Тема АЛГЕБРА

Алгебраические текстовые задачи → .03 Задачи на проценты

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Алгебраические текстовые задачи

Различные подсчеты без составления уравнения

Составление уравнений

Задачи на проценты

Задачи на дроби

Задачи на работу

Задачи на движение: алгебраический подход

Среднее арифметическое в текстовых задачах

Среднее геометрическое и гармоническое в текстовых задачах

Задачи с неравенствами

Конструктивы в алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104125

Набор пряжи в интернет-магазине стоит 620 руб., а при оплате за 20 или более наборов предусмотрен кешбэк в размере $15%$ от внесённой суммы. Как, имея изначально 30000 руб., приобрести максимально возможное количество таких наборов? Определите это количество.

Источники: Миссия выполнима - 2025, 11.1 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы купить как можно больше пряжи, нам хотелось бы суммарно иметь как можно больше денег ;) Получать деньги "сверху" мы можем при помощи кешбека. Тогда имеет место попробовать сначала оценить, а насколько много кешбека нам может накапать?

Подсказка 2

На наши 30000 кешбека накапает не более 0.15 * 3000. А сколько накапает кешбека на полученный кешбек? А далее, если продолжать такую цепочку?

Подсказка 3

В итоге получится геометрическая прогрессия со знаменателем 0.15, а значит, мы можем посчитать ее сумму!

Подсказка 4

Отлично, оценка на 56 наборов есть! Теперь мы можем построить пример, основываясь на стратегии получения денег из оценки ;)

Показать ответ и решение

Имея изначально 30000 руб., можно получить максимум $0,15⋅30000 =4500$ руб. кэшбэком. Но на эти деньги тоже мог быть начислен кэшбэк, который в теории можно было бы дополнительно потратить и получить ещё кэшбэк и так далее. В итоге всего денег будет не больше

30000 30000+ 30000⋅0,15+ ...≤ 1−-0,15 < 35295 (руб.)

Поэтому заведомо получается, что больше 56 наборов пряжи купить не получится, ведь $57 ⋅620= 35340$ уже больше $35295.$

А вот 56 наборов можно добыть следующим алгоритмом.

Покупаем сначала 20 наборов, остаётся

30000− (620⋅20)⋅(1− 0,15)= 19460 (руб.)

Теперь за счёт начисленного кэшбэка нам хватает купить ещё 31 комплект (на изначальные деньги сразу 51 комплект мы бы купить не смогли, потому что кешбэк отличается от скидки начислением денег уже после покупки), остаётся

19460− (620⋅31)⋅(1− 0,15)=3123 (руб.)

И оставшихся денег нам хватает заплатить ещё за 5 наборов, ведь $620 ⋅5 <3123.$

Ответ: 56

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#104693

У Тани имеется сосуд, заполненный раствором кислоты в воде. Масса раствора 3 кг, процентное содержание кислоты в растворе равно $89,76%$ . Таня несколько раз совершает следующую операцию. Таня доливает в сосуд 1 кг кислоты, а затем выливает из сосуда 1 кг раствора. Сколько раз Таня совершила эту операцию, если процентное содержание кислоты в растворе стало равным $97,57%?$

Источники: ОММО - 2025, номер 3 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, что происходит с содержанием и массой раствора после совершения операции. Может, можно получить какую-то зависимость между количеством операций и массой одного из компонентов?

Подсказка 2

Как изменится масса кислоты в растворе после одной операции? А после k операций?

Подсказка 3

Из исходных данных можно найти массу кислоты в растворе до совершения операций и после, ведь после каждой операции масса раствора остается неизменной. Зная это и зависимость между массой кислоты в растворе и количеством операций, получится ли составить какое-то уравнение для нахождения количества совершённых операций?

Показать ответ и решение

Запишем как меняется масса кислоты при одной операции

3 (m +1)⋅4,

где $m$ — начальная масса кислоты

Сделаем $k$ таких операций

(( ) ) ( )k ( )k ( )k−1 (m +1)⋅ 3 +1 ⋅ 3+ 1 ⋅⋅⋅⋅= m ⋅ 3 + 3 + 3 + ⋅⋅⋅+ 3 4 4 4 4 4 4

По формуле геометрической прогрессии получаем

( 3)k m ⋅( 3)k+ 3 ⋅ 1−-4--- 4 4 1− 3 4

Подставим начальную и конечную массу кислоты и найдем $k$

(3)k ( ( 3)k) 3⋅0,8976⋅ 4 +3⋅ 1− 4 =3⋅0,9757

Сделаем замену $( )k t= 3 4$

3⋅0,8976 ⋅t+ 3⋅(1− t)= 3⋅0,9757

Откуда получаем

( )5 t= 243-= 3 1024 4

Следовательно, $k= 5.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#121575

Экран, защищающий от сканирования мыслей, отражает $40%$ падающего на него излучения, $21%$ пропускает, а остальное поглощает. Все коэффициенты (проценты) не зависят от угла падения лучей и от того, с какой стороны они падают на экран. Какой процент сканирующих лучей не будет пропущен, если поставить последовательно два таких экрана?

Источники: Надежда Энергетики - 2025, 11.2(см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Будет полезно принять падающий на систему из двух экранов поток за единицу. Подумайте, какую систему уравнений можно составить?

Подсказка 2

Попробуйте с учётом всех отражений рассмотреть по отдельности: часть потока между экранами; часть, отраженная от второго экрана; и часть, которая пройдет через второй экран.

Показать ответ и решение

Примем падающий на систему из двух экранов поток за единицу.

Обозначим (с учетом всех отражений) за $x$ часть потока, которая идет между экранами от первого ко второму, за $y$ — часть потока, которая отразится от второго экрана внутрь двойной системы, а через $v$ — часть, прошедшую через оба экрана. Тогда

( |{ x =0,21+ 0,4y |( y =0,4x v =0,21x

Из первых двух уравнений легко ищется $x= 0,25.$ Следовательно, $v = 0,0525.$ Тогда не будет пропущено $1− v = 1− 0,0525= 0,9475= 94,75%$ лучей.

Ответ:

$94,75%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#123706

Имеется два сплава меди и олова. Первый весит $5$ кг и содержит $55%$ меди, второй весит $3$ кг и содержит $25%$ меди. Какого веса надо взять куски этих сплавов, чтобы после их совместной переплавки получить $4$ кг сплава, содержащего $k%$ меди?

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.6 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть взяли x кг первого сплава и y кг второго. Исходя из условия можно выразить y через x. Также можно получить выражение через x для количества меди в новом сплаве.

Подсказка 2

Нам нужно выразить массы взятых сплавов через k. Зная выражение количества меди в новом сплаве через x, мы можем легко выразить x через k, ведь в новом сплаве по условию k процентов меди.

Подсказка 3

Осталось выразить через k массу взятого куска второго сплава и проверить, при каких значениях k соблюдаются ограничения на массы изначальных сплавов из условия.

Показать ответ и решение

Пусть взяли $x кг$ первого сплава и $y кг$ второго сплава. По условию, суммарный вес нового сплава должен быть $4 кг,$ то есть $x +y =4.$ Отсюда $y =4 − x.$ Первый сплав весит $5 кг$ и содержит $55%$ меди. Количество меди в $x кг$ первого сплава: $0.55x.$ Второй сплав весит $3 кг$ и содержит $25%$ меди. Количество меди в $y кг$ второго сплава: $0.25y =0.25(4− x).$

Общее количество меди в новом $4 кг$ сплаве:

M = 0.55x+0.25(4− x)=0.55x +1− 0.25x= 0.3x+ 1 (кг)

Новый сплав должен содержать $k%$ меди. В $4 кг$ это составляет $4⋅-k- =0.04k кг меди. 100$ Следовательно,

0.3x+ 1= 0.04k

Выразим $x$ через $k:$

0.3x= 0.04k− 1

x = 0.04k-− 1 = 41k00-− 1-= 4k-− 100⋅ 10 = 4k-− 100= 2k−-50 0.3 310- 100 3 30 15

Тогда вес второго сплава

y =4− x= 4− 2k−-50= 60−-(2k−-50)= 60− 2k+-50= 110−-2k 15 15 15 15

Используем ограничения на количество исходных сплавов: Для первого сплава: $0≤ x≤ 5$ (так как всего имеется $5 кг$ первого сплава). Для второго сплава: $0≤ y ≤ 3$ (так как всего имеется $3 кг$ второго сплава).

Подставим выражения для $x$ и $y :$

1) Ограничение для $x:$

0≤ 2k−-50-≤ 5 15

25 ≤k ≤62.5

2) Ограничение для $y :$

0≤ 110−-2k≤ 3 15

32.5≤ k≤ 55

Чтобы оба условия выполнялись, найдем пересечение диапазонов для $k :$

{ 25≤ k≤ 62.5 32.5≤ k ≤55

Пересечением является интервал $k∈ [32.5;55].$

Таким образом, при $k∈ [32.5;55]$ нужно взять $2k− 50 --15---кг$ первого сплава и $110− 2k ---15---кг$ второго сплава. При $k∈∕[32.5;55]$ (но в пределах $0 ≤k ≤100,$ если $k$ — процент) такой сплав получить невозможно.

Ответ:

При $k∈ [32,5;55]$ нужно взять $2k−50 15$ кг первого сплава и $110−2k 15$ второго сплава; при $k∈ [0;32,5)∪(55;100]$ такой сплав получить невозможно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#53509

Говорят, что средний доход $10%$ самых богатых жителей города в $15$ раз превосходит средний доход всех жителей этого города. Докажите, что это выдумки.

Показать доказательство

Пусть $s$ — средний доход всех жителей города, а $n$ — количество жителей. Тогда суммарный доход всего города равен $sn.$

Предположим, что высказанное утверждение верно, то есть средний доход $10%$ самых богатых жителей равен $15s.$ Но тогда суммарный доход только богатых жителей равен $-n 15s⋅10.$ А это уже больше, чем доход ВСЕГО города.

Доля от положительного числа не может быть больше самого числа — получили противоречие. Значит, это выдумки.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#81368

Среди людей, не говорящих по-английски, $4%$ говорят по-французски, а среди людей, не говорящих по-французски, $20%$ говорят по-английски. Во сколько раз число людей, не говорящих по-французски, больше числа людей, не говорящих по-английски?

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.1 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть на английском НЕ говорят х человек, а на французском - y. Какое значение мы можем однозначно выразить, используя эти переменные?

Подсказка 2

Да, можем из условия найти количество людей, не знающих ни один из этих языков, и составить уравнение для x y. Теперь нужно только аккуратно всё посчитать и найти отношение

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — число людей, не говорящих по-английски, а $y$ — число людей, не говорящих по-французски. Тогда из условия людей, не говорящих ни на одном из языков: $96%$ от $x$ , а с другой стороны $80%$ от $y$ .

Откуда $0.96x = 0.8y$ , то есть $y x = 1.2$ .

Ответ: 1,2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#84367

В городе есть два банка. В каждый банк можно положить любую сумму денег, и через год банк выплачивает фиксированный процент от этой суммы (в разных банках проценты могут отличаться). Если в оба банка положить по $500$ у.е. (условных единиц), то можно заработать за год на процентах суммарно $250$ у.е. Николаю вручили $5000$ у.е. и сказали, сколько из них положить в первый банк, а сколько — во второй. При этом он должен был получить суммарный доход $1400$ у.е. Однако Николай всё перепутал и положил в первый банк деньги, которые должен был положить во второй, и наоборот. На сколько меньше денег получит Николай через год?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть в первом банке получаемый процент дохода равен $p$ %, а во втором $q$ %. Тогда из условия получаем

p q 100 ⋅500 +100 ⋅500= 250

p q 1 100 + 100 = 2

Обозначим за $x,$ сколько Николаю сказали положить в первый банк, а за $y,$ сколько во второй, при этом $x+ y = 5000.$ Если бы Николай вложил так, как ему сказали, то доход был равен

-p-⋅x+ -q-⋅y = 1400 100 100

Тогда доход при перепутанном вложении равен

-p-⋅y+ q--⋅x 100 100

Рассмотри выражение

( ) p--+-q- (x+ y)= 1⋅5000 =2500 100 100 2

-p-⋅x+ -q-⋅y+ -p-⋅y+ -q-⋅x= 2500 100 100 100 100

p-- q-- 1400+ 100 ⋅y+ 100 ⋅x =2500

p q 100 ⋅y+ 100 ⋅x= 1100

Следовательно, Николай получит на $1400− 1100= 300$ у.е. меньше через год.

Второе решение.

Вложив деньги “правильно”, Николай получил бы $28%$ прибыли. Если Николаю дадут ту же сумму, и он положит её “правильно”, то в результате получит $25%$ от удвоенной суммы, т.е. $50%$ от исходной суммы. Таким образом, при “неправильном” вложении он получает $22%$ прибыли. Следовательно, потеряет он $6%$ от 5000 y.e., т.e. 300 y.e.

Ответ: На 300 у.е.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#99236

На предприятии изготавливают инструмент для шахт, который в зависимости от качества делится на три сорта. При проверке качества в отделе технического контроля (ОТК) вероятности неверной сортировки продукции составляют:

- для инструмента первого сорта вероятность попасть во второй сорт составляет $0,015,$ в третий сорт — $0,01;$

- для инструмента второго сорта вероятность попасть в первый сорт составляет $0,015,$ в третий сорт — $0,01;$

- для инструмента третьего сорта вероятность попасть в первый сорт составляет $0,005,$ во второй сорт — $0,05;$

Какая доля инструмента первого сорта была изготовлена, если после контроля ОТК $93,5%$ инструмента были признаны первосортным, а $3$ % инструмента — третьесортным?

Источники: Газпром - 2024, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Здесь, как и в любой задаче на движение/производство/сплавы и прочее, в большинстве случаев стоит просто параметризировать все начальные данные и составить уравнения из условия. В данном случае очень удобно будет ввести x — доля первого сорта в начале, y, z — второго и третьего соответственно. Какие тогда уравнения у нас получаются на x, y, z в связи с условием и в связи с тем, как мы их ввели?

Подсказка 2

В силу того, что это доля, x + y + z = 1. А также есть два уравнения на изменение первого и третьего сорта. Тогда у нас получилась система из 3 уравнений на 3 переменных. А значит, можем найти х.

Показать ответ и решение

Введем обозначения: $x$ — доля изготовленного инструмента первого сорта, $y$ — второго сорта, $z$ — третьего сорта.

Для инструмента первого сорта получим уравнение:

0,975x+ 0,015y+ 0,005z =0,935.

Для инструмента третьего сорта получим уравнение:

0,01x+ 0,01y +0,945z = 0,03.

Воспользуемся условием, что $x+ y+ z = 1$ , и получим систему уравнений:

(|{ 0,975x+ 0,015y +0,005z = 0,935, 0,01x+ 0,01y+ 0,945z =0,03, ⇔ |( x+ y+ x= 1 ( ( ( -4- |{ 195x+ 3y+ z = 187, |{ 192x− 2z =184, |{ z = 178177, ⇔ |( 2x +2y+ 189z =6, ⇔ |( 187z = 4, ⇔ |( x= 74158, x+y +z =1 x +y+ z = 1 y = 748.

Ответ:

$717 748$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#99237

ООО «СварМонтаж» занимается строительством линейной части магистральных газопроводов. В составе организации работают три бригады сварщиков, причем некоторые из сварщиков имеют удостоверение НАКС («Национальное Агентство Контроля сварки»). Среди сотрудников трех бригад, доли сотрудников, имеющих удостоверение НАКС, образуют геометрическую прогрессию.

Если бы количество сварщиков при неизменном проценте обладателей удостоверений НАКС в бригадах соотносилось бы как $2:3:1,$ то процент сварщиков, имеющих удостоверение НАКС, был бы равен $48,$ а если бы соотношение было бы $1:2:1,$ то процент сварщиков, имеющих удостоверение НАКС, составил бы $54.$ Сколько процентов сотрудников в каждой бригаде имеют удостоверение НАКС?

Источники: Газпром - 2024, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задачах, где есть несколько непересекающихся групп объектов и в каждой из таких групп есть особые объекты, которые отличаются каким-то свойством, очень удобно вводить явные переменные, которые отражают начальное количество объектов каждого типа, и после этого записывать уравнения из условия. Пусть в нашей задаче p/100, q/100, r/100 — доли сотрудников, у которых есть НАКС. Тогда без ограничения общности можно сказать, что q² = pr. А какие еще уравнения, связанные с отношениями, следуют из условия на p,q,r?

Подсказка 2

Имеем: 48/100(2k + 3k + k) = p/100*2k + q/100*3k + r/100*k. Запишите аналогичное уравнение для оставшегося отношения, после чего у нас получится система, пусть и нелинейная, но из трёх уравнений и трёх неизвестных. Теперь их все можно найти!

Показать ответ и решение

Пусть доли сотрудников, имеющих удостоверение НАКС в каждой бригаде, составляют $-p,-q-, r- 100 100 100$ соответственно. Указанные доли составляют геометрическую прогрессию, следовательно, по признаку геометрической прогрессии $2 q = p⋅r.$

Пусть количество сотрудников (сварщиков) в каждой бригаде составляют $x,y,z$ соответственно.

Также по условию при соотношении сотрудников бригад $2:3:1$ процент имеющих удостоверение НАКС равен $48.$ Это означает, что $x :y :z = 2:3:1,$ следовательно, $x = 2k,y = 3k,z =k;$ запишем:

48 p q r 100 ⋅(x +y +z)= 100 ⋅x+ 100 ⋅y+ 100-⋅z ⇔ 48⋅(x +y +z)= p⋅x+ q⋅y+⋅z ⇔ . ⇔ 48⋅(2k+3k+ k)= p⋅2k+q ⋅3k+ r⋅k⇔ 48⋅(2+ 3+1)= p⋅2+ q⋅3+r ⋅1.

А значит, $2p+ 3q+r =288.$

По условию, при соотношении сотрудников бригад $1:2:1$ процент имеющих удостоверение НАКС равен $54.$ Это означает, что $x :y :z = 1:2:1,$ следовательно, $x = k,y = 2k,z = k;$ запишем:

-54⋅(x+ y+ z) =-p-⋅x +-q-⋅y+ -r-⋅z ⇔ 54⋅(x+ y+ z) =p⋅x+ q⋅y+ r⋅z ⇔ 100 100 100 100 ⇔ 54⋅(k+ 2k+ k)=p ⋅k +q⋅2k+ r⋅k⇔ 54⋅(1+2 +1)= p⋅1+ q⋅2+r⋅1.

А значит, $p+ 2q+ r=216$ . Получили систему из трёх уравнений:

( ( ( |{ q2 = pr |{ q2 =pr, |{ q = 48 |( p +2q+ r= 216, ⇔ |( p= 72− q, ⇔ |( p= 24 2p+ 3q+ r=288 r= 144− q r= 96

Ответ:

$24%,48%,96%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#61646

Через терминал оплаты на мобильный телефон можно перевести деньги, при этом взимается комиссия — натуральное число процентов. Федя положил целое количество рублей на мобильный телефон, и его счёт пополнился на $847$ рублей. Сколько денег положил на счёт Федя, если известно, что комиссия менее $30%$ ?

Показать ответ и решение

Пусть Федя положил $N$ рублей на свой телефон и комиссия составила натуральное число $p <30$ процентов. Тогда от его суммы вычитается $p-- 100$ рублей. Получается $Nx- 100$ рублей, где $100 >x = 100− p> 70.$

Итак,

Nx 7⋅10 ⋅10⋅11⋅11 100 =847 =⇒ x = -----N------∈ ℕ∩ (70;100)

По основной теореме арифметике из сократимости дроби следует, что $x$ это произведение каких-то множителей из числителя. Простым перебором можно убедиться, что в заданный интервал $(70;100)$ попадает только произведение $7⋅11.$ Так что $N = 7⋅107⋅0⋅11211 =100⋅11= 1100.$

Ответ:

$1100$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#33318

Однажды Нюша ехала из деревни в Ромашковую долину на поезде. За первый час поезд проехал $30%$ всего пути. Нюша посчитала, что если проехать еще $70$ км, то поезд пройдет $65%$ всего пути. Сколько километров составляет весь путь из деревни в Ромашковую долину?

Показать ответ и решение

Разница между $65%$ и $30%$ составляет $35%$ . Именно такую часть пути в процентах пройдет поезд, если он проедет $70$ км. Значит, $70$ км составляют $35%$ всего пути из деревни в Ромашковую долину. Тогда весь путь мы найдем как $70:35⋅100 =200$ км.

Ответ: 200

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#33319

В течение года цену на пончики два раза поднимали на $50%$ , а перед Новым Годом стали продавать за полцены. Сколько сейчас стоят пончики, если в начале года один пончик стоил $24$ ропика?

Показать ответ и решение

Способ 1. Вначале $50%$ от $24$ ропиков составляют $24⋅50 :100 =12$ ропиков. Значит, после увеличения цены первый раз на $50%$ пончики стали стоить $24+ 12= 36$ ропиков.

Во второй раз $50%$ от $36$ ропиков составляют уже $36⋅50:100= 18$ ропиков, поэтому после увеличения цены во второй раз на $50%$ пончики стали стоить $36+ 18 =54$ ропика.

Наконец, после того, как они подешевели в два раза, пончики стали стоить $54:2 =27$ ропиков, что и является ответом на нашу задачу.

Способ 2. Увеличение на $50%$ — то же самое, что увеличение в полтора раза. Значит, сначала цена два раза увеличилась в полтора раза, а потом уменьшилась в два раза.

После первого увеличения цена стала равна $24⋅3:2= 36$ ропиков, после второго — $36⋅3:2= 54$ ропика, и после уменьшения в два раза получается $54:2= 27$ ропиков.

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#33320

После повышения зарплата Совуньи увеличилась на $20%$ , а после выговора — уменьшилась на $20%$ . На сколько процентов изменилась зарплата Совуньи по сравнению с первоначальной и в какую сторону?

Показать ответ и решение

После повышения новая зарплата стала составлять $120%$ от старой. После выговора зарплата уменьшается на $20%$ , но эти проценты считаются от новой зарплаты. Поэтому зарплата уменьшилась на $120% ⋅20 100= 24%$ , значит, стала составлять $120% − 24% = 96%$ от первоначальной. Таким образом, зарплата по сравнению с первоначальной уменьшилась на $100%− 96%= 4%$ .

Ответ: Уменьшилось на 4%

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#33706

Лосяш решил похудеть. Диетологи порекомендовали употреблять ему не больше $60$ граммов жира в день. Сколько килограммов молока жирностью $2,5%$ Тор может выпить за день, чтобы не превысить рекомендации диетологов?

Показать ответ и решение

Посчитаем, сколько жира содержится в одном килограмме молока. Так как один килограмм молока составляет $100%$ , а жир в нем составляет $2,5%$ , то массу жира мы найдем, поделив килограмм молока на $100%$ и умножив на $2,5%$ . Сразу переведем килограмм молока для удобства в граммы ( $1килограмм= 1000 грамм ов$ и будем проводить вычисления в граммах:

1000граммов:100%⋅2,5% = 25 граммов.

Итак, в одном килограмме такого молока содержится $25$ граммов жира. Лосяшу можно употребить $60$ граммов жира. Значит, Лосяшу можно употребить в $60= 12 =2,4 25 5$ раз больше молока, чем один килограмм. Таким образом, Лосяш может употребить $2,4$ килограмма молока жирностью $2,5%$ .

Ответ: 2,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#33707

Пин с Ёжиком летят с Марса на Землю с постоянной скоростью. Спустя $3$ часа после начала пути, смешарики преодолели $30%$ всего пути. Сколько часов займет оставшийся путь, если скорость не изменится?

Показать ответ и решение

По условию сказано, что $30%$ пути были преодолены за $3$ часа. Чтобы из $30%$ получить $100%$ , нужно умножить их на $100% = 100- 30% 30$ . Значит, эти $3$ часа надо умножить на $100 30$ :

3часа⋅ 100-= 10часов. 30

Итак, весь путь занимает $10$ часов. Так как $3$ из них смешарики уже летели, им осталось лететь $10− 3= 7$ часов. $▸$

Следующая задача уже требует навыка введения переменных. Не надо пугаться вычислений с буквами, они зачастую даже понятнее, чем вычисления с конкретными числами. Главное рассуждать достаточно общо и не на частных примерах, чтобы ваше решение покрывало все возможные случаи. Именно ради этого мы и вводим переменные, обозначая неизвестные величины буками.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#33708

Одно число было в $5$ раз больше другого. Большее число увеличили на $40%$ , а меньшее уменьшили на $30%$ . Во сколько раз теперь большее число больше меньшего?

Показать ответ и решение

Обозначим меньшее из исходных чисел через $x$ . Тогда большее было равно $5x$ . После увеличения на $40%$ большее число увеличилось в $140% 100% = 1,4$ раз и стало равно $5x⋅1,4= 7x$ . Меньшее число уменьшилось на $30%$ и стало составлять $100%-−-30%- -70%- 100% = 100% =0,7$ от исходного, то есть стало равно $0,7x$ . Найдем отношение новых чисел: $7x :0,7x= 10$ . Значит, большее число больше меньшего в $10$ раз.

Ответ: 10

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#72247

Доход студента складывается из трёх источников: стипендия, временная подработка и помощь родителей. Если правительство удвоит стипендию, то его доход возрастёт на $5%.$ Если время подработки увеличить в два раза, то доход возрастёт на $15%.$ На сколько процентов возрастёт доход студента, если его папа с мамой будут присылать денег вдвое больше?

Источники: Муницип - 2022, Ростовская область, 8.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим каждый доход своей буквой, например: общий доход студента - S, стипендия - a, подработка - b, помощь родителей - c. Тогда верно равенство: S = a + b + c. А можно ли из оставшихся условий найти a и b?

Подсказка 2

Да, ведь 2a+b+c=1, 05S, тогда a = 1,05S-S=0,05S. Аналогично, b будет равно 0,15S. Что остаётся сделать, чтобы найти c?

Подсказка 3

Верно, надо подставить a и b в том виде, который мы получили на предыдущем шаге!

Показать ответ и решение

Пусть $S$ — ежемесячный доход студента, $a,b$ и $c$ — величины стипендии, подработки и помощи родителей соответственно (выраженные, например, в рублях). Ясно, что $S =a +b+ c.$ Тогда по условию $2a +b+ c= 1,05S$ и $a+ 2b+c =1,15S.$ Из первого уравнения $a =0,05S,$ из второго $b= 0,15S,$ тогда $c= S− a− b =0,8S;a +b+ 2c= 1,8S,$ то есть, доход студента возрастёт на $80%.$

Ответ: 80

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#76527

В фирме работало 150 сотрудников, в том числе 73 женщины. Затем произошло объединение с другой фирмой, где женщины составляли $40%.$ В результате доля женщин среди сотрудников стала равна $p%.$ Найдите все возможные целые значения $p.$

Источники: Миссия выполнима-2022, 11.1 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посчитаем, сколько всего сотрудников каждого пола оказалось в фирме после слияния.

Подсказка 2

Измерять количество людей через проценты не очень удобно, лучше запишем соотношение полов в виде 2n:3n. Теперь, добавляя количество людей в первой фирме, можно найти отношение количества женщин к количеству людей всего

Подсказка 3

Да, получаем сумму из целого числа и дробного, в знаменателе которого стоит n. Вспомним, что и n, и сама дробь должны быть целыми неотрицательными числами, и найдём все возможные варианты

Показать ответ и решение

В фирме, с которой произошло объединение, отношение числа женщин к числу мужчин равнялось $40 :60 =2 :3.$ Поэтому можно полагать, что там было $2n$ женщин и $3n$ мужчин, где n $∈ ℕ.$ В результате объединения получилась фирма, среди сотрудников которой, ровно $73+ 2n$ женщин. Поскольку

73+ 2n 7300 +200n 1460+40n 260 p = 150+-5n ⋅100=-150+-5n--= --30+n-- =40+ 30+-n,

то число $30+ n$ делит $260$ и может быть равным $260,130,65 или 52.$ Соответствующие значения $p$ равны $41,42,44 и 45.$

Ответ: 41, 42, 44, 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#92056

Два куска сыра имеют форму прямоугольного параллелепипеда каждый. Длина первого куска на 50% больше длины второго куска, а ширина и высота первого куска соответственно на $20%$ и $30%$ меньше ширины и высоты второго куска. У какого куска сыра объём больше и на сколько процентов?

Показать ответ и решение

Пусть $a,b$ и $c$ — длина, ширина и высота соответственно второго куска сыра. Тогда его объём равен $V =abc. 2$ По условию объём первого куска сыра равен Следовательно,

25 4 V2 = 21V1 = 121V1,

4 1 21-⋅100% = 1921%

Ответ:

объём второго больше на $19-1% 21$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#99213

На торги выставлен лот из трёх пакетов акций нефтедобывающих компаний: Разнефти, Дванефти и Тринефти. Суммарное количество акций пакетов Разнефти и Дванефти совпадает с количеством акций в пакете Тринефти. Пакет акций Дванефти в $4$ раза дешевле пакета Разнефти, а их суммарная стоимость совпадает со стоимостью пакета Тринефти. Одна акция Разнефти превышает стоимость одной акции Дванефти на величину от $16$ тыс. руб. до $20$ тыс. руб., а цена одной акции Тринефти колеблется в пределах от $42$ тыс. руб. до $60$ тыс. руб. Определить, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций в лоте может составлять пакет акций Дванефти.

Источники: Газпром - 2022, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии дано очень много чисел, поэтому нам нужно ввести много переменных для них и записать систему. Далее нужно выразить величину, про которую мы хотим что-то узнать.

Подсказка 2

Оказывается, исследование величины из вопроса задачи сводится к исследованию m/n, где m и n — количества акций в пакетах Разнефти и Дванефти соответственно.

Подсказка 3

Рассмотрим, например, максимизацию отношения. Тогда m максимально, а n минимально. Значит, цена акции Тринефти максимальна, а разность стоимости минимальна. Нужно это доказать, а потом решить систему уравнений. Аналогично для минимизации.

Показать ответ и решение

Введем обозначения: $x$ — цена одной акции Дванефти, $y$ — цена одной акции Разнефти, $z$ — цена одной акции Тринефти; $n$ — количество акций в пакете Дванефти, $m$ — количество акций в пакете Разнефти. Остальные условия задачи запишем в виде системы уравнений и неравенств:

(| (| m- 4x- ||||| 4xn =ym, ||||| n = y , |{ xn +ym = z(m + n), |{ y = x+a,am- ||| 16≤ y− x≤ 20, ⇒ ||| z = x+ n+m, ||||( 42≤ z ≤ 60 ||||( 16 ≤a ≤20 42 ≤z ≤60

Необходимо найти переделы изменения величины

n n n+-m-+(n+-m)-⋅100% = 2(n+-m)-⋅100%

Если удастся найти отношения $mn,$ то задача будет решена, так как $( ) 2(n+nm) =2 1+ mn- .$ Определим сначала, при каких условиях процент акций Разнефти в общем лоте будет наименьшим. Для этого $2(nn+m-) → min,$ если $n→ min,m → max,y − x → min ,$ следовательно, $y− x= 16,$ значит, $a =16.$ Если $n → min,m → max ,$ то $z = x+ 1n6+mm-→ max,$ следовательно, $z = 60.$ Тогда,

m- = -4x-,x= -16m--,z = -16m--+ -16m-= 60 n x+16 4n− m 4n − m n +m

16m(m + n)+ 16m(4n− m)= 60(4n− m)(n +m )

( ) 80mn = 60 4n2+ 3mn − m2

3m2 − 5mn − 12n2 = 0

(m )2 m 3 -n − 5n-− 12= 0

[ m-= 3 nm-= − 4 n 3

По условию задачи выбираем $m = 3n,$ тогда наименьший процент

---n---100% = 12,5% 2(n+ m)

Аналогично найдем наибольший процент: для этого $--n-- 2(n+m) → max,$ если $n→ max,m → min,y − x → max,$ следовательно, $y− x =20,$ значит, $a= 20.$ Если $n→ max,m → min,$ то $-20m- z =x +n+m → min,$ следовательно, $z = 42.$ Тогда, $-20m- x= 4n−m$ , $20m- 20m- z = 4n−m + n+m = 42.$ Имеем: