Четырёхугольники

Проведём диагональ и отметим её середину

и — середины и соответственно, следовательно, и — средние линии треугольников и соответственно, тогда

Т.к. и и — внешний угол треугольника поэтому

Получаем

Следовательно, треугольник равносторонний, тогда

Обозначим точки пересечения и с диагональю как и соответственно, тогда Рассмотрим треугольник заметим, что — средняя линия, т.к. и Следовательно Аналогично получаем, что Значит, является параллелограммом.

Проведём диагональ — точка пересечения и т.к. — параллелограмм, то делит и пополам.

Но следовательно делит и пополам. — точка пересечения диагоналей четырехугольника делящая их пополам, значит, — параллелограмм.

Удвоим получим точку

Рассмотрим треугольник В нем — высота и медиана одновременно, а значит, по признаку этот треугольник равнобедренный. Тогда по определению.

Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, так как по условию, по построению, как вертикальные. Тогда как соответственные.

как противоположные стороны параллелограмма.

Обозначим через середину отрезка Поскольку треугольник равнобедренный, Так как и то

Таким образом, — точка пересечения высот треугольника Значит, Так как — параллелограмм, откуда

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Обозначим середину отрезка точкой Продлим и до их пересечения. Пусть это будет точка

— серединный перпендикуляр в треугольнике значит серединный перпендикуляр в треугольнике — середина , это следует из подобия треугольников и Тогда, — середенный перпендикуляр, следовательно точка — точка пересечения серединных перпендикуляров. Так как — середина и то — средняя линия треугольника , следовательно — середина Значит, это серединный перпендикуляр, и искомый угол равен

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение.

Обозначим середину отрезка точкой Проведем и

Тогда, треугольники и равны по двум сторонам и углу. Следовательно, — вписанный, тогда из-за вписанности. Треугольник равнобедренный, тогда Итого, получили, что следовательно, — вписанный, тогда

Первое решение.

В силу параллельности

Отложим от точки отрезок

Тогда — параллелограмм (т. к. а

Значит, как односторонние углы при секущей

Найдем угол

Получили, что Тогда — равнобедренный, в котором

В итоге,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отложим на прямой за точку отрезок равный

Т.к. можем получить

Треугольник равнобедренный, т.к. поэтому

Получаем, что

Следовательно, значит, Но мы знаем, что поэтому — параллелограмм. Значит,

Пусть нам дана трапеция ( — ее основания). Точки — середины оснований и соответственно, — точка пересечения диагоналей трапеции. Докажем, что лежит на отрезке .

Треугольники подобны по двум углам. Тогда:

Но

Значит, в силу равенства и отношению сторон:

Из подобия получаем равенство углов , что говорит о том, что лежат на одной прямой.

Диагонали трапеции перпендикулярны, поэтому прямоугольные. В прямоугольных треугольниках медиана к гипотенузе равны ее половине, то есть

Пусть — середина основания По условию основание в два раза меньше то есть:

Тогда — параллелограмм, потому что стороны равны и параллельны. Следовательно, будут параллельны Так как — высота к получаем

При этом — прямая, содержащая среднюю линию в треугольнике так как параллельна и проходит через середину Следовательно, проходит через точку — середину

В итоге, — высота и медиана треугольника Значит, он равнобедренный и

Поскольку треугольник — равнобедренный, Из

и получаем Так, а значит — равнобедренный, Итак, получается — серединный перпендикуляр к Поскольку

то по признаку равенства треугольники Из получаем Следовательно, серединный перпендикуляр к а значит, проходит через середниу отрезка

Пусть дана трапеция — отрезок, соединяющий середины оснований и — точка пересечения диагоналей и

Тогда, так как треугольники и подобны. и — соответствующие элементы в подобных треугольниках (медианы). Значит, Следовательно, точки и лежат на одной прямой.

Проведём где точка лежит на продолжении стороны Тогда, так как и — параллелограмм.

Так как диагональ в параллелограмме делит его на равных треугольника,

Заметим, что так как они имеют общее основание а вершины и лежат на прямой, параллельной основанию (что означает, что их высоты из точки будут равны). Получаем:

Значит,

Таким образом, нам нужно найти площадь у которого известны стороны: по условию, так как — параллелограмм.

Проведём лежит на Тогда, так как и — параллелограмм. Значит,

Таким образом, значит, — медиана Получается, в нам также известна медиана:

Сделаем выносной чертёж

Продлим медиану на свою длину — точка Тогда, четырёхугольник — параллелограмм (диагонали точкой пересечения делятся пополам). Значит,

Заметим, что так как Значит, нам нужно найти площадь Так как его стороны равны то по обратной теореме Пифагора этот треугольник прямоугольный. Значит, его площадь равна

Тогда,

Так как угол между касательной и хордой равны, то

Тогда можно заметить:

Перепишем отношение .

Аналогично рассмотрим подобие

Так как отрезки касательных равны, то есть

Из этого равенства получаем:

Теперь докажем то, что требуется в задаче. Докажем от обратного: пусть касательные пересекаются не на диагонали. Тогда докажем, что точка и есть точка

Мы уже доказали, что, если касательные пересекаются на диагонали, то это гармонический четырёхугольник, следовательно Также верно, что так как это гармонический четырёхугольник. Запишем это в виде отношения:

Рассмотрим равенство Так как , a , то дробь , но такое невозможно. Поэтому точки и совпадают. Значит касательные пересекаются на диагонали гармонического четырёхугольника.

1) Докажем, что если — симедиана, то — гармонический.

Пусть и

Вспомним следующее свойство симедианы: симедиана делит противоположную сторону в отношении квадратов прилежащих, то есть:

Обозначим По теореме синусов для треугольника

По теореме синусов для треугольника

Поделим неравенство на неравенство

Заметим, что и как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Теперь распишем теорему синусов для треугольника

Отсюда

То есть четырёхугольник гармонический по определению.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2) Предположим, что для гармонического четырёхугольника верно, что не является симедианой для треугольника Тогда проведём симедиану треугольника где точка лежит на окружности, описанной около Из пункта 1 четырёхугольник — гармонический.

Проведём касательные к окружности, описанной около в точках и Пусть эти касательные пересекаются в точке Тогда точка — это точка пересечения и описанной окружности, так как — гармонический, а так же точка является точкой пересечения и этой окружности, так как — гармонический. Получается, прямая пересекает окружность в трёх точках: и что невозможно. Получили противоречие, значит, если четырёхугольник гармонический, то — симедиана

Сначала докажем, что если четырёхугольник гармонический, то где — середина диагонали

Так как — гармонический, то является симедианой треугольников и

Точка — середина AC, поэтому — медиана а — медиана Отсюда

так как медиана и симедина симметричны относительно биссектрисы. Так же заметим, что

как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

— внешний угол для треугольника поэтому

Аналогично, — внешний угол для треугольника поэтому

Отсюда,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Предположим, что вписанный четырёхугольник для которого верно, что где — середина диагонали не является гармоническим. Тогда построим гармонический четырёхугольник Пусть точка — точка пересечения касательных к описанной окружности в точках и Тогда точка — это точка пересечения прямой и описанной окружности.

Так как — гармонический, и — середина диагонали то как было доказано выше. Отсюда, что невозможно, как как точки и различны. Получили противоречие, следовательно, если для вписанного четырёхугольника верно, что где — середина диагонали то этот четырёхугольник — гармонический.

Отметим на середину проведём медиану треугольника

Раз прямой, значит, треугольник прямоугольный, поэтому а так как и как средняя линия параллелограмма, то

Поскольку треугольники и подобны, и потому

Достроим треугольник до параллелограмма Тогда треугольник и подобны, поэтому

Наконец, поскольку и получаем

Отсюда следует, что

Пусть , , , — середины , , и в четырёхугольнике , где .

Проведём средние линии треугольников и , параллельные — их длина будет , аналогично длина средних линий и также будет .

В итоге — ромб, в котором , соединяющая середины диагоналей четырёхугольника, — диагональ, тогда она образует равные углы со сторонами и , а раз так, то и с параллельными им и

Первое решение.

Пересечём . Поскольку , то (равны ). Отсюда — медиана прямоугольного треугольника , следовательно, , имеем равнобедренность. ______________________

Второе решение.

Заметим, что поэтому — вписанный. Опирающиеся на одну и ту же дугу вписанные углы равны . Так же обоснуем равенство симметричных углов Далее используем равенство накрест лежащих углов . И наконец, из прямоугольных треугольников .

В итоге всей этой цепочки получили равенство углов и , откуда и следует равнобедренность треугольника

Рассмотрим треугольник В нем является высотой, так как

Докажем, что По условию — биссектриса внешнего угла прямоугольника, значит, Также — биссектриса угла прямоугольника, значит,

По сумме углов треугольника имеем

Пусть — точка пересечения прямых и Тогда по сумме углов треугольника имеем

Тогда и — высоты треугольника пересекающиеся в точке Значит, — третья высота этого треугольника, то есть

Продолжим до пересечения с прямой в точке Положим ,

Из подобия треугольников и (коэффициент ) находим, что

а из подобия треугольников и — что

Пусть , тогда , откуда , поскольку . Тогда из подобия и имеем

Первое решение.

Проведем и

Тогда — параллелограмм, поэтому

Так как — вписанный четырехугольник и

Так как — параллелограмм, следовательно поэтому

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Через точку проведем и

Так как — параллелограмм, то

Заметим, что по двум углам и А так как то

Учитывая, что получаем по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Следовательно,

Первое решение.

Заметим, что линия центров перпендикулярна общей хорде данных окружностей, а значит параллельна прямым и Пусть - середина отрезка - середина отрезка Тогда и, поскольку прямые и параллельны. Далее, и при этом поэтому Заключаем, что четырёхугольник — параллелограмм по определению, следовательно Кроме того, поскольку отрезки и равны, то по двум катетам будут равны прямоугольные треугольники и следовательно, равны их гипотенузы и являющиеся также радиусами наших окружностей, что и требовалось доказать

Первое решение.

Предположим противное, радиусы окружностей и описанных около треугольников и соответственно, различны.

При параллельном переносе на отрезок перейдет в отрезок окружность перейдёт в окружность а прямая перейдёт в себя. Причём не может совпадать с поскольку их радиусы различны. Поэтому линия центров совпадающая с прямой перпендикулярна общей хорде Таким образом, прямая параллельна общей хорде окружностей и и, следовательно, перпендикулярна прямой Но тогда параллелограмм является прямоугольников, что противоречит условию задачи. Следовательно, радиусы окружностей и равны.