Комбинаторика, теорвер и теория чисел на Физтехе

Чтобы произведение было минимальным, числа не должны иметь простых делителей, отличных от и Пусть (показатели всех степеней — целые неотрицательные числа). Тогда Рассмотрим отдельно делимость на и

Из того, что делится на , следует, что

Аналогично,

Сложив эти три неравенства и разделив пополам, получаем

Значит,

Покажем, что значение достигается. Для этого возьмём

Из того, что делится на следует, что

Тогда:

Заметим, что может равняться , если, например, Так как минимум каждой из сумм не зависит от другого, то и минимальное значение равно