Геометрия помогает алгебре → .01 Задачи на движение: графический подход

Изобразим условие задачи в координатах по времени и положению в пространстве. Пусть точки и соответствуют выходам Ани и Бори из деревни А и деревни Б соответственно. Их скорости постоянны и одинаковы. Пусть Аня пришла в деревню Б в точке а Боря в деревню A — в точке Тогда они встретились в точке Если бы Аня вышла на полчаса раньше, она бы начинала путь в точке и пришла бы в Б в точке Аналогично для Бори и точек и Обозначим возможные точки встреч за и Проведем и параллельно оси а также и параллельно оси Треугольники и будут прямоугольными.

Заметим, что если бы Аня и Боря вместе вышли на 30 минут раньше, то их встреча произошла бы в том же месте, что и в действительности, поэтому точки и лежат на одной горизонтали. Если бы Аня вышла на 30 минут раньше, то встреча бы состоялась в точке что ближе к деревне Б на 2 километра, чем точка встречи Тогда Так как скорости Ани и Бори всегда одинаковые, и следовательно, — параллелограмм. Выходит, что отрезки и равны и параллельны. Тогда их проекции на ось будут равны. Выходит, что и Треугольники и равны, Если бы Боря вышел на 30 минут раньше, то встретились бы они в точке на 2 километра ближе к деревне А.

Рассмотрим координатную плоскость, по оси абсцисс будем откладывать время , а по оси ординат — пройденный путь

Пусть отрезки — графики движения пешехода, велосипедиста и мотоциклиста соответственно. По условию эти отрезки имеют общую точку с ординатой , , точки лежат на прямой , где — искомое время в часах.

Так как , то , откуда

минут.

Изобразим на координатной плоскости графики зависимости координаты от времени для участников пробежки

Вершины треугольника — точки встречи Вани и Паши Маши и Паши Маши и Тани Точка на стороне треугольника — точка встречи Паши и Тани. Точка на стороне треугольника — точка встречи Вани и Маши.Точка — пересечение отрезков и — точка встречи Вани и Тани, — время встречи Вани и Тани.

Так как то пусть и — длины отрезков и соответственно; аналогично, так как то пусть и — длины отрезков и соответственно.

По теореме Менелая для имеем:

Так как отношение отрезков такое же, как отношение их проекций, то

Получаем

Первое решение. Пусть — расстояни между домами Ани и Бори (измеренное в метрах), а и — скорости Ани и Бори соответственно (измеренные в м/мин). Когда Боря догоняет Аню, скорость их сближения равна Поэтому в первый день Боря догнал Аню за мин. Во второй же день Аня успела отойти на м, так что мин. Отсюда имеем откуда и Поэтому а Боре надо потратить на путь между домами минут. Значит, выбежать ему надо в

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Изобразим условие на графике (см. рис. 1), откладывая по оси абсцисс время (в минутах, отсчитанное от момента ), а по оси ординат — расстояние от дома Бори. Тогда графики движения обоих детей будут отрезками прямых. Пусть график движения Ани начинается в точке график движения Бори в первый и второй день — в точках и и пусть точки встречи в эти два дня обозначаются как и соответственно. По условию, абсциссы точек и равны 30 и 50 соответственно.

Пусть — точка, в которой должен начинаться график движения Бори. По теореме Фалеса, последнее отношение равно отношению разностей абсцесс соответствующих точек, то есть Значит, то есть точка соответствует моменту

Изобразим графики зависимости координаты велосипедиста и координаты машины от времени, пусть — точка пересечения этих прямых. Отметим на прямых точки, в которых произошли встречи с пешеходом и телегой, по ним достроим графики зависимости координаты пешехода и телеги от времени. Обозначим за и точки пересечения прямой, соответствующей движению пешехода, с прямыми велосипедиста, телеги и машины соответственно, — точка, в которой машина догнала телегу. Пусть и — проекции точек и на ось времени.

Заметим, что точка является точкой пересечения медиан треугольника соответственно По теореме Фалеса так как час, получаем:

Таким образом, пешеход и телега встретились в

Построим схематично график движения.

По условию задачи км, км, а требуется найти Очевидно, что треугольники и подобны и их коэффициент подобия С другой стороны, треугольники и также подобны и их коэффициент подобия равен

Значит,

Обозначим за и Олега, Оливера и двух помощников соответственно, за — центр положительной гомотетии окружностей и Из условия следует, что прямая всегда проходит через причем, так как радиусы окружностей отличаются в два раза, отрезок делится точкой пополам. Отметим точку — пересечение луча с Поскольку равные хорды стягивают равные меньшие дуги, точка — середина дуги то есть прямая содержит внутреннюю биссектрису треугольника а еще По лемме о трезубце это означает, что точка является центром вписанной окружности треугольника обозначим эту окружность за

Покажем, что является искомой окружностью. Она касается отрезка в силу построения, поэтому достаточно проверить, что она не зависит от времени. Как показано выше, центр — это обозначим ее радиус за . Также обозначим за расстояние между центрами и а за — постоянный радиус

Посчитаем степень точки относительно двумя способами:

Величины и не зависят от времени, поэтому также от него не зависит, следовательно, окружность имеет постоянный центр и радиус, что и требовалось доказать.

Пусть — положение автобуса на дороге в момент, когда его увидел Петя, — положение Пети на дороге в момент, когда он увидел автобус, — положение последней остановки, которую миновал Петя к моменту, когда он увидел автобус, — положение следующей за остановки, — расстояние между остановками, — расстояние между точками и , — скорость бега Пети.

Рассмотрим несколько случаев

Случай 1. Увидев автобус, Петя повернул назад. Петя окажется на остановке не позднее автобуса и сможет на него пересесть, если

Случай 2. Увидев автобус, Петя не изменил направления движения. Петя окажется на остановке не позднее автобуса и сможет на него пересесть, если

Наибольшее допустимое значение соответствует пересечению прямых и В итоге находим

Пусть скорость велосипедиста равна км / мин, скорость автомобиля равна км / мин, а расстояние между пунктами равно км, тогда

Отсюда , то есть велосипедист потратил на дорогу минут.

Замечание. Как эта задача выглядит при графическом подходе к решению:

Занумеруем лифты: красный — первый, синий — второй, зеленый — третий, желтый — четвертый. Лифты движутся с постоянными скоростями, следовательно, для каждого лифта пройденное расстояние в некоторой системе координат зависит от времени по закону.

По условию задачи красный и синий лифт движутся в одном направлении, причем красный догоняет синий, следовательно:

Пусть тогда и

Зеленый и желтый лифты движутся в противоположном направлении с двумя первыми, и желтый догоняет зеленый, следовательно:

Построим графики функций согласно условию задачи.

Нужно определить абсциссу точки Точка — точка пересечения медиан треугольника Воспользуемся теоремой Фалеса:

Изобразим условие задачи в координатах по времени и положению в пространстве. Пусть точка соответствует моменту выхода пешехода из пункта А, точка соответствует моменту выезда велосипедиста из пункта А, точка соответствует моменту выезда мотоциклиста из пункта А. Точка будет соответствовать остановке мотоциклиста в пункте С, точка — началу движения мотоциклиста, велосипедиста и пешехода из пункта С. Точки и — моменты прибытия мотоциклиста, велосипедиста и пешехода соответственно в пункт В.

Так как велосипедист выехал на 2 часа позже, чем вышел пешеход, отрезок соответствует двум часам. Аналогично, отрезок соответствует 3 минутам, отрезок соответствует 1 часу, отрезок соответствует 30 минутам. Нас спрашивают, какому времени соответствует отрезок Построим параллельно отрезок Так как параллелен оси — параллелограмм, следовательно, отрезок соответствует 3 минутам. Заметим, что треугольники и подобны, так как Аналогично, треугольники и подобны. При этом отрезки и лежат на прямой внутри подобных и следовательно, отношение к равно коэффициенту подобия и поэтому коэффициенты подобия данных пар подобных треугольников равны. Запишем отношение отрезков для времени в минутах:

Так как ответ просят выразить в часах,

Рассмотрим график движения, где по двигался первый катер, а по — второй

Здесь из условия, и параллельны (тангенсы их углов наклона к оси равны скорости катера вниз по реке), откуда с коэффициентом (), откуда на отрезке первый катер прошёл 4 км.

Изобразим условие задачи в координатах по времени и положению в пространстве. Пусть точка соответствует нахождению в пункте А в автомобиль выехал из нее и прибыл в пункт Б, пусть это произошло в точке Проехав пути, водитель заметил, что в сторону пункта А выехал велосипедист. Обозначим эту точку за Пусть расстояние от A до Б равно тогда В то же время, что автомобиль прибыл в пункт Б, из пункта Б выехал автобус в пункт А. Следовательно, момент выезда автобуса соответствует точке Автобус прибыл в пункт А в пусть это будет точка Когда автобусу оставалось проехать пути, он поравнялся с велосипедистом, обозначим эту точку за Пусть расстояние от A до B равно тогда Продлим прямую до пересечения с осью в точке

Точка будет соответствовать прибытию велосипедиста в пункт A, так как он двигался с постоянной скоростью. Рассмотрим треугольник и прямую По теореме Менелая

Получим, что

Поскольку точка соответствует точка — выходит, что точка будет соответствовать

Нарисуем графики движения.

Тогда по условию и Из признака подобия Отсюда доля пути из в , которую проехал велосипедист до его встречи с пешеходом равна . Значит, от точки встречи до пункта расстояние

Первое решение.

Поскольку Григорий проехал втрое больше до пункта , чем Василий прошёл до , то его скорость втрое выше. Тогда на момент встречи он проехал расстояния между ними, откуда расстояние до пункта на момент встречи будет (км).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Ломаная — график движения Василия, а отрезок — график движения Михаила .

Так как треугольник подобен треугольнику , то

а так как треугольник подобен треугольнику , то

Значит,

Графики движения катеров в осях время и расстояние изображены на рисунке:

Ломаная - график движения «Быстрого», а ломаная «Смелого». Пусть расстояние (в километрах) от Верхнего до Нижнего, — время (в минутах) движения «Быстрого» вниз по течению. Из подобия треугольников и получаем .

Из подобия треугольников и : . Из этих равенств получаем Значит или или . Так каk и 18 - Т времена прохождения одного и того же пути по и против течения, то Поэтому получаем .

Нарисуем графики движения.

По условию , а . Пусть и пересекаются в точке

Из подобия Отсюда доля пути из в , которую прошел пешеход до его встречи со всадником равна .