Делимость и делители (множители)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что
для попарно различных
Подсказка 1:
В этой задаче выгодным ходом будет рассмотрение разностей чисел ab + 1, bc + 1, ca + 1, ведь они тоже будут делиться на нод.
Подсказка 2:
А если дополнительно учесть, что НОД взаимно прост с a, b и c? Кстати, почему?
Подсказка 3:
Для дальнейшего доказательства давайте поймём, что неравенство инвариантно относительно перестановки переменных. Значит мы можем упорядочить переменные. Осталось только хорошо ввести обозначения, применить очевидную оценку, и готово.
Так как наибольший общий делитель, назовем его делит числа
то
делит и их разности, имеем:
Так как делит
то
взаимнопросто с
и
аналогично и с
тогда
Пусть Положим
где
Наибольший общий делитель чисел не превосходит меньшего из них
по модулю, тогда
и
Необходимо доказать, что это уже очевидно ведь
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сколькими способами можно представить число в виде произведения двух натуральных чисел
и
где
делится на
Источники:
Подсказка 1
Заметим, что x и y имеют в разложении на простые множители только двойки и тройки. Как соотносятся их степени вхождения, если y делится на x?
Подсказка 2
Да, степень вхождения и двойки, и тройки в y больше, чем в x. Тогда можно обозначить эти степени вхождения переменными, а дальше перемножить варианты степени вхождения двойки и тройки в y.
Заметим, что делитель числа не может иметь простые множители кроме 2 и 3, так как само
имеет только эти простые числа в своем
каноническом разложении. Отсюда любой делитель
имеет вид
где
и
Тогда так же имеет вид
с аналогичными условиями на
и
Отсюда
Рассмотрим отношение чисел и
Получившееся число является целым, так как делится на
по условию. Это значит, что
и
то есть
и
Таким образом, у нас есть способ выбрать число
на каждый из которых есть
способ
выбрать число
откуда количество способов выбрать пару
и
равно
При этом каждая такая пара задаёт
разложение числа
на множители
и
где
делится на
поэтому
и будет ответом.
50451
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для каждого натурального числа возьмём
и
НОД
Чему равно максимально возможное значение
Источники:
Подсказка 1
Как мы умеем искать НОД у двух чисел? Каким методом можно воспользоваться?
Подсказка 2
Воспользуйтесь алгоритмом Евклида!
Подсказка 3
(n²+300, (n+1)² + 300) = (n²+300, 2n+1). Далее цепочку продолжите сами ;)
Будем пользоваться соотношениями:
Запишем цепочку равенств:
Остаётся заметить, что последняя величина не превосходит 1201, и равенство достигается при
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Верно ли, что число
делится на
Источники:
Подсказка 1
Чтобы что-то понять про делимость, бывает полезно разложить число на произведение каких-то множителей.
Подсказка 2
Чтобы было удобнее раскладывать, можно попробовать заменить какое-то число на переменную x.
Подсказка 3
Для удобства заменим 2024, чтобы было проще работать со степенью. Осталось проверить делимость на (x - 1)².
Заметим, что
Пусть Тогда выражение примет вид
Нам необходимо проверить делимость на
Одна из скобок уже равна осталось проверить делимость второй на
А это верно, так как каждая из разностей вида
делится на
а, значит, и сумма тоже делится.
Верно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дано натуральное число Натуральное число
назовём удачным, если найдутся
последовательных натуральных
чисел, сумма которых равна сумме
следующих за ними натуральных чисел. Докажите, что количество удачных чисел
нечётно.
Источники:
Подсказка 1:
Ясно, что m > n. Давайте для удобства обозначим m = n + k и будем считать количество таких k. Осталось записать условие на равенство сумм, пользуясь формулой суммы членов арифметической прогрессии.
Подсказка 2:
Пусть первой наименьшее число среди n чисел равно x. Тогда у вас должно получиться равенство, в котором участвуют x, k и n. Обратите внимание на чётность множителей.
Подсказка 3:
У вас должно было получиться равенство (2x + k - 1)k = 2n². Давайте заметим, что у 2n² нечётное количество нечётных делителей. А сколько значений х соответствует распределению делителей по скобочкам?
Решение 1. Ясно, что положим
где
— натуральное, и будем искать количество подходящих
то есть таких
для которых уравнение
имеет решение в натуральных Преобразуем, пользуясь формулой суммы арифметической прогрессии. Получим:
Умножив на и приведя подобные слагаемые получаем:
Слева в уравнении (*) два сомножителя разной чётности, дающие в произведении при этом левый сомножитель
больше правого. Наоборот, если зафиксировать нечётный делитель
числа
то, зная
найдём дополнительный
делитель
и далее из системы
однозначно находим натуральное
(равное
Итак, количество подходящих равно количеству нечётных делителей числа
которое, в свою очередь, равно количеству всех
делителей числа
где (нечётное)
получается из
делением на наибольшую степень двойки, входящую в разложение
Но
количество делителей точного квадрата нечётно (так как все делители числа
кроме
можно разбить на пары:
и только
делитель
остаётся без пары).
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Решение 2.
Очевидно, где
натуральное. Запишем равенство из условия в виде
Отсюда:
Чтобы условие задачи выполнялось с данным необходимо и достаточно, чтобы
было целым неотрицательным.
Положим где
нечётное,
целое неотрицательное. Тогда
будет целым в двух случаях: (а) если оба члена равенства (**)
целые
(б) если оба они полуцелые
Первый случай имеет место, когда
— нечётный делитель числа
то есть делитель числа
Количество
таких значений
нечётно, поскольку это всевозможные делители полного квадрата. Второй случай означает,
что
где — делитель числа
Между первым и вторым множеством значений
есть биекция: каждому
из первого множества
соответствует число
из второго множества, и обратно.
Пусть — пара из указанной биекции, причём
Тогда при
получится неотрицательное
а при
отрицательное.
Действительно, в силу
требуется проверить неравенство
Но что и требовалось. Поэтому подходящих значений
будет ровно
то есть нечётное
количество.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Степень вхождения простого числа в натуральное
равна
а степень вхождения
в натуральное
равна
Докажите, что
степень вхождения
в
равна
а степень вхождения
в
равна
Вспомним, что одно натуральное число делится на другое тогда и только тогда, когда для каждого простого множителя, входящего в разложение первого и второго чисел, степень вхождения в первое число не меньше степени вхождения во второе число.
Не умаляя общности, пусть тогда
1) Пусть НОД По определею НОД
— это наибольший общий делитель
и
то есть и
и
делятся на
и нет
числа, большего, чем
на которое так же делятся и
и
Если степень вхождения в
больше
то
не будет делиться на
— противоречие.
Если степень вхождения в
меньше
и равна
то
где
и
взаимнопросты. Тогда и
и
делятся на
а
так же и
и
делятся на
Из взаимнопростости
и
следует, что и
и
делятся на
при этом
—
противоречие.
Получается, степень вхождения в
равна
2) Пусть НОК По определею НОК
— это наименьшее общее кратное
и
то есть
делится и на
и на
и нет
числа, меньшего, чем
которое так же делится и на
и на
Если степень вхождения в
меньше
то
не будет делиться на
— противоречие.
Если степень вхождения в
больше
и равна
то
где
и
взаимнопросты. Рассмотрим число
Так как
делится на
и
то в
входят все простые числа, входящие в
и
кроме
при этом их степень не меньше, чем в
и
Получатся,
делится и на
и на
при этом
— противоречие.
Получается, степень вхождения в
равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все натуральные для которых существует такое чётное натуральное
что число
является точным квадратом.
Источники:
Подсказка 1:
Попробуйте сначала вручную разобраться с n = 1, 2, 3. Для этих случаев достаточно вспомнить утверждение о том, что если произведение двух взаимно простых чисел — квадрат, то каждое из них также является квадратом. В частности, при n = 3 надо поработать с нодами скобок a - 1, a + 1, a² + a + 1. Быть может, этот ход мыслей можно развить и для больших n?
Подсказка 2:
Итак, скорее всего вы поняли, что n = 1, 2 подойдёт, а n = 3 — нет. Чем остальные случаи отличаются. Например, если n > 3, то оно находится между двумя натуральными степенями двойки. То есть существует такое натуральное k, что 2^k ≤ n < 2^{k + 1}. Подумайте, как это можно использовать.
Подсказка 3:
Если записать скобку a^{2^k} – 1 как (a^{2^{k – 1}} – 1)(a^{2^{k – 1}} + 1), то становится ясно, что все произведение состоит из скобки a^{2^{k – 1}} + 1 и скобок вида a^m – 1. А как насчёт того, чтобы посмотреть на нод выражений a^{2^{k – 1}} + 1 и a^{2^k} – 1 с произвольной скобкой a^m – 1?
Подсказка 4:
Нод второго выражения и a^m – 1 кратен ноду первого выражения и a^m - 1. Чтобы было проще работать, вот вам интересный факт: нод второй скобки и a^m – 1 равен a^нод(2^k, m) – 1. Осталось поработать с нодом 2^k и m.
Подсказка 5:
Исходя из выбора k, ясно, что нод 2^k и m не превышает 2^{k – 1}. Попробуйте теперь показать, что ноды выражений a^{2^{k – 1}} + 1 и a^{2^k} – 1 с a^m – 1 совпадают. Кажется, это раскроет идею подсказки 3.
Подсказка 6:
Стало быть, a^{2^{k – 1}} + 1 — точный квадрат. А вас это не смущает?
Заметим, что для подойдёт
Для
подойдёт
Предположим, что для нашлось требуемое число
Тогда число
является точным квадратом. Поскольку
числа и
взаимно просты. Раз число
нечётно, числа
и
также взаимно просты. Следовательно,
числа
и
— точные квадраты. В частности, число
при делении на 3 может давать лишь остаток 0 или 1, а
тогда число
не делится на 3. Отсюда
значит, числа и
также являются точными квадратами. Но второе являться квадратом не может,
поскольку
Противоречие.
Осталось доказать, что требуемого не существует при
Предположим, что такое
нашлось. Возьмём такое натуральное
что
Поскольку
число
представляется в виде произведения и нескольких множителей вида
где
и
Докажем, что множитель взаимно прост со всеми остальными множителями в этом разложении. Пусть
и
имеют некоторый общий делитель
Тогда и НОД
и
кратен
Но
Поскольку и
число
не может делиться на
Таким образом,
— степень двойки,
не превосходящая
Следовательно,
делится на НОД
и
а, значит, делится и на
Поскольку
чётно, числа
и
не имеют общих делителей, отличных от 1, значит,
что и
требовалось.
Множитель взаимно прост со всеми остальными множителями в произведении, являющемся точным квадратом, поэтому он
сам является точным квадратом. Тогда
и
— отличающиеся на 1 квадраты натуральных чисел, что невозможно. Значит,
наше предположение неверно, и для
требуемых чисел
не найдётся.
и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Обозначим за число натуральных делителей числа
(включая единицу и само число). Найдите все такие
что
Источники:
Подсказка 1
Так как n представимо как 33 * d(n), то, не мудрствуя лукаво, легко понять, что n делится на 3 и на 11. Зная эти факты, можем записать, как будет выглядеть число n в разложении на простые множители.
Подсказка 2
Зная информацию из подсказки 1 и равенство из условия можно записать несколько уравнений. Подставив одно в другое, можно понять, что 3 и 11 могут входить в состав числа n только в очень маленьких степенях.
Подсказка 3
Да! Действительно. Пусть в состав числа n 3 входит в степени l, а 11 в степени k. Тогда надо разобрать всего 2 случая: k = l = 1; k = 1, l = 2. Осталось только аккуратно рассмотреть, что получается в этих случаях и какие из них реализуются.
Очевидно, делится на
и на
Разложим
в произведение степеней простых чисел:
Тогда
Разделив на
получим
Заметим, что все дроби в этом произведении, кроме первых двух, гарантированно не меньше (равенство достигается только в случае
). Тогда как минимум одна из первых двух дробей не превосходит единицы, как и их произведение.
Вторая дробь не превосходит единицы только при В этом случае она равна
Первая же дробь может быть равна как
при
так и
при
При этом при
вторая дробь составляет как минимум
а при
первая дробь составляет как миниумм
И то и другое больше двух, что делает произведение дробей больше
единицы.
Осталось разобрать два случая: и
В первом случае и первая, и вторая дробь равны
а их
произведение составляет
Значит, произведение остальных должно быть равно
Множитель
в числителе может
получиться только одно из оставшихся простых чисел равно
Рассмотрим дроби вида
которые не превосходят
это
:
Нас устраивают только дроби, у которых после сокращения в числителе остаётся хотя бы Если мы используем дробь
нам
понадобиться ещё один множитель
в числителе, которого у нас нет, если же возьмём
нам понадобится ещё дробь с
в числителе,
то есть минимум
что уже даёт слишком большое произведение.
Во втором случае первая дробь равна а вторая равна
Значит, произведение остальных должно быть равно
Мы можем
добавить к ним только
и получить единицу в качестве произведения.
Значит,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть и
— целые числа. Докажите, что если
делится на
то и
делится на
Выделим полный квадрат:
По условию
кратно 11, кроме того и тоже кратно 11. Значит,
тоже обязано быть кратно 11. Так как 11 — это простое число, то это
означает, что
кратно 11.
Теперь распишем как разность квадратов и получим
, а, так как ранее определили, что множитель
кратен
11, то и все произведение тоже будет делиться на 11.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что натуральных чисел: от
до
можно разбить на две группы так, чтобы сумма чисел первой группы
равнялась произведению чисел второй. а) Какое наименьшее и б) какое наибольшее количество чисел может быть во второй
группе?
Источники:
Пункт а, Подсказка 1
Раз просят наименьшее, то давайте будем пробовать добавлять по одному числу, начиная с 0. Что будет, если у нас всего одно число во второй группе?
Пункт а, Подсказка 2
Сумма оставшихся чисел не меньше 190 — сильно много. Теперь для двух чисел во второй группе.
Пункт а, Подсказка 3
211 = (a+1)(b+1), бывает ли так?
Пункт а, Подсказка 4
211 — простое. Приведите пример для трёх чисел.
Пункт б, Подсказка 1
Как можно снизу оценить произведение через количество выбранных чисел?
Пункт б, Подсказка 2
Если чисел хотя бы 6, то произведение хотябы 6! = 720 > 210. Значит, чисел не больше 5.
Пункт б, Подсказка 3
Предположим, подойдёт пятёрка (1,2,3,4,x). Найдите x.
a) Сумма всех чисел от 1 до 20 равна 210. Очевидно, что во второй группе больше одного числа, так как в противном случае оно
было бы равно сумме оставшихся 19 чисел, тоесть не меньше, чем Покажем, что на самом деле во
второй группе больше двух чисел. Действительно, в противном случае для чисел
и
из второй группы выполнялось бы
равенство
Раз 211 — простое число, следовательно, данное уравнение не имеет решений на промежутке от 1 до 20. Приведем пример второй группы из 3 чисел. Сначала возьмем единицу, будет верно, что
Нам подойдут тройки и
б) Докажем, что чисел во второй группе меньше 6. В противном случае, наименьшее произведение чисел второй группы равнялось бы
Получили противоречие с равенством произведения чисел второй группы и суммы чисел первой группы. Подберем пример для случая,
когда во второй группе 5 чисел. Предположим, что подойдет пятерка вида где
Должно выполниться
условие
Подойдет набор
а) 3; б) 5
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Натуральные числа и
таковы, что сумма
целая. Докажите, что оба слагаемых целые.
Возьмём произвольное простое число Пусть
По условию число
является целым. Значит,
Возникает два случая, которые нужно рассмотреть: если и если
В случае равенства мы не сможем вычислить
зато можно сразу сказать, что тогда
и
что в силу произвольности выбора
даёт требуемое. Пусть теперь
Условие инвариантно относительно перестановки
и
Значит, можно, не умаляя общности предположить, что
Тогда
Следовательно, или же
Это даёт делимость
на
а делимость
на
вытекает из
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все натуральные числа и простые числа
удовлетворяющие уравнению
В правой части стоит степень простого числа, поэтому в левой части единственным простым делителем является то есть
Подставим эти выражения в исходное равенство:
Степень вхождения с обеих сторон должна быть одинаковой:
Рассмотрим случай Тогда
но
так что это невозможно. Теперь вернёмся к равенству степеней вхождения
Поскольку в правой части стоит степень
степени вхождения
в
и
должны быть равны. Значит,
и
Пусть Тогда
так что решений нет. При
получаем
и
Это уравнение не имеет решений в целых числах. Теперь остался случай Равенство на степени вхождения превращается
в
Снова сделаем оценку то есть
Такое неравенство выполняется при
При
решений
нет, при
решений тоже нет. При
получаем
При
получаем
или
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны натуральные числа Оказалось, что
делится на
Докажите, что
— точная
-я степень натурального
числа.
Будем считать иначе утверждение очевидно. Пусть
— простой делитель
и
— его степень вхождения. Пусть
— степень
вхождения
в
Предположим, что
Тогда выражение из условия не делится на
то есть не делится и на
Итак,
Посчитаем степень вхождения
в
В
это
Значит, в
степень вхождения
строго
больше, чем
Рассмотрим это выражение по модулю
оно даёт остаток 0. Так как
то
делится
на
следовательно,
тоже. Но
имеет степень вхождения
в точности
поэтому такую же степень
вхождения должно иметь и
Значит,
то есть степень вхождения
в
делится на
что и требовалось
доказать.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Назовем год замечательным, если номер года делится на сумму двузначных чисел, из которых этот номер составлен. Например, год —
замечательный, поскольку
делится на
Сколько ещё замечательных годов в XXI веке (с
по
год
включительно)?
Источники:
Заметим, что года, у которых третья цифра 0, не могут быть замечательными, так как эти годы не составлены из двух двузначных чисел.
Так что можем обозначить год как при этом
Рассмотрим разность
Так как замечательное число делится на
рассмотренная разность также должна делиться на
Перечислим
делители числа
лежащие на отрезке
Так как подходящих делителей 11, в XXI веке 11 замечательных годов, то есть кроме 2025 есть ещё 10 замечательных годов.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что
Подсказка 1
Решение будем строить комбинаторно, а, значит, пора определяться, для какого множества (из скольки элементов) и какие объекты будем считать.
Подсказка 2
Правая часть чётко говорит брать 2n элементов и считать число подмножеств из n элементов. Слева же в каждом слагаемом перемножают цешки из n. Что бы это могло значить?
Подсказка 3
В таком случае логично разбить наше множество на две группы по n элементов, тогда перемножая цешки будем считать число способов выбрать подмножество, где какое-то конкретное число элементов из первой группы и какое-то конкретное - из второй. Только вот мы хотим получать в сумме n выбранных...
Пусть имеется множество из
элементов. Тогда справа
количество его подмножеств мощности
Посмотрим теперь, что будет слева. Разделим на два непересекающихся подмножества
и
по
элементов в каждом. В силу
верно
Тогда
количество способов выбрать в
подмножество мощности
что
элементов лежат в
остальные
в
Проходясь по всем
получаем всевозможные подмножества
мощности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сумма всех натуральных делителей числа более чем в 100 превосходит само число
. Докажите, что есть сто идущих подряд чисел,
каждое из которых имеет общий делитель с
больший 1.
Источники:
Сначала докажем лемму.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Лемма.
Пусть - функция Эйлера числа
(Количество чисел от
до
взаимно простых с
) Тогда для любого натурального числа
справедливо неравенство
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Доказательство леммы.
Запишем сумму делителей числа через произведение сумм степеней его простых делителей. Если
то
Используя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем:
Функция Эйлера вычисляется по формуле Тогда чтобы получить
в
знаменателе, домножим числитель и знаменатель на
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Решение задачи.
По условию и лемме
Тогда
То есть количество чисел от до
взаимно простых с
меньше
Рассмотрим два случая: делится на
и
не делится на
1. Число делится на
Тогда можно разбить числа от
до
на
групп по
идущих подряд чисел. Если
количество чисел от
до
взаимно простых с
меньше
, то хотя бы в одной группе не будет числа взаимно простого с
2. Число не делится на
Тогда среди чисел
до
можно выделить
групп по
идущих подряд чисел. Если в каждой
группе будет число взаимно простое с
, то чисел взаимно простых с
хотя бы
(
тоже взаимно проста с
). Это
противоречит тому, что количество чисел от
до
взаимно простых с
меньше
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Можно ли вычеркнуть из произведения один из факториалов так, чтобы произведение оставшихся было квадратом целого
числа?
Отсюда видно, что, вычеркнув мы получим квадрат числа
Да, можно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дано различное натуральное число, меньшее
Известно, что среди любых трех из них есть два, дающих в произведении точный
квадрат. Докажите, что среди этих чисел есть точный квадрат.
Предположим, что среди этих чисел нет точного квадрата. Обозначим через все простые числа, меньшие
Заметим, что по
условию каждое выписанных чисел раскладывается в произведение
в некоторых степенях. Каждое из наших простых чисел
входит в одно выписанное число в четной или нечетной степени. Сопоставим каждому выписанному числу последовательность из
и
длины
Число на
- ой позиции будет равно
если
в ходит в выписанное число в нечетной степени и
в
противном случае (на самом деле это и есть бесквадратная часть, про которую мы говорили в теории). Предположим, что среди
последовательностей выписанных чисел есть три различные. Тогда для трех соответствующих этим последовательностям чисел не
выполнено условие (два числа в произведении могут давать точный квадрат, только если четности вхождения каждого
- ого
одинаковые).
То есть мы показали, что различных последовательностей может быть не больше Обозначим эти последовательности через
и
Обозначим через
Очевидно что
Считаем. что
тогда
так
как при
мы получим, что числа являются квадратами, а мы предположили, что их нет. Каждое из выписанных чисел дает
точный квадрат либо при делении на
либо при делении на
Причем для чисел, которым соответствуют одинаковые
последовательности, эти квадраты должны быть различными. Рассмотрим наибольшее выписанное число, которому соответствует
последовательность
-шек. Оно равно
для некоторого натурального
откуда
то есть
Но тогда количество
выписанных чисел, которым соответствует первая последовательность, не превосходит
Аналогично поступаем со второй
последовательностью. Опять рассматривает наибольшее число
откуда
то есть
откуда таких
чисел не больше
То есть всего чисел не больше, чем
Получили противоречие с количеством данных
чисел.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все такие составные числа что для любого разложения на два натуральных сомножителя
сумма
является
степенью двойки.
Подставив получим, что
для некоторого натурального
Пусть
где
и пусть
для
некоторого натурального числа
Очевидно, что
Тогда
Перемножив эти равенства, получим, что число делится на
Но двойка входит в одно из чисел
или
в первой степени, а во второе — в степени, не большей
Аналогично для чисел
и
Следовательно, делимость на
возможна, только если в обеих упомянутых оценках двойки входит в степени ровно
Это
возможно, лишь если
(поскольку
и
). Тогда
и
делится на
Значит, можно считать, что в наших рассуждениях выбрано
Тогда
и
— единственное подходящее
число.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что если делится на
то сумма всех делителей натурального числа
тоже делится на
Подсказка 1
Видим, что задача на остатки! Тогда сразу же нужно разложить число 24 на степени простых и понять, какие остатки имеет n при делении на эти числа.
Подсказка 2
Число n имеет остаток 2 при делении на 3 и остаток 7 при делении 8. Теперь наша задача — понять что-то про сумму всех делителей числа n. Поскольку мы ничего не знаем про эти делители в совокупности, можно попробовать разбить их на пары определённым образом. (Почему делителей у n чётное число?)
Подсказка 3
Наши пары делителей — d и n/d. Произведение каждой пары равно n и имеет соответствующие остатки при делении на 3 и 8. Осталось осуществить небольшой перебор и понять, какие пары остатков могут давать d и n/d при делении на 3 и 8!
Так как делится на
и
то
при делении на
даёт остаток
а при делении на
— остаток
Разобьём делители на пары вида так как число
не может быть полным квадратом ввиду противоречия с делимостью на
Заметим, что если
даёт остаток
при делении на
то
даёт остаток
и наоборот. Поэтому сумма делителей в каждой такой
паре кратна
Аналогично, сумма делителей в каждой такой паре кратна