Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Использование монотонности функций в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Тема Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Использование монотонности функций в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела уравнения без логарифмов и тригонометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#67151

Решите уравнение

3 3 (x+ 5)+ (x+ 7) = 8

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посмотрим внимательнее на левую часть как на функцию. Это сумма двух кубических функций. А справа у нас стоит константа. Есть ли в этом что-то примечательное?

Подсказка 2

Кубическая функция - монотонная) Т.е. слева стоит монотонная функция как сумма двух монотонных функций! Остается угадать корень и объяснить, что только он один и подойдет)

Показать ответ и решение

Первое решение.

После замены $x +6 =t$ получаем уравнение

3 3 (t− 1)+ (t+1) = 8

3 2t+ 6t− 8 =0

2(t− 1)(t2+ t+4)= 0

t= 1 =⇒ x= −5

Второе решение.

Левая часть является монотонно возрастающей функцией как сумма двух монотонно возрастающих кубических функций. Поэтому значение $8$ она может принимать не более, чем в одной точке. Легко видеть, что это значение достигается при $x= −5,$ потому что $x +5= 0,x+ 7=2 =⇒ (x+ 7)3 = 8.$

Ответ: -5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68260

Решите уравнение

√ ---- √----x √---- √ ----x √---- ( 2023+ 2022)− ( 2023− 2022) = 8088

Источники: БИБН-2023, 11.2 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнение выглядит как-то пугающе и, наверное, классические методы решения здесь не подойдут. Попробуйте как-то поисследовать функцию в левой части уравнения.

Подсказка 2

Если исследовать функцию в левой части уравнения на монотонность, то можно понять, что она возрастает на всей области определения.

Подсказка 3

Левая часть уравнения возрастает, а правая - константа. Это говорит о единственности корня, который можно попробовать угадать.

Показать ответ и решение

Заметим, что $√8088-=2√2022,$ отсюда нетрудно видеть, что $x= 1$ является решением. Далее покажем, что функция в левой части строго возрастает на всей числовой прямой. Действительно, мы видим разность возрастающей (основание больше 1) и убывающей (основание меньше 1) показательных функций, которая строго возрастает. Отсюда равенство имеет не более одного решения, которое уже было найдено.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#71016

В уравнении

2022 2021 2020 x − 2x − 3x − ...− 2022x− 2023 =0

можно как угодно переставлять коэффициенты при всех степенях $x$ , кроме самой старшей. Можно ли такой перестановкой добиться, чтобы уравнение имело хотя бы два положительных корня?

Источники: Надежда энергетики-2023, 11.3 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, какой в этой задаче может быть ответ: если ответ да, то необходимо предъявить пример. Не очень хочется подбирать коэффициенты и искать корни. Давайте попробуем доказать, что, как бы мы не меняли коэффициенты местами, положительных корней будет не больше 1. На что вас наводит последнее предложение?

Подсказка 2

На монотонность! Вспомните, если функция строго монотонна, то она имеет не более 1 корня. Давайте попробуем найти здесь что-то похожее. Пускай (a₂, a₃, ..., a₂₀₂₃)- произвольная перестановка чисел (2, 3, ..., 2023). Тогда наш многочлен имеет вид: x²⁰²²-a₂x²⁰²¹-...-a₂₀₂₃=0. Нам мешаются минусы, может, перенести их в правую часть?

Подсказка 3

x²⁰²²=a₂x²⁰²¹+...+a₂₀₂₃. Теперь справа у нас монотонная функция, при x>0. Но слева у нас также монотонная функция, поэтому сразу завершить решение не получится. Что можно сделать, чтобы слева у нас стояла константа?

Подсказка 4

Можно поделить обе части на x²⁰²² (т.к. нас интересуют положительные корни, мы можем это сделать). Тогда: 1=a₂/x+a₃/x²+...+a₂₀₂₃/x²⁰²². Что мы можем сказать про функцию, стоящую справа?

Подсказка 5

Она строго убывает. Действительно, при увеличении x знаменатель каждой дроби увеличится, а значит, сами они уменьшатся. ⇒ Справа функция монотонно убывает, а слева константа, равная 1 ⇒ она пересекает ее не более чем в 1 точке. Победа!

Показать ответ и решение

Докажем, что это невозможно.

От исходного уравнения перейдем к уравнению, в котором коэффициенты многочлена образуют произвольную перестановку $(a2,a3,...,a2023)$ из чисел ${2,3,...,2023}:$

2022 2021 2020 x − a2x − a3x − ...− a2022x− a2023 = 0

Заметим, что $x= 0$ не является корнем уравнения, т.к. при его подстановке в уравнение получим:

− a2023 =0,

что неверно.

Перенесём все отрицательные члены направо, а затем поделим уравнение на $x2022$ (при условии $x⁄= 0$ ):

x2022 = a2x2021+a3x2020+ ...+ a2022x +a2023

1= a2+ a32 + ...+ a22020221 + a22002322 x x x x

В правой части уравнения получили строго монотонно убывающую на положительной полуоси функцию:

f(x)= 20∑22ak+1 k=1 xk

Доказательство строгой монотонности: пусть $x1 > 0,x2 > 0,x1 <x2.$ Тогда для любого $k ∈{1,2,...,2022}$ выполнено:

ak+k1< ak+k1⇒ f(x2)< f(x1) x2 x1

Строгое монотонное убывание $f(x)$ на положительной полуоси означает, что она пересекает горизонтальную прямую $y = 1$ в единственной точке, которая и будет единственным положительным корнем исходного уравнения.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#40721

Решите уравнение

(x − 4)(x − 5)(x − 6)(x − 7)= 1680

Показать ответ и решение

После замены $t= x− 7$ получаем уравнение

(t+ 3)(t+2)(t+ 1)t= 1680

Первое решение.

Перемножим первую и четвёртую скобки, затем вторую и третью:

2 2 (t +3t)(t +3t+ 2)=1680

После замены $y =t2+ 3t$ получаем уравнение

y(y +2)= 1680

y2+2y− 1680 =0

y =− 1±√1-+-1680= −1± 41

При обратной замене получаем $t2+ 3t− 40= 0 ⇐⇒ t∈{−8;5}$ или $t2+ 3t+42= 0 ⇐⇒ t ∕∈ℝ.$

Наконец, $x= t+7 ∈{−1;12}$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Из разложения на множители

1680 =5⋅6⋅7⋅8 =(−8)⋅(− 7)⋅(−6)⋅(− 5)

имеем корни $t=5,t= −8$ . Введём функцию

f(t)= t(t+ 1)(t+ 2)(t+3)− 1680

Заметим, что $f(0)= −1680< 0$ , а при $t≥ 0$ функция $f(t)$ монотонно возрастает, так что при $t> 0$ может быть не более одного корня. Мы уже поняли, что один корень всё-таки есть и это $t= 5$ .

Заметим, что $f(− 3)=− 1680< 0$ , а при $t≤ −3$ функция $f(t)$ монотонно возрастает, так что при $t<− 3$ может быть не более одного корня. Мы уже поняли, что один корень всё-таки есть и это $t= −8$ .

При $t∈ [−3,0]$ можно сделать оценку

f(t)= t(t+ 1)(t+ 2)(t+3)− 1680< 34− 1680< 0

Значит, на этом отрезке нет корней.

Осталось сделать обратную замену $x =t+ 7$ и записать ответ.

Ответ:

$− 1;12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#41772

Решите уравнение в действительных числах

x √- 2x = 2

Показать ответ и решение

Операция возведения в произвольную действительную степень определена только при положительном основании степени, так что $x >0.$

Чтобы уйти от того, что неизвестная и в основании, и в показателе, перейдём по основному логарифмическому тождеству к равенству двух степеней с основанием $e :$

√2 exlnx =eln2

x lnx= 1 ln 1 2 2

Рассмотрим функцию $f(x)= xlnx$ . Её производная $′ f(x)=lnx+ 1$ больше нуля при $−1 x > e$ и меньше нуля при $−1 x < e$ . Поэтому функция строго монотонна на каждом из двух промежутков, так что на каждом из них может принимать значение $1 1 2ln 2$ не более одного раза.

При этом легко видеть, что при $1 x= 2$ и при $1 x = 4$ равенство верно.

Ответ:

$1 ;1 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74949

Решить уравнение

∘-2------- ∘-2--- 3√---- √3----- x + 4x− 2− x + 6= x +3− 3x − 1

Источники: САММАТ-2022, 11.5 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Преобразуем равенство так, чтобы получилось равенство сумм, а после - попробуем рассматривать обе части равенства как функции. Что интересного можно заметить?

Подсказка 2

Заметим, что обе части можно выразить как одну и ту же функцию, но от разных переменных: от 3 и 2x - 1. Попробуем тогда исследовать функцию и найти ее корни!

Подсказка 3

Функция оказывается монотонной...подумаем, что же это означает)

Показать ответ и решение

Обозначим функции

∘-2---- 3√---- F (x,y)= x + 2y+ x+ y, g(x) =3, h(x)= 2x − 1,

тогда

∘-2--- 3√---- ∘-2------- 3√----- F (x,g(x))= x + 6+ x +3, F (x,h(x))= x + 4x− 2+ 3x− 1

Поэтому исходное уравнение можно записать в виде

∘x2+-4x−-2− ∘x2+-6= 3√x-+3− √33x-− 1

F(x,g(x))= F(x,h(x))

Пусть $x0$ — корень исходного уравнения, тогда $x0$ также является корнем уравнения

F (x0,g(x))= F(x0,h(x))

Но так как функция

∘------ √----- f(y)=F (x0,y)= x20+ 2y+ 3x0+ y

является строго возрастающей по переменной $y$ при всех $x2 y ≥ −-02 ,$ тогда полученное уравнение равносильно уравнению

F(x0,g(x))= F (x0,h(x))⇔ g(x)= h(x)

2x− 1= 3⇔ x0 = 2

Нетрудно проверить, что $x0 = 2$ попадает в область допустимых значений и является корнем исходного уравнения:

∘ 2--------- ∘-2--- √-- √-- 3√- √3- 3√---- 3√------ 2 +4⋅2− 2− 2 + 6= 10− 10= 0= 5 − 5= 2+ 3− 3 ⋅2 − 1

Ответ: 2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90855

Решите уравнение $1 +3x∕2 =2x$ .

Показать ответ и решение

Поделив уравнение на строго положительную величину $2x$ , получим уравнение $-1+ (√3)x =1 ⇐⇒ (1)x+ (√3)x = 1 2x 2x 2 2$ . Легко проверяется, что $x =2$ есть корень уравнения (это надо просто угадать). Кроме того, левая часть есть сумма двух убывающих функций (а именно, степенных с основанием, меньшим единицы). Значит, левая часть сама является строго убывающей функцией. Следовательно, при $x> 2$ левая часть строго меньше 1 , а при $x< 2$ она строго больше единицы. Это рассуждение доказывает, что других корней, кроме $x= 2$ , нет.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#91389

Найдите произведение всех корней уравнения

2 x x x − 31x +220= 2 (31− 2x− 2)

Показать ответ и решение

Исходное уравнеңиё равносильно уравнению

[ x+ 2x = 11 (x +2x)2 − 31(x+ 2x)+ 220= 0⇔ x+ 2x = 20

Каждое из уравнений этой совокупности имеет не более одного корня, так функция $f(x)= x+ 2x$ возрастает. Первое уравнение имеет корень $x= 3$ , а второе – корень $x = 4$ . Произведение корней равно $12.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105073

Найти все пары вещественных чисел $(x;y)$ , удовлетворяющих системе уравнений

{ (3− √8)x = 8y+ 9y ∘---2-------2 x − x − 3xy− y = 2y+ 2.

Источники: Газпром - 2020, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте после возведения в квадрат раскроем скобки и попытаемся красиво "свернуть" второе уравнение ;)

Подсказка 2

Отлично, второе уравнение сворачивается в квадрат! Теперь мы можем выразить y через x и подставить в первое :)

Подсказка 3

Обратите внимание на то, что (3 - √8)(3 + √8) = 1. Тогда после подстановки у нас везде образуется -x в показателе степени.

Подсказка 4

Поделите обе части уравнения на (3 + √8)⁻ˣ. Много ли корней у получившегося уравнения?

Показать ответ и решение

ОДЗ: $y ≥ − x. 4$

{ (3− √8)x = 8y+ 9y, ∘---2-------2 x − x − 3xy− y = 2y+ 2;

{ (3− √8)x = 8y+ 9y, −x2− 3xy − y2 = 4y2+2xy+ x2; 4

{ (3− √8)x = 8y+9y, (y+ x2)2 = 0,

{ √- (3− 8)x = 8y+9y, y = − x2;

{ √- √- (3+ 8)−x = ( 8)−x +3−x, y = − x2.

Поделив левую и правую части первого уравнения системы на $√ - (3 + 8)−x ⁄=0,$ получим

( √- )−x ( ) ---8√-- + --3√- −x = 1. 3 + 8 3+ 8

Выражение слева есть сумма двух монотонно убывающих функций, значит данное уравнение имеет не более одного корня. Этот корень легко угадывается: $x= −1.$ Тогда $1 y = 2.$

Ответ:

$(−1;1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#63906

Решите уравнение:

( 2 )( 2 ) x − 8x+16 x − 8x +18 − 24 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что мы можем просто разложить выражение на множители, потом привести подобные и потом снова долго и мучительно раскладывать на множители. Но давайте придумаем что-нибудь поинтереснее. Посмотрите на то, как сильно похожи скобки в произведении. Давайте подумаем, как этим воспользоваться и какую формулу сокращенного умножения мы сможем применить!

Подсказка 2

Представьте х² - 8x + 16 как х² - 8x + 17 - 1. Как тогда можно представить вторую скобку, чтобы она получилась максимально похожа на первую? А какой формулой сокращенного умножения можем воспользоваться?

Подсказка 3

Верно! Сделаем так, чтобы у нас получилась разность квадратов и разложим по этой формуле! Посмотрите, что получилось теперь?

Подсказка 4

Верно, снова разность квадратов! Воспользуйтесь ей и разложите выражение на скобки, а дальше дело за малым – найти решение квадратных уравнений!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Положим $2 t= x − 8x +17$ , тогда получим

2 (t− 1)(t+ 1)− 24= 0⇐ ⇒ t− 1− 24= 0⇐⇒ t= ±5

Тогда либо

2 2 x − 8x +17= −5 ⇐⇒ x − 8x+22= 0

решений нет, поскольку $D∕4= 42− 22 <0,$

либо

x2− 8x +17= 5⇐ ⇒ (x − 4)2 = 4⇐⇒ x =4 ±2

Второе решение.

Обозначим левую часть уравнения

(x− 4)2((x− 4)2+ 2)= 24

за $f(x)$ . Заметим, что при $x ≥4$ функция монотонно возрастает, поэтому решений уравнения на этом промежутке может быть не более одного. При этом $f(6)= 22(22+ 2) =4⋅6= 24$ , так что $x= 6$ является решением. Легко видеть, что уравнение симметрично относительно $4$ , так что если решением является $x= 4+ 2,$ то решением является и $x= 4− 2,$ при этом решений меньше $4$ больше нет, так как иначе было бы соответствующие им решения и на промежутке $x> 4$ , а на нём решение только одно из монотонности, и мы уже его нашли.

Ответ:

2; 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#48859

Решите уравнение

∘ -------- ∘ -----2 1− |x − 2|+ 4x− x = 3+|x− 2|.

Источники: ПВГ-2010, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте внимательно посмотреть, вдруг какое-то выражение повторяется довольно часто? Что можно сделать в таком случае?

Подсказка 2

Да, можно сделать замену! Но тогда нужно придумать, как полностью избавиться от х.

Подсказка 3

В замене просто х, а нужно получить х², что для этого можно сделать?

Подсказка 4

Теперь получилось уравнение с корнями, что можно попробовать, чтобы его решить?

Подсказка 5

Конечно, можно попробовать возвести уравнение в квадрат, но чтобы полностью избавиться от корней, придется сделать это минимум два раза — а искать корни многочлена четвёртой степени явно не предел наших мечтаний, не так ли?

Подсказка 6

Раз уж решаем уравнение, то было бы неплохо найти ОДЗ — вдруг она как-то сможет помочь?

Подсказка 7

Самое время подумать, как же ведут себя части уравнения на ОДЗ!

Подсказка 8

Слева функция убывает, а справа возрастает. А сколько раз в таком случае они могут пересечься? Осталось только подобрать ответ :)

Показать ответ и решение

Заметим, что $4x − x2 =4− (4− 4x +x2)= 4− (x− 2)2$ , сделаем замену $t= |x − 2|≥ 0$

√ ---- ∘ ---2- 1− t+ 4− t= 3+ t

Заметим, что из ОДЗ $t∈ [0,1]$ , а на этом отрезке оба корня в левой части строго убывают. В это же время функция $3+ t$ монотонно возрастает и уравнение может иметь не более одного решения. Нетрудно видеть, что это $t= 0 ⇐⇒ x= 2.$

Ответ:

$2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#67597

Решите уравнение

√------ √------ 3x − 2|x − 2|= 3 3x+ 18 − 2| 3x+ 18 − 2|

Источники: Вступительные в МГУ, 2001

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пупупу… Выглядит страшновато. Есть ли что-то общее между левой и правой частью уравнения? А если заменить √(3x+18) на y?

Подсказка 2

Да, если заменить в правой части √(3x+18) на y, то правая часть уравнения и левая будут одинаковы(только в одной x, а в другой y). Какой вывод из этого можно сделать?

Подсказка 3

Конечно, хочется сказать, что если x=y, то левая часть равна правой! Поэтому осталось решить уравнение x = √(3x+18)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x≥ −6.$ Рассмотрим функцию $f(t)= 3t− 2|t− 2|.$

{ t+4 при t≥ 2 f (t)= 5t− 4 при t< 2

Тогда исходное равенство примет вид

(√-----) f(x)= f 3x+ 18

Так как $f$ — монотонная функция, то каждое значение она принимает ровно один раз, поэтому равенство $f(t)= f(z)$ равносильно $t= z.$

√ ------ x= 3x +18 ⇐⇒ x= 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#70343

Решите уравнение

( ∘ ------2--) ( ∘ -2---) (2x+1) 2+ (2x+ 1) +3 +3x 2+ 9x + 3 = 0

Источники: Вступительные в МГУ, 1989

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте внимательно посмотрим на уравнение. Где есть похожие множители или слагаемые? Делать замену может быть неэффективным… что тогда можно рассмотреть?

Подсказка 2

Оба слагаемых в левой части имеют одинаковый вид: y(2+ √(y² + 3)). Быть может, рассмотрим такую функцию?

Подсказка 3

Наше равенство имеет вид f(2x+1)=-f(3x). Нам нужны корни. А что если проверить f(x) на монотонность и четность?

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(y)=y (2 +∘y2-+-3) .$