Тема 10. Сюжетные текстовые задачи

10.07 Задачи на прогрессии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сюжетные текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1633

Николай прорешал сборник задач, в котором было 1260 задач, ежемесячно увеличивая количество задач на одно и то же число по сравнению с предыдущим месяцем. За первый и последний месяц в сумме Николай прорешал 210 задач. Сколько месяцев Николай прорешивал сборник?

Показать ответ и решение

Последовательность количеств задач, решённых за первый, второй и так далее месяцы соответственно, представляет собой арифметическую прогрессию, сумма элементов которой равна 1260, а сумма первого и последнего элементов равна 210.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

a1+-an- Sn = 2 n

Здесь $a1,an$ — первый и $n$ -ый члены арифметической прогрессии соответственно. При этом по условию $a1+ an = 210,$ а $Sn = 1260.$ Отсюда имеем:

1260= 210n ⇒ n = 12 2

Ответ: 12

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1635

Света ловит бабочек. Каждый день она ловит на одно и то же количество бабочек больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день она поймала одну бабочку, а за 15 дней в сумме она поймала 120 бабочек. Сколько бабочек поймала Света в восьмой день?

Показать ответ и решение

Последовательность чисел бабочек, пойманных за первый, второй и так далее дни соответственно, представляет собой арифметическую прогрессию. Сумма первых 15 членов этой прогрессии равна 120.

Рассмотрим формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

a1+ an Sn = --2---n

Здесь $a1,an$ — первый и $n$ -ый члены арифметической прогрессии соответственно. По условию имеем: $n = 15,$ $S15 =120,$ следовательно,

120 = a1+-a15-⋅15 2 8= a1+-a15 2 a1+ a15 = 16

Так как в первый день Света поймала одну бабочку, то $a1 = 1,$ следовательно, $a15 =15.$

Если $d$ — разность арифметической прогрессии, то

a15 = a1+ 14d 15= 1+ 14d d= 1

Тогда количество пойманных в восьмой день бабочек равно

1+ 7 ⋅1 = 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1638

Степан за несколько дней отжался в сумме 330 раз, ежедневно увеличивая количество отжиманий на одно и то же число. В первый и последний день в сумме Степан отжался 60 раз. За сколько дней Степан отжался в сумме 330 раз?

Показать ответ и решение

Последовательность количеств отжиманий, сделанных Степаном за первый, второй и так далее дни соответственно, представляет собой арифметическую прогрессию, сумма элементов которой равна 330, а сумма первого и последнего элементов равна 60.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

a1+-an- Sn = 2 n

Здесь $a1,an$ — первый и $n$ -ый члены арифметической прогрессии соответственно. При этом по условию $a1+ an = 60,$ а $Sn = 330.$ Отсюда имеем:

330= 60n ⇒ n= 11 2

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#17432

Найдите сумму всех членов прогрессии: $3 3 3 3+ 4 + 16+ 64 + ...$

Показать ответ и решение

Заметим, что слагаемые в данной сумме — члены геометрической прогресии с первым членом $b = 3$ и знаменателем $1 q = 4$ . по формуле суммы членов геометрической прогрессии

--b-- --3-- S = 1− q = 1− 14 = 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#306

Сергею надо собрать 630 подписей. Каждый день он собирает на 3 подписи больше, чем в предыдущий день. Известно, что все подписи он собрал за 20 дней. Сколько подписей Сергей собрал в последний день, если в первый день он собрал 3 подписи?

Показать ответ и решение

Последовательность количеств подписей, собранных за первый, второй и так далее дни соответственно, представляет собой арифметическую прогрессию, сумма первых 20 элементов которой равна 630.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

a1+ an Sn = --2---n

Здесь $a1,$ $an$ — первый и $n-ый$ члены арифметической прогрессии соответственно.

При этом по условию $n= 20,$ $S20 = 630,$ откуда находим $a1 +a20 = 63.$ Так как в первый день Сергей собрал 3 подписи, то $a1 = 3,$ следовательно, $a20 = 60.$

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2207

Художник каждый день пишет на 2 портрета больше, чем в предыдущий день. Известно, что за 10 дней он написал 100 портретов. Сколько портретов он написал в первый день?

Показать ответ и решение

Последовательность количеств портретов, написанных за первый, второй и т.д. дни соответственно, представляет собой арифметическую прогрессию, сумма первых 10 элементов которой равна 100.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

a1-+an Sn = 2 n,

где $a1,$ $an$ — первый и $n$ -ый члены арифметической прогрессии соответственно. При этом по условию $n =10,$ $S10 = 100,$ откуда находим

a1 +a10 = 20.

Кроме того, известно, что каждый день художник пишет на 2 портрета больше, чем в предыдущий день, тогда

a1+ a10 = 2a1+ 9⋅2= 20,

значит, $a1 =1.$

Ответ: 1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2213

Илья решил в течение некоторого периода каждый день отжиматься в два раза больше, чем в предыдущий день. В четвёртый и последний день вместе он отжался в десять раз больше, чем в третий день. Сколько раз суммарно отжался Илья за этот период, если в первый день он отжался три раза?

Показать ответ и решение

В третий день Илья сделал $3 ⋅ 23−1 = 12$ отжиманий, а в четвёртый день он сделал $3 ⋅ 24−1 = 24$ отжимания. Так как в четвёртый и последний день вместе он отжался в десять раз больше, чем в третий день, то в четвёртый и последний день он отжался $12 ⋅ 10 = 120$ раз, следовательно, в последний день он отжался $120 − 24 = 96$ раз.

Пусть $n$ дней длился период отжиманий Ильи, тогда

3 ⋅ 2n− 1 = 96 ⇔ 2n− 1 = 32 ⇔ n = 6.

Суммарное количество отжиманий, сделанное Ильёй, равно

6 3 ⋅ 2-−-1 = 189. 2 − 1

Ответ: 189

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#20844

Васе надо решить 525 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

Показать ответ и решение

Пусть Вася в каждый следующий день решает на $x$ задач больше, чем в предыдущий. Известно, что за первый день он решил 5 задач. Тогда за второй день он решил $5+ x$ задач, за третий — $5+ 2x$ задач, за четвертый — $5+ 3x$ задач. Тогда за $k$ -ый день он решит $5+ x(k − 1)$ задач.

Дней всего 14, то есть чтобы найти общее количество решенных за эти дни задач, нужно сложить слагаемые вида $5 +x(k− 1),$ где $k$ — от 1 до 14. Получим следующую сумму:

$pict$

Приравняв к 525, найдем $x$

70 +91x =525 ⇔ x = 5

Тогда в последний день Вася решил $5+ 13x= 5+ 13⋅5 = 70$ задач.

Ответ: 70

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#20845

Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

Показать ответ и решение

Обозначим количество открыток, на которые Вера подписывает больше каждый день, через $x$ . Известно, что за первый день она подписала 10 открыток. Тогда за второй день она подписала $10+ x$ открыток, за третий — $10 +2x$ открыток, за четвертый — $10+ 3x$ открыток. Тогда за $k$ -ый день она подписывает $10+ x(k− 1)$ открыток.

Дней всего 16, т.е. чтобы найти общее количество решенных за эти дни задач, нужно сложить слагаемые вида $5 + x(k − 1)$ , где $k$ — от 1 до 16. Получим следующую сумму: