Антикайфовый процесс —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31695

Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из изохоры 1–2, участка 2–3 линейной зависимости давления от объёма и изобары 3–1 (см. рисунок; координаты точек 1, 2 и 3 указаны). Рабочим веществом служит одноатомный идеальный газ. Вычислите КПД этого двигателя.

Показать ответ и решение

Работа газа за цикл равна площади треугольника

A = 2p0V0

Найдем количество теплоты, полученное газом, в каждом процессе

3- Q1 −2 = ΔU1 − 2 = 2(3p0V0 − p0V0) = 3p0V0

Найдем критическую точку, до которой еще подводится тепло, для этого введем уравнение прямой

p(V-) −-3p0 = V--−-V-−-0-⇒ p(V ) = − p0V + 4p p0 − 3p0 3V0 − V0 V0 0

Тогда $pV = − p0-V 2 + 4p V V0 0$ или в приращениях $Δ (pV ) = − 2p0V ΔV + 4p ΔV V0 0$ Тогда количество теплоты

3 3p p ΔQ = -Δ (pV ) + p(V)ΔV = − --0V ΔV + 6p0ΔV − --0V ΔV + 4p0ΔV 2 V0 V0

Чтобы $ΔQ$ было положительным, должно быть выполнено условие $10 Vk < --V0 < 2,5V0 4$ . Тогда давление равно $pk = 1,5p0$ Тогда количество теплоты полученно на участке 2–k

3 3p + 1,5p 9 Q2− k = ΔU2 −k + A2− k = -(3,75p0V0 − 3p0V0 ) + --0-------0(2,5V0 − V0) = -p0V0 2 2 2

Q = ΔU + A = 3(p V − 3p V ) − 2p V < 0 3− 1 3−1 3−1 2 0 0 0 0 0 0

Откуда КПД

η = -----A-------= 4-- Q1 −2 + Q2−k 15

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31696

Рабочим телом теплового двигателя является $ν = 1 моль$ гелия. Цикл работы тепловой машины состоит из линейного в $pV$ -координатах участка 1–2 и изотермы 2–1. Максимальный объём гелия в цикле в $7$ раз больше минимального. Минимальная температура гелия в цикле составляет $T = 280 К 0$ . Какое количество теплоты было получено гелием в данном цикле от нагревателя? Универсальная газовая постоянная $R = 8,3 Д ж/(м ол ь⋅К)$ .
(МОШ, 2012, 11 )

Источники: МОШ, 2012, 11

Показать ответ и решение

Температура в точках 1 и 2 одинаковая, но в самом процессе 1-2 она будет сначала увеличиваться до какого-то значения $Tm$ , а потом опять уменьшаться. 1) Сначала найдём зависимость $P (V)$ и $T (V)$ на этом участке: Из уравнения прямой:

-p−-7p0 = -V-−-V0- p0 − 7p0 7V0 − V0

( ) V- ⇒ p(V ) = p0 8− V0

2) Зависимость $T(V )$ :

( 2) T = pV- = p0- 8V − V-- R ν νR V0

Возьмём производную по объёму и определим, что максимальная температура будет при объёме $4V0$ следовательно и давлении $4p0$ .
3)Для бесконечно малого процесса:

dQ = ΔU + pΔV

U = 3νRT = 3 pV ⇒ ΔU = 3Δ (pV ) 2 2 2

3 ⇒ dQ = 2Δ (pV)+ pΔV

4)

Δ (pV) = (p+ Δp )(V + ΔV ) − pV = pV + V Δp + pΔV + Δp ΔV − pV

Δp ΔV → 0

⇒ Δ(pV ) = pΔV + V Δp

⇒ dQ = 3(pΔV + V Δp) +pΔV 2

5 3 dQ = 2pΔV + 2V Δp

5) Найдём $Δp$ :

( ( V + ΔV ) ||{ p+ Δp = V + ΔV = p0 8 − ------- ( V ) V0 ||( p(V) = p0 8− -- V0

( V ) ( V + ΔV ) ⇒ p0 8− V- +Δp = V +ΔV = p0 8− ---V--- 0 0

⇒ Δp = − p0ΔV--⇒ Δp = p′(V)ΔV V0

( ) ( ) ⇒ dQ = 5p 8− -V ΔV + 3V − p0 ΔV 2 0 V0 2 V0

( 5V 3V ) dQ = p0ΔV 20 − 2V-− 2V- 0 0

( ) dQ = 2p 10− 2V- ΔV 0 V0

6) Найдём все $V$ при которых гелий получал тепло от нагревателя:

2V 10− V--> 0 ⇒ V < 5V0 0

7) Найдём $Q +$ :

∫5V0( ) Q+ = 2p0 10 − 2V- dV = 32p0V0 V0 V0

8) Выразим через температуру:

p0V0 = νRT0-⇒ Q+ = 32νRT0 ≈ 10,6кД ж 7 7

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Найдены необходимые зависимости и получены следствия из уравнения прямых	2

Уравнение Менделеева-Клапейрона	2

Первый закон термоиднамики	2

Формула изменения внутренней энергии	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31697

С идеальным одноатомным газом проводят циклический процесс. Расширение газа (см. рис.) можно описать графиком в виде дуги окружности 1 – 2 с центром в начале координат на $pV$ - диаграмме ( $p 0$ и $V 0$ – некоторые фиксированные давление и объём). Неравновесное сжатие газа 2 – 1 характеризуется пренебрежимо малым теплообменом с окружающей средой. Радиусы, проведённые в точки 1 и 2, составляют углы $∘ 30$ и $∘ 15$ с осями $p ∕p0$ и $V ∕V0$ соответственно.
1. Найти отношение температур в состояниях 1 и 2.
2. Найти угол с горизонтальной осью, который составляет радиус, проведённый в точку с теплоёмкостью равной нулю в процессе расширения 1 – 2, если такая существует. Дать значение любой тригонометрической функции угла.
3. Найти отношение работы газа за цикл к работе газа при расширении.
(«Физтех», 2021, 11 )

Источники: Физтех, 2021, 11

Показать ответ и решение

1) Для точки 1 $p1V1 = νRT1$ , а для точки 2 $p2V2 = νRT2$ . Для любой точки на окружности $p = p0R sin φ$ $V = V0R cos φ$ (см. рис.)

Тогда

√ -- T1-= p1V1-= p-)R-sinα-⋅-V0R-cosα- = cos-αsin-α = 3 T2 p2V2 p0R sin β ⋅ V0R cosβ sinβ cos β

2) Запишем первое начало термодинамики

3 5 3 δQ = dU + δA δQ = 2-(pdV + V dp) + pdV = 2-pdV + 2V dp

найдем, чему равно $dp$ и $dV$

dp = p0R cos φdφ dV = − V0R sin φd φ

Подставляем

5 3 δQ = − -p0R sin φ ⋅ V0R sin φd φ +--V0R cosφ ⋅ p0R cos φdφ 2 2

δQ = − 5p V R2 sin2φd φ + 3-p V R2 cos2φd φ 2 0 0 2 0 0

Заменим $cos2φ$ на $1 − sin2 φ$ .

8- 2 2 3- 2 δQ (φ) = − 2 p0V0R sin φd φ + 2p0V0R dφ

В процессе 1-2 угол $φ$ уменьшается, $dφ < 0$ . Найдем, когда $δQ = 0$

∘ -- 2 2 3- 2 3- − 4p0V0R sin φdφ + 2p0V0R dφ = 0 ⇔ sinφ = 8

3) Чтобы найти искомое отношение, нужно найти работу при расширении. Для этого найдем площадь сектора обозначенный синим ( $ABC$ ), прибавим площадь зеленого треугольника ( $ACD$ ) и вычтем площадь синего треугольника $A ℰB$ (см. рис.)

То есть

A12 = S сект ABC + S△ACD − S △ABE

Также можно через интеграл

∫ ∫ A = pdV = − p0R sin φ ⋅ V0R sin φdφ

Тогда

∫β ∫β A12 = − p0V0R2 sin2φd φ = − p0V0R2 1-+-cos2-φdφ 2 α α

∫β ∫β 2 dφ- 2 cos2φd-φ- A12 = − p0V0R 2 − p0V0R 2 α α

[φ sin 2φ ] A12 = − p0V0R2 --|βα − -----|2αβ 2 4

[ ] 2 β-−--α sinβ-−--sin-α A12 = − p0V0R 2 − 4

Работа $A2 −1$

A = − ΔU = − 3νR (T − T ) 21 21 2 1 2

Подставив $νRT1 = p0R sin αV0 cosα$ , $νRT2 = p0R sin βV0 cosβ$ , получим ответ

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#117398

С $v$ молями идеального газа проводят циклический процесс 1-2-3-1, состоящий из: (а) изохорического нагревания 1-2, (б) участка 2-3 с линейной зависимостью давления от объема, (в) изобарического сжатия 1-3 (см. рисунок). Известно, что отношение максимального и минимального объемов газа в течение цикла равно 3 , отношение максимального и минимального давлений газа в течение цикла равно 2 , максимальная разность температур в течение всего цикла - $ΔT$ . Найти работу газа за цикл.

$PIC$

(Росатом 2025, 10)

Источники: Росатом - 2025, 10

Показать ответ и решение

Пусть давление и объем газа в состоянии 1 равны $p0$ и $V0$ . Поскольку это минимальные значения давления и объема в цикле, то давление газа в состоянии 2 есть $2p0$ , а объем в состоянии 3 есть $3V0$ (см. рисунок). Так как работа газа в циклическом процессе - это площадь цикла в координатах «давление-объем», то работа газа в нашем процессе:

A = p0V0

$PIC$

Теперь нужно выразить $p0V0$ через данное в условии максимальное изменение температуры газа. Очевидно, минимальной будет температура газа в состоянии 1 (т.к. в этом состоянии самым малым среди всех состояний цикла является произведение давления на объем, которое связано законом КлапейронаМенделеева с температурой газа). Эту величину легко найдем из закона Клапейрона-Менделеева:

p0V0 Tmin = -vR-

А вот максимальной является температура какого-то состояния на участке 2-3. Найдем это состояние и максимальную температуру.

Зависимость давления от объема на участке 2-3 задается соотношением:

5 p0- p(V ) = 2p0 − 2V0V

(можно непосредственной подстановкой проверить, что этому уравнению удовлетворяют две точки, лежащие на прямой 2-3: $(V0,2p0)$ и ( $3V0,p0)$ ). Подставляя эту зависимость в закон Клапейрона-Менделеева

pV = vRT,

получим зависимость температуры газа от его объема:

( ) p0V- V- T(V ) = 2vR 5− V0

Математически эта зависимость представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз, и обращающуюся в нуль при $V = 0$ и $V = 5V0$ . Поэтому эта функция достигает максимума посередине между этими точками. Т.е.

25 p0V0 Tmax = T (V = 5V0∕2) = 8 vR

Следовательно, максимальное изменение температуры газа в рассматриваемом процессе можно найти как

ΔT = Tmax − Tmin = 25p0V0 − p0V0 = 17p0V0 8 vR vR 8 vR

Отсюда получаем окончательное выражение для работы газа:

A = p V = 8vRΔT-- 0 0 17

Ответ:

04 Антикайфовый процесс