Тема ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Признаки делимости и равноостаточности

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Разделы подтемы Признаки делимости и равноостаточности

Остатки и делимость по модулю степеней двойки или пятёрки

Остатки и делимость по модулю степеней тройки

Остатки и делимость по модулю 11

Остатки и делимость по модулю 7

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82694

Сколько существует пятизначных чисел, сумма цифр которых делится на 5?

Показать ответ и решение

Будем последовательно выбирать цифры от первого места к последнему.

На первом месте могла оказаться любая цифра, кроме $0.$ На втором, третьем и четвертом местах могла оказаться любая цифра. Осталось выбрать цифру на последнее место. Для этого рассмотрим, какие могли быть остатки у суммы первых четырех выбранных цифр. Обозначим этот остаток через $s,$ а последнюю цифру через $r.$

Если $s =0,$ то $r =0$ или $r= 5$
Если $s =1,$ то $r =4$ или $r= 9$
Если $s =2,$ то $r =3$ или $r= 8$
Если $s =3,$ то $r =2$ или $r= 7$
Если $s =4,$ то $r =1$ или $r= 6$

Заметим, что для каждого $s$ можно выбрать последнюю цифру двумя способами. Это значит, что последнюю цифру нашего числа можно выбрать двумя способами. Тогда количество чисел, сумма цифр которых делится на 5, равно

9× 10× 10 ×10× 2= 18000

Ответ: 18000

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#85561

Аня и Боря играют в игру. Они по очереди (начинает Аня) выписывают по одной цифре, пока не получится шестизначное число. При этом первая выписанная цифра ненулевая и все выписанные цифры различны. Аня выигрывает, если полученное шестизначное число делится хотя бы на одно из чисел: 2,3 или 5. Если этого не случается, то выигрывает Боря. Кто выигрывает при правильной игре?

Источники: Курчатов - 2024, 11.3 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, какие цифры и на какой позиции могли бы принести Боре победу? Что нужно сделать Ане, чтобы предотвратить это?

Подсказка 2

Если на третий ход Бори оставить ему числа 0, 2, 4, 5, 6, 8, то он проиграет. Значит, если Боря хочет победить, то в свой последний ход он подставит одно из числе 1, 3, 7, 9. Какие еще вынужденные ходы можно приписать Боре?

Подсказка 3

Заметим, что чисел 1, 3, 7, 9 не так уж и много, значит Боря не должен их «закончить» раньше своего третьего хода. Тогда какие цифры он должен ставить в своих ходы?

Подсказка 4

Выходит, что Боря в свои первый и второй ходы должен ставить цифры из {0, 2, 4, 5, 6, 8}. Тогда какие цифры должна поставить Аня, чтобы Боря не смог победить в конце?

Подсказка 5

Аня своим первым и вторым ходом поставит 3 и 9. Осталось лишь разобрать случаи того, какие именно ходы сделает Боря! Подумайте, а как должна поступить Аня вторым ходом, чтобы застать Борю врасплох?

Подсказка 6

Обратите внимание на остатки чисел при делении на 3!

Показать ответ и решение

Пусть $a-ba-b-ab- 1 12 23 3$ - итоговое шестизначное число. Пусть также $A = {0,2,4,5,6,8}$ и $B = {1,3,7,9}$ . Заметим, что если Боря своим третьим ходом поставит цифру из множества $A$ , Аня выиграет, поскольку полученное число будет делиться на 2 . Значит, $b3 ∈ B$ .

Пусть Аня первым ходом выберет цифру $a1 = 3$ , а вторым ходом - цифру $a2 =$ 9. Если Боря на первом или втором ходу выберет цифру из множества $B$ , то своим третьим ходом Аня заберет последнюю оставшуюся цифру из множества $B$ , и Боря вынужден будет взять свою цифру $b3$ из $A$ , что приведет к его проигрышу. Значит, Боря вынужден взять первые две свои цифры $b1$ и $b2$ взяты из множества $A$ . Заметим, что Боря вынужден будет на последнем ходе выбрать либо цифру 1 , либо цифру 7 , которые дают одинаковый остаток 1 при делении на 3. Поэтому Ане достаточно подобрать цифру $a3$ так, чтобы сумма цифр $a1+b1+ a2+ b2+ a3$ давала бы остаток 2 при делении на 3 . Поскольку $a1 = 3$ и $a2 = 9$ не влияют на остаток этой суммы, все зависит от остатка суммы $b1+b2$ . Покажем, как действовать Ане в каждом из случаев.

Если $b1 +b2$ делится на 3 , то Аня выберет цифру $a3$ из набора ${2,5,8}$ : поскольку до этого момента эти цифры мог выбирать только Боря, как минимум одна из этих трех цифр останется не выбранной.

Если $b1 +b2$ дает остаток 1 при делении на 3 , Аня выберет цифру $a3 = 1$ . Как мы помним, Боря не мог ее выбрать на первых двух ходах.

Наконец, если $b1+ b2$ дает остаток 2 при делении на 3 , Аня выберет цифру $a3$ из набора ${0,6}$ . Боря не мог выбрать обе эти цифры, поскольку тогда $b1+b2 = 6$ , а мы предположили, что $b1+b2$ дает остаток 2 при делении на 3 .

Таким образом, Аня выиграет.

Ответ:

Аня

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#87530

Запись числа $A$ заканчивается цифрой 3. Если же последнюю цифру переставить в начало, то получится число, на 27 больше $A$ . Найдите $A$ , если известно, что оно делится на 99, или докажите, что такого числа не существует.

Источники: Надежда энергетики - 2024, 11.3 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть в записи числа A участвуют k+1 цифр. Тогда можно составить уравнение.

Подсказка 2

Пусть x это k значное число. Тогда, изначально A = 10x + 3. Измененное число тоже можно записать через x. Тогда можно получить уравнение на x.

Подсказка 3

Из уравнения мы получили решение. Осталось только проверить, что A делится на 99 = 9*11. Вспоминаем признак делимости на 11, рассматриваем разные случаи для k и добиваем задачу.

Показать ответ и решение

Пусть $A$ имеет в своей записи $k+ 1$ цифру, тогда

A= x⋅10+ 3

где $x$ — это какое-то $k$ -значное число. Значит, после перестановки 3 в начало мы получим число

B = 3⋅10k+ x

По условию $B =A + 27,$ получаем равенство

10x+ 3+ 27 =3 ⋅10k+ x

9x= 3⋅10k− 30 =30⋅(10k−1− 1)= 30 ⋅ 9◟9.◝..◜9 ◞ k−1цифр

x =30⋅ 1◟1.◝◜..1◞ = 3◟3..◝.◜30◞ k−1цифр k цифр

Следовательно, можем понять как выглядит $A$

A= 3◟3..◝◜.3◞ 03 k−1цифр

По условию $A$ должно делиться на 99, а следовательно оно делиться на 11. Значит, по признаку делимости на 11, знакопеременная сумма цифр числа $A$ должна делиться на 11. Но видно из его записи, когда $k − 1$ чётно, то знакопеременная сумма равна 3, когда $k− 1$ нечётно, то знакопеременная сумма равна 6. Следовательно, на 11 $A$ делиться не может.

В итоге делаем вывод, что чисел, подходящих под условия задачи, не существует.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#88709

Наудачу взятое целое положительное число $N$ возведено в куб. Найти вероятность того, что полученное число оканчивается на $44$ . Выписать все двузначные числа, удовлетворяющие условию задачи.

Источники: САММАТ - 2024, 11.7 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как записать условие на языке делимости?

Показать ответ и решение

Если $N3 − 44$ кратно $100$ , то $N$ чётно, то есть $N = 2N 1$ , откуда $2N3− 11 1$ кратно $25$ , что равносильно делимости $3 N 1 − 18$ на $25$ . В частности, отсюда следует, что $3 N 1 − 3$ кратно $5$ , откуда $N1 ≡5 2$ , а значит $N1 = 5N2 + 2$ . Таким образом,

3 3 3 3 2 2 N 1 − 18 =(5N2+ 2)− 18= 5N 2 + 3⋅5N2 ⋅2+3 ⋅5N2 ⋅4 +8− 18 ≡2560N2− 10,

откуда $60N2− 10$ кратно $25$ , $12N2− 2$ кратно $5$ , то есть $N2 = 5N3+ 1$ .

В итоге $N =50N3+ 14$ . Отсюда понимаем, что при делении на $100$ число $N$ может давать остатки $14$ и $64$ . Значит, подходящие двузначные числа — $14$ и $64$ , а вероятность — $1200 = 150$ .

Ответ:

Вероятность равна $1- 50$ , двузначные числа: $14,64$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#100498

Петя выписал $200$ последовательных натуральных чисел в некотором порядке, затем Вася под этими числами тоже выписал $200$ натуральных последовательных чисел в некотором порядке. Под каждым число Пети, одно число Васи. Далее Яна перемножила каждое Петино число на число Васи, которое стоит под ним, и получила $200$ последовательных натуральных чисел. Докажите, что кто-то из ребят ошибся.

Показать доказательство

Среди $200$ последовательных чисел на $3$ делится $66$ или $67.$ Пусть среди Петиных чисел, делящихся на $3,$ ровно под $k$ подписаны Васины числа, делящиеся на $3.$ Тогда произведений, делящихся на $3,$ будет не меньше, чем $k+ 2(66− k).$ Это сами $k$ перемноженных чисел и оставшиеся числа делящиеся на $3$ в каждой из строчек. Если у Яны получилось $200$ последовательных натуральных чисел, число $132− k$ должно быть не больше $67,$ откуда $k$ хотя бы $65.$ Но тогда среди Яниных чисел будет хотя бы $65$ таких, которые делятся на $9,$ а чисел, делящихся на $9,$ среди двухсот последовательных натуральных чисел не больше $23$ -ёх. Противоречие.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#33629

Можно ли в числе $123456789$ переставить цифры так, чтобы оно делилось на каждую из своих цифр?

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Итак, среди этих цифр есть цифры, для которых мы знаем признаки делимости! И все они накладывают на число какие-то условия...

Подсказка 2!

2) Ага, найдем среди этих условий те, что выполняются довольно редко, например, признак делимости на 5! Что тогда можно сказать о числе?

Подсказка 3!

3) Да-да, мы знаем, какая у него последняя цифра! И что теперь?

Показать ответ и решение

В записи любого числа, получаемого перестановкой цифр, будут цифры $2$ и $5.$ Чтобы число делилось на $5,$ последняя цифра должна делиться на $5,$ то есть должна быть равной либо $0,$ либо $5.$ При этом чтобы число делилось также и на $2,$ последняя цифра должна быть четной. Поэтому подходит только цифра $0.$ Но в данном в условии числе нет цифры $0,$ поэтому добиться одновременной делимости и на $2,$ и на $5,$ нельзя.

Ответ:

Нет, нельзя

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#65618

В десятичной записи натурального числа, состоящей только из цифр 4 и 5, количество цифр 5 нечётно и на 17 больше количества цифр 4. Найдите все возможные остатки от деления этого числа на 9.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно посмотреть на остаток при делении числа на 9. При этом у нас есть некие условия на его цифры. Тогда что сразу хочется рассмотреть у нашего числа?

Подсказка 2

Верно! Его сумму цифр. Пусть кол-во цифр 5 в числе равно k. Тогда мы знаем и сколько четверок в числе, а значит, и сумму цифр, и её остаток по mod 9.

Показать ответ и решение

Воспользуемся тем, что натуральное число даёт такой же остаток при делении на 9 как и у суммы цифр этого числа. Пусть количество цифр 5 в числе равно $k,$ тогда количество цифр 4 равно $k− 17$ и $k$ нечётно. Теперь посчитаем сумму цифр этого числа:

5k+ 4(k − 17)= 9k − 68= 9(k− 8)+ 4

Тогда остаток при делении на 9 равен 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31499

Является ли число $123456789012345$ квадратом натурального числа?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В подобных задачах часто помогает идея разложения квадрата на простые множители. Можно ли что-нибудь сказать про степени вхождения простых в квадрат?

Показать ответ и решение

Первое решение.

С одной стороны, это число оканчивается на цифру $5$ , то есть делится на $5$ . С другой, число дает при делении на $25$ такой же остаток, что и число, образованное последними двумя цифрами. В нашем случае число, образованное последними двумя цифрами, — это $45$ . Оно не делится на $25$ , значит, и исходное число не делится на $25$ . Итак, число делится на $5$ , но не делится на $25$ .

Заметим, что если число квадрат, то простые числа входят в него в четной степени. Значит, если квадрат делится на 5, то делится и на 25. Но перед нами число, которое делится на $5$ и не делится на $25$ . Значит, оно не квадрат.

Второе решение.

Это число даёт остаток $8$ при делении на $11$ , однако квадраты могут быть сравнимыми только с $0,1,3,4,5,9$ по модулю $11$ , значит, искомое число не квадрат.

Ответ:

нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31500

На доске написано число $1$ . Каждую секунду к числу на доске прибавляют сумму его цифр и записывают результат вместо предыдущего. Может ли через некоторое время на доске появиться число $123456$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Всегда, когда в задаче возникает сумма цифр, полезно вспомнить про принципы равноостаточности по модулям 3 и 9. Например, рассмотрим модуль 3. Если число не делится на 3, может ли после прибавления к нему его суммы цифр получиться число, кратное 3?

Подсказка 2

Из перебора остатков следует, что это невозможно. Исходное число 1 не делится на 3. А делится ли на 3 число 123456?

Подсказка 3

Конечно, оно кратно 3. Но тогда, прибавляя сумму цифр, мы не могли получить его, ведь исходное число не делится на 3!

Показать ответ и решение

Сумма цифр числа даёт такой же остаток при делении на $3$ , что и само число. Поэтому если число имеет ненулевой остаток при делении на $3$ , то после сложения с суммой его цифр не получится кратное трём число: $1+1 =2,2+ 2= 4≡ 1$ (mod $3$ ).

$1$ не делится на $3$ . Значит, при выполнении данной операции на доске никогда не появится число $123456$ , которое делится на $3$ .

Ответ:

нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31501

Какую наименьшую сумму могут иметь девять последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на $1234567$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала стоит как-нибудь обозначить эти девять последовательных чисел, удобно сделать это симметрично, т.е. взять a-4 как первое число, тогда последнее будет a+4. Что можно сказать про сумму этих чисел? Что это означает для десятичной записи этой суммы?

Подсказка 2

Сумма равна 9a, т.е. делится на 9. Но тогда из признака делимости на 9 можно оценить снизу сумму оставшихся цифр. Какое тогда может быть минимальное число?

Подсказка 3

Сумма оставшихся цифр хотя бы 8 ⇒ минимальное число 81234567. Отсюда легко находится a, из которого следует пример подходящих девяти чисел.

Показать ответ и решение

Давайте введём симметричные обозначения для девяти последовательных чисел: пусть первое число равно $a − 4$ , тогда сумма

...1234567 =a − 4+ a− 3+ a− 2 +...+ a+ 3+ a+ 4= 9a.

Заметим, что $9a$ делится на $9$ , и значит, сумма цифр числа

...1234567

должна делиться на $9$ . Тогда сумма оставшихся цифр хотя бы $8$ , и поэтому минимальное число $81234567$ . Для него подходит $a = 812349567 =9026063$ (досчитывать на олимпиаде необязательно, но нужно пояснить, почему это число целое и почему подходит).

Ответ:

$81234567$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31508

Сколько натуральных чисел, делящихся на 4 и меньших 1000, не содержат в десятичной записи ни одной из цифр 3, 4, 5, 7 и 9?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Натуральные меньше 1000 это от 1 до 999. Понимаем, что использовать мы можем только цифры 01268, причем они повторяются. Что нужно от числа для делимости на 4?

Подсказка 2

Да, две последние цифры - это число, кратное 4. Составим всевозможные 1-значные 2-значные, делящиеся на четверку числа из данных цифр - они уже пойдут в ответ. А используя эти числа, найдем количество подходящих 3-значных?

Показать ответ и решение

Нас интересуют только однозначные, двухзначные и трехзначные числа. Давайте сделаем их всех трехзначными, дописав в начале нули. На делимость на $4$ влияют только $2$ последние цифры, поэтому на первом месте может стоять любая цифра, кроме $3,4,5,7$ и $9$ . Наше число делится на $2$ , поэтому третья цифра должна быть четной. Пусть на втором месте $a$ , на третьем $b$ . Для $b$ у нас есть варианты $0,2,6,8$ . Если $b= 2$ или $b =6$ , то $a$ может быть только $1$ . Если $b= 0$ или $b= 8$ , то $a$ может быть равно $0,2,6,8$ . Итого для пары $a$ и $b$ всего $2⋅1+ 2⋅4= 10$ вариантов и тогда для всего числа $10⋅5= 50$ вариантов, но среди этих вариантов есть случай $000$ . Он нам не подходит, так как число должно быть натуральным.

Ответ:

$49$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#32148

На доске было написано число вида $77...77$ . Петя стёр у этого числа последнюю цифру, полученное число умножил на $3$ и к произведению прибавил стёртую цифру. С полученным числом он проделал такую же операцию, и так далее. В конце осталось однозначное число. Чему оно может быть равно?

Показать ответ и решение

Пусть в некоторый момент у нас было записано число $10a+ b$ , где $b$ — последняя цифра. Тогда следующее написанное число $3a+ b$ , то есть остаток от деления числа на $7$ не поменялся. Изначально он был равен $0$ , но тогда в конце он тоже $0$ . Число $0$ получиться не могло, поэтому осталась цифра $7$ .

Ответ:

$7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32149

Докажите, что запись числа $3k$ при натуральном $k> 1$ не может состоять из одних троек.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если k>1, то выходит, что 3^k делится на 9. Что тогда можно сказать про цифры этого числа?

Подсказка 2

Да, их сумма делится на 9. Если мы предполагаем, что наше число состоит только из троек, и при этом сумма его цифр делится на 9, то что можно сказать?

Подсказка 3

Верно, что кол-во троек кратно 3. На что тогда еще делится данное число, если состоит из блоков по три тройки?

Показать доказательство

При $k> 1$ число $3k$ делится на $9,$ тогда и его сумма цифр делится на $9.$ Предположим, что десятичная запись состоит из одних троек, тогда количество троек в записи делится на $3.$ Значит, наше число делится на $111$ (каждый “блок” из троек делится на $111),$ то есть и на $37,$ поэтому число не является степенью тройки — противоречие.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#32152

Натуральное число в $101$ раз больше суммы своих цифр. Докажите, что оно имеет хотя бы $7$ различных натуральных делителей.

Источники: Лига Открытий - 2022

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если в условии задачи фигурирует сумма цифр и задача на теорию чисел, то по какому модулю нужно посмотреть на что-то в задаче?

Подсказка 2

Да, по модулю 9, используя признак равноостаточности. Но если у нас число и его сумма цифр имеют одинаковый остаток по модулю 9, что можно сказать про их разность?

Подсказка 3

Да, с одной стороны она равна(если сумма цифр равна r), 101r-r=100r, но ведь тогда наше число делится на 9. На что еще делиться наше число , если оно в 101 раз больше суммы цифр? Какой тогда вывод можно сделать про кол-во делителей?

Показать доказательство

Мы знаем, что натуральное число даёт тот же остаток $r$ при делении на $9,$ что и его сумма цифр. Число $101$ дает остаток $2$ при делении на $9,$ то есть $2r − r$ делится на $9,$ откуда и наше число делится на $9.$ Тогда у него есть делители $1,3,9,101,303,909.$ Предположим, что других делителей нет. Тогда наше число равно $909,$ но $909$ не подходит, поэтому у числа хотя бы $7$ различных натуральных делителей.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#32154

Можно ли натуральные числа от $1$ до $2017$ расположить в ряд так, чтобы сумма любых четырех из них, стоящих через одно (например, первого, третьего, пятого и седьмого или второго, четвертого, шестого и восьмого), делилась на $7?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Предположим, что можно сделать как по условию. То есть, к примеру, сумма первого, третьего, пятого, седьмого делится на 7, при этом сумма третьего, пятого, седьмого и девятого тоже делится на 7. Какой вывод из этого можно сделать про первое и девятое числа?

Подсказка 2

Да, что числа с номерами 1 и 9 имеют одинаковый остаток по модулю 7. Но ведь нам ничего не мешает сдвинуть всю нашу выборку на 1, или 2, или еще на сколько-то? Попробуйте обобщить этот вывод.

Подсказка 3

Общий вывод таков: числа, номера которых сравнимы по модулю 8, сравнимы по модулю 7. На какие группы тогда разбиваются числа из нашего набора?

Подсказка 4

На 8 групп в каждой из которых все числа имеют одинаковый остаток по модулю 7. Но ведь тогда по принципу Дирихле какой-то из остатков по модулю 7 повторяется(есть две группы, объединив которые, получится одна. Все числа в ней будут иметь одинаковые остатки по модулю 7). Как тогда можно оценить снизу наибольшее из этих чисел? Найдите противоречие!

Показать ответ и решение

Заметим, что числа, номера которых дают одинаковый остаток по модулю $8,$ дают одинаковый остаток по модулю $7.$ Поскольку $2017= 8⋅252+ 1,$ то мы имеем $8$ групп с, как минимум, $252$ числами и одинаковым остатком по модулю $7$ в каждой. Отсюда найдутся две группы с одинаковым остатком ( $8> 7⋅1$ ), то есть чисел с таким остатком по модулю $7$ будет не менее $2017 2⋅252> 7 +1$ — чисел с любым остатком по модулю $7$ не больше, чем столько, противоречие.

Ответ:

нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#33117

Гарри Поттер перемножил все десятизначные числа, запись которых состоит только из цифр $1$ и $6$ , и вычел из полученного произведения число $1$ . Может ли результат оказаться простым числом?

Показать ответ и решение

Способ 1. Так как десятизначные числа, перемножаемые Гарри, состоят только из цифр $1$ и $6$ , то и оканчиваются они только на $1$ или $6$ . Но числа, оканчивающиеся на $1$ и $6$ , дают остаток $1$ при делении на $5$ . Значит, Гарри перемножал числа, дающие остаток $1$ при делении на $5$ . Тогда и произведение дает остаток $1$ при делении на $5$ . Поэтому после вычитания $1$ из произведения мы получим число, делящееся на $5$ . А так как результат больше 5, то быть простым и делиться на 5 он не может.

Способ 2. Заметим, что хотя бы одно число, которое перемножал, заканчивается на 6. Так как умножать мы можем в любом порядке, результат не изменится, будем умножать именно это число на остальные последовательно. Последняя цифра произведения зависит только от последних цифр сомножителей. Но $6⋅1$ оканчивается на $6$ , и $6⋅6$ также оканчивается на $6$ . Значит, произведение всегда будет оканчиваться на $6$ . Тогда после вычитания из произведения числа $1$ результат будет оканчиваться на $5$ . Но число, оканчивающееся на $5$ , делится на $5$ . И так как результат больше $5$ , то он не может быть простым.

Ответ: Нет, не может

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#33617

Является ли число $12345678901234$ квадратом натурального числа?

Показать ответ и решение

Применим признаки делимости на $2$ и на $4$ . С одной стороны, число оканчивается на цифру $4$ , и так как она четная, то это число делится на $2$ . С другой стороны, число дает при делении на $4$ такой же остаток, как и число, образованное последними двумя цифрами. При этом $34$ дает остаток $2$ при делении на $4$ . Итак, число делится на $2$ , но не делится на $4$ , значит, квадратом оно быть не может.

Ответ: Нет, не является

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#33619

В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное простое число равно $23021377− 1$ . Напомним, что число называется простым, если оно имеет ровно два натуральных делителя: единицу и само это число.

Показать ответ и решение

Любая степень числа, оканчивающегося цифрой 1, тоже оканчивается цифрой 1. Поэтому разность $23021377− 1$ оканчивается на 0 и, следовательно, не является простым числом, так как делится на 10.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#33625

На вопрос: “В каком году Вы родились?” Дмитрий Алексеевич не дал прямого ответа. Но сказал, что две последние цифры его года рождения такие же, как у произведения всех двузначных чисел, уменьшенного на $5$ . Приглядевшись, вы заметили, что Дмитрию Алексеевичу меньше ста лет. В каком году родился Дмитрий Алексеевич?

Показать ответ и решение

Если перемножить все двузначные числа, получится число, которое делится на $100$ . Значит, оно оканчивается на два нуля. Поэтому, вычтя из него $5$ , мы получим число, оканчивающееся на $95$ . Итак, Дмитрий Алексеевич родился в году, оканчивающемся на $95$ . Это либо $1995$ , либо $1895$ , либо раньше. Так как Дмитрию Алексеевичу меньше ста лет, то подходит только $1995$ .

Ответ: 1995

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#33630

Известно, что степень двойки оканчивается на $6$ . Докажите, что предпоследняя цифра нечетная.

Показать ответ и решение

Обозначим часть числа без двух последних цифр через $k$ , а предпоследнюю цифру через $x$ . Тогда исходное число можно представить в виде $100k+10x+ 6$ . Так как само число — степень двойки, и оно явно не равно $2$ , то это число делится на $4$ . Итак, $100k+ 10x +6$ делится на $4$ .

Слагаемое $100k$ всегда делится на $4$ , поэтому число дает такой же остаток, что и сумма $10x +6$ . Если $x$ делится на $2$ , то $10x$ делится на $4$ , и тогда исходное число дает такой же остаток, как и число $6$ , то есть дает остаток $2$ . Но в таком случае оно не делится на $4$ , чего не может быть. Значит, $x$ не делится на $2$ , и таким образом предпоследняя цифра числа нечетная.

Ответ:

Предыдущий раздел

Следующий раздел