Параметры на Физтехе

Рассмотрим неравенство системы. Его левая часть обращается в ноль на окружностях и Внутри каждой из окружностей один из множителей в левой части положителен, а второй –– отрицателен. В области вне окружностей оба множителя положительны. Таким образом, неравенство определяет совокупность двух кругов и с центрами в точках и с радиусами и соответственно. Первое уравнение системы определяет прямую с угловым коэффициентом При фиксированном значении –– при фиксированном угле наклона и при получаем всевозможные прямые с угловым коэффициентом

Чтобы система имела ровно решения, прямая должна касаться обоих кругов. Это возможно в том и только том случае, когда угловой коэффициент прямой по модулю равен угловому коэффициенту общей касательной к окружностям. В этом случае за счёт выбора параметра можно подобрать такое положение прямой, что она касалась обеих окружностей.

Пусть и —- точки касания этой прямой с и соответственно. Проведём общую внутреннюю касательную к окружностям, имеющую положительный наклон. Пусть — прямая, параллельная и проходящая через точку пусть также ( поэтому –– угол наклона общей внутренней касательной). Так как и

Тогда из прямоугольного треугольника имеем

Аналогично рассматриваем случай общей внешней касательной. Пусть и — точки касания с и соответственно, — общая внешняя касательная с положительным наклоном. Опускаем из точки перпендикуляр на радиус большей окружности. Тогда и есть угол наклона общей внешней касательной. Имеем а также

Так как подходят и положительные, и отрицательные значения наклона, окончательно получаем или