Тема ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Делимость и делители (множители) → .03 Количество, сумма, произведение делителей

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Разделы подтемы Делимость и делители (множители)

Условия про НОД и НОК

Разложение на множители, основная теорема арифметики

Количество, сумма, произведение делителей

Степени вхождения простых

Оценки для доказательства делимости

Алгоритм Евклида

Теоретико-числовые свойства биномиальных коэффициентов

Теоретико-числовые свойства чисел Фибоначчи

Целые гауссовы числа

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#80973Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любого натурального $n$ выполнено неравенство

σ(n)- √ - τ(n) ≥ n

Показать доказательство

Пусть $n$ — не квадрат, тогда все его делители разбиваются на пары $(d;n). d$ Пусть всего таких пар $x,$ тогда $σ(n)≥2x√n,$ поскольку $n √ - d+ d ≥2 n.$ Также $τ(n)=2x,$ но тогда $σ(n) √ - τ(n) ≥ n,$ что и требовалось.

Если же $n$ — квадрат, то пусть все делители $n,$ не считая $√- n,$ образуют $x$ пар, тогда $√- σ(n)≥(2x+ 1) n$ и $τ(n)= 2x+1,$ то есть требуемое также очевидно.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#88338Максимум баллов за задание: 7

Существуют ли такие натуральные числа $a,b,c,$ что $a$ и $b$ имеют ровно 1000 общих делителей, $a$ и $c$ имеют ровно $720$ общих делителей, а $a,b,c$ имеют ровно $350$ общих делителей?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните формулу количества делителей у числа через его разложение на простые множители. Напишите их для a, b и c. Возможно там что-то не так?

Подсказка 2

Вы записали формулы для общих делителей через степени, приравняли их к 1000, 720 и 350. Посмотрите на делители этих чисел. Не возникает ли там противоречие?

Показать ответ и решение

Запишем разложение чисел $a,b$ и $c$ на простые множители: $a= pα1⋅...⋅pαk,b =pβ1⋅...⋅pβk,c= pγ1⋅...⋅pγk, 1 k 1 k 1 k$ показатели целые неотрицательные.

Количество общих делителей двух чисел равно количеству делителей их наименьшего общего делителя, тогда количество общих делителей $a$ и $b$ равно:

(min{α1;β1} +1)⋅...⋅(min{αk;βk}+1)= 1000

Аналогично выражается количество общих делителей чисел $a$ и $c,$ чисел $a,b$ и $c:$

(min{α1;γ1}+ 1)⋅...⋅(min{αk;γk}+ 1)=720

(min{α1;β1;γ1}+ 1)⋅...⋅(min{αk;βk;γ1} +1)= 350

Заметим, что $350$ кратно $7,$ значит некоторая скобка $(min{αi;βi;γi}+ 1)$ кратна $7.$ Если $min{αi;βi;γi}=αi,$ то скобки $(min{αi;βi}+1)$ и $(min{αi;γi}+ 1)$ также делятся на $7,$ однако $720$ и $1000$ на $7$ не делятся, противоречие. Если $min{αi;βi;γi}= βi,$ то скобка $(min{αi;βi} +1)$ делится на $7,$ что противоречит условию. Аналогично случай $min{αi;βi;γi} =γi$ ведёт к противоречию.

Ответ:

нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#88339Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что количество натуральных делителей числа $n,$ представимых в виде $4k+ 3,$ не превосходит количества делителей, представимых в виде $4k +1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте поймëм, что чётные делители n нас не интересуют, то есть можно считать, что n нечëтное число.

Подсказка 2

Поскольку речь в задаче идёт о числах 4k + 1 и 4k + 3, то стоит рассмотреть отдельно n первого и второго видов. С каким-то из них задача решается довольно просто.

Подсказка 3

Вероятно, вы уже решили задачу для n вида 4k + 3. Для n вида 4k + 1 на самом деле ничего трудного нет. Попробуйте доказать по индукции. Сначала рассмотрите тривиальный случай, когда n - степень числа, и потом аккуратно докажите переход.

Показать доказательство

Если в разложение $n$ входит двойка в некоторой степени, отбросим её, так как мы работаем только с нечётными делителями. Если $n ≡3 (mod 4),$ то каждому делителю $d$ вида $4k+ 3$ поставим в соответствие число $n d,$ нетрудно понять, что оно имеет вид $4k+ 1.$ Тогда в этом случае чисел вида $4k +1$ действительно не меньше, чем чисел $4k +3.$

Теперь пусть $n≡ 1 (mod 4).$ Докажем задачу индукцией по количеству простых чисел, входящих в $n.$

База, когда в $n$ не входят простые числа, т.е. $n= 1,$ очевидна. Пусть теперь $n$ — степень простого числа. Если это простое вида $4k+ 1,$ то всё тривиально. Если же оно вида $4k+ 3,$ то $n$ является квадратом, в противном случае $n$ будет иметь вид $4k+ 3.$ Тогда делители $n$ можно разбить на пары $2 3 (1,p),(p ,p),....$

Переход: если $n$ включает в себя простое число вида $4k+ 1$ в некоторой степени, выкинем его. В оставшемся числе делителей вида $4k+ 3$ не меньше делителей $4k +1.$ Возврат простого числа увеличивает количество и тех, и тех делителей в одинаковое количеств раз, а значит утверждение по-прежнему верно.

Пусть теперь в $n$ входят только простые числа вида $4k+ 3.$ Если хотя бы одно простое число $p$ входит в чётной степени $2t,$ выкинем его и для каждого оставшегося делителя $d$ рассмотрим делители $pd,p2d,...,p2td.$ Среди них равное количество делителей вида $4k+ 1$ и $4k+ 3,$ поэтому условие верно.

Если же все простые входят в нечётной степени, то выкинем из $n$ два простых числа $p2a+1$ и $q2b+1.$ Для оставшегося числа и числа $p2a+1q2b+1$ работает предположение. Пусть у оставшегося числа $x$ делителей вида $4k+ 1$ и $y$ делителей вида $4k+ 3$ ( $x ≥y$ ). У числа $p2a+1q2b+1$ — $x1$ и $y1.$ Тогда при перемножении появилось $xx1+ yy1$ делителей вида $4k+ 1$ и $xy1+ x1y$ делителей $4k+ 3.$ По транснеравенству очевидно, что $xx1 +yy1 ≥ xy1 +x1y,$ значит в этом случае переход также доказан.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#88340Максимум баллов за задание: 7

(a) Докажите, что у чисел вида $4 n + 1$ бесконечно много простых делителей.

(b) Докажите, что найдется бесконечно много натуральных $n,$ для которых наибольший простой делитель числа $n4+1$ больше $2n.$

Показать ответ и решение

(a) Предположим противное, пусть $4 n +1$ делится на конечное число простых чисел $p1,p2,...,pk.$ Заметим, что при $n= p1p2...pk$ число $4 n + 1$ не делится ни на одно из этих простых чисел и оно явно больше $1,$ значит оно либо делится на простое число, которого нет в наборе, либо является им, пришли к противоречию.

(b) Пусть у числа $n40 +1$ наибольший простой делитель равен $p.$ Можно считать, что $n0$ меньше $p.$ Если оказалось, что $p2 < n0,$ то вместо $n$ подставим $p− n0.$ Причём $(p− n0)4 +1$ по-прежнему делится на $p$ и при этом $p >2(p− n0).$ Тогда наибольший простой делитель числа $(p− n0)4+ 1$ точно подходит к условию. Таким образом для каждого $n,$ при котором условие не выполняется, можно подобрать $n,$ для которого оно справедливо.

Теперь предположим, что существует лишь конечное количество значений $n,$ для которых условие верно: $n1 <n2 <...<nk.$ Продолжим подставлять $n =nk +1,nk+ 2,...$ до тех пор, пока не получим выражение $n4+ 1$ с наибольшим простым делителем $q,$ на который не делится ни одно выражение $n4i + 1.$ Рано или поздно мы его получим, это следует из предыдущего пункта. Тогда либо полученное $n,$ либо $q− n$ на самом деле удовлетворяет условию, пришли к противоречию, а значит получили требуемое.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#97948Максимум баллов за задание: 7

Сумма трёх различных натуральных делителей нечётного натурального числа $n$ равна $10327.$ Какое наименьшее значение может принимать $n?$

Источники: ВСОШ - 2022, школьный этап, 10 класс

Показать ответ и решение

Наибольший делитель $n$ равен $n.$ Так как $n$ нечетно, то средний по величине не превосходит $n, 3$ а, поскольку делители различны, третий по величине не превосходит $n 5.$ Тогда имеем

n n 23n 10327= d1 +d2+ d3 ≤ n+ 3 + 5 = 15

Таким образом, $n≥ 6735.$ Заметим, что $6375$ подходит, так как оно нечетно, делится на $3$ и $5,$ и $6375 6375 6375+ -3- + -5-= 10327.$

Ответ: 6735

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#33910Максимум баллов за задание: 7

Натуральное число $n$ таково, что числа $4n$ и $6n$ имеют поровну натуральных делителей. Могут ли числа $12n$ и $18n$ тоже иметь поровну натуральных делителей?

Показать ответ и решение

Первое решение. Пусть число $4n$ имеет в разложении на простые множители число $3k$ , тогда $6n$ имеет $3k+1$ . Пусть общее число делителей равно $M$ . Тогда делители числа $4n$ разбиваются на $k+ 1$ одинаковых групп по степени вхождения $3$ , а делители числа $12n$ будут разбиваться на $k+ 2$ таких же групп. Т.е. число $12n$ содержит $k+2 M ⋅k+1$ натуральных делителей. Аналогично, число $18n$ будет содержать $k+3 M ⋅k+2$ натуральных делителей. Эти количества не равны.

Второе решение. Пусть в разложении числа $2n$ по основной теореме арифметики двойка содержится в степени $k$ , а тройка в степени $m$ . Если у числа $2n$ натуральных делителей $D$ штук, то по формуле количества натуральных делителей:

у числа $4n$ их $k+2 D ⋅k+1$ ,

у числа $6n$ их $m+2 D ⋅m+1-$ ,

у числа $12n$ их $k+2 m+2 D ⋅k+1 ⋅m+1$ ,

у числа $18n$ их $D ⋅ mm++32$ .

По условию $kk++21 = mm++21$ , поэтому $kk++21 ⋅ mm++21-= (mm++21)2$ , что не равно $mm++32-$ , потому что уравнение $(x+ 1)3 =x2(x+2) ⇐⇒ x2+ 3x +1 =0$ не имеет решений в натуральных числах.

Ответ:

нет

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#41754Максимум баллов за задание: 7

Сумма всех различных натуральных делителей некоторого натурального числа на 6 больше, чем само это число. Найдите это число. Если ответов несколько, укажите их все через пробел в порядке возрастания.

Источники: Муницип - 2021, 10 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте посмотреть на разные числа и их сумму делителей. Если брать не простое число большее 7, то чаще всего сумма делителей числа минус само число будет сильно больше 5. То есть, нам нужно искать эти числа именно по тому признаку, что сумма их делителей достаточно маленькая, но это не простые числа, так как сумма делителей простого чисел отличается всего на 1 от него самого. Подумайте, на что тогда может делиться наше число.

Подсказка 2

Давайте рассуждать. Пусть оно делиться, к примеру на 7 и не равно 7. Тогда сумма делителей числа n - это 1, n, 7, n/7… и еще какие-то, которые мы не знаем. Но сумма делителей в данном случае хотя бы n + 1 + 7, то есть, больше чем n + 6(как требует задача). Значит, на 7 оно не может делиться. А на что-то большее может? Тоже нет. Значит, осталось рассмотреть случаи когда n делиться только на какие-то числа от 2 до 6. При этом, как мы поняли, сумма делителей, которые не равны 1 и n, равна 5. Какие тогда числа могут быть делителями n?

Подсказка 3

Верно, числа 2, 3, 5. Если 5 , то больше делителей отличных от 1 и n нет, а значит - это число 25. А если на 2 делиться, то другой делитель это как раз 3, и поскольку тогда n делиться на 6, но это не может быть его делителем, отличным от 1 и n, значит n = 6. Победа.

Показать ответ и решение

Заметим, что один из делителей числа $n$ — самое число $n$ . Поэтому условие на самом деле означает, что сумма остальных делителей $n$ равна 6. Среди делителей точно есть 1, значит, сумма остальных делителей равна 5. Три делителя не могут давать сумму 5. Два делителя, больших 1, дают в сумме 5, только когда это 2 и 3, а один делитель равен 5, только если это само число 5.

В первом случае все делители числа — это 1, 2, 3 и само число. Так как у числа, делящегося на 2 и 3, точно есть делитель 6, то $n =6$ .

Во втором случае все делители числа — это 1, 5 и само число. Значит, $n= 5k$ . Но $k ⁄=1$ , а при $k⁄= 5$ у числа $n$ был бы ещё делитель $k$ , отличный от выписанных. Значит, $k = 5$ и $n = 25$ .

Ответ: 6 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#76062Максимум баллов за задание: 7

На доске было написано натуральное число $n.$ Раз в минуту его заменяют на количество его делителей. При каких $n$ на доске в какой-то момент появится точный квадрат?

Показать ответ и решение

$n =1$ — точный квадрат, такое значение пойдет в ответ.

Покажем, что для простых $n$ на доске не появится точный квадрат. Действительно, если $n$ — простое, то у него всего два делителя, то есть на доске через минуту заменят $n$ на $2,$ а двойку будут всё время заменять саму на себя. Так как ни $n,$ ни $2$ не точные квадраты, то простые числа не подходят.

Далее докажем, что для составных $n$ на доске появится точный квадрат. Пусть $n$ — наименьшее составное число, для которого это не так. Разложим его на простые множители и получим $α1 α2 αm n= p1 ⋅p2 ⋅...⋅pm .$ Так как $n$ составное, либо $m ≥2,$ либо $m = 1$ и $α1 ≥2.$

Тогда у $n$ будет ровно $(α1 +1)⋅(α2+1)...(αm +1)$ делителей. Если все числа $α1,...,αm$ — четные, тогда $n$ будет точным квадратом, так как $α1 αm- n =(p12⋅...⋅pm2 )2$ и такое $n$ подойдет.

Иначе число делителей $(α1+ 1)⋅(α2+ 1)...(αm + 1)$ — четное число, при этом оно не равно $2,$ так как либо $m ≥2,$ либо $α1+ 1≥ 2+ 1= 3.$ Значит, $(α1 +1)⋅(α2 +1)...(αm+ 1)$ — составное число.

Также $(α1+1)⋅(α2+1)...(αm +1)< n$ для $n> 2,$ так как количество делителей числа $n$ не больше, чем количество чисел от $1$ до $n.$ И при этом все числа от $1$ до $n$ не могут быть делителями числа $n> 2,$ иначе $2k ≤ n< 2k+1$ для некоторого натурального $k> 1,$ тогда либо $n$ не делится на $2k,$ либо $n= 2k$ и тогда оно не делится на $3.$

В итоге, количество делителей числа $n$ — какое-то составное число меньшее $n,$ но $n$ — наименьшее составное число не дающее точного квадрата. После появления на доске $(α1 +1)⋅(α2 +1)...(αm+ 1)< n$ через некоторое время на доске будет точный квадрат. Противоречие. Значит, не существует составных чисел, от которых на доске не появляется точный квадрат.

Ответ:

Для составных $n$ и $n= 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#80978Максимум баллов за задание: 7

Обозначим через $d(k)$ количество натуральных делителей натурального числа $k.$ Докажите, что для каждого натурального $n,$

d(1)+d(3)+d(5)+...+ d(2n − 1)< d(2)+ d(4)+ d(6)+ ...+d(2n)

Показать доказательство

Рассмотрим произвольное нечётное натуральное число $t$ от $1$ до $2n.$ Оно является делителем чисел $t,2t,3t,....$ Число $t$ как делитель $t$ посчитано в левой части неравенства, как делитель $2t$ — в правой части, как делитель $3t$ — в левой части, и так далее, то есть то, в какой части посчитан делитель $t,$ чередуется, начиная с левой части. Нас интересует $t$ как делитель чисел, не превосходящих $2n.$ Поэтому цепочка в какой-то момент оборвётся, и в итоге $t$ будет посчитано слева максимум на $1$ раз больше, чем справа.

Таким образом, за счёт нечётных делителей левая часть больше правой максимум на $n.$ Но мы ещё никак не учли чётные делители, коих хотя бы $n:2,4,...,2n.$ Все они посчитаны как делители только в правой части. В итоге правая часть не меньше левой. Заметим, что при $n = 1$ неравенство верно, а при $n ≥2,$ в левой части будет ещё хотя бы один раз посчитан делитель $2$ у числа $4,$ поэтому правая часть строго больше левой

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#88271Максимум баллов за задание: 7

Сколько существует делителей числа $20212021$ , кубический корень из которых является натуральным числом?

Источники: Ломоносов - 2021, 9 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

2021 — большое число и рассуждать про него в целом неудобно, надо как-то разбить его на множители, как?

Подсказка 2:

Разложим его на простые! 2021 = 43*47. Какой тогда вывод можно сделать про делители числа 43²⁰²¹47²⁰²¹?...

Подсказка 3:

Именно! Они все имеют вид 43^α * 47^β, где α, β — натуральные и α, β ∈ [0; 2021]. Какие из них будут искомыми делителями?

Подсказка 4:

Те, что представимы в виде 43^{3n}*47^{3m}, где n, m — натуральные и n, m ∈ [0, 673]. Сколько тогда есть способов выбрать такой делитель? Осталось посчитать количество делителей. Успехов!

Показать ответ и решение

Так как $2021= 43⋅47$ , все делители числа $20212021$ имеют вид $43α⋅47β$ , где $α,β ∈[0;2021]$ . При этом точными кубами являются числа вида $3n 3k 43 ⋅47$ , где $3n,3k∈ [0;2021]$ , то есть $n,k ∈[0;673]$ . Таких чисел $2 674 = 454276$ .

Ответ:

$6742 = 454276$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#91460Максимум баллов за задание: 7

Найдите разложение на простые множители наименьшего натурального числа, имеющего ровно $2020$ различных натуральных делителей.

Источники: Ломоносов - 2020

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно разложение на простые множители натурального числа и мы знаем его количество делителей. Может, есть подходящая формула, которая свяжет условия задачи?

Подсказка 2

Получили равенство, где с одной стороны стоит 2020, а значит, обе части делятся на 101, и мы хотим найти наименьшее натуральное подходящее число. Что это может значить?

Подсказка 3

С 101 разобрались, остались случаи с 2²*5. Аккуратно рассматриваем случаи и находим наименьшее число!

Показать ответ и решение

Разложим 2020 на простые множители

2 2020= 2 ⋅5 ⋅101

Значит, если мы ищем число

n= pα1...pαk, 1 k

то

(α1+ 1)...(αk+ 1)= 22⋅5⋅101

Заметим, что у числа $2100⋅34⋅53$ ровно 2020 делителей. Рассмотрим, какие еще числа подходят.

Какое-то $. αi+1 ..101$ , значит, либо $αi ≥201$ и $n≥ 2201 > 22⋅5⋅101$ (этот случай нам не интересен), либо $αi = 100$ . Далее либо $pi ≥ 3$ и $n≥ 3100 > 22⋅5⋅101$ (этот случай нам не интересен), либо $pi = 2$ .

Без ограничения общности $i= 1$ . Тогда

(α2+ 1)...(αk +1)= 22⋅5

Это выражение можно разложить как $22⋅5 =4 ⋅5 =2 ⋅10= 20$ . Значит, либо какое-то $αj +1 ≥10$ и $n≥ 2100⋅39 > 2100⋅34⋅53$ (этот случай нам не интересен), либо есть $αj = 4$ .

Тут остаются варианты, что $(α1+ 1)...(αk +1)= 22⋅5⋅101$ или $4⋅5⋅101$ . Тогда минимальное $n$ либо $2100 ⋅34⋅53$ , либо $2100 ⋅34⋅5⋅7.$

Ответ:

$2100 ⋅34⋅5⋅7$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#126027Максимум баллов за задание: 7

Натуральное число $N$ имеет 30 делителей, а число $5N$ имеет 40 делителей. Приведите пример такого числа.

Источники: Бельчонок - 2020, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какой вид может иметь число N?

Подсказка 2

Пусть N = 5ᵏ ⋅ m, где m не делится на 5.

Подсказка 3

Обозначим d(a) как количество делителей a. Вычислите d(N) и d(5N).

Подсказка 4

d(N) = (k + 1)d(m), d(5N) = (k + 2)d(m). Запишите соотношение и подберите m.

Показать ответ и решение

Пусть $N$ имеет вид $5k⋅m,$ где $m$ не делится на $5.$ Обозначим как $d(a)$ число делителей $a.$ Тогда

d(N)= (k+1)d(m ), d(5N) =(k+ 2)d(m)

Отсюда получаем, что

k+-2 4 k+ 1 = 3

k= 2

Осталось подобрать число $m,$ имеющее $10$ делителей. Подойдет, например, число $m = 3⋅24.$

Ответ:

$52⋅3⋅24$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#88129Максимум баллов за задание: 7

Найдите натуральное число, которое имеет десять натуральных делителей (включая единицу и само число), два из которых простые, а сумма всех его натуральных делителей равна 186.

Показать ответ и решение

Пусть искомое число $N$ имеет простые делители $p1$ и $p2$ . Тогда $N$ представимо в виде $α1α2 p1 p2$ при некоторых натуральных $α1$ и $α2$ . Без ограничений общности можем считать, что $α1 ≤ α2$ .

Количество натуральных делителей числа $N$ равно

τ(N )= τ(pα11pα22)= (1 +α1)(1+ α2)= 10.

При этом значения каждого из множителей не меньше 2, следовательно, $α1 +1 = 2,α2 +1 = 5$ , то есть $α1 = 1,α2 = 4$ .

Сумма всех натуральных делителей числа $N$ равна

σ(N)= σ(p1p4) =(1+ p1)(1+ p2+ ...+ p4)= 186= 2⋅3⋅31. 2 2

Если $p2 ≥3$ , то

(1+ p2+ ...+ p4)≥ 136, 2

что невозможно, т.к. $1 +p1 ≥ 3$ .

Таким образом, $p2 = 2$ , следовательно,

(1 + p2 +...+ p42)= 31,

то есть $1+ p1 = 6$ и $p1 =5$ . Наконец, $N =5 ⋅24 = 80.$

Ответ: 80

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#73687Максимум баллов за задание: 7

Найдите все четные натуральные числа $n,$ у которых число делителей (включая $1$ и само $n$ ) равно $n. 2$ (Например, число $12$ имеет $6$ делителей: $1,2,3,4,6,12.$ )

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте оценить сверху количество делителей числа n.

Подсказка 2

Пусть pq = n и p ≤ q. Какую верхнюю оценку можно сделать на p? Как из нее вывести оценку на количество делителей?

Подсказка 3

Правильно! p ≤ √n, а, значит, делителей p ≤ 2√n. Осталось только решить неравенство n/2 ≤ 2√n и перебрать случаи.

Показать ответ и решение

Все делители числа $n$ разбиваются на пары $(d,n),d ≤ n . d d$ Заметим, что $d≤ √n,$ поскольку $n = d⋅ n≥ d2. d$ Но тогда понятно, что количество таких пар не превосходит $√ - [ n],$ а количество делителей $n$ — не больше $√- 2[n].$ В данном случае нам хватит оценки $√- 2 n.$

По условию количество делителей равно $n 2.$ Следовательно, получим неравенство $n √ - 2 ≤ 2 n.$ Решая его в натуральных числах, получаем, что $n ≤16.$ Перебирая чётные $n,$ находим подходящие $n= 8$ и $n= 12.$

Ответ:

$8,12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#82710Максимум баллов за задание: 7

Найдите натуральное число, делящееся на 225 и имеющее 15 различных делителей.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишите число в виде разложения на множители, вспомните про формулу количества делителей числа.

Подсказка 2

Число делителей равно 15 с одной стороны, а с другой (3+k)(3+m)s, надо оценить правую часть.

Подсказка 3

3+k ≥ 3, 3+m ≥ 3, какие значения могут принимать k,m,s?

Показать ответ и решение

Заметим, что $225 =32⋅52.$ Пусть $n$ — число, которое мы ищем. Тогда $n =32+k⋅52+t⋅s,$ где $k$ и $t$ — неотрицательные целые числа, а $s$ — натуральное, не делящееся на $3$ и $5$ .

Пусть $r$ — число делителей $s,$ Заметим, что число $n$ имеет $(2+ k+ 1)(2+ t+1)r$ делителей. Так как всего делителей у нас $15,$ то получаем уравнение

(3+ k)(3+ t)r= 15

Так как $3+ k≥ 3$ и $3+t≥ 3,$ а также $15 =3⋅5,$ то либо $k= 0$ и $t= 2,$ либо $k= 2$ и $t =0.$ Таким образом, $n = 32⋅54$ или $4 2 n =3 ⋅5 .$

Ответ:

$n =32⋅54$ или $n= 34⋅52.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#88132Максимум баллов за задание: 7

Найдите все чётные натуральные числа $n$ , у которых число делителей (включая 1 и само $n$ ) равно $n 2$ . (Например, число 12 имеет 6 делителей: $1,2,3,4,6,12$ .)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, а что мы вообще знаем о количестве делителей? Быть может, можно его как-то оценить, чтобы ограничить n?

Подсказка 2

Заметим, что делители делятся на пары, в каждой из которых хотя бы одно числа не превосходит sqrt(n). Как тогда оценить количество делителей сверху?

Подсказка 3

Количество делителей н превосходит 2*sqrt(n)! Что тогда можно сказать про n?

Подсказка 4

n не превосходит 16! Осталось лишь понять, какой вид имеет число при разложении на простые и понять, какие степени простых могут в него входить ;) А чему равно количество делителей?

Подсказка 5

Количество делителей равно произведению степеней, в которых простые числа входят в n, увеличенных на единицу!

Показать ответ и решение

Если $d$ — делитель числа $n$ , то $n d$ — тоже делитель числа $n$ . Хотя бы одно из этих двух чисел не превосходит $√n.$ Поэтому число делителей не превосходит $√- 2 n.$

По условию число делителей равно $n 2.$ Следовательно, $n √- 2 ≤2 n =⇒ n ≤16.$

Разложим число $n$ на возможные простые множители:

a b c d n= 2 ⋅3 ⋅5 ⋅7

Из условия на количество делителей

(a+ 1)(b+1)(c+ 1)(d+ 1)= n= 2a−1⋅3b⋅5c⋅7d 2

следует, что при $a +1≥ 5$ правая часть строго больше левой:

a−1 b c d 2 >a +1, 3 ≥ b+1, 5 ≥ c+ 1, 7 ≥d+ 1.

Поэтому и каждая из скобок в левой части меньше 5, так что $5c = 1,7d =1,$ остаётся перебрать три случая в равенстве

a−1 b (a+ 1)(b+1)= 2 ⋅3.

$a =1$ быть не может, так как тогда левая часть чётна, а правая часть нечётна.
при $a= 2$ единственным решением $3(b+ 1)= 2⋅3b$ является $b= 1 =⇒ n =12.$
при $a= 3$ единственным решением $4(b+ 1)= 4⋅3b$ является $b= 0 =⇒ n =8.$

Ответ: 8 и 12

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#88134Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее натуральное число, имеющее ровно 42 натуральных делителя (включая единицу и само число).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, а что мы вообще знаем о количестве делителей?

Подсказка 2

Количество делителей равно произведению степеней, в которых простые числа входят в число (пусть M), увеличенных на единицу! Тогда рассмотрим разложение M и составим уравнение по условию!

Подсказка 3

Пусть простые делители входят в M в степенях k₁, k₂, …, kₙ. Тогда (k₁+1)(k₂+1)…(kₙ+1) = 42. Остается лишь разобрать случаи ;)

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — искомое натуральное число, разложим на простые:

k1 k2 km n =p1 ⋅p2 ⋅...⋅pm

Любой натуральный делитель этого числа имеет вид

l1 l2 lm d= p1 ⋅p2 ⋅...⋅pm

где $li ∈{0,1,...,ki},i= 1,...,m$ . Число делителей числа $n$ равно

(k1+1)(k2+1)⋅⋅⋅(km+ 1)= 42.

Разложим число 42 на неединичные сомножители всеми возможными способами и выберем из них наименьшее $n.$ Поскольку $42= 2⋅3⋅7$ , то имеем пять случаев:

1) $42 =42$ , наименьшее число $n =241 > 3000$ ;

2) $42 =21⋅2$ , наименьшее число $n =220⋅31 >3000$ ;

3) $42 =14⋅3$ , наименьшее число $n =213⋅32 >3000$ ;

4) $42 =7⋅6$ , наименьшее число $n =26⋅35 = 64⋅243 >3000$ ;

5) $42 =7⋅3⋅2$ , наименьшее число $n =26⋅32⋅51 = 2880$ .

Ответ: 2880

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#88136Максимум баллов за задание: 7

Найти натуральное число $N$ , содержащее простыми множителями только 2, 5 и 7, зная, что:

1) $5N$ имеет на 8 делителей больше, чем $N$ ;

2) $7N$ имеет на 12 делителей больше, чем $N$ ;

3) $8N$ имеет на 18 делителей больше, чем $N$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неважно, что даны простые делители именно 2, 5 и 7, важно только, что их ровно три различных. Вспомним волшебную формулу из веба, которая определяет число делителей, зная степени вхождения всех простых!

Подсказка 2

После применения формулы к трем условиям нашей задачи получим три уравнения с тремя неизвестными. После упрощения система приобретает вид: uv=a, vw=b, uw=c. Такие системы встречаются довольно часто, и решаем мы их, перемножив все три выражения, а далее, подставляя полученное значение uvw в изначальные уравнения, находим оттуда u, v, w.

Показать ответ и решение

Число $N$ имеет вид: $N =2x⋅5y⋅7z$ . Число его делителей по известной формуле равно $(x+ 1)(y+ 1)(z+ 1)$ . Число $5N = 2x ⋅5y+1⋅7z$ и число его делителей равно: $(x+ 1)(y+2)(z+1)$ . Согласно условию:

(x+ 1)(y+ 2)(z+ 1)− (x+ 1)(y+1)(z +1)= 8

или $(x+ 1)(z+ 1)=8$ . Число $7N = 2x⋅5y⋅7z+1$ . Аналогично предыдущему, получим: $(x+ 1)(y+1)= 12$ . Наконец, $8N = 2x+3⋅5y⋅7z$ , откуда найдем: $3(y+ 1)(z+ 1)=18$ или: $(y+ 1)(z+ 1)=6$ .

Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными, которая обычно решается так. Перемножив три уравнения системы, найдем

2 2 2 (x+ 1) (y +1) (z+ 1) =8⋅12⋅6

откуда

(x+ 1)(y+1)(z +1)= 24.

Деля это уравнение последовательно на первое, второе и третье уравнение системы, получим: $y+ 1= 3;z +1 =2;x+ 1= 4$ . Отсюда: $x =3;y = 2;z =1$ . Следовательно,

N = 23⋅52⋅7= 1400.

Ответ: 1400

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#61644Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные числа $n$ от $1$ до $100$ включительно такие, что если перемножить все делители числа $n$ (включая $1$ и $n$ ), получим число $3 n .$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хочется как-то в общем виде записать, чему равно произведение всех делителей. Мы знаем, что в большинстве случаев делители можно разбить на пары (потому что если у числа n есть делитель k, то есть также делитель n/k), но у некоторых чисел есть лишь нечетное количество делителей. Что это за числа?

Подсказка 2

Если число является точным квадратом, то оно имеет нечётное число делителей! Подойдёт ли нам какой-то из точных квадратов?

Подсказка 3

Пусть у точного квадрата n кроме делителя √n есть еще s пар делителей. Заметим, что произведение делителей в каждой паре равно n, тогда произведение всех делителей равно n^(s+1/2) = n³, а это верно только при n = 1.

Подсказка 4

Теперь рассматриваем числа, имеющие s пар делителей, чему равно произведение делителей в этом случае? Можем ли мы понять, сколько делителей должно быть у нашего числа?

Подсказка 5

Так как n^s = n³, у нашего числа есть всего 6 делителей! Давайте попробуем понять, сколько простых чисел может быть делителями числа n, может ли у n быть больше двух простых делителей?

Подсказка 6

Нет, у n есть максимум два простых делителя! Ведь если бы n делилось на р₁, р₂ и р₃, то у него были бы делители р₁р₂, р₁р₃ и р₂р₃, а так как делителей всего шесть, среди этих чисел есть число 1, что невозможно, ведь 1 не является простым числом. Таким образом, мы можем разложить n на простые множители и перебрать все возможные варианты.

Подсказка 7

Получаем, что n = p⁵ или n = р₁р₂². В первом случае легко угадываем пятую степень некоторого числа, не превосходящую 100, а во втором вариантов будет гораздо больше! Так как р₁ ≥ 2, р₂² ≤ 100/2 = 50, отсюда получаем возможные варианты р₂, перебираем их и находим подходящие числа!

Показать ответ и решение

Ясно, что $n= 1$ подходит, ведь произведение из условия будет равно $1 =n3.$ Рассмотрим теперь $n> 1.$ Обозначим произведение его делителей буквой $P.$

Если число $n$ не является точным квадратом, то его делители можно разбить на $s$ пар с произведением $n$ в каждой (если число $n$ делится нацело на $√ - k < n$ , то оно делится нацело и на $n n-- √- m = k > √n = n$ ). Например, $18 =1 ⋅18= 2⋅9= 3⋅6$ . Так что делители бьются на пары с произведением $n$ в каждой, откуда $s P =n .$

По условию $3 P =n$ , тогда $s= 3.$ Число должно иметь $6$ делителей.

Если число является точным квадратом, то есть ещё делитель $√- n,$ поэтому $s+1 3 P = n 2 = n$ — противоречие с тем, что $s$ — целое число пар.

Для $k k n =p11⋅...ptt ,ki ∈ℕ$ количество различных делителей равно $t (1+ k1)...(1+ kt)≥ 2$ (берём каждое простое в каждой степени, считая нулевую). Если число $n$ должно иметь ровно $6$ делителей, то $6≥ 2t =⇒ t= 1 или t =2$ .

При $t= 1$ получаем $n= p5$ . Среди чисел от $1$ до $100$ подходит только $n =32.$

При $t= 2$ получаем $n= p1p22.$ Из условия на промежуток

$p22 ≤ 1020= 50 ⇐⇒ p2 ≤7 ⇐ ⇒ p2 ∈ {2,3,5,7}$ .

Добавим также условие $p22 ≥ 4 =⇒ p1 ≤ 25$ , затем остаётся просто перебрать по очереди все $p2$ , а затем выбрать подходящие простые $p1 ≤ 25$ , получим числа

22⋅3 =12,22 ⋅5 =20,22 ⋅7 =28,22⋅11 =44,22 ⋅13= 52,22⋅17= 68,22⋅19= 76,22⋅23= 92

32⋅2= 18,32⋅5= 45,32⋅7= 63,32⋅11= 99

52⋅2=50,52⋅3= 75

72⋅2= 98

Ответ:

$1,12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#75127Максимум баллов за задание: 7

Пусть $d ,d,...,d 1 2 n$ — это все натуральные делители числа $10!= 1⋅2⋅...⋅10.$ Найдите сумму

----1--- ---1---- ---1---- d1+ √10! + d2+ √10! +...+ dn+ √10!

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Делителей явно немало, в лоб не вычислишь. Каких-то известных неравенств тут тоже не вырисовывается, что же делать? Может быть поискать удачное разбиение на пары?

Подсказка 2

Вспомним одно интересное свойство: если d — делитель некоторого числа m, то и число (m/d) тоже должно быть в списке делителей. Как нам это может помочь?

Подсказка 3

Попробуйте выразить искомую сумму двумя способами, пользуясь свойством ниже. Если сложить полученные выражения, то можно получить очень красивые сокращения, но возникает иная задача: нам не хватает n.

Подсказка 4

Помните ли вы, как искать количество делителей числа? Если вдруг вы не знаете формулу, то её можно вывести: запишите число в виде канонического разложения и попробуйте порассуждать, сколько существует способов составить делитель? Осталось лишь аккуратно провести вычисления и задача решена!

Показать ответ и решение

Обозначим указанную сумму за $S.$ Тогда, так как для каждого $d j$ число $10!∕d j$ — также делитель,

∑n 1 1 n∑ dj S = 10!∕d-+-√10! = √10! √10!+-d- j=1 j j=1 j

Следовательно, складывая исходное и последнее выражение для $S,$ умноженные на $√10!,$ получаем

√ --- √--- ∑n ( √10!- dj ) 10!S+ 10!S = dj-+√10! + dj +-√10! = n j=1

При этом $n$ — количество делителей числа $10!$ — вычисляется по формуле

$n =(8+ 1)(4+ 1)(2+ 1)(1+1)= 270$

( $10!= 28⋅34 ⋅52⋅71,$ каждый из простых множителей может входить в делитель в любой степени от $0$ до своей степени вхождения в число $10!$ ). Таким образом, $-270-- ----270----- -3-- S = 2√10! = 2⋅24 ⋅32⋅5⋅√7 = 16√7.$

Ответ:

$--3√- 16 7$

Предыдущая подтема

Следующая подтема