Тема Логарифмы

Метод рационализации

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела логарифмы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126627Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( √-( 2)) √ -( ( 2)) logx log x 10x − 4− 4x ≥log x logx 10x− 4− 4x .

Показать ответ и решение

Поскольку $x> 0$ , по свойствам логарифмов неравенство равносильно:

( 2 ) √-( 2) logx 2logx (10x− 4− 4x ) ≥log x logx(10x− 4− 4x)

Теперь запишем ОДЗ:

(| x > 0 |||{ x ⁄= 1 | 2 |||( logx(10x− 42− 4x )> 0 10x− 4− 4x >0

Эта система равносильна:

(|| x >0 ||{ x ⁄=1 || (x− 1)(10x − 4− 4x2− 1)> 0 ||( 10x− 4− 4x2 > 0

( 1 5−-√5) ( 5+-√5) x ∈ 2; 4 ∪ 1; 4

По свойствам логарифмов преобразуем:

( 2 ) (( 2)2) logx2 logx(10x− 4− 4x) ≥ logx logx(10x− 4− 4x)

По методу рационализации на ОДЗ:

( ) (x − 1) 2logx(10x − 4− 4x2)− log2x(10x− 4− 4x2) ≥0

2 ( 2) (x − 1)logx(10x− 4 − 4x )2 − logx(10x− 4− 4x ) ≥0

Поскольку $log (10x− 4− 4x2)> 0, x$ равносильно:

( 2) (x− 1) 2− logx(10x − 4− 4x )≥ 0

(x− 1)(logxx2− logx(10x − 4 − 4x2))≥ 0

Снова применим метод рационализации:

(x− 1)(x− 1)(x2− (10x− 4 − 4x2))≥ 0

( √ - )( √- ) (x− 1)2 x −--5√−-1 x − -5√+-1 ≤ 0 5 5

( 5 − √5-)( 5+√5-) (x− 1)2 x −---5- x − --5-- ≤ 0

Решая данное неравенство по методу интервалов и пересекая с ОДЗ, получим ответ:

( 1 5− √5] [5+ √5 5+ √5) x ∈ 2;--5-- ∪ --5--;--4--

Ответ:

$(1 5− √5] [5+ √5 5+ √5) 2;--5-- ∪ --5--;--4--$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#127262Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log3(x2− 6x+5) log 5 --log3(x2−-3)-- ≤log2(x22−-3).

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| x2− 6x+ 5> 0 |||{ x2− 3> 0 | 2 |||( log3(x2− 3)⁄= 0 log2(x − 3)⁄= 0

√ - x ∈(−∞;− 2)∪ (− 2;− 3)∪(5;+ ∞)

Приведём логарифмы к одному основанию:

log32⋅log2(x2− 6x-+5)≤---log25-- log32⋅log2(x2− 3) log2(x2− 3)

log (x2− 6x+ 5)− log 5 --2--log2(x2−-3)--2--≤ 0

Воспользуемся методом рационализации:

2 (2−-1)(x-−26x-+5−-5)≤ 0 (2− 1)(x − 3 − 1)

--x(x− 6)- ≤0 (x− 2)(x+ 2)

$PIC$

x∈ (−2;−√3)∪ (5;6]

Ответ:

$(−2;−√3)∪ (5;6]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#127264Максимум баллов за задание: 7

Для каких $a$ неравенство

(2 ) loga1+1 x +2|a| > 0

выполнено при всех $x?$

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| x2 +2|a|>0 ||||| ( { -1--> 0 ⇐⇒ { a> −1 |||| a+ 1 ( a⁄= 0 ||( -1--⁄= 1 a+ 1

На ОДЗ по методу рационализации неравенство равносильно:

( ) --1- − 1 (x2+ 2|a|− 1) >0 a +1

-a-- 2 a+ 1(x + 2|a|− 1)<0

При $a a-+1 >0$ графиком

a f(x)= a+-1(x2 +2|a|− 1)

является парабола с ветвями вверх, неравенство $f(x)< 0$ будет верным лишь при тех значениях $x,$ что лежат между корнями параболы, в случае если они есть; если же корней нет, неравенство не будет верным ни при каких $x.$ Так или иначе, такая ситуация нам не подходит.

При $--a- a +1 <0$ графиком

a 2 f(x)= a+-1(x +2|a|− 1)

является парабола с ветвями вниз, неравенство $f(x)< 0$ будет верным при всех $x,$ если дискриминант многочлена отрицателен.

−(2|a|− 1) <0

2|a|− 1> 0

1 |a|> 2

⌊ | a> 1 |⌈ 2 1 a< − 2

Пересечём результат с условием $a a-+1 < 0$ и ОДЗ, получим

( ) a ∈ −1;− 1 2

Ответ:

$(−1;− 1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#130320Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

(--2--) (--1---) log12 9x− 1 ≤ log12 3x+ 31

Источники: ДВИ - 2025, вариант 252, задача 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как основание логарифмов не зависит от х, мы спокойно можем от него избавиться и перейти к рассмотрению равносильного неравенства. Только не забудьте учесть, что 0.5 < 1, и записать ОДЗ!

Подсказка 2

Действуем по классике: переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и раскладываем на множители, а дальше так и напрашивается метод рационализации! Кроме того, обратите внимание на заведомо положительные множители. Для удобства от них можно избавиться.

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

(| --2-- |{ 9x− 1 > 0 ||( --1--- 3x+ 31 > 0

x >0.

Перейдём от исходного неравенства к равносильному:

--2-- ---1-- 9x− 1 ≥ 3x+ 31

2(3x+ 31)− (9x − 1) --(9x-− 1)(3x+-31)-≥ 0

x x -9x-− 2⋅3x−-63-≤0 (9 − 1)(3 + 31)

(3x−-9)(3x-+7)-≤0 (9x − 1)(3x+ 31)

Пользясь тем, что $x 3 >0$ при любых $x,$ а также методом рационализации, получаем:

x− 2 --x- ≤0

Решением этого неравенства является $x ∈(0;2].$

Ответ:

$(0;2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#130834Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√- (2− 2x)⋅log2⋅3x−5 3≤ 1

Источники: ДВИ - 2025, вариант 254, задача 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как Вы думаете, что можно сделать с основанием логарифма?

Подсказка 2

Так как мы вычитаем 5, свойства логарифмов нам не помогут. А поможет ли нам новая переменная?

Подсказка 3

Пусть t = 2 ⋅ 3ˣ - 5. Выразите x.

Подсказка 4

Решите неравенство при помощи метода рационализации и не забудьте сделать обратную замену, а также учесть все ограничения для t!

Показать ответ и решение

Обозначим $t= 2⋅3x− 5,$ тогда

t+5- x = log3 2

А так же

6 1− x= log3t+-5

Сразу отметим, что $t> 0$ и $t⁄= 1.$ После замены неравенство примет вид:

2log3 -6--logt√3≤ 1 t+5

log -6--log 3≤ 1 3t+5 t

log3-6-- -logt+t5-≤ 1 3

logt--6-− 1≤ 0 t+ 5

--6--- logtt(t+ 5) ≤0

Воспользуемся методом рационализации:

( 6 ) (t− 1) t(t+5) − 1 ≤ 0

t2+-5t− 6- (t− 1) t(t+ 5) ≥ 0

(t− 1)2(t+ 6) --t(t+5)---≥0

Учитывая ограничения на $t$ , получаем $t> 0.$ Остается вернуться к исходной переменной и решить систему:

( { 2 ⋅3x− 5> 0 ( x 2 ⋅3 − 5⁄= 1

({ x> log 2.5 3 ( x⁄= 1

x ∈(log32.5;1)∪(1;+∞ )

Ответ:

$(log 2.5;1)∪(1;+∞ ) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#131018Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

(3√-)5+log2x 1+logx x ≥ 2 2

Источники: ДВИ - 2025, вариант 255, задача 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед преобразованием нужно выписать ОДЗ!

Подсказка 2

В левой стороне неравенства степенная функция для x. Хотелось бы справа получить что-то подобное, только необходима проверка для x = 1.

Подсказка 3

Отлично, теперь у нас есть неравенство: xᶠ⁽ˣ⁾ ≥ xᵍ⁽ˣ⁾, где f(x) = (5 + log₂(x)) / 3, g(x) = 1 + logₓ(2). Теперь самое время вспомнить про рационализацию! Какое неравенство получится?

Подсказка 4

Получим (x - 1) ⋅ ((5 + log₂(x)) / 3 - 1 - logₓ(2)) ≥ 0. Будем находить нули каждой скобки по отдельности. Для второй понадобится замена, какая?

Подсказка 5

Пусть t = log₂(x). Чему тогда равен logₓ(2)?

Подсказка 6

По свойствам логарифмов logₓ(2) = 1/log₂(x). Получим квадратное уравнение относительно t, останется только сделать обратную замену, расставить знаки и не забыть про ОДЗ.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

x> 0

Преобразуем исходное неравенство

x5+lo3g2x-≥ 2⋅2log2x

x5+log32x-≥2 ⋅x

Если $x= 1,$ то неравенство не будет выполняться:

153 ≥ 2

Если $x⁄= 1,$ то на ОДЗ будет верно следующее:

x5+lo3g2x-≥xlogx2⋅x

5+log2x x--3---≥ x1+logx2

По методу рационализации

( 5+ log2x ) (x− 1) ---3---− 1− logx2 ≥ 0

(x − 1)(2+log2 x− 3 logx2)≥0

( --3-) (x− 1) 2+ log2x− log2x ≥ 0

Найдем $x,$ при которых вторая скобка обращается в 0:

3 2+ log2x −log-x = 0 2

Пусть $log2x= t.$ Так как $x ⁄=1,$ $t⁄= 0.$

2+t− 3 =0 t

2 t + 2t− 3= 0

(t+ 3)(t− 1)= 0

t∈{−3;1}

Сделаем обратную замену:

log2x= −3 ⇔ x= 18

log2x= 1⇔ x =2

По методу интервалов получаем:

( ] x∈ −∞; 1 ∪ [2;+∞) 8

На пересечении с ОДЗ

( 1] x∈ 0;8 ∪[2;+ ∞)

Ответ:

$(0;1 ]∪[2;+∞ ) 8$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#132599Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

3 2 5 log32 x2 +log23 x3 ≤ 6 ⋅x ⋅log6 x

Источники: ДВИ - 2025, вариант 256, задача 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала стоит записать ОДЗ.

Подсказка 2

Получим, что x > 0. Попробуйте привести логарифмы к одному основанию.

Подсказка 3

Например, нам может помочь следующее свойство: logₐb = logₕb / logₕa.

Подсказка 4

Можно взять h = 6.

Подсказка 5

Примените метод рационализации.

Показать ответ и решение

На ОДЗ: $x >0.$

3 2 5 2 ⋅log32 x− 3 ⋅log32 x≤ 6 ⋅x⋅log6x

5 5 6 ⋅log32 x≤ 6 ⋅x⋅log6x

log3 x≤ x⋅log6x 2

x⋅log6x− log6x-≥ 0 log6 32

log6x ⋅(x− log36)≥ 0 2

По методу рационализации

(6− 1)⋅(x − 1)⋅(x − log36)≥0 2

(x − 1)⋅(x − log36)≥0 2

$x1lo++g36 2$

[ ) x∈(−∞; 1]∪ log32 6;+∞

На пересечении с ОДЗ получим

[ ) x∈(0;1]∪ log32 6;+∞

Ответ:

$(0;1]∪ [log 6;+∞) 32$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#88250Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

x+3 3 x 3 2 − x ⋅2 ≤16− 2x

Показать ответ и решение

Сделаем замену $x3 = a, 2x =b$

b(8− a)≤2(8− a)

(a− 8)(b− 2)≥ 0

(x3− 8)(2x − 2)≥ 0

Функции в скобках монотонные, поэтому знак неравенства совпадает со знаком $(x− 2)(x− 1)≥0$ , что равносильно $(−∞,1]∪ [2,+∞).$

Ответ:

$(−∞;1]∪ [2;+∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#89107Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log4x2(5x+ 6) >1

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| 4x2 > 0 { 4x2 ⁄= 1 |( 5x+ 6> 0

(| x∈ (−∞;0)∪(0;+∞) ||||{ x⁄= ± 12 ||||| 6 ( x> − 5

( ) ( ) ( ) ( ) x∈ − 6;− 1 ∪ − 1;0 ∪ 0;1 ∪ 1;+∞ 5 2 2 2 2

Применим метод рационализации

(4x2− 1)(5x+6 − 4x2)> 0

−(2x− 1)(2x+ 1)(x− 2)(4x +3)> 0

(2x − 1)(2x+ 1)(x− 2)(4x+ 3) <0

( 3 1) ( 1 ) x ∈ −4;−2 ∪ 2;2

Пересечём с ОДЗ и получим итоговый ответ — $( ) ( ) − 3;− 1 ∪ 1;2 . 4 2 2$

Ответ:

$(− 3;− 1) ∪( 1;2) 4 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#89108Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log2x(5x− 1)log3x(7x-− 1) 215x2+2 − 211x ≥ 0

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

( x> 0 (|| x> 0 ||||| ||||| ||||| x> 1 ||||| 5x − 1> 0 ||||| 5 |||{ 7x − 1> 0 |||{ x> 17 | ⇐ ⇒ | 1 ||||| 2x ⁄=1 ||||| x⁄= 2 ||||| 3x ⁄=1 ||||| 1 ||||( 15x2+2 11x ||||| x⁄= 3 2 − 2 ⁄=0 ||( 15x2 +2⁄= 11x

(|{ x∈( 1;1)∪ (1;1) ∪( 1;+∞) 5 3 3 2 2 |( (3x− 1)(5x− 2)⁄= 0

( ( ) ( ) ( ) ||| x∈ 1;1 ∪ 1;1 ∪ 1;+∞ ||||{ 5 3 3 2 2 x⁄= 1 ||||| 3 ||( x⁄= 2 5

( ) ( ) ( ) ( ) x ∈ 1;1 ∪ 1;2 ∪ 2;1 ∪ 1;+∞ 5 3 3 5 5 2 2

Применим метод рационализации к данному неравенству, получив равносильное на ОДЗ неравенство

(2x−-1)(5x−-2)(3x-− 1)(7x-− 2)≥ 0 15x2+ 2− 11x

(2x− 1)(5x− 2)(3x − 1)(7x − 2) ------(3x−-1)(5x-− 2)-----≥ 0

Применим метод интервалов

( ] [ ) x ∈ − ∞;2 ∪ 1;+∞ 7 2

Учтя ограничения ОДЗ, получим итоговый ответ

(1 2] (1 ) x∈ 5;7 ∪ 2;+∞

Ответ:

$(1;2]∪ (1;+∞ ) 5 7 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#89109Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 )2 -x−-1 log4 x − 4 + log2x2− 4 > 0

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов неравенство равносильно

1 2 ( x-− 1-) 2⋅2 log2(|x − 4|)+log2 x2− 4 > 0

( 2 ) log2 |x-−24|(x-− 1) >0 x − 4

|x2−-4|(x−-1)> 1 x2− 4

При $− 2< x< 2$ получаем

−(x− 1) >1

x< 0

Так что $x∈ (−2;0).$

При $x∈ (−∞;− 2)∪ (2;+∞ )$ получаем

x− 1> 1

x> 2

Так что $x∈ (2;+∞ ).$

Объединяя промежутки из двух случаев, получаем ответ.

Ответ:

$(−2;0)∪ (2;+∞ )$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#89110Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( √ ----) logx∕6 logx( 6− x) > 0

Показать ответ и решение

Выпишем ограничения:

(| x ⁄=1 ||||| 6 ||||{ xx⁄= 1 6 >0 ||||| x> 0 ||||| 6− x>-0-- ( logx(√6− x)>0

Решая эту систему получаем, что $x ∈(1;5).$

Используя метод рационализации на введенных ограничениях, получаем:

log x6(logx(√6−-x))>logx6 1

( ) x − 1 (logx(√6−-x− 1))> 0 6

Рассмотрим отдельно второй множитель:

log (√6-−-x)− 1> 0⇒ log(√6-− x)> log x x x x

√---- (x− 1)( 6− x− x) >0

Тогда получаем:

(x ) √---- 6 − 1 (x− 1)( 6− x− x)>0

Методом интервалов получаем, что $x∈(0;1)∪ (2;6).$ С учетом ограничений получаем, что $x∈ (2;5)$

Ответ: (2;5)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#89481Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 ) ( 2 ) 2log(x2−6x+10)2 5x + 3 ≤logx2−6x+10 4x + 7x +3

Источники: ЕГЭ 2024, резерв досрочной волны

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства:

(||x2 − 6x +10 > 0 |{x2 − 6x +10 ⁄= 1 ( 3 ) ||5x2 +3 > 0 ⇔ x∈ (−∞;− 1)∪ −4;3 ∪(3;+∞ ) |(4x2 +7x +3 > 0

Решим неравенство на ОДЗ с помощью метода рационализации. Левая часть имеет вид $2log 2b a$ и равна на ОДЗ $log b. a$ Следовательно, неравенство на ОДЗ равносильно

2 2 2 (x − 6x+ 10− 1)(5x + 3− 4x − 7x − 3) ≤0 (x− 3)2 ⋅x ⋅(x − 7) ≤0 x∈ [0;7]

Пересечем полученные решения с ОДЗ и получим окончательный ответ $x ∈[0;3) ∪(3;7].$

Ответ:

$[0;3)∪ (3;7]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#91954Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 ) logx+3 x − 7x +12 ≤ 2.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что следует сделать в первую очередь, если перед нами — логарифм, в аргументе и основании которого выражение с переменной? А как можно преобразовать выражение такого вида?

Подсказка 2

Сразу записываем ОДЗ и используем метод рационализации! Чему равносильно выражение из условия?

Подсказка 3

(x+2)(x²- 7x + 12 - (x+3)²) <= 0. Осталось лишь решить его и пересечь с ОДЗ!

Показать ответ и решение

Сначала найдем ОДЗ:

( x+ 3> 0 |{ |( x+2 3⁄= 1 x − 7x+12 >0

Решая эту систему, получаем, что $x ∈(−3;−2)∪(−2;3)∪(4;+∞ ).$ Теперь применим метод рационализации. Тогда получится неравенство

2 2 (x+ 2)(x − 7x+ 12 − (x+ 3) )≤ 0

Во второй скобке приводим подобные:

(x +2)(−13x+ 3)≤ 0

Решая это неравенство, получаем, что $x∈ (− ∞;−2]∪[ 313;+∞ ).$ Остается пересечь это множество с ОДЗ. Получается, что $x ∈(−3;−2)∪[ 313;3)∪(4;+ ∞).$

Ответ:

$(−3;−2)∪[ 3;3)∪(4;+∞) 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#91977Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log 2 (x−1) log2 (x+1) 8 x−1 + 8 x −1 ≤ 6.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 242, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнём как всегда с ОДЗ! Но что же делать дальше? Можно заметить, что основание обоих логарифмов равно произведению их аргументов: (x - 1)(x + 1) = x² - 1, как нам это поможет?

Подсказка 2

Сделаем замену: t = 8^(log_(x² - 1) (x - 1)). Умножьте обе части неравенства на t > 0 и по свойствам степеней преобразуйте наше выражение. Что у нас остаётся?

Подсказка 3

Перед нами всего лишь квадратичное неравенство, а с этим вы отлично умеете работать!

Подсказка 4

Осталось сделать обратную замену! Чтобы перейти к сравнению показателей степеней, удобно представить 8 и, получившееся в одной из частей двойного неравенства, 4 как степени двойки. Метод рационализации поможет нам добить задачу.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

({ x − 1 >0 ( x2− 1⁄= 1

( { x> 1 ( x⁄= ±√2-

x ∈(1;√2)∪ (√2;+ ∞)

Домножим обе части исходного неравенства на $8logx2−1(x−1)$

82logx2−1(x−1)+8logx2−1(x+1)+logx2−1(x−1) ≤ 6⋅8logx2−1(x−1)

82logx2−1(x−1)+ 8logx2−1(x2−1) ≤6⋅8logx2−1(x− 1)

82logx2−1(x−1)− 6⋅8logx2−1(x−1)+ 8≤ 0

Сделаем замену $logx2−1(x−1) t= 8 ,$ получим

2 t − 6t+ 8≤ 0

(t− 2)(t− 4)≤ 0

t∈[2;4]

Тогда при обратной замене

2≤ 8logx2−1(x−1) ≤4

1 ≤logx2−1(x − 1)≤ 2 3 3

1≤ log 2 (x− 1)3 ≤2 x− 1

Решим неравенства по-отдельности:

1 ≤log2 (x − 1)3 x −1

Применим метод рационализации

(x2− 2)((x− 1)3− (x2 − 1))≥0

(x2− 2)(x3− 4x2 +3x)≥ 0

√- √- x(x− 2)(x+ 2)(x − 1)(x − 3)≥ 0

С учётом ОДЗ получаем

√- x∈ (1; 2)∪ [3;+∞)

3 logx2−1(x− 1) ≤ 2

Применим метод рационализации

2 3 2 2 (x − 2)((x − 1) − (x − 1))≤ 0

(x2− 2)(− x4+x3 − x2+ 3x− 2)≤ 0

(x− √2)(x +√2-)(x− 1)2(x2 +x+ 2)≥ 0

С учётом ОДЗ получаем

x∈(√2;+∞ )

Пересекаем полученные полученные значения и получаем итоговый ответ

x ∈[3;+∞ )

Ответ:

$[3;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#92344Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

-2x-- logx 3− x ≤ 2.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 245, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами логарифмическое неравенство, поэтому не забываем про ОДЗ ;) И в аргументе, и в основании логарифма стоят выражения с неизвестной, какой тогда метод решения удобно применить?

Подсказка 2

Примените метод рационализации! Тогда всё выражение слева разобьется на скобки, а справа будет 0, что будет не так сложно решить ;)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| -2x-> 0 |{ 3−x ⇐⇒ x∈ (0;1)∪(1;3). ||( x≥ 0 x⁄= 1

Применим метод рационализации:

(-2x- 2) (x− 1) 3− x − x ≤ 0

(x− 1)(3− x)(2x+ x3− 3x2)≤ 0

x(x − 1)2(3− x)(x− 2)≤0

x∈ [0;2]∪ [3;+∞ )

Пересекая с ОДЗ, получаем $x∈ (0;1)∪(1;2].$

Ответ:

$(0;1)∪ (1;2]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#64605Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 6 5-) ( 7 13) log|x+1| x + x2 > log|x+1| x + x2 .

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

( |x+1|> 0 ||||| { |{ |x+1|⁄= 1 =⇒ x> − 56 ||| x6⁄=x+05 x⁄= 0 |||( 7xx2+1>3 0 x2 > 0

Рассмотрим два случая:

1) $|x+ 1|∈(0,1)⇔ x ∈(−2,−1)∪(−1,0)$ , тогда логарифмическая функция убывает, а условие эквивалентно

6 -5 7 13 x +x2 < x + x2 ⇔ 6x +5< 7x+ 13⇔ x> −8

2) $|x+ 1|>1 ⇔ x∈(−∞, −2)∪(0,+ ∞)$ , в таких условиях получим

6 5 7 13 x +x2 > x + x2 ⇔ 6x +5> 7x+ 13⇔ x< −8

Осталось учесть ОДЗ и записать ответ.

Ответ:

$(− 5;0) 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#67081Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 1) ( 1) logx2+x12 x− x >logx+x1 x− x

Показать ответ и решение

Для начала докажем следующее неравенство:

2 -1 a +a2 ≥2(a⁄= 0)

1 1 a2− 2a⋅a + a2 ≥ 0

( )2 a − 1 ≥ 0. a

Последнее неравенство, верно, значит, верно требуемое.Теперь выпишем ограничения на $x$ :

(| x2+ 1-> 0 ||||| x2 ||||| x2+ 12-⁄= 1 |||{ x1 | x −x > 0 ||||| 1 ||||| x +x > 0 |||( x + 1 ⁄= 1 x

Первые два уравнения выполнены всегда в силу доказанного. Тогда преобразуем оставшиеся:

(| x2− 1 ||||{ x > 0 x2+1- ||||| x > 0 ( x2− x +1 ⁄=0.

Первое уравнения верно для $x ∈(−1;0)∪ (1;+∞ ),$ второе - для $x ∈(0;+∞ ).$ Третье верно для всех $x,$ так как дискриминант меньше 0. Тогда $x∈ (1;+∞ ).$ Заметим, что если $x− 1∕x =1,$ то тогда неравенство не будет выполнено. Теперь преобразуем исходное неравенство с учетом ограничений:

------1(-----)-> -----1(---1)- logx− 1x x2 +x12 logx− 1x x+ x

-----(1---1-) −-----1(---1) > 0 logx− 1x x2+ x2 logx− 1x x+ x

( ) ( ) logx− 1x-x+-1x-−-logx− 1x-x2-+x12- log 1 (x2+ 1) ⋅log 1(x+ 1) > 0 x−x x2 x− x x

Тогда по методу рационализации:

(x − 1 − 1)(x+ 1 − x2−-12) (--1---)(-x---1---)x(---1--x)(--1---)->0. x −x − 1 x2+ x2 − 1 x− x − 1 x +x − 1

Так как при ограничении $x >1,$ то

1 √- 1 x+ x =( x)2+ (√x)2 ≥ 2,

по доказанному ранее. Тогда мы можем умножить на положительное число $( ) x(x+ 1x − 1)⋅ x2+ 1x2 − 1$

x3+x−xx4−1- (x− 1x − 1) > 0

4 3 −x-+2-x-+x-− 1-> 0 (x − x− 1)

Заметим, что $− x4+ x3+x − 1 =−(x− 1)2(x2+ x+1),$ что всегда меньше нуля при нашем ограничении на $x.$ Тогда имеем:

----1---- (x2− x− 1) < 0

x2− x− 1< 0

(1− √5 1+ √5) x∈ --2--,--2-- .

Тогда с учетом ограничений получим, что $x∈ (1,1+√5). 2$

Ответ:

$(1,1+√5) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#89776Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘ -2--- logx2− 1(x− 1)≥logx2−1 x-+ 1. 2

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Перекиньте все в одну сторону и воспользуйтесь методом рационализации. Не забудьте пересечь результат с ОДЗ, и задачка убита)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| x2− 1> 0 |||{ 2 | x − 1⁄= 1 |||( xx−2 1> 0 2 +1> 0

{ x >1 x ⁄=√2-

На ОДЗ неравенство по методу рационализации равносильно

(x2− 1− 1)((x− 1)2 − (x2+ 1)) ≥ 0 2

√ - √- (x − 2)(x+ 2)x(x− 4)≥0

По методу интервалов решаем неравенство и пересекаем с ОДЗ:

√- x∈ (1; 2)∪ [4;+∞)

Ответ:

$(1;√2-)∪[4;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#90017Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√ --- log 3−x(3+ x)≤2.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте избавимся от иррациональности в основании логарифма. Нам достаточно поделить левую и правую части неравенства на 2 и внести 1/2 в основание логарифма. Что дальше можно сделать?

Подсказка 2

Метод рационализации поможет нам добить задачу окончательно!

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов неравенство равносильно