Тема Системы уравнений и неравенств

Однородные и сводящиеся к ним

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела системы уравнений и неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105457

Решите систему уравнений

{ 3x2+y2 = 7x2y 2 41 2 2xy− y = 6xy

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Работать одновременно с двумя переменными неудобно, так что хотим в перспективе ввести замену. Как можно получить такую замену?

Подсказка 2

Попробуем почленно разделить уравнения из системы. Есть ли какие-то ограничения на это? Если есть, проверяем, являются ли они тоже решениями!

Подсказка 3

Получили новое уравнение с учётом ранее найденных ограничений. Кажется, что здесь уже можно заметить замену. Какую?

Подсказка 4

Введем замену t = x/y. В правой части равенства всё очевидно, а в левой до замены разделим числитель и знаменатель на y². Решаем полученное уравнение.

Подсказка 5

Теперь выполняем обратную замену и, используя изначальную систему, находим значения x и y. При этом не забываем ранее найденные решения, которые не подходят под ограничения после замены!

Показать ответ и решение

Если $x =0$ , то из данной системы получаем, что $y = 0$ , т. е. $(0;0)$ — решение системы.

Пусть $xy ⁄=0$ , тогда разделив уравнения почленно, находим

3x2+ y2 21 x 2xy−-y2-= 2-⋅y

После домножения на знаменатели тут легко можно заметить однородное уравнение, поэтому после надлежащей замены $t= xy$ получаем

2 3t-+-1= 21t 2t− 1 2

простое квадратное уравнение

36t2− 21t− 2= 0, (∗)

которое имеет корни $t1 = 23,t2 =− 112$ .

Заметим, что при $xy ⁄= 0$ полученное уравнение (*) вместе с первым уравнением из условия образует систему, равносильную исходной.

Если $t= 23$ , т. е. $x= 23y$ , то из первого уравнения с учётом условия $x ⁄=0$ получаем $y =3$ и поэтому $x= 2$ .

Если $t=− 112$ , то $y = −12x,x =− 7,y = 84$ .

Ответ:

$(0;0), (2;3), (−7;84)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#92169

Решите систему уравнений

{ 6x+ 2y− 5= 4xy 7yx x4y y + x − 10= 3xy

Показать ответ и решение

Функция $f(x,y)$ двух переменных $x$ и $y$ называется однородным многочленом второй степени, если она имеет вид $f(x,y)= ax2+ bxy+ cy2.$ Для решения системы из однородных уравнений надо сложить уравнения с такими коэффициентами, чтобы получить в правой части 0.

( 6x 2y ||{ y + x − 5= 4xy (1) || 7x 4y ( y + x − 10= 3xy (2)

Сразу отметим, что $x,y ⁄=0$

Запишем уравнение $3⋅(1)− 4⋅(2)$ :

10x +10y − 25= 0 y x

Заменим $x y$ на $t$ $(t⁄=0),$ получим:

10t+ 10 − 25= 0 t

2 2t− 5t+2 =0

⌊ ⌈ t= 2 t= 1 2

Случай 1: $x = 2y$

Перепишем $(1):$ $12+ 1− 5= 8y2.$ Откуда получаем два решения:

{ { y =1 y =− 1 x =2 и x =− 2

Прямая подстановка в условие показывает, что оба решения подходят.

Случай 2: $2x =y$

Перепишем $(1):$ $3+ 4− 5= 8x2.$ Откуда получаем два решения:

( ( |{ x= 1 |{ x =− 1 | 2 и | 2 ( y = 1 ( y =− 1

Прямая подстановка в условие показывает, что и эти решения подходят.

Ответ:

$(2,1),(−2,−1),( 1,1) ,(− 1,−1) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31701

Решите систему:

{ 3x2+ 5xy − 2y2 = 20; x2+ xy+ y2 =7.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы имеем два квадратных уравнения, у нас есть множители - квадраты х и у и произведение ху. Было бы здорово, если бы мы смогли разложить такие выражения на множители вида (ax + by)(cx+dy). Но тогда в правой части было бы здорово получить ноль, чтобы разложение на множители что-то нам дало.

Подсказка 2

Давайте умножим первое уравнение на 7 и вычтем из него нижнее, умноженное на 20. Тогда в правой части как раз будет 0! А левую необходимо разложить на множители!

Подсказка 3

После разложения на множители не забудьте провести проверку! Мы ведь получили не равносильное уравнение, а следствие из системы.

Показать ответ и решение

Функция $f(x,y)$ двух переменных $x$ и $y$ называется однородным многочленом второй степени, если она имеет вид $2 2 f(x,y)= ax + bxy+ cy.$

Чтобы занулить коэффициент в правой части, умножим первое уравнение на 7, а второе — на 20, и вычтем второе уравнение из первого:

7(3x2 +5xy− 2y2)− 20(x2+ xy+y2)= 0

2 2 x + 15xy− 34y =0

(x +17y)(x− 2y)=0

Если $x = 2y$ , то $x2+ xy+ y2 = 7y2 =7$ . Значит, либо $y =1$ и $x =2$ , либо $y = −1$ и $x =− 2$ .
Если $x = −17y$ , то $x2 +xy+ y2 = 273y2 = 7$ . Значит, либо $y = √1 39$ и $x= − 1√7- 39$ , либо $y =− √1- 39$ и $x= √17- 39$ .

Ответ:

$(2;1),(−2;−1),(− 1√7;√1-),(√17-;−√1-) 39 39 39 39$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31702

Найти действительные решения системы уравнений:

{ 53∘x5y2 = 4(x2+y2); 33∘xy4 = x2− y2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что наша система - однородная степени k. Это означает, что

Подсказка 2

Перемножим данные уравнения! Тогда мы получим красивое одородное уравнение степени 4 и сможем поделить его на x²y²

Подсказка 3

Не забудьте, что х = у = 0 тоже является решением (ведь мы делили на x²y²)

Показать ответ и решение

Функция $f(x,y)$ двух переменных $x$ и $y$ называется однородной функцией степени $n$ , если для любого числа $k$ выполняется $n f(kx,ky)= f(x,y)⋅k$ . Сведя систему к однородной (то есть $f(x,y)= 0$ для однородной $f$ ), можно найти отношение $x y$ .

Для этого перемножим данные уравнения системы:

22 4 4 15x y =4(x − y )

Получили однородное уравнение степени $4$ , так что делить будем на $x2y2$ . При этом нужно отметить, что $x =y =0$ это решение исходной системы, и не потерять его, зафиксировав в ответ перед делением.

Получаем уравнение $1 15 =4(t− t)$ , где $x2 t= y2 > 0$ . Решаем $2 4t − 15t− 4= 0$ : $t= 4$ или $1 t= −4$ (не соответствует $t> 0$ ).

Нам достаточно подставить полученное следствие $x2 y2 = 4$ в одно из уравнений системы:

Если $x = 2y$ , то $∘3--- 2 3 2y5 = 3y$ , так что $5 6 2y = y$ .
Если $x = −2y$ , то $3∘---- 3 − 2y5 = 3y2$ так что $− 2y5 = y6$ .

Ответ:

$(0;0),(4;±2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#36913

Решите систему уравнений:

{ x3− y3 =65; x2y − xy2 = −20.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно разложить на множители оба уравнения и сделать замену a = x-y, b = xy.

Подсказка 2

Отлично, мы нашли, чему равны а и b, то есть х-у и ху. Теперь остается выразить х через у, найти у, а затем найти и х.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Система эквивалентна:

{ (x− y)(x2+ xy+ y2)= 65 xy(x− y)=− 20

C учётом замены $a= x− y,b =xy$ получаем:

{ a(a2+ 3b)=65 { a3 =125 ab= −20 ⇐ ⇒ ab =−20

Откуда $x− y =5,xy = −4$ . То есть $x+ 4x =5 ⇐ ⇒ x2− 5x+ 4= 0 ⇐⇒ x= 1 или x =4$ . Соответственно находим $y = − 4x$ и получаем ответ.

Второе решение.

Система эквивалентна:

{ (x− y)(x2+ xy+ y2)= 65 xy(x− y)=− 20

Так как при $x − y = 0$ система не имеет решений и при $x =0$ система не имеет решений, то поделим первое уравнение на второе и получим:

x y 13 y + 1+ x =− 4 .

При замене $x t= y$ получаем уравнение $2 13 ±1 t +t+ 1+ 4 t= 0 ⇐⇒ t= −4 ,$ то есть либо $x = −4y$ , либо $xy =− 4$ .

Подставим во второе уравнение системы: либо $− 4y2(− 5y)= −20 ⇐⇒ y = −1$ (в этом случае $x =4$ ), либо $− 4(− 4y − y)= −20 ⇐⇒ y = −4$ (в этом cлучае $x= 1$ ).

Ответ:

$(1;− 4),(4;−1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#36917

Решите систему уравнений:

{ (x +y)(x2− y2)= 16; (x − y)(x2+ y2)= 40.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Примените разность квадратов в первом уравнении, а затем заметим, что и в первом, и во втором уравнениях встречаются одинаковые множители, здесь должно появиться желание разделить второе уравнение на первое.

Подсказка 2

Мы получили квадратное уравнение, где есть две переменные. Давайте зафиксируем у и будем считать, что это просто заведомо известное число (как при решении параметров), и тогда решим уравнение относительно х, то есть мы получим выражение х через у.

Подсказка 3

Теперь для каждого полученного отношения х и у найдем ответ: подставим х, выраженный через у, в любое уравнение изначальной системы, найдем у и потом найдем и нужный х. Система решена!

Показать ответ и решение

Применив формулу разности квадратов в первом уравнении, получаем эквивалентную систему: