Тема Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Показательные неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела неравенства без логарифмов и тригонометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#47423

Решите неравенство

x x2 x2 x x2 x (0,04) ⋅2 + 5 ⋅2 ≤ 10 + (0,08).

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

x x2 x2 x x2 x2 x x 0,04-⋅(2-- + 5-)⋅2-− 2(-⋅5- −)2-⋅0,04- ≤ 0 ⇔ 0,04x 2x2 − 2x − 5x2 2x2 − 2x ≤ 0 ⇔ ( 2 )( 2 ) 5x − 0,04x 2x − 2x ≥0 ⇔ ( x2 −2x) ( x2 x) 5 − 5 2 − 2 ≥ 0

Воспользуемся методом рационализации:

(5 − 1)(x2+ 2x)(2− 1)(x2− x)≥ 0 ⇔ x2(x +2)(x− 1)≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$x−01+−−+2$

Следовательно, ответ к неравенству:

x∈ (− ∞;− 2]∪{0}∪ [1;+∞ )

Ответ:

$(−∞; −2]∪ {0} ∪[1;+ ∞)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88248

Решите неравенство

--1-- ---1--- 2x− 1 > 1− 2x−1

Показать ответ и решение

Сделаем замену $2x−1 =t, t> 0$

1 1 2t−-1 > 1−-t

(1(−2t t−)−1)((21t−−t)1)->0

---2−-3t---->0 (2t− 1)(1− t)

Методом интервалов получаем $(1 2) t∈ 2;3 ∪(1;+ ∞)$

1 x− 1 3 x−1 2 < 2 < 2, 2 > 1

( ) x ∈ 0;1+ log2 2 ∪ (1;+∞ ) 3

Ответ:

$(0;2 − log 3)∪ (1,+∞ ) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88249

Решите неравенство

---1-- 2-− 3⋅51−x 5−x− 1 ≥ 5x− 1

Показать ответ и решение

Сделаем замену $5x = t, t> 0$ . Тогда

1 -1--≥ 2-− 15⋅t 1− 1 t− 1 t

Домножив числители и знаменатели дробей на $t$ , получаем

-t--≥ 2t− 15 1− t t2− t

t 2t− 15 1− t + t(1− t) ≤ 0

(t+-5)(t− 3)≤ 0 t(1− t)

И так как $t+ 5 и t> 0$ , имеем

t−-3≤ 0 1 − t

Методом интервалов получаем $t∈ (1;3]$ , а значит $x∈ (0,log53]$

Ответ:

$(0;log 3] 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#88273

Решите неравенство

x 2x+1- 2x+7 2x−1 9 − 2 2 <2 2 − 3

Показать доказательство

Разделим левую и правую части на $2x$ ( $2x > 0,$ поэтому знак неравенства сохранится). Получаем:

9x 1 7 32x−1- 2x − 22 <22 − 2x

9x 32x−1 7 1 2x +--2x--< 22 + 22

x 2x √- √- 9x + 1 ⋅ 3x-< 8 2+ 2 2 3 2

( ) 1+ 1 9x < 9√2- 3 2x

√ - 9x < 27-2 2x 4

(9)x ( 9)32 2 < 2

Поскольку $( ) f(x)= 92 x$ — возрастающая функция (т.к. $92 > 1$ ), то решением неравенства $f(x)< f(32)$ будет:

x < 3 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31036

Решите неравенство

2x− 1x2 2−2x √3-x2 5 3 <5 ⋅( 5) + 24.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Точно надо делать замену, непонятно, что делать со всеми этими степенями. Наша цель - получить после замены уравнение, которое мы умеем решать, например - квадратное.

Подсказка 2

Замена t = 5^(2x - 1/3x^2) нам поможет! Почему она? Мы нашли максимальное пересечение по слагаемым с х у пятерки в левой части и пятерки в правой, чтобы все х в степени ушли!

Показать ответ и решение

2x− 1x2 2−2x+1x2 5 3 < 5 3 + 24.

Пусть $t =52x− 13x2 > 0$ . Тогда $t< 25+ 24 t$ . Значит $t2− 24t− 25= (t− 25)(t+1)< 0$ . Значит $t=52x− 13x2 < 25$ . Отсюда $2x − 1x2 <2 3$ или $x2 − 6x+ 6> 0$ . Тогда либо $x> 3+√3-$ , либо $x< 3− √3$ .

Ответ:

$(−∞;3 − √3)∪ (3 +√3;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#31038

Решите неравенство

x √x+x 1+√x 4 ≤ 3⋅2 +4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Придется делать замену, ведь так уравнение ни на что хорошее не походит. Наша цель - привести это к квадратному или линейному уравнению! Для этого сначала преобразовываем уравнение - 4 в степени было бы удобно для начала привести к 2 в степени, а затем уже выискивать замену.

Подсказка 2

Адекватная замена пока не находится. Зато есть общая часть во всех слагаемых - давайте на нее сократим, зачем ее таскать с собой. Делим на 2^(√x + x)! В оставшейся части уже ищем подходящую замену и побеждаем!

Показать ответ и решение

2x √x+x 2+2√x 2 ≤ 3⋅2 +2

Разделим все на $2√x+x$ .

2x−√x ≤ 3+ 4⋅2√x−x

Заменим $√- t=2x− x :$

t≤ 3+ 4 t

t2− 3t− 4 =(t− 4)(t+ 1)≤ 0

−1≤ t≤4

После обратной замены получаем

√- −1≤ 2x− x ≤ 4= 22

√ - x − x≤ 2

√- √ - √- x− x− 2= ( x− 2)( x+ 1)≤0

√- −1≤ x ≤2

0≤ x≤ 4

Ответ:

$[0;4]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#47234

Решите неравенство

x2 ||36 − 1|− 2|≥3

Показать ответ и решение

Поскольку $x2 ≥ 0$ , то $36x2 ≥ 1$ , потому внутреннее подмодульное выражение всегда неотрицательно и модуль можно убрать. Получаем

x2 x2 x2 2 1 1 |36 − 3|≥ 3 ⇐⇒ 0≤ 36 ≥6 ⇐⇒ 36 ≥6 ⇐ ⇒ x ≥ 2 ⇐ ⇒ |x|≥ √2-

Ответ:

$(−∞,− √1]∪[√1,+∞ ) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#127227

Решите неравенство

( 1−2x)− 12 1( 2x )12 1 x 9 1+ 5 − 2 5 +5 ≥62 ⋅5 2.

Показать ответ и решение

( 2x )− 12 ( )1 9 5-2+x5- − 1 52x+5 2 ≥612 ⋅5x2 5 2

(--52x--)12 1 (2x )1 1 x 9 52x+ 5 −2 5 + 5 2 ≥ 62 ⋅52

Сделаем замену $t= 5x > 0.$

∘----- 9 --t2--− 1∘t2+-5≥ √6⋅√t- t2+ 5 2

Поделим неравенство на положительное $√ 2---- t+ 5:$

∘ ---2--- - ∘ ----- 9 -2-t--2 − 1≥ √6⋅ -2t-- (t+ 5) 2 t +5

Сделаем замену $∘ ----- p= --t-->0. t2 +5$ И теперь получаем квадратное неравенство:

9p2− p√6− 1 ≥0 2

( -)( -) √-6 √-6 p+ 18 p − 6 ≥0

И с учетом $p >0$ выходит

√- p≥ -6- 6

Сделаем обратную замену:

- ∘ --t-- √6- t2 +5 ≥ 6

--t-- 1 t2+ 5 ≥6

t2− 6t+ 5 --t2+5--≤ 0

(t− 1)2(t− 5)≤ 0 t +5

Откуда выходит, что $1≤ t≤5.$ Сделаем обратную замену и получим:

1≤ 5x ≤5

0≤ x≤ 1

Ответ:

$0 ≤x ≤1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#47064

Решите неравенство

3⋅21−x+-1 --1--- 2x− 1 ≥ 1− 2− x.

Источники: Ломоносов-2005

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим наше неравенство, которое нам сходу не решить, поскольку здесь степени и некоторые из них не со знаком умножения. Поэтому надо сделать замену. На что мы можем заменить, если в показателях степени у нас х всегда с коэффициентом ±1?

Подсказка 2

Мы можем сделать замену t = 2^x. Тогда в обеих частях получается некоторая дробь, в числителе и знаменателе которой многочлен. Значит мы можем решать это как обычно, получим подходящие промежутки, после чего нам надо будет заключить 2^x на них и получить ответ!

Показать ответ и решение

После замены $t= 2x$ получаем неравенство

6+ 1 1 6+ 1 t tt− 1-≥ 1−-1 ⇐ ⇒ tt− 1-≥ t−-1 t

которое эквивалентно

-6+-t-− --t2---≥0 ⇐⇒ t2−-t− 6 ≤0 t(t− 1) t(t− 1) t(t− 1)

По методу интервалов получаем $t∈ [− 2;0)∪(1;3].$

При обратной замене получаем $0 x log23 2 < 2 ≤ 2 ⇐ ⇒ x ∈(0;log23].$

Ответ:

$(0;log 3] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#79280

Решить неравенство

√--x--- ∘ --x---- 32 + 4− |32 − 7|<1

Источники: Вступительные в МФТИ - 1993 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим корни - про что сразу думаем?

Подсказка 2

Про ОДЗ! Но на наше счастье это просто x ∈ ℝ. Что стараемся делать в неравенстве с корнями?

Подсказка 3

Поскорее избавляемся от них :) То есть возводим обе части в квадрат, но всегда ли мы можем это делать?

Подсказка 4

Возводить в квадрат можем только если в левой и правой части стоят выражения одного знака (другие случаи нужно отдельно рассматривать). То есть можно одно из слагаемых перенести в другую часть, чтобы знаки всегда одинаковые были

Подсказка 5

А после этого можно просто рассмотреть случаи раскрытия модуля и решить получающиеся неравенства при помощи напрашивающейся замены. Не забудьте сделать обратную замену и учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

Так как под корнями стоят выражения, которые при любых $x$ больше нуля, то ОДЗ эта вся вещественная ось. Перенесем слагаемое с минусом в левую часть и сделаем преобразования.

√------ ∘ ------- 32x+ 4< 1+ |32x− 7|

Возведем в квадрат, в левой и правой части стоят положительные числа

x ∘ --x---- x 32 +4 <1 +2 |32 − 7|+ |32 − 7|

Рассмотрим случай, когда $x> log 7, 32$ тогда:

√--x--- 5< 32 − 7

25< 32x − 7

x> 1

Теперь рассмотрим случай, когда $x ≤log327.$

√ ------ √------ 32x +4< 1+ 7− 32x

Сделаем заммену $x t= 32.$

√ ---- √---- t+4< 1+ 7− t

Возведем в квадрат

√---- t+4 <1 +2 7 − t+ 7− t

√---- t− 2< 7− t

t2− 3t− 3< 0

Решая это квадратное уравнение, получим, что $( √-- √ -) t∈ 3−--21; 3-+-21 . 2 2$ Делая обратную замену, получаем, что $( ( √--)) x ∈ − ∞; log32 3+--21 . 2$

Так как $( √--) log 3+--21 < log 7, 32 2 32$ то итоговый ответ

( (3+ √21)) x ∈ −∞; log32 ---2-- ∪(1; +∞ )

Ответ:

$( (3+ √21) ) −∞; log32 ---2-- ∪ (1; + ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#63874

Решите неравенство

3+5x- 1+3x- √ - 21+2x + 21+2x ≤6 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть куча неприятных степеней. Нужно придумать хорошую замену. Давайте сначала поработаем со степенью второго слагаемого: вынесем из нее целую часть и посмотрим, что получится. Затем посмотрите на степень первого слагаемого и подумайте о том, как можно преобразовать ее так, чтобы получить что-нибудь более похожее.

Подсказка 2

Преобразуйте степень первого слагаемого так, чтобы у нас в числителе остался только х с каким-то коэффициентом! После этого мы можем увидеть, что те слагаемые показателей степеней, которые содержат х, очень похожи, чтобы они совпали, нужно только разобраться с минусом в одном из них. Теперь можем ввести замену и решать уже куда более приятное неравенство!

Подсказка 3

Когда разложите все, что есть в левой части неравенства, на множители, вспомните о том, что нам необходимо определять знак на каждом из промежутков и добейте задачу! И помните о том, что мы сейчас найдем промежутки для новой переменной, а нам нужно найти значения х!

Показать ответ и решение

Положим $t= 21+x2x-$ . Тогда получаем

8t−1+ 2t≤6√2-⇐⇒ (t− √2-)(t− 2√2)≤ 0 √ - √- ⇐⇒ 2≤t≤ 2 2 ⇐⇒ 12 ≤ 1x+2x-≤ 32 ⇐⇒ −1 1 3 ⇐⇒ 0≤ 1+-2x ≤ 2⇐ ⇒ 1+ 2x ≤− 2 ⇐ ⇒ x≤ −4

Ответ:

$(−∞;− 3∕4]$