Тема АЛГЕБРА

Классические неравенства → .06 Идеи метода Штурма

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Классические неравенства

Раскрытие и закрытие скобок

Правильная замена и преобразование выражений

Неравенство о средних

Оценки в классических неравенствах

Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Идеи метода Штурма

Транснеравенство

pqr-метод

Неравенства Мюрхеда и Шура

Метод отделяющей касательной

Неравенство Гёльдера

Неравенство Йенсена

Использование производной и экстремумов в классических неравенствах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126065

Пусть $0≤ a$ , $b$ , $c≤ 1.$ Докажите неравенство

( --1-- -1--- --1--) (a +b+ c+ 4) 1+ ab + 1+bc + 1+ ca ≤ 15.

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Хочется как-то подвигать переменные, при этом увеличивая левую часть неравенства.

Подсказка 2.

Зафиксируйте a+b (a≥b) и увеличивайте a. Как при этом изменяются множители в левой части?

Подсказка 3.

Первая скобка не изменяется, а вот во второй скобке два слагаемых увеличиваются, а одно уменьшается. Как можно справиться с последним?

Подсказка 4.

Как изменяется сумма слагаемых 1/(1+bc) + 1/(1+ac)?

Подсказка 5.

Теперь левая часть увеличивается, и мы можем начать загонять переменные по краям. Как будет выглядеть неравенство в крайнем случае?

Подсказка 6.

Получим, что или две переменные равны 0, или две переменные равны 1, или одна – 0, а другая – 1. Разберите эти случаи.

Показать доказательство

Сведём задачу к случаю, когда хотя бы две из переменных равны 0 или 1.

Предположим, что среди переменных $a,b,c$ есть хотя бы две, не равные 0 и 1. Пусть эти переменные — это $a$ и $b$ и $a≥ b.$ Зафиксируем $a+ b$ и будем увеличивать $a,$ тогда $ab$ уменьшается (по неравенству о средних), $-1-- 1+ab$ увеличивается. Выражение

1 1 2 +ac+ bc 2+ c(a+ b) 1-+ac + 1+-bc = 1+-ac+bc+-abc2 = 1+-c(a-+b)+-abc2

тоже увеличивается (так как $a+ b$ не изменяется, то числитель не меняется, а знаменатель уменьшается).

Тогда левая часть неравенства увеличивается, вплоть до того, как одна из переменных не станет 0 или 1. Таким соображением мы можем добиться того, что одна из переменных $a$ и $b$ станет равной $1$ или $0.$ Если при этом ни одна из переменных $b$ и $c$ не равна 1 или 0, то, применив такое же соображение, мы сможем добиться того, что левая часть увеличиться, и одна из переменных $b$ или $c$ станет равной 1 или 0. Таким образом, можно считать, что какие-то две из переменных равны 0 или 1. Остается разобрать три случая.

1. Не умаляя общности, $a= b= 0,$ тогда требуется доказать:

(c+ 4)(1+ 1+1)≤ 15

c+ 4≤ 5

c≤1

Это верно по условию $0≤c ≤1.$

2. Не умаляя общности, $a= b= 1,$ тогда требуется доказать:

( ) (c+ 6) 1+ -2-- ≤ 15 2 1+ c

(c+ 6)(c+ 5)≤ 30(c+ 1)

2 c≤ 19c

c(c− 19)≤0

Это верно по условию $0≤c ≤1.$

3. Не умаляя общности, $a= 1,b =0,$ тогда требуется доказать:

( ) (c+ 5) 2+ -1-- ≤ 15 1+ c

(c+5)(2c+ 3)≤15(c+1)

2c2 ≤ 2c

c(c− 1)≤ 0

Это верно по условию $0≤c ≤1.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#82290

Произведение чисел $a,b,c,d,$ не меньших $2 ,$ составляет $2k+3.$ Найдите наибольшее значение выражения

logcdab+logbdac+ logbcad +logadbc+ logacbd+ logabcd.

Источники: ИТМО-2024, 11.5 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

При виде выражение в виде суммы логарифмов, да и ещё с такими основаниями, сразу хочется его видоизменить. Обычно всегда на помощь приходит замена, но пока неясно, что стоит обозначить за новые переменные. Вспомните формулу перехода и свойства логарифмов и попробуйте перейти к другим основаниям!

Подсказка 2

То, что произведение a, b, c, d — это степень двойки, и то, что каждая из переменных не меньше 2, намекает, что хотелось бы использовать 2 в искомом выражении. Поэтому попробуйте сделать замену вида х = log₂a, ...

Подсказка 3

Полученное выражение — сумма дробей — уже лучше логарифмов. Но как же теперь её оценить? Обратите внимание, что изначальное условие на произведение переменных превратилось в условие на сумму переменных из замены. Какой метод в неравенствах есть, когда фиксирована сумма переменных?

Подсказка 4

Метод Штурма! Часто смотрят на то, когда выражение больше: когда переменные равны или когда одна переменная принимает максимально возможное значение, а другая минимальное. Попробуйте это выяснить на примере двух переменных.

Подсказка 5

Возьмите две переменных с той же суммой, но большей разностью: из x,y сделаем y`=1, x`=x+y-1. Аналогично проделайте для всех четырёх переменных замены. Отсюда и получится искомая оценка!

Показать ответ и решение

После замены

x= log2a,y =log2b,z = log2c,t=log2d

условие, что исходные числа не меньше $2,$ превращается в

x≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1, t≥ 1,

а условие на произведение превращается в

x+ y+z +t= k+ 3 .

Искомое выражение по формуле перехода и свойствам логарифмов равно

x-+y +-z+t + x+-z+ y+-t+ x+-t+ y+-z z +t x +y y+ t x+ z y+ z x+ t

Воспользуемся методом Штурма. Пусть имеется какое-то значение искомого выражения при удовлетворяющих условиям выше $x ≥y ≥z ≥ t$ (не умаляя общности, переменные можно переименовать для упорядочивания). Заменим два числа $x,y$ на числа $x′ = x+ y− 1≥x,y′ = 1≤ y$ с такой же суммой $x′+ y′ =x +y$ и не меньшей разностью $x′− y′ =x +y− 2≥ x− y ≥ 0 (2y ≥ 2).$ Тогда в искомом выражении сумма дробей

x+y-+ z+-t z+t x+ y

не изменится, а сумма дробей

x+-z+ y+-z= x2+-x(z+t)+zt+-y2+-y(z+-t)+-zt= y+ t x+ t xy +t(x +y)+ t2

(x+ y)2∕2+(x− y)2∕2+ (x +y)(z +t)+2zt = --(x+-y)2∕4−-(x-− y)2∕4-+t(x-+y)+-t2--

и аналогичная ей (с точностью до перестановки $z,t$ ) сумма дробей

x+-t+ y+-t y+z x+ z

не уменьшатся, так как после приведения к общему знаменателю у получившейся дроби числитель увеличивается при увеличении $(x− y)2,$ а знаменатель уменьшается при увеличении $(x− y)2.$

Такими преобразованиями можно превратить три наименьших числа из $x,y,z,t$ в единицу, а наибольшее — в $k,$ при этом наше выражение будет увеличиваться (точнее, заведомо не уменьшаться). Итак, максимальное значение выражения равно

k+-1+ 1+-1+ k+-1+ 1+-1+ k-+1 + 1-+1 = 3(k+-1)+-6-- 1+ 1 k+ 1 1+ 1 k+ 1 1 +1 k +1 2 k+ 1.

Ответ:

$3(k+-1)+-6-- 2 k+ 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#73446

Неотрицательные числа $a,b,c$ удовлетворяют условию

2 2 2 a +b + c +abc= 4

Докажите, что

0≤ ab+ bc+ ac− abc≤ 2

Источники: Бельчонок-2021, 8.5(см. dovuz.sfu-kras.ru)

Показать доказательство

Заметим, что $a,b,c$ не могут быть все одновременно быть больше $1,$ это противоречило бы условию. Пусть, например, $a≤ 1.$ Запишем $ab+ bc +ac− abc= ab+ ac +bc(1− a).$ Очевидно, это выражение неотрицательно, и оценка снизу доказана.

Для доказательства оценки сверху рассмотрим три данных числа. Два из них не меньше $1$ или два из них не больше $1,$ пусть такие числа — это $b$ и $c.$ В любом случае $(1 − b)(1− c)≥0.$

В условии $2 2 2 a +b + c +abc= 4$ заменим $2 2 b +c$ на не большее выражение $2bc,$ получим неравенство $2 a +2bc+ abc≤ 4,$ или $2 bc(2+ a)≤ 4− a .$ После сокращения получаем $bc≤2 − a.$ Тогда

ab+ bc +ac− abc≤ ab+ 2− a +ac(1 − b)= 2− a(1− c)(1− b)≤ 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#73448

Докажите, что для положительных $x,y,z$ выполняется неравенство

375 (x+ y+ z)(4x+ y+2z)(2x+ y+ 8z)≥ 2 xyz

Показать доказательство

Рассмотрим первые две скобки и заметим, что

2 2 (x +y+ z)(4x+ y+ 2z)= (2x+y) + 3z(2x+ y)+ 2z +xy

Тогда мы можем переписать требуемое неравенство в виде

(2x+-y)2+-3z(2x+-y)+2z2 2x+-y+8z- 375- ( xy +1)⋅ z ≥ 2

Теперь зафиксируем $z$ и $2x+ y$ и будем сдвигать $2x$ и $y$ друг к другу. При этом $xy$ увеличивается, и достигает максимума при $2x= y,$ остальные части выражения остаются постоянными. Значит, требуемое равенство будет следовать из неравенства, полученного подстановкой в него $y = 2x,$ то есть

(3x+ z)(6x+ 2z)(4x +8z)≥ 375x2z

Обозначим $x t= z,$ тогда неравенство превращается в

8(3t+ 1)2(t+ 2)− 375t2 ≥ 0

Взяв производную, можно убедиться, что минимум левой части достигается при $t= 43$ и равен $0,$ что доказывает требуемое неравенство. (таким образом, минимум исходного выражения достигается при $x:y :z = 4:8:3.$ )