Тема Уравнения в целых числах

Разложение на целые скобки

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела уравнения в целых числах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#95968Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом. Напомним, что натуральное число называется простым, если у него ровно $2$ делителя: $1$ и само это число. Начало ряда простых чисел: $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ …

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Представим, что такая пара существует. Пусть это пара p, q. Тогда по условию p² - q² — простое число. Какой вывод можно сделать?

Подсказка 2

p² - q² = (p - q) * (p + q) и по условию такое число простое. В таком случае, что можно сказать про p - q?

Подсказка 3

p - q должно быть равно 1. Ведь иначе, p² - q² не будет простым по определению. Остаётся найти такие простые числа, разность между которыми равна 1!

Показать ответ и решение

Пусть $p$ и $q$ — простые числа и $p2− q2 = (p − q)(p+ q)$ — простое число. Тогда $p− q = 1.$ Следовательно, одно из наших чисел чётно, то есть $q = 2,$ $p= 3.$

Ответ: (2; 3)

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#96951Максимум баллов за задание: 7

Решите в натуральных числах уравнение

3 2 3 3x +5x y− 7y =0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, что будет, если у этого уравнения есть решение? Может из одного решения мы можем сделать ещё какое-то?

Подсказка 2

Да, если мы найдём хотя бы одно решение данного уравнения, поделив x и y на их НОД, мы получим ещё одно решение! Но как же тогда найти хотя бы 1 решение?

Подсказка 3

Так как мы разделили числа на их НОД, получим x₀, y₀ такие, что их НОД = 1, то есть числа взаимно простые. Но разве тогда существует решение?

Подсказка 4

Нет. Осталось понять, почему.

Показать ответ и решение

Пусть имеется некоторое решение уравнения, разделив $x$ и $y$ на их наибольший общий делитель получим пару, являющуюся решением. То есть наличие решений гарантирует наличие решения с взаимно простыми $x0,y0.$ Тогда $3 2 3 3x0+ 5x0y0− 7y0 = 0,$ то есть $2 3 x0(3x0+ 5y0) =7y0,$ а значит, $3 7y0$ делится на $2 x0.$ Тогда $2 x0$ — делитель $7,$ следовательно $x0 = 1.$ Получаем $3 3+ 5y0 = 7y0.$ Тогда $y0 = 1$ не является решением, а при $y0 ≥2$ правая часть больше.

Ответ:

Нет решений

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#99355Максимум баллов за задание: 7

Наверное, всем известна Великая теорема Ферма. Её мы оставим на последнюю пробную, а пока предлагаем Вам доказать, что $k(m2−n2)k(m2+n2) (x,y,z)= (mnk, 2 , 2 ),$ где $m,n$ — взаимно простые нечётные натуральные числа, $m > n,k$ — произвольное натуральное число, — в точности решения следующего уравнения в натуральных числах:

2 2 2 x +y = z .

Примечание: То, что такие тройки — в точности решения данного уравнения, означает, что подходят такие и только такие тройки $(x,y,z)$ .

Показать доказательство

Если $(x,y,z)= k,$ то уравнение $x2+ y2 =z2$ можно разделить на $k2,$ и числа $x,y,z$ останутся целыми. Тогда теперь можно полагать, что $x,y,z$ взаимно просты в совокупности. Утверждение о взаимной простоте $x,y,z$ в совокупности, очевидно, эквивалентно утверждению о взаимной простоте $x$ и $y$ (следует из равенства $2 2 2 x + y = z$ ). Итак, тогда числа $x,y$ взаимно просты. Ясно, что они оба не могут быть четными и не могут быть оба нечетными (тогда $2 2 2 x + y ≡4 2≡4 z ,$ что невозможно). Можно считать, что $x$ нечетно, а $y$ четно. Тогда $z$ нечетно.

Уравнение можно записать так: $2 x = (z − y)(z+ y).$ Заметим, что числа $a= z− y$ и $b=z +y$ нечетны и взаимно просты (легко проверить с помощью свойства $НОД (m, n) =Н ОД(n,m − n)$ ). Так как $a,b$ взаимно просты, то являются полными квадратами, поскольку $2 ab= x .$ Тогда $2 a= m$ и $2 b= n ,$ где $m$ и $n$ — нечетные взаимно простые числа. Таким образом, $x= mn,$ $1 2 2 y =2(n − m )$ и $1 2 2 z = 2(n +m ).$ Ясно, что $x$ и $y$ можно переставить местами, а также умножить все эти числа на некоторый коэффициент.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#102754Максимум баллов за задание: 7

Решите в целых числах уравнения

(a) $x2 = 26+ y2;$

(b) $4xy = 2x+ 2y− 5.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1, пункт а

Слева и справа есть по одному квадрату, что так и хочется с ними сделать?

Подсказка 2, пункт а

Перенесите x и y в одну сторону и разложите по формуле разности квадратов! Тогда нам нужно понять, а какие целые значения могут принимать скобки слева?

Подсказка 3, пункт а

Одна из скобок обязательно чётная. Поэтому мы можем сделать некоторые выводы о чётности x и y.

Подсказка 4, пункт а

Итак, x и y нечётные. А давайте вспомним, что по модулю 4 у нечётных квадратов не так уж и много вариантов остатков ;) Тогда имеет смысл рассмотреть обе части уравнения из условия по модулю 4.

Подсказка 1, пункт б

В уравнениях и x с коэффициентом, и y, и xy... Это наталкивает на мысль о разложении на множители!

Подсказка 2, пункт б

(2y-1)(2x-1) = -4. Осталось лишь понять, какие же значения могут принимать скобочки ;)

Показать ответ и решение

(a) Преобразуем исходное уравнение к виду

(x− y)(x +y)= 26

Тогда либо разность, либо сумма $x$ и $y$ чётная, поэтому числа $x$ и $y$ имеют одинаковую чётность. Рассмотрим два случая:

1) $x$ и $y$ — чётные. Тогда $x2$ и $y2$ делятся на 4. Но тогда 26 тоже должно делится на 4, что не верно.

2) $x$ и $y$ — нечётные. Рассмотрим таблицу остатков при делении квадратов на 4:


$x$	$x2$

$0$	$0$

$1$	$1$

$2$	$0$

$3$	$1$

Из нечётности $x$ и $y$ следует, что $2 x$ и $2 y$ дают остаток 1 при делении на 4. Но тогда левая часть уравнения $2 2 x = 26 +y$ даёт остаток 1 при делении на 4, а правая даёт остаток 3 при делении на 4, отсюда решений в целых числах нет.

Итак, в итоге уравнение не имеет решений в целых числах.

(b) Перенесём всё в левую часть и преобразуем выражение:

4xy − 2x− 2y+ 5= 0

2x(2y − 1)− (2y− 1)+4 =0

(2y− 1)(2x− 1)=− 4

Заметим, что в обеих скобочках нечётные числа, а, значит, их произведение тоже нечётно, что неверно, так как оно равно $− 4.$ Таким образом, уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ:

(a) Решений нет; (b) Решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#104604Максимум баллов за задание: 7

Найти все пары целых чисел $m$ и $n,$ удовлетворяющие уравнению

2 2 6m − 2n + mn= 3

Показать ответ и решение

Рассмотрим уравнение

2 2 2n − mn − 6m + 3= 0

как квадратное относительно $n.$ Тогда $Dn =49m2 − 24.$ Ясно, что необходимо условие $Dn =b2.$ Тогда имеем $(b− 7m)(b+7m) =24.$

Можно считать, что $m,b ≥1.$ Тогда возможны случаи

b− 7m =3 и b+7m = 8

b− 7m = 2 и b+ 7m =12

b− 7m = 1 и b+ 7m =24

поскольку $b+7m ≥ 8.$ Заметим, что $b− 7m$ и $b+7m$ имеют одинаковую четность. Остается случай $b− 7m =2$ и $b+ 7m= 12.$ Тогда $m = 1$ (но можно $− 1$ в силу симметрии) Следовательно, $Dn = 25$ и, так как $m-±√Dn- n= 4 .$ Подставляя $Dn = 5$ и $m =±1$ и выбирая целые значения $n,$ получаем решения $m =1,n= −1$ и $m = −1,n= 1.$

Ответ:

$(1,− 1);(− 1,1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#104610Максимум баллов за задание: 7

Найдите все целые решения $(x,y,z)$ уравнения

2 2 2 x +5y + 34z + 2xy− 10xz− 22yz =0

Показать ответ и решение

Сначала разделим все уравнение на $x2$ и обозначим $y= a x$ и $z =b. x$ Уравнение примет вид

2 2 1+ 5a + 34b + 2a − 10b− 22ab= 0

Переставим и перегруппируем слагаемые:

2 2 5a + (2− 22b)a+ (34b − 10b+ 1)= 0

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $a,$ откуда

D-= 1((2− 22b)2− 20(34b2− 10b+ 1))=− 49b2+ 28b− 4= −(7b− 2)2 4 4

Тогда $D ≤ 0.$ Чтобы были решения, необходимо и достаточно $D ≥ 0,$ откуда $D = 0$ и $7b− 2= 0,$ то есть $b= 2. 7$ По формуле корней

22b− 2± √D- 11b− 1 3 a = ----10-----= --5---= 7

Итак, $yx = 37$ и $zx = 27.$ Пусть $x = 7k$ (условие делимости на $7$ необходимо, иначе в отношениях не будет множителя $7),$ тогда $y =3k$ и $z = 2k$ при целом $k.$

Осталось проверить $x= 0$ (ведь мы на него делили). Тогда уравнение имеет вид $5y2+ 34z2− 22yz =0.$ Предположим, что $z ⁄= 0.$ Тогда делим на $z2$ и обозначаем $c= y. z$ Выходит, $5c2− 22c+34= 0.$

2 D =22 − 20⋅34 <0

Тогда решений уравнение при $z ⁄= 0$ не имеет, и остается только случай $y = z = 0.$ Он, на самом деле, подходит в ответ $(7k,3k,2k),k∈ ℤ,$ поэтому отдельно его писать не будем.

Ответ:

$(7k,3k,2k),k∈ ℤ$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#104703Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что при любом натуральном $n$ уравнения $x2+ y2 = n$ и $x2+ y2 =2n$ имеют одинаковое количество решений в целых числах.

Показать доказательство

Пусть $x 0$ и $y 0$ решения уравнения $x2+ y2 = n.$ Рассмотрим теперь числа $x = x +y 0 0$ и $y = x − y. 0 0$ Тогда

2 2 2 2 2 2 x +y = (x0+y0) +(x0− y0) = 2(x0+ y0)= 2n

Следовательно, каждому решению первого уравнения сопоставили решение второго. Очевидно, что это сопоставление обратимо (из решений $x′ 0$ и $y′ 0$ второго уравнения получаем $x= (x′ +y′)∕2 0 0$ и $y = (x′− y′)∕2 0 0$ решения первого), а значит, количество решений этих уравнений одинаково.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#136187Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $x3− y3 = 67(x2− y2)$ в натуральных числах при $x ⁄=y.$

Источники: ИТМО - 2024, 10.2 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Факт, что x ≠ y, дан не просто так, его можно применить уже сейчас. Подумайте, как.

Подсказка 2

Действительно, удобно будет разделить всё уравнение на x - y.

Подсказка 3

Представьте x и y в виде произведения, выделив их общий множитель.

Подсказка 4

Далее будем использовать обозначения x = ad, y = bd, где d = НОД(x,y). Сделайте замечание относительно делимости d на a + b.

Подсказка 5

Проделав небольшие преобразования, заметьте, основываясь на делимости, что d в точности равно a + b, а дальше дело за небольшим перебором.

Показать ответ и решение

Поскольку $x⁄= y,$ мы можем сократить равенство на $x− y.$ Получим

2 2 2 x + xy+ y = 67(x+ y) или (x+ y)− xy = 67(x+ y)

Обозначим $d =Н ОД(x,y),$ тогда $x= ad,$ $y = bd,$ где $a$ и $b$ взаимно просты. Получим

2 2 2 d(a+ b) − dab= 67d(a+ b)

Сократим на $d:$

d(a+ b)2 − dab= 67(a+ b)

Значит, $dab$ делится на $a +b.$ При этом $a$ и $b$ взаимно просты друг с другом, а значит, и $a +b.$ Значит, $d$ делится на $a+ b.$

Пусть $d= k(a+ b).$ Тогда

k(a+ b)3− k(a +b)ab= 67(a +b)

Отсюда

k(a +b)2− kab= 67 или k(a2+ b2+ ab)=67

Число 67 — простое, значит, $k =1,$

a2+ b2+ab= 67

Перебрав все варианты $a$ от 1 до 8, получим $a =2$ и $b= 7$ или наоборот. Также $d= a+ b=9,$ откуда $x= 18,$ $y = 63$ или наоборот.

Ответ: (18; 63) и (63; 18)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#69408Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 2 2 x + y = xy + y

в натуральных числах.

Источники: Бельчонок-2023, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что в уравнении все коэффициенты равны 1. Это наводит нас на мысль о том, что надо искать связь между x и y. У нас есть удобное слагаемое y, поэтому разумно оставить его и попытаться пораскладывать остальные слагаемые...

Подсказка 2

Мы видим, что можно вынести y² за скобку. Тогда получится, что x⁴-y²(x-1)=y. Если отнять от обеих частей 1, можно получить, что (x-1)(x³+x²+x+1-y²)=y-1. Пускай x≠1, тогда y-1 делится на x-1, т.e. y=k(x-1)+1. Теперь можно подставить вместо y k(x-1)+1 и посмотреть, что получится...

Подсказка 3

После подстановки и сокращения на (x-1) можно заметить, что наше равенство имеет вид k-3=(x-1)(...). Тогда k=m(x-1)+3 или m=(k-3)/(x-1). Вспоминаем, что k=(y-1)/(x-1) и получаем, что m=(y-3x+2)/(x-1)². Кажется, что от делимости мы уже ничего не получим. Может тогда попробовать метод оценки...

Подсказка 4

Попробуйте понять, бывает ли целое число m больше или равно 1...

Подсказка 5

Пускай m≥1.Тогда y≥x²+x-1 ⇒ x⁴=(x-1)y²+y≥x⁵+x⁴-3x³+4x-2, что неверно при x>1. Получается, что m<1 ⇔ m≤0. Тогда k может принимать значения 1, 2 или 3. Проверьте эти значения и не забудьте рассмотреть случай x=1!

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

4 2 2 x − 1= xy +y − y − 1

2 2 (x − 1)(x +1)(x + 1)= y(x− 1)+(y− 1)

Если $x− 1= 0,$ то $y− 1 =0,$ запишем эту пару $(1;1)$ в ответ.

Теперь рассмотрим $x> 1.$ Тогда $x − 1$ это натуральное число и на него делится левая часть уравнения

(x− 1)⋅((x+ 1)(x2+ 1)− y2)= y− 1

А значит, $y− 1= ℓ(x − 1)$ для некоторого натурального числа $ℓ.$

После подстановки и сокращения на $x − 1$ получим уравнение:

(x+ 1)(x2+1)− (1+ ℓ(x − 1))2 =ℓ(x− 1)

(x− 1)2ℓ2+(2x− 1)ℓ− x3− x2 − x =0 (∗)

Если снова посмотреть по модулю $x− 1,$ то есть разделить в столбик левую часть на натуральное число $x− 1$ , то окажется, что число

m =-ℓ− 3 = y−-3x-+22 x − 1 (x− 1)

должно быть целым.

Более того, $m< 1,$ поскольку это равносильно неравенству $y <(x− 1)2+ 3x− 2= x2+x − 1,$ которое верно при $x >1.$

Действительно, если $y ≥x2+ x− 1,$ то $x4 = (x − 1)y2 +y ≥(x− 1)(x2+ x− 1)2+ x2+ x− 1= x5+x4− 3x3+4x − 2,$ что невозможно при $x > 1.$

Таким образом, $m <1 =⇒ m ≤ 0,$ а значит, $ℓ∈{1;2;3}.$

При $ℓ= 1$ уравнение $(∗)$ принимает вид $− x(x2+1)= 0,$ что невозможно для $x> 1.$

Если $ℓ= 2,$ то число $m$ будет целым только при $x= 2,$ однако пара $(ℓ,x)= (2,2)$ не удовлетворяет уравнению $(∗).$

При $ℓ= 3$ уравнение $(∗)$ переписывается в виде $(x− 1)2(x− 6)=0.$ Отсюда находим, что $x= 6$ и затем $y =ℓ(x− 1)+ 1= 16.$

Ответ:

$(1;1),(6;16)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#74219Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары целых чисел $n$ и $k,$ для которых выполнено

9 6 3 k n +3n + 2n = 7 − 1.

Показать ответ и решение

Перенесём $1$ влево и попробуем собрать куб суммы: $(n3+ 1)3− n3 = 7k.$ Теперь распишем разность кубов: $3 6 4 3 2 k (n − n+ 1)(n +n +2n + n +n +1)= 7 .$ Следовательно, каждая скобка равна степени семёрки. Притом ясно, что правая скобка больше левой, а значит правая скобка делится на левую. Таким образом, остаток от деления многочлена из правой скобки на многочлен из левой скобки должен равняться нулю, то есть их НОД равен левой скобке.

Теперь попробуем найти их НОД в явном виде. Остаток от деления правой скобки на левую равен $2 3n ,$ то есть НОД делит $2 3n .$ Притом ясно, что на $3$ они не делятся, потому что это степени семёрки. Следовательно, НОД делит $2 n .$ Остаток от деления левой скобки на $2 n$ равен $n− 1.$ Остаток от деления $2 n$ на $n − 1$ равен $n,$ а остаток от деления $n$ на $n − 1$ равен $1.$ То есть НОД равен $1.$ Следовательно, $3 n − n+ 1= 1,$ а значит $n= 0,±1.$ Осталось проверить найденные значения, найти соответствующие $k$ и написать ответ.

Ответ:

$n =0,k= 0;n = 1,k= 1;n= −1,k= 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#76175Максимум баллов за задание: 7

Найдите все тройки натуральных чисел $(x,y,z),$ для которых выполняется

3 3 3 x + y +z − 3xyz =p

где $p$ — простое число, большее $3.$

Показать ответ и решение

Заметим, что $x3+y3+ z3− 3xyz = (x+ y+ z)(x2+y2+ z2− xy − yz− zx).$ Первая скобка в силу натуральности $x,y,z$ хотя бы $3.$ Вторая скобка всегда неотрицательна ( $2 2 2 2 2 2 x + y + z − xy− yz− zx = ((x− y)+ (y− z) + (z− x))∕2$ ), а значит, она может принимать значения либо $0,$ либо $1,$ либо большие $1.$ Первый и последний случаи нам не подходят, т.к. произведение первой и второй скобки будет либо $0,$ либо составное число. Значит, вторая скобка может принимать только значение $1.$ Тогда $2 2 2 (x− y)+ (y− z) + (z − x) = 2.$ Но когда сумма квадратов двух целых чисел равна $2?$ Только когда один из квадратов равен $0,$ а остальные равны $1.$ Тогда тройка $x,y,z$ содержит числа $a,a,a± 1$ в каком-то порядке для какого-то $a∈ ℕ.$ Значит, наше изначальное уравнение сводится к нахождению таких $a,$ что $a+ a+ a± 1= p.$ Т.к. любое простое число, большее $3$ представляется в виде $3n ±1,$ то наше уравнение всегда имеет решение, причем единственное.

Ответ:

( $(p− 1)∕3,(p− 1)∕3,(p+ 2)∕3$ ) и все перестановки этого решения при $p= 3k+ 1,k ∈ℤ$ или ( $(p +1)∕3,(p+1)∕3,(p− 2)∕3$ ) и все перестановки этого решения при $p= 3k− 1, k∈ℤ$ .

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#76176Максимум баллов за задание: 7

Пусть $p,q$ — различные простые числа. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение $p + q= 1? x y$

Показать ответ и решение

py+ qx= xy ⇒ xy− py− qx +pq = pq ⇒ (x− p)(y− q)= pq

Т.к. $p$ и $q$ простые числа, а $x$ и $y$ натуральны, возможны только эти $8$ случаев.

$1)x− p= q,y − q = p$

$x= y = p+ q$ — решение $1;$

$2)x− p= p,y − q = q$

$x= 2p,y =2q$ — решение $2;$

$3)x− p= −q,y− q =− p$

$x= p− q,y =q − p$ — не решение, поскольку либо $x< 0,$ либо $y < 0;$

$4)x− p= −p,y− q =− q$

$x= y = 0$ — не решение, т.к. $x,y$ не натуральны;

$5)x− p= pq,y− q = 1$

$x= pq+ p,y = 1+ q$ — решение $3;$

$6)x− p= 1,y − q = pq$

$y = pq+ q,x= 1+ p$ — решение $4;$

$7)x− p= −pq,y − q = −1$

$x= p− pq < 0$ — не решение;

$8)x− p= −1,y− q =− pq$

$y = q− pq < 0$ — не решение;

Итого у нас всего $4$ решения. Все они различные, т.к. отношение $x :y$ во всех случаях различные ( $1,p:q,p :1,1:q$ соответственно в каждом случае).

Ответ:

4 решения — ${(p+ q, p+ q), (2p, 2q), (pq+ p, 1 +q) (1+ p, pq+ q)}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#76177Максимум баллов за задание: 7

Найдите все простые $p,$ для которых уравнение $x4+ 4= py4$ разрешимо в целых числах.

Показать ответ и решение

4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 x +4 =x + 4x + 4− (2x) =(x + 2) − (2x) = (x − 2x+ 2)(x +2x +2)= py

$1)$ Пусть $y$ четное. Тогда $x4$ четное; тогда $x$ четное; тогда $x4$ делится на $16;$ тогда $x4+ 4$ делится на $4,$ но не на $8;$ тогда $py4$ делится на $4,$ но не на $8,$ что невозможно. Значит $x,y$ — нечетные.

$2)Н ОД(x2+2x+ 2, x2− 2x +2)= НОД(x2+ 2x+ 2, 4x)= НОД (x2+ 2x+ 2, x)= НО Д(2,x)= 1.$ Второй переход верен в силу того, что $x2+ 2x+ 2$ нечетное. Тогда

a) $x2 +2x+ 2= u4$ и $x2 − 2x+ 2= pv4$ ( $НОД (u,v)= 1$ ). Но тогда $(x+ 1)2+ 1= (u2)2,$ что возможно только при $x =− 1.$ Отсюда $p =5,y = 1.$

б) $2 4 x +2x+ 2= pu$ и $2 4 x − 2x+ 2= v$ ( $НОД (u,v)= 1$ ). Но тогда $2 2 2 (x− 1)+ 1= (v) ,$ что возможно только при $x =1.$ Отсюда $p =5,y = 1.$

Ответ:

Только при $p =5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#76178Максимум баллов за задание: 7

Решите в натуральных числах уравнение $(xy− 7)2 =x2+ y2.$

Показать ответ и решение

2 2 2 (xy− 7)= x + y

2 2 2 2 x y − 14xy+ 49− x − y = 0

x2y2− 12xy+ 36− x2− 2xy− y2 +13= 0

(xy − 6)2− (x+ y)2 =− 13

(xy− x− y− 6)(xy +x +y− 6)= −13

Т.к. $x$ и $y$ — натуральные, то каждая из скобок представляет собой целое число. Произведение двух целочисленных скобок равно $− 13$ (а $13$ число простое) только в этих случаях:

$1)xy− x− y− 6 =13,xy+y − 6 =− 1$

$x+ y = −7,xy = 12$

$x= −3, y = −4$ или $x= −4, y =−3$ — $x$ и $y$ не натуральны. Не решение;

$2)xy− x− y− 6 =− 13,xy+ x+ y− 6 =1$

$x+ y = 7,xy =0$

$x= 0, y = 7$ или $x= 7, y =0$ — $x$ или $y$ не натуральное. Не решение;

$3)xy− x− y− 6 =− 1,xy+ x+ y− 6= 13$

$x+ y = 7,xy =12$

$x= 3, y = 4$ или $x= 4, y =3$ — Решения $1$ и $2;$

$4)xy− x− y− 6 =1,xy+ x+ y− 6 =− 13$

$x+ y = −7,xy = 0$

$x= 0, y = −7$ или $x= −7, y = 0$ — $x$ и $y$ не натуральны. Не решение;

Итого у нас всего $2$ решения в натуральных числах.

Ответ:

$(3, 4), (4, 3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#76179Максимум баллов за задание: 7

Решите в целых числах уравнение $x2 +6xy+ 8y2+ 3x+ 6y = 2.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева есть произведение xy и квадраты x² и y². Это намекает, что можно попытаться разложить выражение в левой части на целые скобки.

Подсказка 2

Понятно, что для разложения на множители, надо будет перегруппировать слагаемые, причем в одной скобке будем выносить x с каким-то коэффициентом, а в другой — y тоже с каким-то коэффициентом. Мы хотим, чтобы после этих вынесений получились два слагаемых с одинаковыми скобками. Тогда перед вынесением надо перегруппировать так, чтобы получились две скобки, в каждой из которых есть xy с коэффициентом. Можно ли получить сумму таких скобок?

Подсказка 3

Подумаем, с каким коэффициентом можно было бы вынести y из одной из скобок. У нас есть 8y² и 6y. Их общую часть будем выносить, то есть 2y. С каким коэффициентом хочется выделить xy для скобки, из которой будем выносить 2y?

Подсказка 4

Конечно, этот коэффициент должен быть четным, так как выносим 2y. Так что глобально в первую очередь хочется попробовать два варианта: 2xy и 4xy. Получится ли тогда разложить?

Подсказка 5

Да, получится! Сгруппируем так: (x² + 4xy + 3x) + (8y² + 2xy + 6y). Тогда получится следующее разложение: (x + 2y)(x + 4y + 3). Тогда у нас получилось, что произведение двух целых скобок равно 2. При каких условиях это могло произойти?

Показать ответ и решение

Левую часть разложим на целые скобки

2 2 x + 6xy+8y + 3x+ 6y =(x+ 2y)(x+ 4y+3)

Целые делители двойки (правая часть) это $±1,±2.$

$1)x+ 2y = 2,x+ 4y+ 3= 1 ⇐⇒ x= 6,y =− 2$

$2)x+ 2y = 1,x+ 4y+ 3= 2 ⇐⇒ x= 3,y =− 1$

$3)x+ 2y = −2,x +4y+ 3= −1 ⇐⇒ x =0,y = −1$

$4)x+ 2y = −1,x +4y+ 3= −2 ⇐⇒ x =3,y = −2$

Ответ:

$(6, −2), (3, −1), (0, − 1), (3, −2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#76180Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные числа $m$ и $n$ такие, что выполнено

4 2 4 2 4 2 4 2 2 (1 + 1 +1)⋅(2 + 2 + 1)⋅(3 +3 + 1)⋅...⋅(n + n + 1)=m

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В этой задаче стоит рассмотреть выражение x⁴+x²+1 и как-нибудь его преобразовать.

Подсказка 2

Давайте заметим, что x⁴+x²+1=(x²+1)²-x²= (x²-x+1)(x²+x+1). Как это применить к задаче?

Показать ответ и решение

4 2 2 2 2 2 a + a +1 =(a − a+1)(a + a+ 1),(a+ 1) − (a +1)+ 1= a +a+ 1

Тогда

∏n n∏ n−∏1 i4 +i2+ 1= (i2+ i+1)(i2− i+1)= (14− 12+ 1)⋅ (i2+ i+1)2⋅(n2 +n +1) i=1 i=1 i=1

Получается, что нам достаточно найти такие $n,$ что последний множитель квадрат, т.к. остальная часть уже квадрат. Но $n2+ n+1$ не является квадратом при натуральном $n.$ Получается, что решений в натуральных числах нет.

Ответ:

Решений нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#76182Максимум баллов за задание: 7

Найдите все целые тройки $(x,y,z),$ для которых верно $x3+y3+ z3 = x+ y+z =3.$

Показать ответ и решение

3 =x3+ y3+ z3− 3xyz+ 3xyz =(x+ y+ z)(x2+y2+ z2− xy − yz− zx)+3xyz = 3(x2+ y2+ z2 − xy− yz− zx +xyz)

x2+y2+ z2− xy− yz− zx+ xyz =1

x2+y2+ (3− x − y)2− xy− y(3− x− y)− x(3− x − y)+ xy(3− x− y)=1

x2 +y2+ 9+ x2+y2− 6x− 6y +2yx− xy− 3y +xy+ y2− 3x +x2+ xy+ 3xy − x2y− y2x= 1

−x2y− y2x +3x2+ 3y2 +6xy− 9x− 9y +8= 0

(x +y)(− xy +3x+ 3y− 9) =−8

(x+ y)(3− x)(3− y)= 8

(3− x)(3− y)(3− z)= 8

$1)3− x= 8,3 − y = 1,3− z =1$

$(x, y, z)= (−5,2,2)$ — сумма не $3,$ не решение

$2)3− x= −8,3− y =− 1,3− z = 1$

$(x, y, z)= (5,4,2)$ — сумма не $3,$ не решение

$3)3− x= 8,3 − y = −1,3− z = −1$

$(x, y, z)= (−5,4,4)$ — сумма $3$

$4)3− x= 4,3 − y = 2,3− z =1$

$(x, y, z)= (−1,1,2)$ — сумма не $3,$ не решение

$5)3− x= −4,3− y =− 2,3− z = 1$

$(x, y, z)= (7,5,2)$ — сумма не $3,$ не решение

$6)3− x= −4,3− y =2,3− z = −1$

$(x, y, z)= (7,1,2)$ — сумма не $3,$ не решение

$7)3− x= 4,3 − y = −2,3− z = −1$

$(x, y, z)= (−1,5,4)$ — сумма не $3,$ не решение

$8)3− x= 2,3 − y = 2,3− z =2$

$(x, y, z)= (1,1,1)$ — сумма $3$

$9)3− x= −2,3− y =− 2,3− z = 2$

$(x, y, z)= (5,5,1)$ — сумма не $3,$ не решение

Итого у нас $3$ принципиально разных решения. Остальные получаются перестановками переменных.

Ответ:

$(1,1,1), (− 5,4,4), (4,− 5,4), (4,4,−5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#76183Максимум баллов за задание: 7

Решите в целых числах уравнение $x2(y− 1)+ y2(x − 1)= 1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте рассмотреть какие-то конкретные случаи и отбросить их. Например, что будет, если x и y не меньше 2?

Подсказка 2

Попробуйте зацепиться за делимость. Запишите равенство в таком виде, что слева и справа произведение скобочек. Посмотрите на нод этих скобочек.

Показать ответ и решение

$1)x< 0,y <0$

$2 2 x (y − 1)+ y(x− 1)≤0.$ Решений нет.

$2 2)x= 0⇒ − y =1.$ Решений нет

$2 3)y = 0⇒ − x =1.$ Решений нет

$4)x= 1⇒ y − 1= 1⇒ y = 2$

$5)y = 1⇒ x − 1= 1⇒ x= 2$

$6)x≥ 2,y ≥2$

$2 2 x (y − 1)+ y(x− 1)≥4+ 4= 8> 1.$ Решений нет

$7)x≤ 0,y ≥2$

Пусть $z = −x.$

z2y− z2− y2z− y2 =1

2 2 z (y− 2)= (1+ z)(y − z+ 1)

Т.к. $НО Д(z2,1+ z) =1,$ то $y − 2= k(1+z), k∈ ℤ . 0$

2 2 2 kz = k(1+ z)+ 4k(1+ z)+ 4− z+ 1

Если $k> 0,$ то решений нет, поскольку правая часть будет больше левой. Значит, $k= 0.$ Значит $y = 2,$ а $x= −5.$

$8)x≥ 2,y ≤0$

Аналогично получим решение $y = −5,x= 2.$

Ответ:

$(1, 2), (2, 1), (2, −5), (−5, 2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#77207Максимум баллов за задание: 7

Имеет ли уравнение

p+1 2 2 − q =2023

решения при условии, что $p$ и $q$ — простые числа?

Показать ответ и решение

Заметим, что $p> 2$ (иначе слишком малая величина в левой части). Тогда $p$ можно представить как $p= 2k− 1,$ т.к. простые числа нечетные, корме $2$ , которая не подходит под ограничение. Тогда выражение преобразуется в:

2k−1+1 2 2k 2 2 − q = 2023⇒ 2 − q =2023.

В последнем уравнении распишем разность квадратов:

2k 2 k k 2 2 − q =2023⇒ (2 − q)(2 +q)= 7⋅17.

Чтобы не перебирать большое количество случаев, заметим что сумма множителей должна быть $2k+1,$ то есть степень $2.$ Тогда будем искать среди разложений $2023$ такое, что оно дает степень $2.$

2023= 1⋅2023= 7⋅289= 17 ⋅119

Среди этих разложений нет ни одного, в котором сумма множителей это степень $2.$ Следовательно, решений нет.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#91013Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $2xy+ x+ 4y = 3,$ где $x,y$ — целые.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Есть одно уравнение в целых числах с двумя переменными, и чтобы его решить, хочется первым делом разложить часть с х и у на скобки. Явным образом левая часть на множители не разложима, поэтому попробуем вынести какую-то переменную за скобку и прибавить к обеим частям уравнения число, чтобы левую часть стало можно разложить.

Подсказка 2

Теперь видно, что слева произведение двух скобок, а справа — число 5. Тогда остаётся разобрать всего 4 варианта возможных целочисленных значений этих скобок!

Показать ответ и решение

Запишем равенство в следующем виде: $2y(x +2)+ x= 3.$ Добавим слева и справа $2$ и разложим левую часть на множители: $(x+ 2)(2y+1)= 5.$ Теперь ясно, что скобочки могут принимать лишь следующие значения: $1$ и $5,5$ и $1,−1$ и $− 5,−5$ и $− 1.$ Этим случаям соответствуют значения $x =− 1$ и $y = 2,x =3$ и $y = 0,x= −3$ и $y = −3,x= −7$ и $y = −1.$

Ответ:

$x =− 1,y = 2;x= 3,y =0;x= −3,y = −3;x = −7,y =− 1$