Алгебраические текстовые задачи → .02 Составление уравнений

Пусть — число шаров, а — число заполненных коробок в первом случае. Тогда коробок всего . По условию получаем

где

Во втором случае получаем

где

И наконец, в третьем случае получаем

так как во втором случае имеем на самом деле коробок — заполненных и одну не полностью заполненную.

Заметим, что делятся на , то есть

где

Из получаем

Из получаем

То есть И тогда

Обозначим сумму возрастов папы, мамы и бабушки через , сумму возрастов детей через , а количество детей через . Тогда справедливы следующие равенства:

Преобразуем равенства:

Видно, что

Пусть — число красных шариков. Тогда по условию число синих, белых и зеленых вместе это

Из этого следует, что их общее количество — — делится на 5.

Пусть — число синих шариков. Тогда по условию белых, красных и зеленых шариков вместе получится поэтому общее количество — — делится на 7.

Числа 5 и 7 взаимно просты, поэтому из делимости на 5 и 7 следует делимость на

Способ 1.

Пусть было девочек и мальчиков.

Пусть мальчики получили по шоколадок, тогда девочки получили по шоколадке.

Пусть девочки получили по мармеладок, тогда мальчики получили по мармеладке.

Тогда из условия имеем систему уравнений:

Сложив уравнения системы, получим

Отсюда количество всех детей равно либо 11, либо 121.

Для исходной системе удовлетворяет пример

Для исходной системе удовлетворяет пример

 

Способ 2.

Заметим, что всего раздали количество сладостей, равное

При этом все дети в итоге получили поровну, поэтому если через обозначить количество детей, а через — количество сладостей на одного ребенка, то мы получим равенство

Так как то это возможно в двух случаях:

1) Например, 3 девочки получили по 5 шоколадок и по 6 мармеладок, 8 мальчиков получили по 4 шоколадки и по 7 мармеладок.

2) Например, 47 девочек получили по 1 шоколадке и по 0 мармеладок, 74 мальчика получили по 0 шоколадок и по 1 мармеладке.

Значит, всего детей могло быть 11 или 121.

Сначала по рисунку выпишем очевидные соотношения:

Необходимо найти:

Далее, заметим, что транзакции №1 и №8 осуществлены одним и тем же владельцем владельцем 1. То есть использовался один и тот же секретный ключ , при этом использовалось одно и то же значение в подписи, поэтому

Отсюда получим

Следовательно, . С учетом (2) имеем: .

Аналогичное свойство замечаем у транзакций №5 и №12:

Отсюда получим

Следовательно

С учетом (4) имеем: и уже находится . Теперь обратим внимание на транзакции №9 и №10, осуществленные владельцем 2 , для которых, как нетрудно заметить, использовались одинаковые , но с разными знаками, т.к. .

Поэтому:

Отсюда получим:

Т.к. исходная сумма криптокойнов была равна 30 , то

Обозначим количество участников, которые участвовали:

• ровно в одной олимпиаде — через ,
• ровно в двух олимпиадах — через ,
• ровно в трёх олимпиадах — через .

По условию задачи известно, что:

Всего в олимпиаде по математике участвовало 80 человек, по физике — 55, по информатике — 45. Суммарное количество участников с учётом пересечений:

Учитывая пересечения:

• те, кто участвовал в двух олимпиадах, посчитаны дважды,
• те, кто участвовал в трёх олимпиадах, посчитаны трижды.

Общая формула для числа участников с учётом всех пересечений:

Подставим в это уравнение:

Таким образом, .

Пусть у короля и королевы было дочерей. Пусть также между двумя описанными моментами прошло лет.

Изначально разность суммарного возраста родителей и суммарного возраста детей равнялась лет, а через лет она стала равна Поскольку каждый год эта разность уменьшалась на лет (ведь на 1 год становится старше каждый из детей и каждый из двух родителей), то

Ясно, что Разберем несколько случаев

1.

и Тогда что невозможно, ведь детей не больше

2.

Тогда и детей всего было Это возможно, например, если детей сначала сыновьям было года, а дочерям — лет. Тогда суммарно детям лет, а через лет им в сумме будет как и королю и королеве в сумме.

3.

Тогда и детей всего было Такой случай возможен, например, если в семье в первый момент времени трём сыновьям было года, а шести дочерям было лет. Тогда суммарно детям было лет — столько же, сколько лет королю и королеве. А через лет им суммарно стало лет, как и королю и королеве в сумме.

Обозначим количество мужчин и женщин в поезде за , так как их равное количество. По условию количество детей равно половине всех мужчин, тогда получаем, что детей всего . С другой стороны, количество детей на меньше, чем всего женщин в поезде, что равняется . Так как мы считали детей, то получаем следующее уравнение:

Умножим обе части на :

Получили, мужчин и женщин по , а детей всего . Итого пассажиров — .

Пусть гирек весами грамма на весах стало соответственно (если ничего не потеряно, то ). Тогда суммарная масса гирек равна . Число делится на (при делении будет ), значит,

делится на .

Отсюда сразу же следует, что делится на Но тогда либо , либо количества гирек отличаются хотя бы на , а изначально их было поровну, так что хотя бы потеряно (это больше , что и требовалось доказать).

Если всё-таки , то суммарная масса равна и делится на . Но число не делится на (при делении на получается нечётное число , ещё на поделить нацело невозможно). Так что всё-таки такой случай невозможен.

Пусть — количество абонементов, проданных с максимальной ( pуб.) скидкой. Количество остальных акционных абонементов тогда выражается формулой , где . При этом общая сумма скидок, равная (руб.), равна с другой стороны (руб.)

Уравнение при не имеет целых корней, а при получается Искомое теперь находим как частное от деления 515 на

Пусть всего задач тогда первый проспал второй — третий задач. При этом мы знаем, что одно из этих чисел в три раза больше некоторого другого. Для этого необходимо, чтобы их разность была кратна двум, а этому условию удовлетворяет только пара Отсюда Отсюда оставшийся проспал задач.

Первое решение.

Заметим, что за каждый неудачный выстрел стрелок просто теряет один патрон, а за каждый удачный выстрел получает патронов на один больше, чем очков, но при этом теряет один патрон за этот выстрел. Получается, что очков суммарно получено столько же, сколько получено дополнительных патронов.

Так как стрелок промахнулся 2023 раза, то он получил дополнительных патрона. Столько он получил и очков.

Второе решение.

Пусть числа выстрелов, результатом которых было получение и очков соответственно. Тогда общее число выстрелов равно:

Каждый выстрел приносит такие очки: При этом с каждым результатом связано определённое число выстрелов, а именно:

1.

Если был промах, то этот результат не даёт дополнительных выстрелов, и с ним связан единственный выстрел, который и дал промах.

2.

Если было получено одно очко, то с этим результатом связано выстрела, а именно, тот, который дал этот результат, и плюс два дополнительных премиальных.

3.

Если было получено очка, то с этим результатом связано выстрела: один — который дал результат, и премиальных.

4.

Если было получено очка, то с этим результатом связано выстрелов (аналогичные рассуждения: один исходный премиальных).

Тогда рассмотрим сумму:

Заметим, что в этой сумме каждый выстрел учтен ровно два раза, тогда:

Заметим, что это выражение - количество набранных Юрой очков.

Пусть фишка сделала шагов вправо и шагов влево. Тогда она сместилась на клеток вправо (при отрицательном значении этого выражения смещение происходит влево). Нам же надо переместить фишку на соседнюю справа клетку, другими словами, найти какое-нибудь решение уравнения в натуральных числах. Подходит, например, , , то есть 3 шага влево и 2 шага вправо.

Пусть прыжков длиной 15 сантиметров вправо было сделано на больше, чем таких же прыжков влево, аналогично введем как разницу между количеством прыжков вправо и влево на 21 сантиметр.

Тогда блоха оказалась в точке с координатой (если это число отрицательно, то левее изначальной точки).

Таким образом, нас интересует, при каких уравнение имеет решение.

Если , то такие и существуют. Наоборот, если не делится на 3, то блоха в такой точке оказаться не может.

Пусть — количество телефонов, проданных с максимальной руб.) скидкой. Количество остальных акционных телефонов тогда выражается формулой , где . При этом общая сумма скидок, равная (руб.), равна с другой стороны (руб.).

Уравнение при и не имеет целых корней, а при получается . Искомое теперь находим как неполное частное от деления 495 на .

Пусть корова поедает в месяц стогов, лошадь — , козочка — . Сын считает, что

Но тогда

Поскольку , то выходит

отсюда , что невозможно.

Очевидно, если шнур поджечь с одного конца, он будет гореть вдвое дольше, чем подожженный с двух концов, то есть 118 секунд. Пусть общая длина красных участков — см. Тогда общая длина зеленых — см, и веревка, подожженная с одного конца, будет гореть сек. Решая уравнение , находим .

Обозначим количество аленьких цветочков через , а количество черных роз — через . Тогда листков в букете , а пестиков — . При этом известно, что листков на 108 меньше, чем пестиков, значит, , откуда .

Тычинок же в букете , что в 2 раза больше, чем . Таким образом, тычинок .

Обозначим количества пятерок, четверок, троек и двоек, полученных Колей, через и соответственно. Тогда средний балл Коли равен Те же самые переменные будут обозначать для Васи количество четверок, троек, двоек и пятерок соответственно. Значит, его средний балл будет равен Приравняем средние баллы:

Кроме того, по условию

Тогда получаем равенство

Обозначим количество всех мужчин в роду (в том числе основателей) через . Посчитаем двумя способами количество людей в этом роду. С одной стороны, их, очевидно, , ведь всех людей можно посчитать, сложив мужчин и женщин.

С другой стороны, каждый человек в этом роду, кроме основателей, является ребенком одного из мужчин этого рода. По условию, каждый мужчина, кроме семерых, имел трое детей. Отсюда следует, что детей в этом роду было . Непосчитанными остались лишь сами основатели, поэтому в итоге получается .

Итак, имеем равенство , откуда , а количество всех людей в роду равно .