Четырёхугольники → .02 Трапеция

Отметим центр параллелограмма Он лежит на средней линии трапеции, поскольку Продлим до пересечения с и в точках и соответственно. Заметим, что и а значит потому что Также отметим, что Теперь видно, что по первому признаку, а значит у них равные высоты и проведённые к и В силу равнобедренности трапеции Но тогда а вместе с этим Следовательно, что и требовалось.

Пусть основание равно тогда из условия получаем, что

Зная оба основания, можем посчитать среднюю линию трапеции:

Пусть тогда по условию Проведём биссектрису угла которая пересекает в точке Тогда

По параллельности оснований трапеции Так как то а значит, четырёхугольник — параллелограмм.

Тогда:

Осталось заметить, что треугольник равнобедренный, поэтому Значит,

Во-первых, заметим, что и точки и точки лежат по одну сторону от прямой так как в противном случае а по условию

По обратной теореме Фалеса параллельна

Возможны две конфигурации:

1) Точки расположены последовательно.

Если обозначить расстояние от точки до прямой через то из подобия треугольников и вытекает:

Отсюда Далее из подобия треугольников и :

Отсюда Тогда площадь трапеции равна

2) Точка расположена между точками и

Аналогично:

Отсюда И из подобия треугольников и

Отсюда Площадь трапеции равна

Пусть и — основания трапеции причем

Через вершину проведем прямую, параллельную боковой стороне Пусть эта прямая пересекает основание в точке

Тогда — параллелограмм. Поэтому получаем следующие равенства отрезков:

Из равенства соответственных углов получаем:

В прямоугольном треугольнике катет лежит против угла в следовательно,

Через вершину меньшего основания трапеции ( проведём прямую, параллельную диагонали Пусть –– точка пересечения этой прямой с прямой

Образовался параллелограмм откуда понятно, что Проведём высоту треугольника Тогда

Известны стороны (из параллелограмма) и высота Из прямоугольных треугольников и находим, что

Если точка лежит между точками и то

Если же точка лежит между точками и то

Пусть — большая боковая сторона трапеции — меньшее основание, — большая диагональ. Опустим перпендикуляр на большее основание

Поскольку то а так как то Значит,

Следовательно,

По условию и , поэтому — основания трапеции. Пусть и — середины и так что — средняя линия трапеции

При этом параллельна основаниям, поэтому и значит, — серединный перпендикуляр к Значит, центр окружности лежит на прямой

Положим

Из параллельности следует, что , поэтому .

Видим, что треугольник — прямоугольный (), а значит, — центр окружности

Далее, в прямоугольном треугольнике имеем поэтому , а из равенства углов следует поэтому лежит на прямой

Итак, — общая точка окружностей и лежащая на их линии центров Значит, эти окружности касаются (в точке ).

Пусть — середина основания Опустим высоты и

Так как треугольник равнобедренный с основанием высота является так же медианой и биссектрисой, то есть

Так как и — прямоугольники, С одной стороны

С другой стороны

Тогда

Учитывая что получаем и — высоты трапеции, так что они равны. Тогда по двум сторонам и прямому углу между ними. Получается, что то есть трапеция равнобокая.

Пусть точка — середина боковой стороны трапеции По условию, Продлим отрезок на его длину за точку получим отрезок Так как то — параллелограмм. следовательно, точка лежит на прямой В треугольнике другими словами, медиана равна половине стороны, к которой проведена, следовательно, треугольник является прямоугольным, тогда

Проведем По построению, Заметим, что трапеции и — равнобедренные. Так как в равнобедренной трапеции диагонали равны, — искомый.

Поскольку и получаем, что Проведем высоту Она будет равна так как тогда Кроме того, По условию, так как четырехугольник является вписанным. как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

Первое решение.

В силу параллельности

Отложим от точки отрезок

Тогда — параллелограмм (т. к. а

Значит, как односторонние углы при секущей

Найдем угол

Получили, что Тогда — равнобедренный, в котором

В итоге,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отложим на прямой за точку отрезок равный

Т.к. можем получить

Треугольник равнобедренный, т.к. поэтому

Получаем, что

Следовательно, значит, Но мы знаем, что поэтому — параллелограмм. Значит,

Пусть нам дана трапеция ( — ее основания). Точки — середины оснований и соответственно, — точка пересечения диагоналей трапеции. Докажем, что лежит на отрезке .

Треугольники подобны по двум углам. Тогда:

Но

Значит, в силу равенства и отношению сторон:

Из подобия получаем равенство углов , что говорит о том, что лежат на одной прямой.

Диагонали трапеции перпендикулярны, поэтому прямоугольные. В прямоугольных треугольниках медиана к гипотенузе равны ее половине, то есть

Пусть — середина основания По условию основание в два раза меньше то есть:

Тогда — параллелограмм, потому что стороны равны и параллельны. Следовательно, будут параллельны Так как — высота к получаем

При этом — прямая, содержащая среднюю линию в треугольнике так как параллельна и проходит через середину Следовательно, проходит через точку — середину

В итоге, — высота и медиана треугольника Значит, он равнобедренный и

Пусть дана трапеция — отрезок, соединяющий середины оснований и — точка пересечения диагоналей и

Тогда, так как треугольники и подобны. и — соответствующие элементы в подобных треугольниках (медианы). Значит, Следовательно, точки и лежат на одной прямой.

Проведём где точка лежит на продолжении стороны Тогда, так как и — параллелограмм.

Так как диагональ в параллелограмме делит его на равных треугольника,

Заметим, что так как они имеют общее основание а вершины и лежат на прямой, параллельной основанию (что означает, что их высоты из точки будут равны). Получаем:

Значит,

Таким образом, нам нужно найти площадь у которого известны стороны: по условию, так как — параллелограмм.

Проведём лежит на Тогда, так как и — параллелограмм. Значит,

Таким образом, значит, — медиана Получается, в нам также известна медиана:

Сделаем выносной чертёж

Продлим медиану на свою длину — точка Тогда, четырёхугольник — параллелограмм (диагонали точкой пересечения делятся пополам). Значит,

Заметим, что так как Значит, нам нужно найти площадь Так как его стороны равны то по обратной теореме Пифагора этот треугольник прямоугольный. Значит, его площадь равна

Тогда,

Поскольку треугольники и подобны, и потому

Достроим треугольник до параллелограмма Тогда треугольник и подобны, поэтому

Наконец, поскольку и получаем

Отсюда следует, что

равнобедренный, поэтому Накрест лежащие углы равны: . Значит,

Повернём картинку на угол относительно точки так, чтобы точка перешла в точку Из доказанного выше равенства углов следует, что прямая при этом повороте перейдёт в прямую Точка при этом перейдёт в такую точку на прямой что расстояние от неё до точки равно Таких точек две. Одна из них точка а вторая — какая-то точка

Значит, или как односторонний угол. Это один из ответов.

Посмотрим теперь на точку равнобедренный, причём равен тому из углов и который является острым (случай прямого угла исключается значениями углов и которые даны в каждом их вариантов). Если тупой, точка очевидно лежит на луче и Если же острый, и точка находится на луче При этом во всех вариантах т.е. поэтому точка лежит ближе к чем , т.е. попадает на отрезок Значит,

Пусть — точка пересечения прямых и точка — точка пересечения прямых и Из параллельности прямых и следует равенство углов

Достаточно показать, что что эквивалентно тому, что прямая касается окружности , то есть тому, что верно равенство произведений отрезков секущих а в силу , равенство

Осталось заметить, что, в силу подобия треугольников и

а в силу подобия треугольников и

Получаем

Домножив обе части равенства на произведение знаменателей, получим требуемое.

Пусть . Проведём среднюю линию трапеции , как на чертеже:

Она проходит через точки и Тогда параллельна и — середина откуда — средняя линия треугольника Аналогично — средняя линия Таким образом,

Отсюда

В случае всё аналогично, а чтобы объединить случаи, можно просто поставить модуль:

Первое решение. Идея — спрямление суммы отрезков в один отрезок с той же длиной.

На прямой за точку отметим такую точку , что , тогда , а значит — параллелограмм. . Треугольник — равнобедренный, откуда . Также из прямоугольного имеем , . То есть — равнобедренный, значит , из чего следует .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Идея — разбить трапецию на параллелограмм и треугольник (одно из стандартных построений для убийства трапеции).

Отметим на такую точку , что , тогда — параллелограмм и . По условию . , а значит, , откуда — серединный перпендикуляр к (потому что — р/б). Из этого следует, что - равнобедренный, . , , , значит, — равнобедренный, то есть . Таким образом, .