Геометрия помогает алгебре

Изобразим условие задачи в координатах по времени и положению в пространстве. Пусть точки и соответствуют выходам Ани и Бори из деревни А и деревни Б соответственно. Их скорости постоянны и одинаковы. Пусть Аня пришла в деревню Б в точке а Боря в деревню A — в точке Тогда они встретились в точке Если бы Аня вышла на полчаса раньше, она бы начинала путь в точке и пришла бы в Б в точке Аналогично для Бори и точек и Обозначим возможные точки встреч за и Проведем и параллельно оси а также и параллельно оси Треугольники и будут прямоугольными.

Заметим, что если бы Аня и Боря вместе вышли на 30 минут раньше, то их встреча произошла бы в том же месте, что и в действительности, поэтому точки и лежат на одной горизонтали. Если бы Аня вышла на 30 минут раньше, то встреча бы состоялась в точке что ближе к деревне Б на 2 километра, чем точка встречи Тогда Так как скорости Ани и Бори всегда одинаковые, и следовательно, — параллелограмм. Выходит, что отрезки и равны и параллельны. Тогда их проекции на ось будут равны. Выходит, что и Треугольники и равны, Если бы Боря вышел на 30 минут раньше, то встретились бы они в точке на 2 километра ближе к деревне А.

Рассмотрим координатную плоскость, по оси абсцисс будем откладывать время , а по оси ординат — пройденный путь

Пусть отрезки — графики движения пешехода, велосипедиста и мотоциклиста соответственно. По условию эти отрезки имеют общую точку с ординатой , , точки лежат на прямой , где — искомое время в часах.

Так как , то , откуда

минут.

Левая часть второго уравнения есть расстояние между точками и .

Поскольку расстояние между точками и равно 4, второе уравнение системы задает отрезок , т. е. множество точек вида , где .

Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно , находим, что . Таким образом, первое уравнение задает две вертикальных прямых на плоскости. Для того чтобы система имела ровно одно решение, необходимо и достаточно, чтобы ровно одна из этих двух вертикальных прямых пересекала отрезок .

Первая прямая пересекает при , т. е. при ; вторая прямая - при , т. е. при . Следовательно, система имеет ровно одно решение при .

Первое решение.

Заметим, что в левых частях первых двух уравнений — суммы квадратов. Так можно записать квадраты длин векторов

Согласно условию, . Заметим, что скалярное произведение векторов и равно

что совпадает с , а значит, вектора коллинеарны, причём . Поэтому

Подставим эти значения в третье уравнение (выбор знака перед каждым слагаемым независим):

Равенство возможно только в двух случаях: или .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Умножим на 4 и 9 первое и второе равенство в системе соответственно и сложим их:

По неравенству о средних получаем, что

Тогда

Следовательно, равенство достигается тогда и только тогда, когда в каждом из неравенств выполняется равенство, то есть

Откуда получаем

Подставим полученные значения в третье уравнение:

Чтобы избавиться от иррациональности слева необходимо чтобы и были одного знака, а равенство превращается в тождество при Таким образом, получаем 2 решения: и

Будем рассматривать как координаты в трёхмерном пространстве. Тогда исходные неравенства задаются внутренней областью между двумя параллельными плоскостями, параллельными одной из осей. Значит, областью, в которой все неравенства выполнятся, будет параллелепипед. Заметим, что нас просят найти наибольшее значение суммы квадратов, то есть самую удалённую от начала координат точку параллелепипеда. Ясно, что она будет в одной из вершин. Вершины симметричны относительно поэтому можно считать, что Тогда нужно решить системы уравнений:

Здесь

Здесь

Здесь

Здесь Таким образом, получаем максимум

Пусть в декартовой системе координат с центром Отметим точку на прямой через точку и образующей с прямой угол так, что точку так, что По теореме косинусов для треугольника

Откуда Аналогично вычисляются другие стороны четырехугольника

таким образом, доказываемое неравенство можно переписать в виде

что представляет из себя утверждение теоремы Птолемея для четырехугольника

Изобразим на координатной плоскости графики зависимости координаты от времени для участников пробежки

Вершины треугольника — точки встречи Вани и Паши Маши и Паши Маши и Тани Точка на стороне треугольника — точка встречи Паши и Тани. Точка на стороне треугольника — точка встречи Вани и Маши.Точка — пересечение отрезков и — точка встречи Вани и Тани, — время встречи Вани и Тани.

Так как то пусть и — длины отрезков и соответственно; аналогично, так как то пусть и — длины отрезков и соответственно.

По теореме Менелая для имеем:

Так как отношение отрезков такое же, как отношение их проекций, то

Получаем

Первое решение. Пусть — расстояни между домами Ани и Бори (измеренное в метрах), а и — скорости Ани и Бори соответственно (измеренные в м/мин). Когда Боря догоняет Аню, скорость их сближения равна Поэтому в первый день Боря догнал Аню за мин. Во второй же день Аня успела отойти на м, так что мин. Отсюда имеем откуда и Поэтому а Боре надо потратить на путь между домами минут. Значит, выбежать ему надо в

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Изобразим условие на графике (см. рис. 1), откладывая по оси абсцисс время (в минутах, отсчитанное от момента ), а по оси ординат — расстояние от дома Бори. Тогда графики движения обоих детей будут отрезками прямых. Пусть график движения Ани начинается в точке график движения Бори в первый и второй день — в точках и и пусть точки встречи в эти два дня обозначаются как и соответственно. По условию, абсциссы точек и равны 30 и 50 соответственно.

Пусть — точка, в которой должен начинаться график движения Бори. По теореме Фалеса, последнее отношение равно отношению разностей абсцесс соответствующих точек, то есть Значит, то есть точка соответствует моменту

Изобразим графики зависимости координаты велосипедиста и координаты машины от времени, пусть — точка пересечения этих прямых. Отметим на прямых точки, в которых произошли встречи с пешеходом и телегой, по ним достроим графики зависимости координаты пешехода и телеги от времени. Обозначим за и точки пересечения прямой, соответствующей движению пешехода, с прямыми велосипедиста, телеги и машины соответственно, — точка, в которой машина догнала телегу. Пусть и — проекции точек и на ось времени.

Заметим, что точка является точкой пересечения медиан треугольника соответственно По теореме Фалеса так как час, получаем:

Таким образом, пешеход и телега встретились в

На оси абсцисс отметим отрезки, равные по длине , а на оси ординат — отрезки длины . Тогда выражение — это расстояние от точки до точки , а — расстояние от точки до точки .

Таким образом, получили ломанную из точки до точки с координатами

. Ее длина не превосходит расстояния между этими точками, то есть

Тогда

Решив это уравнение, находим

Первое решение. Введём переменные Тогда Подставим это в неравенство и уножим его на

Покажем, что числа положительные. Изначальное неравенство инвариантно относительно перестановки пременных, поэтому не умаляя общности положим, что Тогда очевидно, что и положительны. Если же при этом отрицательно, то изначальное неравенство верно, потому что левая часть неположительна, а правая — положительна. Поэтому будем считать, что также больше

В этом случае мы можем написать неравенства о средних: Осталось их перемножить и получить требуемое.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Выражение слева чем-то похоже на формулу Герона, не так ли? Давайте домножим неравенство на чтобы оно в точности стало ею:

Вспомним известные формулы площади через радиусы вписанной и описанной окружностей: Если подставить это в неравенство, поделить на и преобразовать, получим неравенство Оно следует из теоремы Эйлера про расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

Используем неравенство КБШ в векторном виде. Рассмотрим векторы и Скалярное произведение

Имеем

Тогда получаем, что

Отложим от одной точки на плоскости отрезки длиной так, чтобы угол между отрезками и был угол между отрезками и был а угол между отрезками и был Обозначим вторые концы отрезков через и соответственно.

Тогда по теореме косинусов Тогда наше неравенство сразу следует из неравенства треугольника (возможно, вырожденного).

Обозначим тогда наше уравнение перепишется в виде:

Таким образом у нас получаются два треугольника и , где

Так как по теореме Пифагора то и лежат на Заметим, что — высота в треугольнике Действительно,

Следовательно,

Перепишем исходное выражение, как

Заметим, что каждое из четырёх слагаемых это расстояние между точками

По неравенству ломанной это сумма минимальна, когда все отрезки лежат на и тогда сумма их длин по теореме Пифагора равна причём равенство достигается при

Заметим, что первое слагаемое задаёт расстояние от точки до точки второе слагаемое задаёт расстояние от точки до точки

По неравенству треугольника для

Таким образом, минимальное значение достигается, когда точка лежит на отрезке при

I способ
Перейдем в систему отсчета, связанную с первым кораблем.
Тогда относительная скорость равна

Чтобы найти угол рассмотрим треугольник со сторонами

Угол между сторонами и равен По теореме косинусов

По теореме синусов найдем

А угол равен , значит, траектория относительного движения является биссектрисой, а в равностороннем треугольнике она является еще и медианой, следовательно,

___________________________________________________________________________________________________

II способ
До момента пересечения траекторий корабли будут сближаться, после пересечения траекторий корабли будут удаляться. Значит, минимальное расстояние в точке пересечения траекторий. Так как скорость второго в 2 раза больше, чем скорость первого, то он придет в точку пересечения в 2 раза быстрее, а расстояние между кораблями будет равно половине траектории. Заметим, что треугольник равносторонний (равнобедренный и при этом с углом в 60 градусов при вершине), значит, длина траектории равна Так что минимальное расстояние между кораблями равно

Рассмотрим векторы на плоскости:

Заданные выражения соответствуют скалярным произведениям:

Предположим, что все эти скалярные произведения отрицательны. Тогда:

Рассмотрим вектор Из следует, что образует тупые углы с Аналогично, образует тупые углы с и а — с

Однако на плоскости невозможно разместить четыре вектора так, чтобы каждые два из них образовывали тупой угол. Следовательно, исходное предположение неверно. Хотя бы одно из скалярных произведений неотрицательно.

Рассмотрим векторы

Так как

то

Равенство выполняется, когда эти векторы сонаправлены; соответствующие значения является корнем уравнения и равно .

Построим схематично график движения.

По условию задачи км, км, а требуется найти Очевидно, что треугольники и подобны и их коэффициент подобия С другой стороны, треугольники и также подобны и их коэффициент подобия равен

Значит,