Тема ПЛАНИМЕТРИЯ

Четырёхугольники

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела планиметрия

Разделы подтемы Четырёхугольники

Параллелограмм

Трапеция

Прямоугольники

Средняя линия четырёхугольника и прямая Ньютона

Гармонический четырёхугольник

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 121#71481Максимум баллов за задание: 7

Один из углов трапеции в два раза больше противоположного. Найдите боковую сторону при данном угле, если основания трапеции равны $a$ и $b$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть наша трапеция это ABCD с основаниями AB и CD, а угол A в два раза больше угла C. Что так и хочется сделать в этой задаче, чтобы воспользоваться условием на угол A?

Подсказка 2

Проведем биссектрису угла A, чтобы поделить его пополам, раз уж он в 2 раза больше ;) Пусть эта биссектриса пресекает CD в точке E.

Подсказка 3

Что полезного можно отметить в четырехугольнике ABCE? Чем он является?

Подсказка 4

ABCE — параллелограмм! Чему тогда равны DE и EC?

Подсказка 5

СE = a, DE = b-a! По сути нам нужно было найти AD. А что можно сказать про треугольник, в котором нужная нам сторона содержится?

Подсказка 6

Какому углу равен угол EAB?

Подсказка 7

Отметьте равные накрест лежащие углы!

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведем биссектрису угла $A$ . Получим, $∠BAE = ∠EAD = α$ . Тогда четырехугольник $ABCE$ — параллелограмм, так как в нем стороны попарно параллельны. Значит, $AB = EC = a$ и $DE = b− EC = b− a$ . Рассмотрим треугольник $ADE$ . В нем $∠DAE =α$ и $∠BAE = ∠AED = α$ , как накрест лежащие при параллельных прямых. Значит, треугольник равнобедренный и $AD = DE = b− a$ .

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 122#71482Максимум баллов за задание: 7

На каждой диагонали параллелограмма построили по квадрату. Докажите, что расстояние между центрами квадратов равно одной из сторон параллелограмма.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы равенство отрезков доказывать было проще, можно рассмотреть какие-то треугольники, в которых эти отрезки состоят, и доказать из равенство.

Подсказка 2

Пусть центры квадратов — I и J, центр параллелограмма — K, а его вершины — A, B, C, D. Попробуйте доказать равенство треугольников IJK и CKD.

Подсказка 3

Что можно сказать про угол между прямыми IK и AC, JK и BD?

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть диагонали параллелограмма пересекаются в точке $K$ , а $I$ , $J$ — центры квадратов. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Тогда заметим, что $IK$ перпендикулярна $AC$ . Почему? Потому что $IK$ — медиана в равнобедренном треугольнике $IAC$ (в нем $AI = IC$ как диагонали квадрата). По аналогичным причинам $JK$ перпендикулярна $BD$ . Что можно сказать про углы $BKI$ и $JKC$ ? $∠BKI = ∠BKJ − ∠JKI =90∘− ∠JKI =∠IKC − ∠JKI = ∠JKC$ . Рассмотрим треугольники $IKJ$ и $CKD$ . $IK = KC$ , как половины стороны квадрата $AEFC$ , $IK =KD$ , как половины стороны квадрата $BGHD$ , и $∠CKD = ∠IKJ$ , так как $∠CKD = ∠JKD − ∠CKJ = ∠BKJ − ∠BKI =∠IKJ$ . Получается, треугольники равны, значит, $IJ =CD$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 123#71483Максимум баллов за задание: 7

Вершины одного параллелограмма по одной лежат на сторонах другого. Докажите, что их центры совпадают.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим вершины большего параллелограмма через A, B, C, D, а меньшего — через H, E, F, G (H на AD, E на AB и так). Для доказательства достаточно показать, что FH делит AC пополам, а потом сказать то же самое про EG.

Подсказка 2

Чтобы доказать, что FH делит AC пополам, попробуйте найти какие-то равные треугольники, в которых эти отрезки как-то участвуют.

Подсказка 3

Как насчёт треугольников FIC и AIH?

Показать ответ и решение

$PIC$

$EFGH$ — параллелограмм по условию, значит, $FC = AH$ . $∠EHA = ∠GFC$ , так как $EH ∥F G$ и $AH ∥FC$ . Аналогично $∠HEA =∠F GC$ . Тогда по второму признаку треугольники $GCF$ и $EAH$ равны. Значит, $AH = CF$ как соответственные. Получается, что в четырехугольнике $AF CH$ противоположные стороны равны и параллельны, а значит, он параллелограмм, и точка пересечения его диагоналей — середина $AC$ , то есть совпадает с центром большого параллелограмма.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 124#71484Максимум баллов за задание: 7

На сторонах $AD$ и $CD$ квадрата $ABCD$ взяли точки $K$ и $E$ так, что угол $ABK$ равен $15∘$ , а угол $EKD$ равен $30∘$ . Найдите угол $KBE$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Ну, из очевидного, можно посчитать углы BKA и BKE.

Подсказка 2

Скорее всего, вы уже заметили, что углы BKA и BKE равны по 75°. Учитывая, что треугольник BKA прямоугольный, напрашивается некоторое доп построение в треугольнике BKE, которое даст несколько пар равных треугольников.

Подсказка 3

Проведите высоту BH в треугольнике BKE. Что можно сказать про треугольники BAK и BKH? А про BHE и BEC?

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведем перпендикуляр $BH$ . $∠BKA =90∘− 15∘ =75∘$ . $∠BKH =180∘− 75∘− 30∘ = 75∘$ . Рассмотрим треугольники $BAK$ и $BHK$ . Они равны по второму признаку, так как сторона $BK$ — общая, $∠BKA = ∠BKH$ , $∠ABK = 15∘ = ∠BHK − ∠HKB$ . Отсюда $BA = BH$ как соответственные, а также $BH = BA = BC$ как стороны квадрата.

Теперь рассмотрим треугольники $BHE$ и $BCE$ . Они оба прямоугольные, $BE$ — их общая гипотенуза, $BH = BC$ — равные катеты. То есть эти треугольники равны по признаку равенства прямоугольных треугольников. Значит, $∠HBE = ∠CBE$ как соответственные, и равны $90∘−22⋅15∘-= 30∘$ .

Ответ:

$45∘$

Следующая подтема