Тема . Классические неравенства

Неравенство о средних

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#141081

Вещественные числа $a,$ $b,$ $c$ и $d$ удовлетворяют неравенству

2 2 2 2 abcd> a +b + c +d .

Докажите, что

abcd> a+ b+c +d+ 8.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Каким классическим неравенством можно связать a²+b²+c²+d² и abcd?

Подсказка 2

(a²+b²+c²+d²)/4 ≥ √(a²b²c²d²) = √(abcd). Что следует из этой связи про нижнюю границу abcd?

Подсказка 3

abcd > 4√(abcd), значит abcd > 16. Что будет, если a+b+c+d меньше 8? А что, если сумма больше?

Подсказка 4

Какое стандартное неравенство поможет сравнить abcd и квадрат суммы?

Показать доказательство

Применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к числам $a2,b2,c2,d2:$

a2+-b2+-c2+d2- 4√-22-22- √ ---- 4 ≥ a bc d = abcd.

Умножая обе части на 4, получаем:

√---- a2 +b2+ c2+ d2 ≥ 4 abcd.

Из условия:

√ ---- abcd> 4 abcd =⇒ abcd> 16.

Тогда в случае если $a+ b+ c+d ≤8$ требуемое неравенство очевидно.

Осталось разобрать случай $a+b+ c+ d> 8.$ В этом случае применим, неравенство между средним квадратическим и арифметическим:

abcd> a2+ b2+c2+ d2 ≥ (a-+b+-c+-d)2 4

Из $a+ b+ c+d >8,$ домножением на $a+ b+ c+d$ обеих частей получаем, что

(a+ b+c+ d)2 >8(a+ b+c+ d)> 4(a+ b+ c+d+ 8),

тогда

2 abcd> a2+ b2+ c2+ d2 ≥ (a+-b+4c+d)-> a+ b+c +d+ 8.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse