Тема 18. Задачи с параметром

18.16 Функции. Четность/нечетность функций

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31576

Дана функция $f(x)= 5x+ 25 5x$ . Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых функция $f(x +a)$ является четной.

Показать ответ и решение

Функция $g(x)= f(x+ a)$ является четной, если $g(− x)=g(x)$ на всей области определения $x∈ ℝ$ , следовательно, $f(x+ a)= f(−x +a)$ :

x+a -25- −x+a --25- 5 + 5x+a = f(x+ a)= f(−x+ a)= 5 +5−x+a ⇔ a x −a − x a −x −a x 5 ⋅5 + 25⋅5 ⋅5 = 5 ⋅5 +25⋅5 ⋅5 ⇔ x( a −a) −x( a −a) 5 5 − 25⋅5 − 5 5 − 25⋅5 = 0 ⇔ (5x− 5−x)(5a − 25⋅5−a)= 0 ⇔ ⌊ 2x |⌈5 − 1 =0 ⇔ 52a− 25= 0 ⌊ ⌈x= 0 a= 1

Следовательно, при $∀x∈ ℝ$ равенство $f(x+ a)= f(−x +a)$ выполняется, если $a= 1.$

Ответ:

$a ∈{1}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31577

Найдите наименьшее положительное значение параметра $a$ , при котором график функции $f(x)= 3ax3− 2sin 8πa−x 5$ симметричен относительно начала координат.

Показать ответ и решение

Функция $y =f(x)$ определена при всех $x∈ ℝ$ . Ее график симметричен относительно начала координат, если она является нечетной, следовательно, $f(x)= −f(−x)$ на всей области определения.

3 8πa − x ( 3 8πa − (−x)) 3ax − 2sin---5-- =− 3a(− x)− 2sin ---5----- ⇔ 3ax3− 2sin8πa-− x =3ax3+ 2sin8πa+-x ⇔ 5 5 sin8πa+-x+ sin 8πa-− x-= 0 ⇔ 5 5 8πa+ x+ 8πa− x 8πa+ x− 8πa+ x sin------10------⋅cos------10------= 0 ⇔ ⌊ |sin 8πa-= 0 |⌈ x5 cos5 = 0

Данная совокупность имеет решения при всех $x ∈ℝ$ , если $sin8π5a= 0$ , то есть при $a∈{58n}, n ∈ℤ$ . Наименьшее положительное $a = 58.$

Ответ:

$a ∈{5} 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31579

В зависимости от значений параметра $a$ найдите наибольшее значение функции

4 2 2 f (x)= x − 2ax + 3a

на отрезке $[−2;1].$

Показать ответ и решение

Функция $f(x)$ является четной, следовательно, можно рассматривать функцию на отрезке $[−2;2],$ так как $f(x)= f(−x)$ при всех $x ∈ℝ.$ Найдем производную:

f′(x)= 4x(x2− a)

Следовательно, число нулей производной зависит от двух случаев ниже.

1.

$a≤ 0,$ тогда производная имеет единственный нуль $x= 0,$ следовательно, при $x< 0$ функция $f(x)$ убывает, при $x > 0$ она возрастает. Тогда на отрезке $[−2;2]$ наибольшее значение функция принимает в точке $x = 2:$

fнаиб = f(2)= 3a2− 8a+ 16

2.

$a> 0,$ тогда производная имеет три нуля: $√ - √- x = − a;0; a,$ следовательно,

при $x <− √a$ функция убывает;
при $− √a-< x< 0$ она возрастает;
при $0< x < √a$ она убывает;
при $x >√a$ она возрастает.

Тогда в зависимости от расположения точки $√a$ относительно точки 2 существует два случая.

2.1.

$√a> 2,$ тогда $fнаиб = f(0)= 3a2.$

2.2.

$√- a≤ 2,$ тогда $fнаиб$ может быть равно как $f(0),$ так и $f(2).$ Сравним их:

2 2 f(2)> f(0) ⇔ 3a − 8a+ 16> 3a ⇔ a< 2

При $0 < a< 2$ имеем:

fнаиб = f(2)= 3a2− 8a+ 16

При $2 ≤ a≤ 4$ имеем:

fнаиб = f(0)= 3a2

Подведем итог.

При $a< 2$ имеем $fнаиб =f (2)= 3a2− 8a+ 16.$

При $a≥ 2$ имеем $fнаиб =f(0)= 3a2.$

Ответ:

$2 a ∈[2;+ ∞ ) ⇒ fmax = 3a$

$a∈ (−∞; 2) ⇒ fmax = 3a2 − 8a +16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1045

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

√ -- f(x) = |a + 2 | 3x

имеет 4 решения, где $f$ – четная периодическая с периодом $T = 16- 3$ функция, определенная на всей числовой прямой, причем $f (x) = ax2$ при $0 ≤ x ≤ 8. 3$

(Задача от подписчиков)

Показать ответ и решение

Так как $f (x )$ – четная функция, то ее график симметричен относительно оси ординат, следовательно, при $8- − 3 ≤ x ≤ 0$ $2 f(x) = ax$ . Таким образом, при $8- 8- − 3 ≤ x ≤ 3$ , а это отрезок длиной $16- 3$ , функция $f (x ) = ax2$ .

1) Пусть $a > 0$ . Тогда график функции $f (x)$ будет выглядеть следующим образом:
$PIC$
Тогда для того, чтобы уравнение имело 4 решения, нужно, чтобы график $√ -- g(x) = |a + 2| ⋅ 3x$ проходил через точку $A$ :
$PIC$
Следовательно,

⌊ 18 [ a = --- 64- 3√ -- 9(a + 2) = 32a || 23 9 a = |a + 2 | ⋅ 8 ⇔ 9(a + 2) = − 32a ⇔ ⌈ a = − 18- 41

Так как $a > 0$ , то подходит $18 a = --- 23$ .

2) Пусть $a < 0$ . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
$PIC$
Нужно, чтобы график $g(x)$ прошел через точку $B$ :

⌊ 18 a = --- 64- 3√ --- || 23 9 a = |a + 2| ⋅ − 8 ⇔ ⌈ a = − 18- 41

Так как $a < 0$ , то подходит $18 a = − --- 41$ .

3) Случай, когда $a = 0$ , не подходит, так как тогда $f (x ) = 0$ при всех $x$ , $g (x ) = 2 3√x-$ и уравнение будет иметь только 1 корень.

Ответ:

${ } a ∈ − 18; 18- 41 23$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1238

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых график функции

f(x) = 3tg ax-+ 2 sin 8πa-−-3x- 5 4

симметричен относительно начала координат.

Показать ответ и решение

Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено $f (− x ) = − f (x )$ для любого $x$ из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено $f(− x) = − f(x).$

( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 3tg − ax- + 2 sin 8πa-+-3x- = − 3tg ax- + 2sin 8πa-−-3x- ⇒ − 3tg ax-+ 2sin 8πa-+-3x-= − 3tg ax- + 2sin 8-πa-−-3x ⇒ 5 4 5 4 5 4 5 4 ( ) ( ) ⇒ sin 8πa-+--3x + sin 8πa-−--3x = 0 ⇒ 2 sin 1- 8πa-+-3x- + 8πa-−-3x- ⋅ cos 1 8πa-+-3x-− 8πa-−-3x- = 0 ⇒ sin(2πa ) ⋅ cos 3x = 0 4 4 2 4 4 2 4 4 4

Последнее уравнение должно быть выполнено для всех $x$ из области определения $f(x)$ , следовательно, $n sin(2πa ) = 0 ⇒ a = -,n ∈ ℤ 2$ .

Ответ:

$n --,n ∈ ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#56939

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

( 2 ) 1|a− 2|⋅|x+ a− 4|+ a-−-4a+-3− |a− 2| ⋅|x − 2|+ 1|a− 2|⋅|x− a|≤ 1 2 |a − 2| 2

выполняется ровно для двух различных значений $x$ .

Показать ответ и решение

Пусть $x− 2= y,$ а $a− 2= b,$ $b⁄= 0.$ Тогда неравенство примет вид

1|b|⋅(|y− b|+|y+ b|)− |y|≤ 1. 2 |b|

Умножим обе части равенства на $|b|> 0.$ Получим

1 2|b|2⋅(|y− b|+|y+ b|)− |b|≤ ◟|◝y|◜◞. ◟--------=◝f◜(y)--------◞ =g(y)

Рассмотрим две функции $z =f (y)$ и $z =g(y).$ Обе функции являются четными. Следовательно, если у неравенства есть решение $y = y0 ≥ 0,$ то у него есть и решение $y =− y0.$ Следовательно, можно рассмотреть неравенство при $y ≥ 0$ и потребовать единственного решения $y = y0 > 0$ у этого неравенства:

1 |b|2⋅(|y− b|+ |y + b|)− |b|≤ y. 2

Изобразим графики левой и правой частей в системе координат $yOz.$

$yzzz|A|bb==|3|−fg(y(y|))b|$

Неравенство будет иметь единственное решение на $y > 0,$ если график функции $z = g(y)$ проходит через точку $A(|b|;|b|3− |b|).$ Следовательно, если

⌊ 3 |b|= 0 √- |b| − |b|=|b| ⇔ ⌈ 2 ⇒ b= ± 2 (так как b⁄= 0) |b| = 2

Следовательно, $√ - a= b+ 2 =2 ± 2.$

Ответ:

$a ∈{2± √2-}$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31578

Найдите все положительные значения $a$ , при каждом из которых множество решений неравенства

-----a+-x2+-2log5(a2−-4a+5)------ 1 ≤ 30√17x4+-5x2+a +1+ log25(a2 − 4a+ 5)

состоит из одной точки, найдите это решение.

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство в виде

------a+-x2-+2log5(a2− 4a+-5)---- 30√17x4+-5x2+ a+ 1+ log25(a2− 4a+ 5) − 1≥ 0

Рассмотрим левую часть как функцию $f(x).$ Она определена при всех $x ∈ℝ$ , так как знаменатель представляет собой сумму двух выражений $√-------- 30 17x4+5x2 ≥ 0$ и $a+ 1+ log25(a2− 4a+5)> 0$ при $a> 0.$ Заметим, что $f(x)$ является четной, так как переменная $x$ входит в нее только в четной степени. Следовательно, график этой функции симметричен относительно оси ординат. То есть если есть некоторый $x0 ≥0$ , являющийся решением неравенства (тогда точка на графика с такой абсциссой находится выше оси абсцисс), то есть и $− x0 ≤ 0$ , являющийся решением неравенства. Следовательно, для того, чтобы решением неравенства была единственная точка, этой точкой должна быть $x0 = 0$ :