Тема ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Делимость и делители (множители) → .09 Целые гауссовы числа

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Разделы подтемы Делимость и делители (множители)

Условия про НОД и НОК

Разложение на множители, основная теорема арифметики

Количество, сумма, произведение делителей

Степени вхождения простых

Оценки для доказательства делимости

Алгоритм Евклида

Теоретико-числовые свойства биномиальных коэффициентов

Теоретико-числовые свойства чисел Фибоначчи

Целые гауссовы числа

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88372

Докажите, если целые числа $a$ и $b$ взаимно просты в $ℤ,$ то они взаимно просты и в $ℤ[i].$

Показать доказательство

Будем искать их НОД в $ℤ[i]$ с помощью алгоритма Евклида. Рано или поздно мы получим, что $(a;b)= 1,$ поскольку они взаимно просты в $ℤ.$ Тогда их НОД в $ℤ[i]$ содержит лишь четыре делителя единицы, а значит они взаимно просты в $ℤ[i].$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88373

Докажите, что если $N(α)$ является простым числом в $ℤ,$ то $α$ является простым числом в $ℤ[i].$

Показать ответ и решение

Предположим противное, пусть $α = γ⋅β$ ( $γ$ и $β$ не являются делителями $1$ ), но тогда $N (α)= N (γ)⋅N(β),$ значит либо $N (γ),$ либо $N (β)$ равна $1.$ Но тогда одно из этих чисел является делителем $1,$ противоречие, что и требовалось.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88379

(a) Пусть $p$ — простое число вида $4k +3.$ Докажите, что $p$ является простым гауссовым числом.

(b) Пусть $p$ — простое число вида $4k +1.$ Докажите, что существуют натуральные числа $a$ и $b$ такие, что $a$ и $b$ не делятся на $p,$ но $a2 +b2$ кратно $p.$

(c) Пусть $p$ — простое число вида $4k+ 1.$ Докажите, что в кольце гауссовых чисел число $p$ является составным и имеет разложение на множители вида $p= (a+ bi)(a− bi).$

(d) Докажите, что простое гауссово число может быть либо натуральным простым вида $4k+ 3,$ либо числом $a +bi,$ где $a2+ b2$ — простое число вида $4k+ 1$ или $2.$

Показать ответ и решение

(a) Предположим противное, пусть $p= ab,$ где $a$ и $b$ — простые числа, отличные от делителей $1,$ тогда $N(p)= N(a)N (b).$ То есть $2 p = N(A)N(b).$ Нормы не равны $1,$ значит $N(a)= N(b)= p,$ но каждая из норм представляет из себя сумму квадратов двух целых чисел. Таким образом, $2 2 p= x +y ,$ но число $4k+ 3$ не представимо в виде суммы квадратов, пришли к противоречию, что и требовалось.

(b) Подойдут $a =(p−21)!$ и $b= 1,$ поскольку:

( )2 (p-− 1)! +1 =(p−-1)!⋅1⋅2⋅...⋅ p-− 1 +1 ≡(p−-1)!⋅(−1)p−21⋅ p+-1⋅ p+-3⋅...⋅(p− 1)+ 1= 2 2 2 2 2 2

= (p− 1)!+1 ≡0 (mod p)

последнее сравнение верно по теореме Вильсона.

(c) Используем результат прошлого пункта, пусть $2 p−1- a +1 =kp,a= ( 2 )!,b,k∈ℤ,a$ и $b$ не делятся на $p,$ тогда $kp =(a+ i)(a− i).$ Если $p$ — простое гауссово число, то одна из скобочек правой части делится на него. Не умаляя общности, пусть $a+ i$ кратно $p,$ тогда $a+ i= p(x +yi)=px+ pyi.$ Таким образом, $py =1,$ противоречие.

В первом пункте мы поняли, что если число не простое, то оно представимо в виде суммы квадратов, но тогда $2 2 p =a + b = (a+ bi)(a − bi).$

(d) Насчёт целых гауссовых чисел известно следующее, что $± p$ и $p⋅(±i)$ являются простым и что если норма гауссового числа проста в $ℤ,$ то само оно простое в $ℤ[i].$

Пусть у гауссового числа либо вещественная, либо мнимая часть равна $0,$ а другая равна составному числу или простому числу вида $4k+ 1,$ тогда оно, очевидно, не является простым.

Пусть у гауссового числа $a+ bi$ ненулевые вещественная и мнимая части, при этом норма не является простым числом, однако само оно — простое. Тогда число $a − bi$ также простое. Но тогда норма $N(a+ bi)= (a+bi)(a− bi)$ раскладывается на простые множители, на которые выражение $(a +bi)(a− bi)$ делиться не может, противоречие.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#88380

Докажите, что если простое число $p$ представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, то такое представление единственно с точностью до порядка слагаемых.

Показать доказательство

Предположим противное, тогда $p =x2+ y2 = a2+b2,$ откуда $(x +yi)(x− yi)= (a+bi)(a− bi).$ Числа $x+ yi,x− yi,a+ bi$ и $a− bi$ являются простыми в $ℤ[i].$ Получается, что произведение двух простых чисел равно произведению двух других простых чисел, в $ℤ[i]$ так не бывает.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#88381

Докажите, что число $5n$ раскладывается в сумму двух квадратов целых чисел $[n]+ 1 2$ различными способами.

Показать доказательство

Заметим, что $5= (1 +2i)(1− 2i),$ откуда $5n =(1+ 2i)n(1− 2i)n.$ Рассмотрим для любого целого $0 ≤k ≤ n 2$ число $k n−k ak+ bki=(1+ 2i) (1− 2i) .$ При замене $i$ на $− i$ получим, что $k n− k ak− bki= (1− 2i)(1+ 2i) .$ Следовательно,

2 2 n n n ak+ bk = (ak+ bki)(ak− bki)= (1+2i)(1− 2i) = 5

Осталось заметить, что все пары $(a ,b) k k$ будут различны, откуда и получаем $[n]+1 2$ различных способов разложения числа $5n$ в сумму двух квадратов целых чисел.

Предыдущая подтема