∈ ∓ 2 ⋅k .$ Теперь из условия, что седьмой член прогрессии равен $1 5,$ получаем соотношение

1 a7 = a1+ 6d = 5

Отсюда вытекает противоречие с иррациональностью числа $√- 2.$ . Значит, в случае $1$ не существует искомых значений $x$ и $k.$

Случай 2 $ctgx= − 43.$ Выделим две серии решений этого уравнения

(a) $( ) x= arcctg − 43 +2πn$

(b) $( ) x= π+ arcctg − 43 +2πn, n ∈ℤ$

В случае (a) $sinx= 35, cosx= − 45.$ Тогда $ctg2x= −274,$ и прогрессия имеет вид $− 35; − 710; − 45.$ Разность равна $d =− 110.$ Далее

ak+1 = a1+dk= − 7-, 10

Отсюда $a1 = −dk− 710-= k1−07.$

Теперь из условия, что седьмой член прогрессии равен $1, 5$ получаем соотношение

a7 = a1+ 6d = 1 ⇐⇒ k−-7− -6= 1 =⇒ k= 15 4 10 10 5

Итак, получаем первое решение задачи:

( ( ) ) (x,k)= (x,k)= arcctg − 4 +2πn, 15 3

В случае (a) $sinx= − 3, cosx= 4. 5 5$ Тогда $ctg2x= −-7, 24$ и прогрессия имеет вид $3; 7-; 4. 5 10 5$ Разность равна $d= -1. 10$ Далее

7 ak+1 =a1+ dk= 10,

Отсюда $7 −k+7 a1 = −dk+ 10-=-10-.$

Теперь из условия, что седьмой член прогрессии равен $1 5,$ получаем соотношение

1 − k+7 6 1 a7 =a1+ 6d= 4 ⇐⇒ --10- + 10 = 5 =⇒ k= 11

Итак, получаем второе решение задачи:

( ( 4) ) (x,k)= π +arcctg − 3 + 2πn, 11

Ответ:

$(x,k)∈ {(arcctg(− 4) + 2πn, 15) ,( π+ arcctg(− 4) +2πn, 11)}, n ∈ℤ 3 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#63891Максимум баллов за задание: 7

Последовательность положительных чисел $a 1$ , $a 2$ , $a 3$ , $...$ является арифметической прогрессией с разностью $1$ , в которой выполнено равенство